第頁4.1指數(shù)【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、整數(shù)指數(shù)冪的概念及運(yùn)算性質(zhì)1、整數(shù)指數(shù)冪的概念2、運(yùn)算法則（1）；（2）；（3）；（4）．知識點(diǎn)二、根式的概念和運(yùn)算法則1、次方根的定義：若，則稱為的次方根．為奇數(shù)時，正數(shù)的奇次方根有一個，是正數(shù)，記為；負(fù)數(shù)的奇次方根有一個，是負(fù)數(shù)，記為；露的奇次方根為零，記為．為偶數(shù)時，正數(shù)的偶次方根有兩個，記為；負(fù)數(shù)沒有偶次方根；零的偶次方根為零，記為．2、兩個等式（1）當(dāng)且時，；（2）知識點(diǎn)詮釋：①要注意上述等式在形式上的聯(lián)系與區(qū)別；②計算根式的結(jié)果關(guān)鍵取決于根指數(shù)的取值，尤其當(dāng)根指數(shù)取偶數(shù)時，開方后的結(jié)果必為非負(fù)數(shù)，可先寫成的形式，這樣能避免出現(xiàn)錯誤．知識點(diǎn)三、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算法則為避免討論，我們約定，，，且為既約分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可如下定義：知識點(diǎn)四、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算1、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（1）（2）（3）當(dāng)，為無理數(shù)時，是一個確定的實數(shù)，上述有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)仍適用．知識點(diǎn)詮釋：（1）根式問題常利用指數(shù)冪的意義與運(yùn)算性質(zhì)，將根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪運(yùn)算；（2）根式運(yùn)算中常出現(xiàn)乘方與開方并存，要注意兩者的順序何時可以交換、何時不能交換．如；（3）冪指數(shù)不能隨便約分．如．2、指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟有括號先算括號里的；無括號先做指數(shù)運(yùn)算．負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)．在化簡運(yùn)算中，也要注意公式：，，，，的運(yùn)用，能夠簡化運(yùn)算．知識點(diǎn)五、無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪（，為無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪．【注意】（1）對于無理數(shù)指數(shù)冪，我們只需要了解兩點(diǎn)：①它是一個確定的實數(shù)；②它是有理數(shù)指數(shù)冪無限逼近的結(jié)果．（2）定義了無理數(shù)指數(shù)冪之后，冪的指數(shù)就由原來的有理數(shù)范圍擴(kuò)充到了實數(shù)范圍．知識點(diǎn)六、實數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)①．②．③．【題型歸納目錄】題型一：由根式的意義求范圍題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值題型三：有限制條件的根式的化簡題型四：根式與指數(shù)冪的互化題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪【典型例題】題型一：由根式的意義求范圍例1．若有意義，則的取值范圍是（

）A．B．∪C．D．【答案】D【解析】因為，則，解得.故選：D.例2．若有意義，則是（

）A．正偶數(shù)B．正整數(shù)C．正奇數(shù)D．整數(shù)【答案】C【解析】被開方數(shù)為負(fù)數(shù)時只能開奇數(shù)次方，所以n為正奇數(shù)，故選：C.例3．若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可得，即．實數(shù)的取值范圍是．故選：．變式1．若要使有意義，則取值范圍是_______.【答案】【解析】∵，要使有意義，則，即，∴.故答案為：.變式2．若有意義，則實數(shù)的取值范圍為______________【答案】【解析】由，要使得有意義，則滿足，解得，故答案為：．變式3．若代數(shù)式有意義，則______．【答案】8【解析】因為有意義，所以，解得，故．故答案為：8【方法技巧與總結(jié)】使根式有意義題型二：利用根式的性質(zhì)化簡或求值例4．若，則的值為（）A．－1B．0C．1D．2【答案】C【解析】因為，所以.故選：C例5．下列各式中成立的一項是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D錯誤.故選：C例6．=__________.【答案】【解析】當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.故答案為：變式4．計算：(1)；(2)．【解析】（1）；（2）=0【方法技巧與總結(jié)】此類問題應(yīng)熟練應(yīng)用．當(dāng)所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數(shù)，由里向外或由外向里，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出，然后再用性質(zhì)進(jìn)行化簡．題型三：有限制條件的根式的化簡例7．求使等式成立的實數(shù)a的取值范圍.【解析】，要使|成立，需解得a∈[-3，3]．例8．已知，化簡：______．【答案】【解析】，因為，，所以，所以．故答案為：.變式6．若滿足關(guān)系+=+，則的值為_______________．【答案】21【解析】由題意得：，則，∴x＋y＝19，∴＋＝0，則3x＋5y?2?m＝0①，2x＋3y?m＝0②，①?②得：x＋2y?2＝0，∵x＝19－y，∴y＝?17，∴x＝36，∴，∴m＝21．故答案為：21．【方法技巧與總結(jié)】對于多重根式的化簡，一般是設(shè)法將被開方數(shù)化成完全次方，再解答，或者用整體思想來解題．化簡分母含有根式的式子時，將分子、分母同乘以分母的有理化因式即可題型四：根式與指數(shù)冪的互化例10．已知，為正數(shù)，化簡_______．【答案】【解析】原式．故答案為：．例11．（多選）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．B．C．D．【答案】CD【解析】，而，故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：CD.變式7．式子的計算結(jié)果為（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）運(yùn)算順序（能否應(yīng)用公式）；（2）指數(shù)為負(fù)先化正；（3）根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪．題型五：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值例13．化簡的結(jié)果為（

）A．B．C．1D．【答案】C【解析】故選：C例15．（1）計算：（2）化簡：【解析】（1）．（2）變式9．化簡下列各式：(1)；(2)．【解析】(1)．(2)．【方法技巧與總結(jié)】根式的化簡結(jié)果應(yīng)寫為最簡根式．（1）被開方數(shù)的指數(shù)與根指數(shù)互質(zhì)；（2）被開方數(shù)分母為1，且不含非正整數(shù)指數(shù)冪；（3）被開方數(shù)的每個因數(shù)的指數(shù)小于根指數(shù)．題型六：整體代換法求分?jǐn)?shù)指數(shù)冪例16．已知，則__________.【答案】【解析】因為，所以，即所以，故答案為：例17．若，，則________．【答案】【解析】．故答案為:.變式11．（1）已知，化簡.（2）設(shè)，，，求的值.【解析】（1）由，得，∴.（2）令，，則，，，.∴.變式13．已知，且，求下列代數(shù)式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）【解析】（1）因為，且，所以..（2）.（3）.變式14．（1）已知，計算：；（2）設(shè)，，求的值．【解析】（1）因為，所以，所以，所以，

所以，即，所以，所以．（2）因為，所以，即．又，所以，即，由，解得，故的值為27．變式15．已知，，，且，則______．【答案】4【解析】因為，，所以兩式相乘得，則．將代入，得，所以．故答案為：4變式16．已知，則______．【答案】3【解析】由，可得，，．故答案為：3【方法技巧與總結(jié)】對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值．對冪值的計算，一般應(yīng)盡可能把冪化為底數(shù)是質(zhì)數(shù)的指數(shù)冪，再考慮同底冪的運(yùn)算法則以及乘法公式．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·四川·成都市郫都區(qū)川科外國語學(xué)校高一開學(xué)考試）下列運(yùn)算正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤，故選：C2．下列運(yùn)算中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，所以，錯誤；對于B，因為，所以，則，錯誤；對于C，，正確；對于D，，錯誤．故選：C．3．設(shè)a，b為正實數(shù)，，，則（

）A．1B．3C．9D．27【答案】C【解析】因為，所以，即，∴，，∴，故選：C．4．（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】原式，故選：C．5．已知，則化為（

）A．B．C．mD．1【答案】C【解析】，.故選：C．6．下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】對A：，故選項A錯誤；對B：，故選項B正確；對C：，不能化簡為，故選項C錯誤；對D：因為，所以，故選項D錯誤.故選：B.7．若，且，則的值為（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，即，又，且，所以.故選：A.8．已知，則下列運(yùn)算中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】A選項：，∴，又，∴，∴，故A錯誤；B選項：，∴，故B正確；C選項：，，，，，故C錯誤；D選項：，故D錯誤，故選：B.二、多選題9．下列等式中，不正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】對于A，，

故A不正確；對于B，

，故B不正確；對于C，

中，故C不正確；對于D，

，故D正確．故選：ABC11．下列運(yùn)算（化簡）中正確的有（

）．A．B．C．D．【答案】ABD【解析】對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：ABD12．下列命題中正確的結(jié)論的為（

）A．的結(jié)果為-9B．若，則C．若，那么等于8.D．設(shè)，，則【答案】BCD【解析】A：，錯誤；B：，即，而，正確；C：令，則，故，正確；D：由題設(shè)，其中，故其中元素與相同，有，正確.故選：BCD三、填空題13．計算：___________________．【答案】【解析】原式=.故答案為：14．已知，則______.【答案】【解析】.故答案為：.15．化簡___________.【答案】【解析】故答案為：四、解答題19．閱讀材料，解決問題：化簡：．由于題目沒有給出x的取值范圍，所以要分類討論，．令，，令，得；∴的零點(diǎn)值為3，的零點(diǎn)值為，在數(shù)軸上標(biāo)出3和的點(diǎn)，數(shù)軸被分成三段，即，，；當(dāng)時，原式；當(dāng)時，原式=5；當(dāng)時，原式．(1)求和的零點(diǎn)值；(2)化簡：．(3)求方程：的整數(shù)解．【解析】（1）可令和，解得和，∴，分別為和的零點(diǎn)值．（2）當(dāng)時，，原式當(dāng)時