必刷小題5導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(分值：73分)一、單項選擇題(每小題5分，共40分)1.下列求導(dǎo)運算結(jié)果正確的是()A.x+1xB.(xlnx)'=lnx+1C.(sinπ)'=cosπD.exx'2.(2025·永州模擬)已知函數(shù)f(x)=1x+alnx在點(1，f(1))處的切線方程為xy=0，則a等于(A.1e C.e D.23.函數(shù)y=12x2lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為(A.(0，e) B.(0，1)C.[1，+∞) D.(0，+∞)4.已知函數(shù)y=f(x)的大致圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)大致的圖象可能是()5.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種液體材料.瓶子的制造成本是0.1πr4分，其中r(單位：cm)是瓶子的半徑.已知每售出1mL的液體材料，制造商可獲利0.3分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為8cm，則當(dāng)每瓶液體材料的利潤最大時，瓶子的半徑為()A.3cm B.4cm C.5cm D.6cm6.(2025·武漢模擬)若函數(shù)f(x)=lnx+ax22，x∈12，2存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是A.(2，+∞) B.-C.-2，-18 D.[27.(2024·重慶模擬)已知曲線C1：f(x)=ex+a和曲線C2：g(x)=ln(x+b)+a2(a，b∈R)，若存在斜率為1的直線與C1，C2同時相切，則b的取值范圍是()A.-94，+∞ B.C.(∞，1] D.-8.已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(∞，0)上單調(diào)遞減，若a=f(ln1.04)，b=f(1.04)，c=f(e0.04)，則()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b二、多項選擇題(每小題6分，共18分)9.下列說法中正確的有()A.(sin2x)'=cos2xB.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f'(1)=1，則limΔC.一質(zhì)點A沿直線運動，位移s(單位：m)與時間t(單位：s)之間的關(guān)系為s(t)=t2+1，則該質(zhì)點在t=2s時的瞬時速度是4m/sD.若h(x)=f(x)·g(x)，則h'(x)=f'(x)·g'(x)10.已知f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x>0時，有f(x)xf'(x)>0恒成立，則下列不等式一定成立的是()A.f12>2f14 B.f12C.f12>2f(1) D.2f12>11.已知函數(shù)f(x)=x3+3x1，則()A.f(x)在x=1處取得極小值B.f(x)有3個零點C.f(x)在區(qū)間(2，2)上的值域為(3，1)D.函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(0，1)三、填空題(每小題5分，共15分)12.函數(shù)f(x)=12xcosx，x∈-π213.已知函數(shù)f(x)=aexx2有兩個極值點，則a的取值范圍為.

14.定義：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上存在x1，x2(a<x1<x2<b)，滿足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a，則稱函數(shù)f(x)是[a，b]上的“雙中值函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=13x3x2+a是[0，

答案精析1.B[對于A，x＋1x'＝1－1對于B，(xlnx)'＝x'lnx＋(lnx)'x＝lnx＋1x·x＝lnx＋1故B正確；對于C，(sinπ)'＝0，故C錯誤；對于D，exx'＝(ex)2.D[因為f(x)＝1x＋alnx則f'(x)＝ax因為函數(shù)f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為x－y＝0，則f'(1)＝a－1＝1，解得a＝2，符合題意.因此a＝2.]3.B[由題意知，x>0，y'＝x－1x令y'<0，得0<x<1，所以其單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1).]4.A[由圖可知，當(dāng)x>0時，f(x)單調(diào)遞減，則f'(x)<0，由此排除B，D選項；當(dāng)x<0時，從左向右，f(x)先單調(diào)遞增再單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的符號為＋，－，＋，由此排除C選項，所以A選項正確.]5.A[依題意知，每瓶液體材料的利潤f(r)＝0.3×43πr3－0.1πr＝0.1π(4r3－r4)，0<r≤8，則f'(r)＝0.4πr2(3－r)，令f'(r)＝0，得r＝3，當(dāng)r∈(0，3)時，f'(r)>0，當(dāng)r∈(3，8]時，f'(r)<0，因此函數(shù)f(r)在(0，3)上單調(diào)遞增，在(3，8]上單調(diào)遞減，即當(dāng)r＝3時，f(r)取最大值，所以當(dāng)每瓶液體材料的利潤最大時，r＝3.]6.A[易知f(x)的定義域為12，2，f'(x)＝1x若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則f'(x)>0在12故a>－12x2令g(x)＝－12而g(x)＝－12x2在12，2上單調(diào)遞增，g(x)故a>－2.]7.D[f'(x)＝ex，g'(x)＝1x設(shè)斜率為1的切線在C1，C2上的切點橫坐標(biāo)分別為x1，x2，由題知ex1＝∴x1＝0，x2＝1－b，則f(0)＝1＋a，g(1－b)＝a2，則兩點處的切線方程分別為y－(1＋a)＝x和y－a2＝x－(1－b)，故a＋1＝a2－1＋b，即b＝2＋a－a2＝－a-1228.A[因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，ln1.04<lne＝1<1.04，即ln1.04<1.04；令h(x)＝ex－(x＋1)，當(dāng)x>0時，h'(x)＝ex－1>0，則h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以h(0.04)＝e0.04－(0.04＋1)＝e0.04－1.04>h(0)＝0，即e0.04>1.04，所以e0.04>1.04>ln1.04.而f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故有f(ln1.04)<f(1.04)<f(e0.04)，即a<b<c.]9.BC[對于A選項，(sin2x)'＝2cos2x，故A錯誤；對于B選項，由導(dǎo)函數(shù)定義可知limΔx→0f(1＋Δ故B正確；對于C選項，s'(t)＝2t，故s'(2)＝4，故該質(zhì)點在t＝2s時的瞬時速度是4m/s，故C正確；對于D選項，若h(x)＝f(x)·g(x)，則h'(x)＝f'(x)·g(x)＋f(x)·g'(x)，故D錯誤.]10.BD[構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(其中x>0，則g'(x)＝xf'(x所以函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，對于A，B選項，g12<g1即2f12<4f1可得f12<2f14，A錯，對于C，D選項，g12>g(1)即2f12>f(1)，D對，C無法判斷.11.ABD[由f'(x)＝－3x2＋3，令f'(x)>0，解得－1<x<1；令f'(x)<0，解得x<－1或x>1，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，1)上單調(diào)遞增，所以f(x)在x＝－1處取得極小值，故A正確；又f(－2)＝1，f(－1)＝－3，f(1)＝1，f(2)＝－3，所以f(－2)·f(－1)<0，所以函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上有且僅有一個零點，同理函數(shù)f(x)在(－1，1)上有且僅有一個零點，在(1，＋∞)上有且僅有一個零點，即函數(shù)f(x)共有3個零點，故B正確；由前面得f(x)在(－2，2)上的值域為[－3，1]，故C錯誤；設(shè)g(x)＝－x3＋3x，x∈R，g(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝x3－3x＝－g(x)，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(0，0)對稱，又f(x)＝－x3＋3x－1的圖象是由g(x)的圖象向下平移1個單位長度得到的，所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為點(0，－1)，故D正確.]12.-解析因為f(x)＝12x－cosxx∈-π所以f'(x)＝12＋sinx令f'(x)＝0，得x＝－π6又f-π6＝－f-π2＝－π4，從而f(x)max＝fπ2f(x)min＝f-π6＝－所以函數(shù)f(x)＝12x－cosxx∈-π2，13.0解析f'(x)＝aex－2x，f(x)有兩個極值點等價于f'(x)有兩個變號零點，令f'(x)＝aex－2x＝0，有a＝2x令g(x)＝2xex，則g'(x)當(dāng)x>1時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x<1時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時，g(x)取得極大值也是最大值，為g(1)＝2e當(dāng)x→－∞時，g(x)→－∞，當(dāng)x→＋∞時，g(x)→0，函數(shù)g(x)的大致圖象如圖所示