第頁(yè)3．3．1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程【題型歸納目錄】題型一：拋物線的定義題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型三：軌跡方程—拋物線題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線（不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）上述定義可歸納為“一動(dòng)三定”，一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一定直線；一個(gè)定值（2）定義中的隱含條件：焦點(diǎn)不在準(zhǔn)線上，若在上，拋物線變?yōu)檫^(guò)且垂直與的一條直線．（3）拋物線定義建立了拋物線上的點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線三者之間的距離關(guān)系，在解題時(shí)常與拋物線的定義聯(lián)系起來(lái)，將拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離互化，通過(guò)這種轉(zhuǎn)化使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．知識(shí)點(diǎn)二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過(guò)F且垂直于的直線為x軸，垂足為K．以F，K的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．設(shè)（），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為．設(shè)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d．由拋物線的定義，拋物線就是集合，將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得．①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點(diǎn)所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸時(shí)，才能得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；②拋物線的焦點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上，且開(kāi)口方向與一次項(xiàng)的系數(shù)的正負(fù)一致，比如拋物線的一次項(xiàng)為，故其焦點(diǎn)在軸上，且開(kāi)口向負(fù)方向（向下）③拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的4倍，比如拋物線的一次項(xiàng)的系數(shù)為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)是．一般情況歸納：方程圖象的開(kāi)口方向焦點(diǎn)準(zhǔn)線時(shí)開(kāi)口向右時(shí)開(kāi)口向左時(shí)開(kāi)口向上時(shí)開(kāi)口向下④從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)．用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，首先根據(jù)已知條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型（一般需結(jié)合圖形依據(jù)焦點(diǎn)的位置或開(kāi)口方向定型），然后求一次項(xiàng)的系數(shù)，否則，應(yīng)展開(kāi)相應(yīng)的討論．⑤在求拋物線方程時(shí)，由于標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，易混淆，可先根據(jù)題目的條件作出草圖，確定方程的形式，再求參數(shù)，若不能確定是哪一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)寫(xiě)出四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程來(lái)，不要遺漏某一種情況．【典型例題】題型一：拋物線的定義例1．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)點(diǎn)且傾斜角為30°的直線交拋物線于點(diǎn)（在第一象限），，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，若，則拋物線的方程是（

）A． B．C． D．例2．從拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，且，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的斜率為_(kāi)__________.例3.若拋物線上的一點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離為8，則（

）A．6 B．8 C．12 D．16例4．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5，則______．例5．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，為上在第一象限的一點(diǎn)，垂直于點(diǎn)，，分別為，的中點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，若，則______.例6．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若，則此拋物線方程為_(kāi)_________．題型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例7．焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B． C． D．例8．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以坐標(biāo)軸為軸的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或例9．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上．若點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為2，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．例10．已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)為圓與的一個(gè)交點(diǎn)，且，則的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）.A． B． C． D．例11．如圖，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若為等邊三角形，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A． B． C． D．例12．如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝6，則此拋物線方程為（

）A．y2＝9x B．y2＝6xC．y2＝3x D．y2＝x題型三：軌跡方程—拋物線例13．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（

）（1）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是橢圓（2）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是雙曲線（3）動(dòng)點(diǎn)滿足到y(tǒng)軸的距離比到的距離小1，則P的軌跡是拋物線（4）動(dòng)點(diǎn)滿足，則P的軌跡是圓和兩條射線A．0 B．1 C．2 D．3例14．到點(diǎn)的距離比到直線的距離小的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例15．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例17．拋物線：的過(guò)焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例18．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）．A． B． C． D．例19．設(shè)動(dòng)點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得，則的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例18．若動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8,則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是(

)A． B． C． D．()題型四：拋物線距離和與差的最值問(wèn)題例19．已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，拋物線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例20．已知A（2，1），拋物線C：的焦點(diǎn)為F，P是拋物線C上任意一點(diǎn)，則△PAF周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．例21．已知點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上移動(dòng)，則的最小值為（

）A． B． C． D．例22．已知拋物線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A是拋物線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例23．已知直線，，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線和的距離之和的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．例24．已知拋物線，，點(diǎn)在拋物線上，記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8例25．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．例26．的最小值為（

）A．5 B． C．6 D．例27．過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，，設(shè)為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，，若，則的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型五：拋物線的實(shí)際應(yīng)用例28．北京時(shí)間2022年4月16日9時(shí)56分，神州十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)成功著陸，全國(guó)人民都為我國(guó)的科技水平感到自豪某學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．如圖，航天器按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)行的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸，為頂點(diǎn)的拋物線的一部分．已知觀測(cè)點(diǎn)A的坐標(biāo)，當(dāng)航天器與點(diǎn)A距離為4時(shí)，向航天器發(fā)出變軌指令，則航天器降落點(diǎn)B與觀測(cè)點(diǎn)A之間的距離為（

）A．3 B．2.5 C．2 D．1例29．如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角，則其焦徑比為_(kāi)_____．例30．一種衛(wèi)星接收天線如圖1所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線．衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)波束到達(dá)后，在軸截面內(nèi)呈近似平行狀態(tài)射入，經(jīng)反射聚集到焦點(diǎn)處，從而位于焦點(diǎn)處的信號(hào)接收器可以接受到較強(qiáng)的信號(hào)波．已知接收天線的口徑（直徑）為4米，深度為1米．根據(jù)圖2中的坐標(biāo)系，解答下列問(wèn)題：(1)求接收器與頂點(diǎn)間的距離；(2)證明一衛(wèi)星信號(hào)波沿著平行于對(duì)稱軸方向射入，經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)M（不同于拋物線頂點(diǎn)）反射后經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．【同步練習(xí)】一、單選題1．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A．1 B．2 C．4 D．82．已知拋物線（）上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為，則（

）A．4 B．3 C． D．3．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且垂直于x軸．若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．4．已知直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且平分圓，則直線l的方程為（

）A． B． C． D．5．設(shè)為拋物線：的焦點(diǎn)，直線：，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則（

）A．－2 B．2 C．3 D．不能確定6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上一點(diǎn).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．7．如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)分別為，（），原點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．8．我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線這一節(jié)的學(xué)習(xí)，結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可求出該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo).則二次函數(shù)的圖象的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題9．泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹(shù)枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交匯的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)，直線l：，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則（

）A．點(diǎn)P的軌跡是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線：是沒(méi)有交匯的軌跡（即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn)）C．不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．是“最遠(yuǎn)距離直線”10．已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．則（

）A． B．當(dāng)軸時(shí)，C．為定值1 D．若，則直線的斜率為三、填空題11．若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與其平行線的距離為，則拋物線的