第九章湍流流動與換熱第1頁，共48頁。9-1湍流的基本概念

第2頁，共48頁。9-1湍流的基本概念

9-1-2湍流結(jié)構(gòu)及時均描述方法

湍流對流換熱是近年來的主要研究課題之一，許多研究者對湍流傳熱問題給出了系統(tǒng)的總結(jié)?？v觀湍流傳熱的研究歷史，一個世紀(jì)以來，始終遵循雷諾、布斯涅斯克和普朗特提出的理論。由層流到湍流的過渡是一個十分復(fù)雜的過程，對這個區(qū)域的研究仍是當(dāng)代學(xué)者的主要任務(wù)之一，目前尚無較準(zhǔn)確的描述，因而以后篇幅所涉及的均是旺盛湍流。湍流是一種隨機(jī)、非定常的、三維有旋流動，由各種尺寸的渦組成。渦是三維的，其大小、強(qiáng)度及其產(chǎn)生的地點(diǎn)、周期均不規(guī)則。Bejan認(rèn)為湍流具有大尺度上的相同結(jié)構(gòu)。一般解決湍流傳熱問題的基本方式與過去討論的層流問題一樣、是基于時間平均法則的描述。實(shí)驗(yàn)研究表明．湍流中渦團(tuán)的尺度遠(yuǎn)大于分子平均自由行程，連續(xù)介質(zhì)假設(shè)仍然成立。第3頁，共48頁。根據(jù)雷諾提出的時均化法則，描述湍流流動與換熱的物理量的瞬時值ф時可以用時均值與脈動值之和表示。如圖9-2所示。即

(9-1-1)其中時均值定義為

(9-1-2)時均值隨時間變化的湍流稱非穩(wěn)態(tài)湍流，不隨時間變化的湍流稱為穩(wěn)態(tài)湍流。9-1湍流的基本概念

第4頁，共48頁。9-1湍流的基本概念

第5頁，共48頁。時均法則的基本出發(fā)點(diǎn)是一段時間內(nèi)脈動量的時均值為零，即

(9-1-3)即

(9-1-4)類似地可以得到一系列時均法規(guī)則。流體的湍流強(qiáng)度通常用下式表示:(9-1-5)

若，則稱為各向同性湍流。9-1湍流的基本概念

第6頁，共48頁。對于常物性的不可壓縮流體，其連續(xù)性方程為

湍流流動中，u、v、w均為瞬時值，按雷諾時均法則，它們可以表示為時均值與脈動值之和，即將以上各式代入連續(xù)性方程，并作時均運(yùn)算得

9-2湍流微分方程

第7頁，共48頁。展開為根據(jù)時均法則，脈動項(xiàng)的時均值為零，得（9-2-1）上式與層流具有同樣的形式，只是速度采用時均值。x方向的動量方程(6-2-8)很容易改寫為（9-2-2）利用時均法則得到（9-2-3）9-2湍流微分方程

第8頁，共48頁。展開上式，并應(yīng)用時均法則，有（9-2-4）將式(9-2-1)代入上式，得（9-2-5）類似地可以得到y(tǒng)、z方向的時均形式的動量方程：（9-2-6）（9-2-7）9-2湍流微分方程

第9頁，共48頁。同樣可以獲得時均形式的能量方程：（9-2-8）式(9-2-5)～(9-2-7)稱為雷諾時均方程。與層流的N-S方程相比，湍流的雷諾方程增加了由速度脈動值構(gòu)成的附加項(xiàng)。由這些脈動引起的附加應(yīng)力稱為雷諾應(yīng)力或湍流應(yīng)力：（9-2-9）式(9-2-8)稱為湍流能量方程。同樣，與層流方程相比，增加了與速度溫度脈動有關(guān)的附加項(xiàng)，稱為雷諾熱流，即（9-2-10）若考慮的是不可壓縮湍流，二維穩(wěn)態(tài)的湍流邊界層流動方程組進(jìn)步化簡為9-2湍流微分方程

第10頁，共48頁。

(9-2-11)

(9-2-12)

(9-2-13)邊界層外伯努利方程仍然適用，即

(9-2-14)式(9-2-13)、(9-2-14)稱為湍流邊界層時均方程組。無論是湍流時均方程組還是湍流邊界層時均方程組，均是不封閉的，除層流方程中出現(xiàn)的u、v、w、p和t等未知量外，還增加了雷諾應(yīng)力和雷諾熱流，因而解決湍流問題的途徑必須附加相應(yīng)數(shù)目的方程，使方程組封閉。目前附加方程均是以半經(jīng)驗(yàn)理論為依據(jù)的。9-2湍流微分方程

第11頁，共48頁。9-3-1湍流應(yīng)力與湍流熱流1877年布斯涅斯克提出，湍流應(yīng)力與速度梯度的關(guān)系可以按粘性應(yīng)力的形式表示，即（9-3-1）9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

第12頁，共48頁。其中ηt稱為湍流動力粘度，稱為湍流運(yùn)動粘度或湍流動量擴(kuò)散率。類似地，湍流熱流可表示為（9-3-2）9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

第13頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

考慮上一節(jié)結(jié)出的湍流邊界層時均方程，湍流應(yīng)力和湍流熱流可以表示為（9-3-3）（9-3-4）顯然，類比的概念與形式較容易接受，但物理本質(zhì)上湍流應(yīng)力與湍流熱流同粘性應(yīng)力與分子擴(kuò)散有根本的區(qū)別。對于湍流，ηt的大小不僅同脈動有關(guān)，還與時均速度有關(guān)，已不是流體物性；同樣，at也不是流體的特性，布斯涅斯克理論只是進(jìn)一步簡化時均方程以使之便于封閉。第14頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

9-3-2普朗特混合長度理論根據(jù)1925年普朗特提出的動量混合長度理論，可以討論湍流運(yùn)動粘度νt的數(shù)量級。如圖9-3所示，假設(shè)位于y層的流體微團(tuán)的x方向的時均速度為。由于橫向脈動，微團(tuán)移向壁面到達(dá)位置，此處微團(tuán)的時均速度是，是微團(tuán)保持仍被識別的混合長度。假設(shè)流體微團(tuán)從y到仍保持x方向動量不變，x方向的速度脈動的數(shù)量級顯然是，即（9-3-5）第15頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

第16頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

由連續(xù)性力程可知，橫向脈動速度與有相同的數(shù)量級：（9-3-6）顯然有

（9-3-7）根據(jù)湍流應(yīng)力定義，有（9-3-8）式中l(wèi)為普朗特混合長度。第17頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

不同的流動有不同的混合長度，不存在確定混合長度的通用準(zhǔn)則，它與物性和速度無關(guān)，只取決于流體微團(tuán)脈動的距離，或者是與流場某個特征尺寸有關(guān)。對于湍流邊界層流動，普朗特假定它和距壁面的法向距離成正比：（9-3-9）式中k稱為馮·卡門常數(shù)。代入式(9-3-8)得到（9-3-10）對于湍流邊界層流動，在區(qū)域，；當(dāng)時，l近似為常數(shù)，即（9-3-11）普朗特混合長度理論，用簡單的代數(shù)關(guān)系式將湍流動量擴(kuò)散率與時均速度聯(lián)系起來，而未附加新的微分方程來確定νt，故稱為零方程模型。第18頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

在理論方面，普朗特混合長度理論仍有缺陷。在管內(nèi)流動的中心線上，，νt應(yīng)為零，但這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。在其它一些情況，如射流等，這一理論也不能解釋實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。此外，卡門等也提出了自己的零方程模型，但同樣也存在各自的不足，詳細(xì)討論可參閱文獻(xiàn)。9-3-3湍流的—方程模型從前面的分析不難看出，混合長度理論的基礎(chǔ)是布斯涅斯克湍流應(yīng)力假設(shè)。它將νt與時均速度關(guān)聯(lián)起來，只考慮了幾何位置和時均速度分布的影響，而未涉及湍流自身的特性1945年，普朗特首先提出了所謂—方程模型，認(rèn)為分子微團(tuán)的脈動具有一定的動能。若定義湍流脈動動能為（9-3-12）第19頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

以湍流脈動動能的平方根作為湍流脈動的特征速度，普朗特和科合莫可洛認(rèn)為、湍流動量擴(kuò)散率與湍流動能K的特征速度成正比，即（9-3-13）式中L為湍流脈動尺度，為實(shí)驗(yàn)確定的系數(shù)。應(yīng)用布斯涅斯克假設(shè)以及式(9-3-13)確定的湍流應(yīng)力，又增加了未知量K、L，因而必須附加求解K和L的方程，方能使方程組封閉。K的表達(dá)式可以根據(jù)N-S方程的瞬時表達(dá)式和時均形式導(dǎo)出(詳細(xì)推導(dǎo)參閱文獻(xiàn))：（9-3-14）第20頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介

式中p為湍流生成項(xiàng)，是湍流應(yīng)力在時均場中作的變形功：（9-3-15）湍流應(yīng)力可用式(9-3-13)確定，式(9-3-14)中的最后一項(xiàng)計(jì)入湍流耗散項(xiàng)：（9-3-16）

K方程中的σt稱為脈動動能的普朗特?cái)?shù)，值取為1.0左右；CD的數(shù)值范圍是0.08～0.38。湍流尺度L可以由實(shí)驗(yàn)確定或根據(jù)普朗特混合長度計(jì)算，因而附加方程中只有K方程是微分形式，故稱為—方程模型。這種模型適用于計(jì)算邊界層流動。第21頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介9-3-4K-ε模型由式(9-3-16)可知，K、ε、L之間存在一定關(guān)系，只有兩個變量是獨(dú)立的，因此可以用K、ε來代表K、L：（9-3-17）式中。K方程(9-3-14)可以表示為（9-3-18）第22頁，共48頁。9-3湍流半經(jīng)驗(yàn)理論與湍流模型簡介類似地可以得到耗散率方程：（9-3-19）這樣，湍流時均方程組附加K方程和ε方程就構(gòu)成了封閉方程組。由于在這一湍流模型中，采用了K方程和ε方程，因此稱為K-ε方程模型。模型中有關(guān)系數(shù)見表9-1。表9-1湍流中各系數(shù)的數(shù)值表9-1給定的有關(guān)系數(shù)的數(shù)值是由一些特定實(shí)驗(yàn)確定的，有一定的適用范圍．通常K-ε模型及表9-l稱為高雷諾數(shù)模型，僅適用于距壁畫一定距離的湍流區(qū)域。在貼壁處的粘性底層，湍流雷諾數(shù)較小，應(yīng)考慮分子影響，需進(jìn)行修正。對于湍流自然對流，則應(yīng)采用低雷諾數(shù)模型，并考慮浮升力對K、ε方程的影響。第23頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

9-4-1湍流邊界層速度分布本章第二節(jié)已述，常物性不可壓縮流體的二維穩(wěn)態(tài)湍流邊界層時均方程為（9-4-1）第24頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

當(dāng)，湍流強(qiáng)度時，如果沿流動方向壓力梯度為零，則動量方程右側(cè)只有摩擦項(xiàng)。圖9-4給出了邊界層流動的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析已知，在離壁面足夠近的區(qū)域，慣性項(xiàng)很小，速度脈動也較小，時均速度梯度較大。隨著距壁面距離的增加脈動加強(qiáng)，達(dá)到最大值后又逐漸減少，直到主流區(qū)，時均速度梯度趨于平坦。這樣，沿平壁法向可以將湍流邊界層分為兩個區(qū)域：內(nèi)層區(qū)和外層區(qū)(或壁區(qū)和尾跡區(qū))。內(nèi)層區(qū)(壁區(qū))約占邊界層厚度的20％，其中大部分處于湍流狀態(tài)，只是緊靠壁面處，湍流應(yīng)力減弱，粘性應(yīng)力起主導(dǎo)作用。這一薄層稱為粘性底層．如圖9-4。而在外層區(qū)，湍流應(yīng)力仍是主要的，但時均速度梯度比壁區(qū)小、意味著外層區(qū)湍流的生成項(xiàng)所占比例也小。第25頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

第26頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

實(shí)驗(yàn)表明，壁區(qū)流線基本上平行于壁面，沿x方向。由連續(xù)方程，速度分量亦為零。對于外掠平板邊界層流動則有（9-4-2）表明硅區(qū)外掠平壁湍流邊界層流動的總應(yīng)力與距壁而的距離y無關(guān)，而等于壁畫處的切應(yīng)力τw，即（9-4-3）第27頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

顯然，具有速度的量綱，稱為摩擦速度，用表示。引入無量綱參數(shù)式(9-4-3)改寫為（9-4-4）

式中只是的函數(shù)。給出合適的νt模型，通過積分式(9-4-4)，可以得到靠近壁面區(qū)域的無量綱速度分布。普朗特將壁區(qū)分為兩層：粘性底層和湍流核心區(qū)。在粘性底層ν>>νt，式(9-4-4)簡化得到（9-4-5）在湍流核心區(qū)ν<<νt，式(9-4-4)簡化為（9-4-6）第28頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

代入普朗特混合長度式(9-3-1)，有（9-4-7）從粘性底層外緣開始積分，由式(9-4-5)已知，，到湍流核心區(qū)（9-4-8）或（9-4-9）上式即為壁面定律．式中A、B為常數(shù)，近似為，（9-4-10）粘性底層厚度取，。在粘性底層與湍流核心區(qū)邊界附近，模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有明顯的偏差，主要是因?yàn)棣秃挺蛅均不能忽略。此外，壁區(qū)的速度分布可以推廣到管流中。求解湍流邊界層的動量方程，采用指數(shù)形式較為方便，推薦的近似速度分布為（9-4-11）第29頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

9-4-2湍流邊界層流動的近似解常物性不可壓縮外掠平壁的湍流邊界層流動的時均方程為應(yīng)用類似于層流邊界層積分方程的求解方法，得到（9-4-12）因?yàn)楸诿妫吔鐚油饩?，，上式簡化為?-4-13）第30頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱

考慮壁面處，進(jìn)一步得到（9-4-14）與層流形式完全相同，只是速度是時均形式。求解時，近似用指數(shù)形式的速度分布，式(9-4-11)變?yōu)?/p>

（9-4-15）（9-4-16）第31頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱則（9-4-17）因?yàn)?，有?-4-18）代入式(9-4-14)，積分得到（9-4-19）第32頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱若邊界層在x=0處開始，c=0，則（9-4-20）（9-4-21）平均摩擦阻力系數(shù)（9-4-22）若系數(shù)取0.074，在范圍內(nèi)與實(shí)驗(yàn)吻合很好。第33頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱9-4-3外掠平壁換熱流體外掠平壁與壁面對流換熱時，熱邊界層逐漸加厚，由層流過渡到湍流。除非工質(zhì)屬低Pr數(shù)范圍，否則湍流邊界層中大部分區(qū)域湍流擴(kuò)散傳遞起主要作用，并認(rèn)為湍流熱擴(kuò)散率近似等于湍流動量擴(kuò)散串，即vt=at，稱為雷諾比擬，Prt=1，即速度邊界層與熱邊界層厚度相等。若流體速度較高，則湍流前的層流段很短，可近似認(rèn)為整個邊界層均處于湍流。大量實(shí)驗(yàn)表明，雷諾比擬并非處處成立。在近壁處Prt

>1，邊界層大部分區(qū)域Prt

0.9，而管內(nèi)流動的中心處Prt

0.7，但取Prt=1可使問題簡化。

第34頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱壁面處的溫度分析：y方向的一維熱流密度（9-4-23）或

（9-4-24）當(dāng)y不大時，認(rèn)為q保持不變，并等于壁面處的數(shù)值，即

q=qw

（9-4-25）取無量綱參數(shù)（9-4-26）第35頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱將式(4-4-24)、(4-4-25)代人式(4-4-23)得到（9-4-27）一般將邊界層分為三個區(qū)域：粘性底層緩沖層

湍流核心

邊界層的總溫差由三部分組成，即

第36頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱寫成無量綱形式，為（9-4-28）下標(biāo)s、b、t分別表示粘性底層，緩沖層和湍流核心層。在粘性底層，at

a，式(9-4-26)簡化為則（9-4-29）緩沖層（9-4-40）第37頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱令τ=τw，無量綱化，有（9-4-31）由流體力學(xué)可知，緩沖層的速度分布為即代入式(9-4-30)，得若Prt為常數(shù)，則有

第38頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱湍流核心區(qū)，分子擴(kuò)散可以忽略，即即（9-4-32）考慮式(9-4-29)，有（9-4-33）若Prt為常數(shù)，則將邊界層三層的溫差相加，得到總溫差（9-4-34）第39頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱由考慮牛頓冷卻公式得到進(jìn)一步有由于

得到第40頁，共48頁。9-4湍流邊界層流動與換熱若Pr=1近似有

（9-4-35）將式(9-4-21)的解代入雷諾比擬，有（9-4-36）整個壁面長度的平均換熱關(guān)聯(lián)式為（9-4-37）若壁面為常熱流狀況，則（9-4-38）第41頁，共48頁。9-5管內(nèi)湍流流動與換熱

9-5-1管內(nèi)湍流流動若物性是常數(shù)，湍流的速度場和溫度場可以分別求解。管內(nèi)湍流充分發(fā)展時，，描述管內(nèi)湍流的二維軸對稱流動的動量方程為式中vr為徑向速度。

（9-5-1）第42頁，共48頁。9-5管內(nèi)湍流流動與換熱

同樣，應(yīng)用雷諾應(yīng)力描述總應(yīng)力