專題56圓錐曲線綜合問題

知

考綱要求

識

梳

方法技巧

理

題型一：定點問題

題型二：定值問題

題

題型三：定線問題

型

題型四：最值問題

歸

類題型五：范圍問題

題型六：探索問題

題型七：優(yōu)化算法

題型八：非對稱韋達(dá)

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.解析幾何中的最值與范圍問題是解析幾何中的典型問題，是教學(xué)的重點也是歷年高考的熱點.

解決這類問題不僅要善于利用幾何手段對平面圖形進(jìn)行研究，而且要從代數(shù)角度進(jìn)行函數(shù)、三

角等相關(guān)運算.

2.解析幾何中的定點問題是高考考查的熱點，難度較大，是高考的壓軸題，其類型一般為直線

過定點與圓過定點等.

3.在解析幾何題目中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這類問題被稱為定值問題.定值問題是高考的熱

點問題、難度較大，一般作為壓軸題出現(xiàn).

4.解析幾何中的探究性問題，一般探究某種命題是否正確，某種位置關(guān)系是否成立等，是高考

的熱點問題，難度較大.

5.在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時，我們常聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理整體代入來解

決；但是有些情況，如有些定點、定值、定線問題，我們發(fā)現(xiàn)把韋達(dá)定理整體代入并不能完全

消除兩根，把這類問題稱之為非對稱韋達(dá)定理.

【方法技巧】

1.求解范圍、最值問題的常見方法

⑴利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系.

⑵利用已知參數(shù)的范圍，在兩個參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系.

⑶利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式.

(4)利用基本不等式.

2.動線過定點問題的兩大類型及解法

(1)動直線/過定點問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為)，=履+/,由題設(shè)條件將f用女表

示為t=mk,得y=A(x+〃z),故動直線過定點(一〃[，()).

(2)動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€。的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，

令其系數(shù)等于零，得出定點.

3.求解定值問題的兩大途徑

(1)可由特例得出一個值(此值一般就是定值)，然后證明定值：將問題轉(zhuǎn)化為證明待證式與參數(shù)

(某些變量)無關(guān).

(2)先將式子用動點坐標(biāo)或動線中的參數(shù)表示，再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正

負(fù)項抵消或分子與分母約分得定值.

4.探索性問題的求解步驟：假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法

設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，

否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.

5.焦點三角形的面積

⑴設(shè)P點是橢圓，+方=im>b>0)上異于長軸端點的任一點，F(xiàn)l,佗為其焦點，記/FIPF2

=&△PF1F2的面積記為5中尸2，則以PF]F2=〃tan專.

92

(2)設(shè)尸點是雙曲線，一方=1(〃>0,〃>0)上異于實軸端點的任一點，乃為其焦點，記NRPF2

廬

=/△PF1F2的面積記為品仍產(chǎn)2，則=—6

tan2

6.口心弦的性質(zhì)

設(shè)A,3為圓錐曲線關(guān)于原點對稱的兩點，P為該曲線上異于A,B的點、.

⑴若圓錐曲線為橢圓/+右=1(。>。>0),則kpAkpB=_添=a一1.

x2V2b2

(2)若圓錐曲線為雙曲線7—^=1(。>。，〃>0),則比戲P8=/=/-1.

7.二點弦的性質(zhì)

設(shè)圓錐曲線以M(xo,￥)(voWO)為中點的弦AB所在的直線的斜率為k.

⑴若圓錐曲線為橢圓，+>=im>b>o),則總產(chǎn)一黑，碗也”=一宗=/—1.

r2V2Irrah1

(2)若圓錐曲線為雙曲線/一層=l(a>0,Z?>0),則匕kAB'koM=~^=e2—1.

ClUCl)0Cl

(3)若圓錐曲線為拋物線)2=2pMp>0),則kAB=&

8.圓錐曲線的切線方程

設(shè)M(xo,)心)為圓錐曲線上的點，

⑴若圓稚曲線為橢用+￡=1(?>1),則橢圓在M處的切線方程為崇+爛=1.

(2)若圓錐曲線為雙曲線'一忘=1(〃>0,〃>0),則雙曲線在M處的切線方程為答一泮=1.

(3)若圓錐曲線為拋物線)2=2px(p>0),則拋物線在M處的切線方程為yoy=p(x-\-xo).

9.與拋物線的焦點弦有關(guān)的二級結(jié)論

過拋物線)，=2px(p>0)的焦點尸傾斜角為。的直線交拋物線于4。1,)，1),8(12,)，2)兩點，則(1閃12

=

V)'1)'2=—〃2；(2)兩焦半徑長為i—?os〃，｝cos(y⑶而［+麗=7(4)|A8|=si舄,SMOB

_P2

-2sinO'

二、【題型歸類】

【題型一】定點問題

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵證明見解析

進(jìn)而根據(jù)對稱性可得QN過定點.

⑴求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分析】(1)利用雙曲線的性質(zhì)及點到直線的距離計算即可;

記。為坐標(biāo)原點，連接QM,

故經(jīng)過點〃且與直線。”平行的直線與雙曲線有兩個不同交點,

【分析】（1）利用圖中的幾何關(guān)系以及拋物線的定義求解：

所以點尸到直線PQ與到直線乙的距離之比是定值，定值為3.

【點睛】解決定值問題的途徑就是用部分量去表示所求的量，本題就是利用韋達(dá)定理及其已知條件先找到

部分量之間的關(guān)系，再用部分量去表示所求的量，最后用部分量之間的關(guān)系消元，即可得到定值.

【題型三】定線問題

⑴求點尸的軌跡「的方程；

①求證：點。在一條定直線上，并求此定直線；

【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求解即可；

（2）①求出直線。N與EM方程，得到Q點坐標(biāo)，即可判定；②將面積表示出來，然后換元，利用基本

不等式求最值.

⑴求雙曲線E的方程；

【詳解】（1）解：如圖所示：

（2）解：若直線/與x軸重合，貝J直線/與雙曲線E的交點為雙曲線E的兩個頂點，不合乎題意，

【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于力（或＞）的一元二次方程，必要時計算△;

（3）列出韋達(dá)定理；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

⑴求拋物線的方程；

【題型四】最值問題

⑴求C的方程；

【分析】（1）利用橢圓的定義與性質(zhì)計算即可；

下同法一；

下同法一.

⑴化簡曲線C的方程;

【分析】（1）移項平方可化簡方程，注意變量的范圍；

⑴求直線MN的方程及拋物線C的方程；

⑵若直線/與直線關(guān)于原點對稱，。為拋物線。上一動點，求。到直線/的距離最短時，。點的坐標(biāo).

（2）由點到直線的距離公式以及二次函數(shù)求最值得出結(jié)果.

【詳解】（1）如圖，

【題型五】范圍問題

⑴求動點。的軌跡「的方程；

所以動點。的軌跡是以N為焦點，長軸長為4的橢圓，

【解析】【答案】⑴證明見解析；

【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線"的方程，與拋物線的方程聯(lián)立即可計算作答.

（2）It]（1）求出直線8C的方程并求出點P的橫坐標(biāo)與，直線A尸的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，借助直

線求出點。的橫坐標(biāo)”,再列式求出范圍作答.

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可苜先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的

最值或范圍.

【題型六】探索問題

⑴求橢圓的方程；

【分析】（1）由題意計算即可得:

⑴求K的方程；

⑵過雙曲線E的右焦點尸作互相垂直的兩條弦(斜率均存在)AB、CO.兩條弦的中點分別為，、Q,那么

直線PQ是否過定點?若不過定點，請說明原因；若過定點，請求出定點坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)焦點到漸近線距離及漸近線方程列方程組，解方程；

(2)設(shè)立線A3、8方程，分別狹立直線與雙曲線，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系得P、。坐標(biāo)，寫出直線PQ方程，

可得直線過定點.

【點睛】(1)解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去M或州建立一元二次方程，然

后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.

⑵涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為。或不存在等特殊情形.

⑴求曲線C的方程；

⑵證明見解析

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，利用拋物線的定義，即可求得曲線C的方程；

【題型七】優(yōu)化算法

【典例1】已知點M到點尸(3,0)的距離比它到直線/：x+5=()的距離小2.

(1)求點M的軌跡后的方程；

⑵過點P(〃2,0)(加＞0)作互作垂直的兩條直線八，b,它們與(1)中軌跡E分別交于點A,3及點

C,D,且G,”分別是線段A8,CO的中點，求△PGH面積的最小值.

【解析】(1)由題意知，點M到點尸(3,0)的距離與到直線匕工+3=0的距離相等，

結(jié)合拋物線的定義，可知軌跡E是以尸(3,0)為焦點，以直線匕x+3=0為準(zhǔn)線的拋物線，

則知§=3，解得〃=6,

故例的軌跡E的方程為/=12x.

(2)設(shè)A(xi,yi),B(xi,”)，

則有)彳=12幻，義=12x2,

以上兩式作差，并整理可得

y\-y212__色

xi-X2y\+y2yc

即心8=9,同理可得&7>=g,

易知直線八，/2的斜率存在且均不為0,

又由于Zi±fe,

rm,736

可行^kcD=~~=—1,

即ycyH=-36,

所以S,G〃=*PGHP“]

=18產(chǎn)6=36,

當(dāng)且僅當(dāng)I匕s|=lh?H=l時，等號成立，故△尸G"面積的最小值為36.

【典例2】設(shè)橢圓5+白=13冷°)的左、右頂點分別為A，點P在橢圓上且異于A,B兩

點，。為坐標(biāo)原點.若|AP|=|QA|,證明直線OP的斜率%滿足因動.

【證明】法一設(shè)P(〃cos0,/?sin0)(()〈興2兀)，

ab勾

son

cco2s

2、

|AP|=|QA|OAQ_LO〃O&AQXA=-1.

又4（一。，0）,

加in0

所以k,AQ=

2Q+〃COSO'

即/?sin0—akAQCOs0=2akAQ.

2aMQ=q〃+/后Qsin（。一a）,

°akAQ

tanub，

21

從而可得12aAAQ|b+a區(qū)0<0\]1+1°,

解得kAQK坐，

故國二帚祗

法二依題意，直線OP的方程為），=履,

可設(shè)點P的坐標(biāo)為（刈，AAU）.

由點尸在橢圓上，得興空=1.

因為a>b>0tkxo豐0,

9199

所以

即（1+F）高<〃2.①

由|AP|=|Q4|及人（一4,0）,

得（xo+〃）2+Irxi=cr9

整理得（1+3）焉+2oro=0,

-2a

于是xo=

4/J

代入①，得（1+））?（]+尸）

解得后>3,

所以因>#.

法三依題意，直線OP的方程為曠=丘，設(shè)點P的坐標(biāo)為（M,州）.

）To=to）,

1

消去和并整理，得看=房層?①

由|AP|=|Q4|,A(-at0)及和=履0,

得(xo+a)2+/rxi=cr,

整理得(1+F)需+2oro=0.

~2a

而xoWO,于是xo=

1+F'

代入①，整理得(1+?2=4嘴)+義

又a>b>0,

故(1+3)2>43+4,

即F+l>4,

因此后>3,所以因:5B.

【典例3】已知橢圓C\+(=1(〃泌〉0),直線/：)，=匕+小直線/與橢圓。交于M,N兩

點，與)，軸交于點P,0為坐標(biāo)原點.

(1)若々=1,且N為線段MP的中點，求橢圓。的離心率；

(2)若橢圓長軸的一個端點為。(2,0),直線QM,QN與y軸分別交于A,B兩點，當(dāng)防麗=1

時，求橢圓C的方程.

【解析】(1)由題意知直線/：y=x+〃與x軸交于點(一“，0),

，點M為橢圓。的左頂點，即M(—m0).

設(shè)乂-1。

代入橢圓c：\+M=i得(+%=1，

即觸,

b22

則/

.[2

即棚圓C的離心率。=竽.

(2)由題意得。=2,

，橢圓C：。2『+4V=4/(力>0),

戶x2+4)，2=4戶,

y=kx~\~2,

消去y得(43+/)x2+16丘+16—4Z?2=0,

〃/=16y(4七+護(hù)一4)>0,

,_16k

刀W+XN=一定壽’

16—4/

5尸定鏟

???直線QM：)，=溪qx-2),

XM乙

???A(0,-「J")

IXM-2)

2vM+2xw-4、

慶=0,

2—xw

**yM=kxM~\-2,

??yM-2=kxM,

2(Z+1)XM

即屈=0,

2—XM

2(k+1)m

同理麗=0,

2—XN

4(攵+1)2XMXN

???或諭==4-Z?2=l,

XMXN~2(XM+XN)+4

即廬=3,

???嘀圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L

5I+9J=

【題型八】非對稱韋達(dá)

【典例1】過橢圓C的左焦點R作不與x軸重合的直線MN與橢圓。相交于M,

N兩點，過點M作直線/：x=-4的垂線，垂足為￡

(1)已知直線EN過定點P,求定點P的坐標(biāo)；

(2)點O為坐標(biāo)原點，求硒面積的最大值.

【解析】⑴由題意知尸】(一1,0),設(shè)直線MN方程為x=陽一1,點M(xi,yi),Ng”)，E(-

4,yi),

—1,

E_]得⑶〃2+4))2—6"?y-9=0,則)"+)'2=3).14,①

“"=獲『②

①C：②7^\得/臼)法'1十戶――亍2機，

直設(shè)EN的方程為廠o=/+；&+4).

.巾—VI(垃+4)

令y=0,付工=—:----------4

*—yi

—VI(啊)2—1+4)

=4

?-V

—my\yi—3y\

kN'

又my\y2=-z(yi+”)，

3

-

2(yi+yz)—3y\

,,一〃y2ly2.3y?4=-

故x=1—

因此直線EN過定點0

./---；-------121加+1

(2)由|)，1一”|=4()"+")2—4州戶=3〃尸+4，

,口115ylm2+115,〃尸+1

付S△。硒=習(xí)°川四一"尸"+4=33+3+1，

令t=y]nr-\-1,1,

「15/15

則nilS^OEN=0/2I1=7

J廠3r+y

在［1,+8)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，=1時，△0EN的面積取得最大值，為竽.

故△0E7V面積的最大值為爭

【典例2】已知橢圓C：卷+9=1的左、右頂點分別為A，B,右焦點為R過點尸的直線/

與橢圓交于P,。(點尸在x軸.上方)，設(shè)直線AP,8Q的斜率分別為心，依，是否存在常數(shù)九

使得h+2依=0?若存在，請求出2的值；若不存在，請說明理由.

【解析】由題意知F(2,0),設(shè)尸。的直線方程為x=,叫+2,尸5,yi)f。(檢，”)，

,92

由產(chǎn)f

/=〃2y+2,

得(9+5/n2)^+20/72y—25=0,

.一20m-25

則M1…=而薩X布.

1=900(m?+1)＞。恒成立.

直愛AP,4。的斜率分別為k,瓦，

貝k'=一上可，ki———T.

xi十3X2—3

假沒存在九滿足心+g=0,

即k\=-2%2,則占=一尢

力)“X2—3

灼XI+3,.Y2

『13g-1))〃)'iy2—yi

72(1+5)/nyiy2+5y2,

法一(雙參變單參)

(,-20m

v+”=而裾,

-25

儼"=93M

J,l+"4加

侍V”—5

(戶+戶)

所以myiy2=

5()”+)一)

myiyz_yi_________4

機5()”+丁2)

卜5y

4

yi+5y21.1,I

而百予『=』予為定值.

毆1”-y

法二（和積轉(zhuǎn)化法）"①)，2+5)'2

〃7),])，2—(yi+?)+理

加)”>2+5)，2

-25加」—20，？」_—5m_

9+5加+9+5病+戶9+5加之土L產(chǎn)

—25〃?—25m

9+5〉+5"9+5/n2+5y2

%為定值.

法三(第三定義法)由4—3,0),僅3,0),得如上心=一^.

-A-1IJ“IID

又P在卷+弓=1上,得,+[=1,

即"=5。_￡)=1(9V

)彳1(9-XT)

故故々片/=5_9

5

-

9

k\yi12-35XL3x2-35(刀小一1)(〃叩一1)

上-Xl+3V29'VI.V29,yiy2

5wyiy2-m(yi4-yz)

yip

5

-4，"29+5〃/

-.二—為定值.

92547??

法四（極點、極線法）

由卞+方=1得/點對應(yīng)的極線為9=1,即x=3，令A(yù)PG3Q=Mg,〃，，由4"=的人=去,

~2

【典例3】在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知離心率為g的橢圓C：，+方=1(〃>/>0)的左、右頂

點分別是A,B,過右焦點F的動直線I與橢圓C交于M,N兩點，△ABM的面積最大值為2小.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線AM與定直線x=f(f>2)交于點。記直線7KAM,8N的斜率分別是Q,k\,七,若

h,ka,匕成等差數(shù)列，求實數(shù)，的值.

【解析】(1)設(shè)橢圓。的半焦距為。，

C—

意

依題-①

-一

〃2*

大、ABM的面積最大值為2小，

所以/2?！?2小，即。/?=2小，②

又/—序=/,(3)

聯(lián)立①②③，得"2=4,〃=3,/=1,

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+]=1.

(2)設(shè)直線/：x=/〃)，+l,M(x\,y\)9Ng*),

x=my-\-1,

聯(lián)立方程組/,y2

[V

整理得(3加2+4))2+6tny—9=0,

所以"+”=一儡？

9

故〃2yly2=5。'1+)'2).

(f+2)

易潺直線AM：>=一=(工+2)與直線x=Z相交于7p,

人1I4\xi+2j

因為玄，ko,女2成等差數(shù)列,

所以2h=k+依，

(/+2)產(chǎn)

xi+2VIV2

即2」

xi+2X2-2'

所以三

t-1y\\X2-2)

)2(毆1+3)陽1*+3)；2

yiCmy2-1)rny\y2-y\

3

-

2

進(jìn)而解得/=4,

所以實數(shù)/的值為4.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

⑴求證：〃他為常數(shù)；

【解析】【答案】⑴證明見解析

所以占取為常數(shù)1；

【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)兒何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立.目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的

最值或范圍.

⑴求橢圓。的方程：

⑴求雙曲線的離心率J

【解析】【答案】⑴石

【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交同題的基本步驟如下：

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于1（或y）的一元二次方程，必要時沖算△；

（3）列出韋達(dá)定理；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

⑴記折痕與ME的交點P的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；

所以尸點軌跡是以歹，E為焦點，4為長軸長的橢圓，

⑴證明：點M到C的兩條漸近線的距離之積為定值；

【解析】【答案】⑴證明見解析

所以點M到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為定值.

【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

Q

【解析】【答案】⑴-%

仿上，直線方程代入雙曲線方程整理得：

四、【強化測試】

【單選題】

A.4B.2x/3C.3D.2

【解析】【答案】c

故選：c

A.近c6D.)

B.：V?----

3224

【解析】【答案】c

【分析】利用橢圓與圓的性質(zhì)計算即可.

故選：c

A.2新B.3石C.46D.5x/2

【解析】【答案】C

即直線OM斜率的最小值是.

故選:C

1

A.—B.73C.—D.3

33

【解析】【答案】D

故選：D

【解析】【答案】A

故選:A.

【解析】【答案】B

故選：B.

A.1B.0C.-1D.不確定值

【解析】【答案】B

所以。、P,。三點共線.

因為。、尸、。三點共線，

故選:B.

【解析】【答案】C

故選:C.

【多選題】

A.點。在直線/1B上投影的軌跡為圓

【解析】【答案】ABC

綜上可知為定值故M點的軌跡為以。為圓心以如為半徑的圓，故A止確；

33

選項B：由A選項知點。到直線AB的最小距離為四,

3

0D即為0W,故0Q的最小值為半，故B正確；

D選項：當(dāng)直線48斜率不存在時，根據(jù)橢圓的對稱性，

故選:ABC

【解析】【答案】ABD

對FC選項，延長￡〃，與人用的延長線交于點E，則A〃垂直平分”￡，即點〃為大上的中點,乂0是3

的中點,

對于D選項，

故選：ABD.

B.”的縱坐標(biāo)是定值

【解析】【答案】BCD

故選：BCD

【解析】【答案】ABC

【分析】根據(jù)面積公式結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立等式，化簡求出?，&為定值，可判斷A,根據(jù)直線斜率之

間關(guān)系得到直線之間的關(guān)系可判斷B,根據(jù)三角形面積公式即可判斷C,D.

設(shè)。到直線。尸的距離為d,

因為點P在第一