上海遼陽中學(xué)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷培優(yōu)測(cè)試卷一、解答題1．已知，AB∥DE，點(diǎn)C在AB上方，連接BC、CD．（1）如圖1，求證：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥BC交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，探究∠ABC和∠F之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，∠CFD的平分線交CD于點(diǎn)G，連接GB并延長(zhǎng)至點(diǎn)H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．2．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點(diǎn)，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點(diǎn)F．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，設(shè)∠ABC＝α，∠ADC＝β，請(qǐng)你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）3．如圖1，//，點(diǎn)、分別在、上，點(diǎn)在直線、之間，且．（1）求的值；（2）如圖2，直線分別交、的角平分線于點(diǎn)、，直接寫出的值；（3）如圖3，在內(nèi)，；在內(nèi)，，直線分別交、分別于點(diǎn)、，且，直接寫出的值．4．汛期即將來臨，防汛指揮部在某水域一危險(xiǎn)地帶兩岸各安置了一探照燈，便于夜間查看河水及兩岸河堤的情況．如圖1，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，燈射出的光束自順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，燈射出的光束轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是/秒，且、滿足．假定這一帶水域兩岸河堤是平行的，即，且．（1）求、的值；（2）如圖2，兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，若兩燈射出的光束交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)；（3）若燈射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈射出的光束才開始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈射出的光束到達(dá)之前，燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行?5．如圖，已知直線射線，．是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連接．作，交直線于點(diǎn)，平分．（1）若點(diǎn)，，都在點(diǎn)的右側(cè)．①求的度數(shù)；②若，求的度數(shù)．（不能使用“三角形的內(nèi)角和是”直接解題）（2）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的偕形，使？若存在，直接寫出的度數(shù)；若不存在．請(qǐng)說明理由．二、解答題6．（1）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖1，光線a從空氣中射入水中，再從水中射入空氣中，形成光線b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．（2）光線照射到鏡面會(huì)產(chǎn)生反射現(xiàn)象，由光學(xué)知識(shí)，入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，如圖2有一口井，已知入射光線與水平線的夾角為，問如何放置平面鏡，可使反射光線b正好垂直照射到井底?（即求與水平線的夾角）（3）如圖3，直線上有兩點(diǎn)A、C，分別引兩條射線、．，，射線、分別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，是否存在某時(shí)刻，使得與平行？若存在，求出所有滿足條件的時(shí)間t．7．如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方，將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒3°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周．（1）幾秒后與重合？（2）如圖2，經(jīng)過秒后，，求此時(shí)的值．（3）若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒6°的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，那么經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間與重合？請(qǐng)畫圖并說明理由．（4）在（3）的條件下，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間平分？請(qǐng)畫圖并說明理由．8．已知：如圖1，，點(diǎn)，分別為，上一點(diǎn)．（1）在，之間有一點(diǎn)（點(diǎn)不在線段上），連接，，探究，，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，選其中一個(gè)進(jìn)行證明．（2）如圖2，在，之兩點(diǎn)，，連接，，，請(qǐng)選擇一個(gè)圖形寫出，，，存在的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．9．已知：和同一平面內(nèi)的點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)在邊上，過作交于，交于．根據(jù)題意，在圖1中補(bǔ)全圖形，請(qǐng)寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，．請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點(diǎn)是外部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．過作交直線于，交直線于，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系，并在圖3中補(bǔ)全圖形．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，，且滿足，過作軸于（1）求三角形的面積．（2）發(fā)過作交軸于，且分別平分，如圖2，若，求的度數(shù)．（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得三角形和三角形的面積相等？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在；請(qǐng)說明理由．三、解答題11．在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點(diǎn)F．(1)如圖①，當(dāng)AE⊥BC時(shí)，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．12．小明在學(xué)習(xí)過程中，對(duì)教材中的一個(gè)有趣問題做如下探究：（習(xí)題回顧）已知：如圖1，在中，，是角平分線，是高，、相交于點(diǎn).求證：；（變式思考）如圖2，在中，，是邊上的高，若的外角的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，其反向延長(zhǎng)線與邊的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則與還相等嗎？說明理由；（探究延伸）如圖3，在中，上存在一點(diǎn)，使得，的平分線交于點(diǎn).的外角的平分線所在直線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).直接寫出與的數(shù)量關(guān)系.13．己知:如圖①，直線直線，垂足為，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上(、不與點(diǎn)重合)，點(diǎn)在射線上且，過點(diǎn)作直線.點(diǎn)在點(diǎn)的左邊且(1)直接寫出的面積;(2)如圖②，若，作的平分線交于，交于，試說明;(3)如圖③，若，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，的平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的值是否變化?若不變，求出其值;若變化，求出變化范圍.14．如圖，，點(diǎn)A、B分別在直線MN、GH上，點(diǎn)O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點(diǎn)C、D是、角平分線上的兩點(diǎn)，且，求的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)F是平面上的一點(diǎn)，連結(jié)FA、FB，E是射線FA上的一點(diǎn)，若，，且，求n的值．15．如圖①所示，在三角形紙片中，，，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)處.（1）若，________.（2）如圖①，若各個(gè)角度不確定，試猜想，，之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論.②當(dāng)點(diǎn)落在四邊形外部時(shí)（如圖②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由，若不成立，，，之間又存在什么關(guān)系？請(qǐng)說明．（3）應(yīng)用：如圖③：把一個(gè)三角形的三個(gè)角向內(nèi)折疊之后，且三個(gè)頂點(diǎn)不重合，那么圖中的和是________.【參考答案】一、解答題1．（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點(diǎn)作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)解析：（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得證；（2）過點(diǎn)作，同（1）的方法，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，從而可得，再根據(jù)垂直的定義可得，由此即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)角平分線的定義、結(jié)合（2）的結(jié)論可得，然后根據(jù)角的和差、對(duì)頂角相等可得，由此即可得出答案．【詳解】證明：（1）如圖，過點(diǎn)作，，，，，即，，；（2）如圖，過點(diǎn)作，，，，，即，，，，，；（3）如圖，過點(diǎn)作，延長(zhǎng)至點(diǎn)，，，，，平分，平分，，由（2）可知，，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖解析：（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質(zhì)定理解答即可；（2）①如圖2，過點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（1）如圖1，過點(diǎn)作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點(diǎn)作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點(diǎn)作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)．3．（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點(diǎn)M作MK∥AB，過點(diǎn)N作NH∥CD，由角平分線的定義可設(shè)∠BEM解析：（1）；（2）的值為40°；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行線的性質(zhì)可求解；（2）過點(diǎn)M作MK∥AB，過點(diǎn)N作NH∥CD，由角平分線的定義可設(shè)∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，進(jìn)而求解；（3）設(shè)直線FK與EG交于點(diǎn)H，F(xiàn)K與AB交于點(diǎn)K，根據(jù)平行線的性質(zhì)即三角形外角的性質(zhì)及，可得，結(jié)合，可得即可得關(guān)于n的方程，計(jì)算可求解n值．【詳解】證明：過點(diǎn)O作OG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OG∥CD，∴∴即∵∠EOF=100°，∴∠；（2）解：過點(diǎn)M作MK∥AB，過點(diǎn)N作NH∥CD，∵EM平分∠BEO，F(xiàn)N平分∠CFO，設(shè)∵∴∴x-y=40°，∵M(jìn)K∥AB，NH∥CD，AB∥CD，∴AB∥MK∥NH∥CD，∴∴=x-y=40°，故的值為40°；（3）如圖，設(shè)直線FK與EG交于點(diǎn)H，F(xiàn)K與AB交于點(diǎn)K，∵AB∥CD，∴∵∴∵∴即∵FK在∠DFO內(nèi)，∴，∵∴∴即∴解得．經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子即可；（2）根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)（2）中給出的條件得出方程式，求出t的值，進(jìn)而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)燈B的解析：（1），；（2）30°；（3）15秒或82.5秒【分析】（1）解出式子即可；（2）根據(jù)，用含t的式子表示出，根據(jù)（2）中給出的條件得出方程式，求出t的值，進(jìn)而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)燈B的要求，t<150，在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)A可以轉(zhuǎn)3次，分情況討論．【詳解】解：（1）．又，．，；（2）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為秒，如圖，作，而，，，，，，（3）設(shè)燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行．依題意得①當(dāng)時(shí)，兩河岸平行，所以兩光線平行，所以所以，即：，解得；②當(dāng)時(shí)，兩光束平行，所以兩河岸平行，所以所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，圖大概如①所示，解得（不合題意）綜上所述，當(dāng)秒或82.5秒時(shí)，兩燈的光束互相平行．【點(diǎn)睛】這道題考察的是平行線的性質(zhì)和一元一次方程的應(yīng)用．根據(jù)平行線的性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角列出方程是解題的關(guān)鍵．5．（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或【分析】（1）①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠PCG的度數(shù)；②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠ECG=∠GCF=20°解析：（1）①35°；（2）55°；（2）存在，或【分析】（1）①依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠PCG的度數(shù)；②依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根據(jù)PQ∥CE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）設(shè)∠EGC=3x，∠EFC=2x，則∠GCF=3x-2x=x，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：（1）①∵AB∥CD，∴∠CEB+∠ECQ=180°，∵∠CEB=110°，∴∠ECQ=70°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCG＝∠PCF+∠FCG＝∠QCF+∠FCE＝∠ECQ＝35°；②∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC，∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=70°，∴∠EGC+∠ECG=70°，又∵∠EGC-∠ECG=30°，∴∠EGC=50°，∠ECG=20°，∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF＝∠PCQ＝(70°?40°)＝15°，∵PQ∥CE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=70°-15°=55°．（2）52.5°或7.5°，設(shè)∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，①當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的右側(cè)時(shí)，∵AB∥CD，∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，則∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，∴∠PCF＝∠PCQ＝∠FCQ＝∠EFC＝x°，則∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，∵∠ECD=70°，∴4x=70°，解得x=17.5°，∴∠CPQ=3x=52.5°；②當(dāng)點(diǎn)G、F在點(diǎn)E的左側(cè)時(shí)，反向延長(zhǎng)CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，∵∠CGF=180°-3x°，∠GCQ=70°+x°，∴180-3x=70+x，解得x=27.5，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=27.5°×2+70°=125°，∴∠PCQ＝∠FCQ＝62.5°，∴∠CPQ=∠ECP=62.5°-55°=7.5°，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．二、解答題6．（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒【分析】（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定a∥b；（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反解析：（1）平行，理由見解析；（2）65°；（3）5秒或95秒【分析】（1）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠3與∠4的補(bǔ)角相等，再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行即可判定a∥b；（2）根據(jù)入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等可得∠1=∠2，然后根據(jù)平角等于180°求出∠1的度數(shù)，再加上40°即可得解；（3）分①AB與CD在EF的兩側(cè)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等列式計(jì)算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）平行．理由如下：如圖1，∵∠3=∠4，∴∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠6，∴a∥b(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）；（2）如圖2：∵入射光線與鏡面的夾角與反射光線與鏡面的夾角相等，∴∠1=∠2，∵入射光線a與水平線OC的夾角為40°，b垂直照射到井底，∴∠1+∠2=180°-40°-90°=50°，∴∠1＝×50°=25°，∴MN與水平線的夾角為：25°+40°=65°，即MN與水平線的夾角為65°，可使反射光線b正好垂直照射到井底；（3）存在．如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠ACD=180°-65°-3t°=115°-3t°，∠BAC=105°-t°，要使AB∥CD，則∠ACD=∠BAC，即115-3t=105-t，解得t=5；如圖②，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠DCF=360°-3t°-65°=295°-3t°，∠BAC=105°-t°，要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，即295-3t=105-t，解得t=95；如圖③，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，∵∠BAF=105°，∠DCF=65°，∴∠DCF=3t°-（180°-65°+180°）=3t°-295°，∠BAC=t°-105°，要使AB∥CD，則∠DCF=∠BAC，即3t-295=t-105，解得t=95，此時(shí)t＞105，∴此情況不存在．綜上所述，t為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，光學(xué)原理，讀懂題意并熟練掌握平行線的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，（3）要注意分情況討論．7．（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫圖見解析；（4）秒，畫圖見解析【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；（2）求出∠AON=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t；（3）設(shè)∠AON=3解析：（1）10秒；（2）20秒；（3）20秒，畫圖見解析；（4）秒，畫圖見解析【分析】（1）用角的度數(shù)除以轉(zhuǎn)動(dòng)速度即可得；（2）求出∠AON=60°，結(jié)合旋轉(zhuǎn)速度可得時(shí)間t；（3）設(shè)∠AON=3t，則∠AOC=30°+6t，由題意列出方程，解方程即可；（4）根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)速度關(guān)系和OC平分∠MOB，由題意列出方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵30÷3=10，∴10秒后ON與OC重合；（2）∵M(jìn)N∥AB∴∠BOM=∠M=30°，∵∠AON+∠BOM=90°，∴∠AON=60°，∴t=60÷3=20∴經(jīng)過t秒后，MN∥AB，t=20秒．（3）如圖3所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠BOM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t，則∠AOC=30°+6t，∵OC與OM重合，∵∠AOC+∠BOC=180°，可得：（30°+6t）+（90°-3t）=180°，解得：t=20秒；即經(jīng)過20秒時(shí)間OC與OM重合；（4）如圖4所示：∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，∵三角板繞點(diǎn)O以每秒3°的速度，射線OC也繞O點(diǎn)以每秒6°的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)∠AON=3t，∠AOC=30°+6t，∵∠BOM+∠AON=90°，∴∠BOC=∠COM=∠BOM=（90°-3t），由題意得：180°-（30°+6t）=（90°-3t），解得：t=秒，即經(jīng)過秒OC平分∠MOB．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，角的計(jì)算以及方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系求出角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過點(diǎn)M作MP∥AB．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠E解析：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過點(diǎn)M作MP∥AB．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∠EMF=∠AEM+∠MFC．∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°．證明：過點(diǎn)M作MP∥AB．∵AB∥CD，∴MP∥CD．∴∠4=∠3．∵M(jìn)P∥AB，∴∠1=∠2．∵∠EMF=∠2+∠3，∴∠EMF=∠1+∠4．∴∠EMF=∠AEM+∠MFC；證明：過點(diǎn)M作MQ∥AB．∵AB∥CD，∴MQ∥CD．∴∠CFM+∠1=180°；∵M(jìn)Q∥AB，∴∠AEM+∠2=180°．∴∠CFM+∠1+∠AEM+∠2=360°．∵∠EMF=∠1+∠2，∴∠AEM+∠EMF+∠MFC=360°；（2）如圖2第一個(gè)圖：∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=180°；過點(diǎn)M作MP∥AB，過點(diǎn)N作NQ∥AB，∴∠AEM=∠1，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2+∠3=180°，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN+∠MNF=∠1+∠2+∠3+∠4，∠AEM+∠CFN=∠1+∠4，∴∠EMN+∠MNF-∠AEM-∠NFC=∠1+∠2+∠3+∠4-∠1-∠4=∠2+∠3=180°；如圖2第二個(gè)圖：∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=180°．過點(diǎn)M作MP∥AB，過點(diǎn)N作NQ∥AB，∴∠AEM+∠1=180°，∠CFN=∠4，MP∥NQ，∴∠2=∠3，∵∠EMN=∠1+∠2，∠MNF=∠3+∠4，∴∠EMN-∠MNF=∠1+∠2-∠3-∠4，∠AEM+∠CFN=180°-∠1+∠4，∴∠EMN-∠MNF+∠AEM+∠NFC=∠1+∠2-∠3-∠4+180°-∠1+∠4=180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（1）圖見解析，，理由見解析；（2），理由見解析；（3）圖見解析，或．【分析】（1）根據(jù)平行線的畫法補(bǔ)全圖形即可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可解析：（1）圖見解析，，理由見解析；（2），理由見解析；（3）圖見解析，或．【分析】（1）根據(jù)平行線的畫法補(bǔ)全圖形即可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得；（2）如圖（見解析），先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)等量代換可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得；（3）先根據(jù)點(diǎn)D的位置畫出如圖（見解析）的兩種情況，再分別利用平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角相等即可得．【詳解】（1）由題意，補(bǔ)全圖形如下：，理由如下：，，，，；（2），理由如下：如圖，延長(zhǎng)BA交DF于點(diǎn)O，，，，，；（3）由題意，有以下兩種情況：①如圖3-1，，理由如下：，，，，，由對(duì)頂角相等得：，；②如圖3-2，，理由如下：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．10．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝?b，a?b＋4＝0，解得a＝?2，b＝2，則A（?2，0），B（2，0），C（2，2），即可計(jì)算出解析：（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝?b，a?b＋4＝0，解得a＝?2，b＝2，則A（?2，0），B（2，0），C（2，2），即可計(jì)算出三角形ABC的面積＝4；（2）由于CB∥y軸，BD∥AC，則∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，過E作EF∥AC，則BD∥AC∥EF，然后利用角平分線的定義可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝×90°＝45°；（3）先根據(jù)待定系數(shù)法確定直線AC的解析式為y＝x＋1，則G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），然后利用S△PAC＝S△APG＋S△CPG進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：（1）由題意知：a＝?b，a?b＋4＝0，解得：a＝?2，b＝2，∴A（?2，0），B（2，0），C（2，2），∴S△ABC＝；（2）∵CB∥y軸，BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，過E作EF∥AC，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分別平分∠CAB，∠ODB，∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，∴∠AED＝∠1＋∠2＝×90°＝45°；（3）存在．理由如下：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），直線AC的解析式為y＝kx＋b，把A（?2，0）、C（2，2）代入得：，解得，∴直線AC的解析式為y＝x＋1，∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），∴S△PAC＝S△APG＋S△CPG＝|t?1|?2＋|t?1|?2＝4，解得t＝3或?1，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）或（0，?1）．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值、平方的非負(fù)性，平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．三、解答題11．(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，解析：(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】（1）由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角；由等角代換即可得與∠C相等的角；（2）①由三角形內(nèi)角和定理可得，再由根據(jù)角的和差計(jì)算即可得∠C的度數(shù)，進(jìn)而得∠B的度數(shù)．②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理，用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù)，分三種情況討論求出符合題意的x值即可．【詳解】（1）由翻折的性質(zhì)可得：∠E＝∠B，∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠DFE＝90°，∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，∴∠C＝∠FDE，∴AC∥DE，∴∠CAF＝∠E，∴∠CAF＝∠E＝∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E；∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴∠BAF＝∠C又AC∥DE，∴∠C＝∠CDE，∴故與∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；（2）①∵∴又∵，∴∠C＝70°，∠B＝20°;②∵∠BAD＝x°,∠B＝20°則,,由翻折可知：∵,,∴,,當(dāng)∠FDE＝∠DFE時(shí)，,解得：；當(dāng)∠FDE＝∠E時(shí)，，解得：（因?yàn)?＜x≤45，故舍去）；當(dāng)∠DFE＝∠E時(shí)，，解得：（因?yàn)?＜x≤45，故舍去）；綜上所述，存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個(gè)角相等．且．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定及其性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等角代換，解題的關(guān)鍵是熟知圖形翻折的性質(zhì)及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．12．[習(xí)題回顧]證明見解析；[變式思考]相等，證明見解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可解析：[習(xí)題回顧]證明見解析；[變式思考]相等，證明見解析；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明見解析．【分析】[習(xí)題回顧]根據(jù)同角的余角相等可證明∠B=∠ACD，再根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明；[變式思考]根據(jù)角平分線的定義和對(duì)頂角相等可得∠CAE=∠DAF、再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得出=；[探究延伸]根據(jù)角平分線的定義可得∠EAN=90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠M+∠CEF=90°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CEF=∠CFE，由此可證∠M+∠CFE=90°．【詳解】[習(xí)題回顧]證明：∵∠ACB=90°，CD是高，∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，∴∠B=∠ACD，∵AE是角平分線，∴∠CAF=∠DAF，∵∠CFE=∠CAF+∠ACD，∠CEF=∠DAF+∠B，∴∠CEF=∠CFE；[變式思考]相等，理由如下：證明：∵AF為∠BAG的角平分線，∴∠GAF=∠DAF，∵∠CAE=∠GAF，∴∠CAE=∠DAF，∵CD為AB邊上的高，∠ACB=90°,∴∠ADC=90°，∴∠ADF=∠ACE=90°，∴∠DAF+∠F=90°，∠E+∠CAE=90°，∴∠CEF=∠CFE；[探究延伸]∠M+∠CFE=90°，證明：∵C、A、G三點(diǎn)共線

AE、AN為角平分線，∴∠EAN=90°，又∵∠GAN=∠CAM，∴∠M+∠CEF=90°，∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，∴∠CEF=∠CFE，∴∠M+∠CFE=90°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，角平分線的有關(guān)證明，等角或同角的余角相等．在本題中用的比較多的是利用等角或同角的余角相等證明角相等和三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，理解并掌握是解決此題的關(guān)鍵．13．(1)3;(2)見解析;(3)見解析【詳解】分析：（1）因?yàn)椤鰾CD的高為OC，所以S△BCD=CD?OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠解析：(1)3;(2)見解析;(3)見解析【詳解】分析：（1）因?yàn)椤鰾CD的高為OC，所以S△BCD=CD?OC，（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．詳解：（1）S△BCD=CD?OC=×3×2=3．（2）如圖②，∵AC⊥BC，∴∠BCF=90°，∴∠CFE+∠CBF=90°．∵直線MN⊥直線PQ，∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°．∵BF是∠CBA的平分線，∴∠CBF=∠OBE．∵∠CEF=∠OBE，∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，∴∠CEF=∠CFE．（3）如圖③，∵直線l∥PQ，∴∠ADC=∠PAD．∵∠ADC=∠DAC∴∠CAP=2∠DAC．∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC．∵∠H+∠HCA=∠DAC，∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA∵CH是，∠ACB的平分線，∴∠ACB=2∠HCA，∴∠ABC=2∠H，∴=．點(diǎn)睛：本題主要考查垂線，角平分線和三角形面積，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)相等的角求解．14．（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OB解析：（1）100；（2）75°；（3）n=3．【分析】（1）如圖：過O作OP//MN，由MN//OP//GH得∠NAO+∠POA=180°，∠POB+∠OBH=180°，即∠NAO+∠AOB+∠OBH=360°，即可