分式方程（教學(xué)設(shè)計(jì)）20242025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級下冊教材分析：（1）本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是分式方程的概念及其解法。（2）本節(jié)課主要介紹了如何從實(shí)際問題中抽象出分式方程，理解分式方程的特點(diǎn)，以及掌握解分式方程的步驟和方法。通過多個(gè)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生探索等量關(guān)系，并設(shè)立適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)列出方程。（3）通過學(xué)習(xí)本節(jié)課，學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題，并嘗試用數(shù)學(xué)模型——分式方程來表達(dá)和解決這些問題。學(xué)生不僅能掌握分式方程的解法，還能學(xué)會如何檢驗(yàn)解的正確性，進(jìn)而增強(qiáng)分析問題和解決問題的能力。此外，通過這一過程，學(xué)生還能體會到數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中的價(jià)值和魅力。教學(xué)目標(biāo)：（1）會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界：通過實(shí)際問題情境，理解分式方程的概念，能夠識別分式方程與整式方程的區(qū)別，體會分式方程在解決現(xiàn)實(shí)問題中的應(yīng)用。（2）會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界：通過列方程解決實(shí)際問題，發(fā)展邏輯推理能力，掌握解分式方程的基本步驟，理解“轉(zhuǎn)化”思想在解方程中的重要性。（3）會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界：能夠用數(shù)學(xué)符號和語言準(zhǔn)確表達(dá)分式方程，并運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。教學(xué)重點(diǎn)：（1）理解分式方程的概念，能夠區(qū)分分式方程與整式方程，并能在實(shí)際問題中抽象出分式方程模型。（2）掌握解分式方程的基本步驟，包括去分母、解整式方程和驗(yàn)根，理解增根的概念及其產(chǎn)生的原因。教學(xué)難點(diǎn)：（1）理解并掌握分式方程的概念及其解法，特別是分式方程中增根的處理。（2）能夠準(zhǔn)確識別并處理分式方程中的驗(yàn)根問題，理解驗(yàn)根在分式方程解法中的必要性。教學(xué)資源準(zhǔn)備：（1）多媒體投影儀和電腦，用于展示分式方程的概念及其解法的相關(guān)課件和實(shí)例，增強(qiáng)學(xué)生對分式方程直觀理解。（2）準(zhǔn)備若干實(shí)際問題案例，如“固沙造林問題”、“高鐵列車問題”等，用于引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際問題抽象出分式方程，加深對分式方程概念及解法的理解。（3）設(shè)計(jì)分組討論和練習(xí)題目，讓學(xué)生通過小組合作解決分式方程相關(guān)的實(shí)際問題，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力和問題解決能力。教學(xué)過程：一、情景導(dǎo)入，初步認(rèn)知在第一章第一節(jié)《分式》中，我們曾討論過一個(gè)關(guān)于“固沙造林，綠化家園”的實(shí)際問題。面對日益嚴(yán)峻的土地沙化問題，某縣決定分期分批進(jìn)行固沙造林。第一期工程原計(jì)劃在一定時(shí)間內(nèi)完成2400公頃的造林任務(wù)。然而，實(shí)際情況是每月實(shí)際造林面積比計(jì)劃多了30公頃，從而提前了4個(gè)月完成了任務(wù)?，F(xiàn)在，我們來探討一下這個(gè)問題中的具體細(xì)節(jié)。（師：）同學(xué)們，我們先來分析這個(gè)問題中的已知量和未知量有哪些？（生：）已知信息如下：總造林面積為2400公頃，實(shí)際每月造林面積比計(jì)劃多30公頃，并且提前4個(gè)月完成了任務(wù)。未知信息則是：原計(jì)劃每月的造林面積是多少公頃？（師：）接下來，請找出這個(gè)問題中的等量關(guān)系。（生：）實(shí)際每月造林面積=計(jì)劃每月造林面積+30公頃原計(jì)劃用時(shí)實(shí)際用時(shí)=4個(gè)月（師：）假設(shè)原計(jì)劃每月造林公頃，請問原計(jì)劃需要多少時(shí)間才能完成一期工程？而實(shí)際上用了多少時(shí)間呢？根據(jù)題目描述，我們可以列出一個(gè)方程，請大家嘗試著寫出來。（生：）設(shè)原計(jì)劃每月造林公頃，則按原計(jì)劃需要個(gè)月完成任務(wù)；實(shí)際上只需個(gè)月即可完成。根據(jù)題意可得方程：【教學(xué)說明】此環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生通過解決現(xiàn)實(shí)問題，加深對從實(shí)際情境抽象出數(shù)學(xué)模型這一過程的理解與體驗(yàn)。此外，鼓勵學(xué)生尋找并利用所有可用的信息，以提高他們分析和解決問題的能力。二、思考探究，獲取新知探究1：分式方程的概念問題1：現(xiàn)有一段路程為1400km，乘坐高鐵列車行駛這段距離比乘普通特快列車少花費(fèi)9小時(shí)，同時(shí)高鐵的速度是特快列車速度的2.8倍。（1）請找出這個(gè)問題中的數(shù)量關(guān)系。（生：）特快列車耗時(shí)高鐵列車耗時(shí)=9小時(shí)高鐵速度=特快列車速度2.8（2）如果把特快列車的速度設(shè)為公里/小時(shí)，那么滿足上述條件的方程是什么樣的呢？（生：）假設(shè)特快列車的速度為km/h，那么高鐵的速度就是km/h。結(jié)合時(shí)間差，可以得出方程：（3）若設(shè)小明搭乘高鐵用時(shí)小時(shí)，則對應(yīng)的速度方程又該怎樣表達(dá)？（生：）若小明坐高鐵所需時(shí)間為h，其平均速度應(yīng)為km/h。因此有：問題2：為了資助受自然災(zāi)害影響地區(qū)的孩子們重建校園，學(xué)校號召全校師生捐款。七年級共籌集資金4800元，八年級籌集了5000元。觀察到八年級參與捐款的學(xué)生人數(shù)比七年級多了20人，但兩屆學(xué)生的平均捐款金額相同。請問如果用來表示七年級捐款的人數(shù)，能寫出相應(yīng)的方程式嗎？（生：）假定七年級共有名學(xué)生參加捐贈活動，則八年級參與人數(shù)則為人?；诰杩羁傤~相等的原則，可得到：【教學(xué)說明】再次引導(dǎo)學(xué)生從具體實(shí)例出發(fā)，提煉歸納出分式方程的基本特征及其應(yīng)用場景，培養(yǎng)其將復(fù)雜問題簡化表述的能力。復(fù)習(xí)剛才列出的所有方程式：這些表達(dá)式與以往學(xué)習(xí)過的代數(shù)方程有何不同之處？共同特點(diǎn)在哪里？（生：）【歸納結(jié)論】這類包含未知數(shù)作為分母部分的情況被稱為分式方程。探究2：分式方程的解法給定下面這個(gè)簡單的分式方程示例，看看能否將其轉(zhuǎn)化為整式形式進(jìn)而求解：【教學(xué)說明】通過對具體案例的學(xué)習(xí)，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)可以通過去分母的方法將原本復(fù)雜的分式方程轉(zhuǎn)變?yōu)楦子谔幚淼囊辉淮畏匠?。老師在此將詳?xì)講解這一過程，并指出解此類方程的標(biāo)準(zhǔn)步驟。【歸納結(jié)論】解決分式方程通常遵循三個(gè)步驟：（首先消除分母，也就是找到方程兩邊的最大公約數(shù)，并以此乘雙方）（接著按照常規(guī)方式求解轉(zhuǎn)換后的線性方程）（最后驗(yàn)證解是否有效，即確保它不會使任何一個(gè)原本存在的分母變?yōu)榱悖┛紤]下面給出的兩種解題思路，哪個(gè)是正確的？方案A:雙邊同時(shí)乘以，簡化后得到，最終求得。方案B:同理操作，也得到了同樣的結(jié)果。你覺得真的是這道題的答案嗎？同桌之間相互討論一下吧?。ㄉ海練w納結(jié)論】這里引出了所謂的增根概念——即在解題過程中由于操作不當(dāng)而引入的新“解”，但實(shí)際上并非原始問題的真實(shí)答案。增根的特點(diǎn)在于它們會使原問題中某些分母變?yōu)榱?，從而失去定義。認(rèn)識增根：它是在去掉分母后的過程中產(chǎn)生的虛假解；如果將疑似解代入任何原先分母所在的位置，則會導(dǎo)致分母歸零；因此，真正的答案必須排除掉這些無效值。三、運(yùn)用新知，深化理解以下列出幾個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式，請判斷哪些屬于分式方程，哪些不是？正確選項(xiàng)是[A.僅有2項(xiàng)符合/B.三項(xiàng)符合條件/C.四個(gè)項(xiàng)目都是/D.以上皆非]，你認(rèn)為答案應(yīng)該是？假如王軍組織了一次網(wǎng)絡(luò)技能培訓(xùn)，起初預(yù)計(jì)每位參與者需分擔(dān)300元費(fèi)用。后來因?yàn)閳?bào)名人數(shù)加倍，總開銷調(diào)整為480元，并因此人均成本減少了4元。試問最開始預(yù)期有多少人會參加本次活動，能夠設(shè)立怎樣的變量和相應(yīng)方程來表示這變化？（生：）初始人數(shù)設(shè)為，故每人需支付元。后來增加至2倍人數(shù)時(shí)，總開支變成了480