第3章位置與坐標(biāo)(培優(yōu)篇)

一、單選題(本大題共10小題，每小題3分，共30分)

1.已知點A(l,2〃1),B(a,a3),若線段A8//x軸，則三角形AO8的面積為()

A.21B.28C.14D.10.5

2.已知點P(x,>')到工釉的距離為2,至仃軸的距離為3,且x+.v>0,xv<0,則點P

的坐標(biāo)為()

A.(-2,3)B.(2,3)C.(3,-2)D.(3,2)

4.對平面上任意一點(a,b),定義f,g兩種變換：f(a,b)=(-a,b),如f(1，2)=

(7,2)；g(a,b)=(b,a),如g(l,2)=(2,1),捱此得g[f(5,-9)]=()

A.(5,-9)B.(-5,-9)C.(-9,-5)D.(-9,5)

5.在平面育角坐標(biāo)系Mb中，點A(0,2),B(a,0),C(加，〃)，其中〃?

?>0,若△ABC是等腰直角三角形，且A8=8C,則機的取值范圍是()

A.0</n<2B.2<m<3C.m<3D.in>3

6.已知點4(34，2b)在工軸上方，在y軸左側(cè)，則點4到x軸、)，的距離分別為()

A.3a,2bB.3〃，lbC.2b,3aD.2b,3a

A.8B.9C.12D.11

8.如圖，點P從(0,2)出發(fā)，沿所示的方向運動，每當(dāng)碰到矩形的邊時反彈，反彈

時反射角等于入射角，當(dāng)點P第2019次碰到矩形的邊時點尸的坐標(biāo)為()

A.(2,4)B.(2,0)C.(8,2)D.(6,0)

9.如圖，點M在等邊△ABC的邊8C上，8M=8,射線COJ_8C垂足為點C,點P是

射線C。上一動點，點N是線段48上一動點，當(dāng)MP+NP的值最小時，BN=9,則AC的長

為()

C.13D.10

二、填空題(本大題共8小題，每小題4分，共32分)

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，已知aOAB是等腰直角三角形，且NOAB

=90。，若點A的坐標(biāo)(3,1),則點B的坐標(biāo)為.

13.A,B,C三點是同一個平面直角坐標(biāo)系內(nèi)不同的三點，A點在坐標(biāo)軸上，點4向

上平移三個單位長度，再向左平移4個單位長度就到了B點；直線BC//y軸，且B和C

點到X軸的距離相等；C點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；則4點的坐標(biāo)是.

14.已知點M在y軸上，點P(3,2),若線段MP的長為5,則點M的坐標(biāo)是.

15.如圖，aABC中，點A(0,1)，點C(4,3),如果要使AABD與aABC全等，

那么符合條件的點D的坐標(biāo)為.

18.如圖，題型ABCD中，AD〃BC,AD=CD=AB=2,ZB=60°,AHJ_BC于點H,

且AH=6,直線MN是梯形的對稱軸，P為直線MN上的?動點，則PC+PD的最小值為

三、解答題(本大題共6小題，共58分)

19.(8分)如圖所示，一束光線從y軸上的點A(0,1)出發(fā)，經(jīng)過x軸上的點C反射

后經(jīng)過點B(3,3),求光線從點A到點B經(jīng)過的路徑長.

（1）求4、byC的值;

（2）如果在第二象限內(nèi)有一點P（〃?，y）,請用含m的式子表示四邊形A800的面積；

（3）在（2）的條件下，是否存在點P,使四邊形A30P的面積為△ABC的面積相等？

若存在，求出點夕的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

24.（12分）已知，滿足4C=A8,NABC=90。，A點在x軸的負(fù)半軸上，直角

頂點B在），軸上，點C在x軸上方.

（1）如圖1所示，若4的坐標(biāo)是（-3,0）,點B與原點重合，則點C的坐標(biāo)是_________；

（2）如圖2,過點C作CO_Ly軸于。，請判斷線段04、OD、C。之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由；

（3）如圖3,若x軸恰好平分/84C,8C與x軸交于點E,過點。作CALx軸于點憶

問。?與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

參考答案

1.D

【分析】根據(jù)線段AB〃x軸求得a的值后即可確定點A和點B的坐標(biāo)，從而求得線段

AB的長，利用三角形的面枳公式求得三角形的面枳即nJ.

解：?.,AB〃x軸，/.2a+l=a3.解得a=4.

???A(1,7),B(4,7).

AAB=3.

過點O作OC_LAB交BA的延長線于點C,

故答案為：D.

【點撥】本題目考查了點與坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)AB〃x軸求得a的值是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】由點P(x,)，)到X軸距離為2,到丫軸距離為3,可得x,y的可能的值，由

A+y>0,xy<0,可得兩數(shù)異號，且正數(shù)的絕對值較大；根據(jù)前面得到的結(jié)論即可判斷點P

的坐標(biāo).

解：???點尸(x,。到X軸距離為2,到)，軸距離為3,

???k|=3,M=2,

；?x=±3,1y=±2；

Vx4-y>0,盯VO,

，x=3,>'=-2,

???P的坐標(biāo)為(3,-2),

故選：C.

【點撥】此題考查直角坐標(biāo)系中點到坐標(biāo)軸的距離與坐標(biāo)的關(guān)系，有理數(shù)加法乘法法則，

正確掌握有理數(shù)的加法乘法法則是解題的關(guān)鍵.

3.D

【分析】根據(jù)點到兩坐標(biāo)軸的距離相等列出絕對值方程，然后求解即可.

故選：。.

【點撥】本潁考杳了點的坐標(biāo)的表示，依據(jù)撅意列由絕對信方程是解題的關(guān)犍,辯點在

于絕對值方程的求解.

4.C

【分析】根據(jù)f，g詼種變換的定義自內(nèi)而外進行解答即可.

解：由題意得，f(5,-9)]=(-5,-9),

Ag[f(5,-9)]=g(-5,-9)=(-9,-5),

故選：C.

【點撥】本題考杳了新定義坐標(biāo)變換，根據(jù)題意、弄懂兩種變換的方法是解答本題的關(guān)

鍵.

5.B

【分析】過點。作CDLr軸于。，由‘MAS'可證△人08g力C,可得人0=4。=2,

BO=CD=n=a,即可求解.

解：如圖，過點C作。。_1_人軸丁D,

?"0=2,

???△ABC是等腰直角三角形，RAB=BC,

???ZABC=9()0=ZAOB=NBDC,

???ZABO+ZCBD=90°

ZABO+ZBAO=9()°,

:?NBAO=NCBD,

在△4。8和4BOC中，

A(A4S),

；?AO=BD=2,BO=CD=n=a,

AO<?<1,

???OD=O13+13D=2+a=m,

：.2<m<3,

故選：B.

【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、不等式和坐標(biāo)

等知識，解題關(guān)鍵是樹立數(shù)形結(jié)合思想，把坐標(biāo)與線段長聯(lián)系起來，確定取值范圍.

6.C

【分析】應(yīng)先判斷出點A的橫縱坐標(biāo)的符號，進而判斷點A到x軸、y軸的距離.

解：???點A(3a,2b)在x軸上方，

???點A的縱坐標(biāo)大于0,得到2b>0,

，點A到x軸的距離是2b；

???點A(3a,2b)在y軸的左邊，

點A的橫坐標(biāo)小于0,即3a<0,

???點A到y(tǒng)軸的距離是3a；

故答案為C.

【點撥】本題主要考查點的坐標(biāo)的幾何意義，到x軸的距離就是縱坐標(biāo)的絕對值，到y(tǒng)

軸的距離就是橫坐標(biāo)的絕對值.

7.C

【分析】利用中點坐標(biāo)公式，構(gòu)建方程求出a,b的值即可.

解：如圖，連接AC、BD交于點F,

11y

,:四邊形ABCD是平行四邊形，

.\AF=CF,BF=DF,

故選：C.

【點撥】本題考查的知識點是坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識

點是解此題的關(guān)鍵.

8.C

【分析】動點的反彈與光的反射入射是一個道理，根據(jù)反射角與入射角的定義可以在格

點中作出圖形，可以發(fā)現(xiàn)，在經(jīng)過6次反射后，動點回到起始的位置，將2019除以6得到

336,且余數(shù)為3,說明點P第2019次碰到矩形的邊時為第337個循環(huán)組的第3次反彈，因

此點P的坐標(biāo)為（8,2）.

解：如圖，根據(jù)反射由與入射角的定義作山圖形,

笫6次反彈時回到出發(fā)點，每6次碰到矩形的邊為一個循環(huán)組依次循環(huán)，

72019-6=336……3,

???點P第2019次碰到矩形的邊時是第336個循環(huán)組的第3次碰邊，坐標(biāo)為(8,2).

故選C.

【點撥】本題主要考查了點的坐標(biāo)的規(guī)律，作出圖形，觀察出每6次反彈為一個循環(huán)組

依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵.

9.C

解：如圖：

【點撥】本題考查軸對稱中的最短路徑問題、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì),

正確作圖是關(guān)鍵.

10.C

【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)求得點。的坐標(biāo)，然后根據(jù)軸對稱變換和軸對稱變

換的性質(zhì)求得第一次變換，第二次變換，第三次變換后點。的坐標(biāo)，按此找出規(guī)律即可求

解.

>1

由題意得,

故選：C

【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化一翻折變換與平移變換，讀懂題意，找出變化規(guī)

律是解題的關(guān)鍵.

11.(2,4)或(4,-2)

【分析】分兩種情況討論:當(dāng)點B在第一象限時，過A作AC±x軸于C,過B作BD1AC

于D；當(dāng)點B在第四象限時，過A作AE_Ly軸于E,過B作B，F(xiàn)_LAE于F,分別依據(jù)全等

三角形的對應(yīng)邊相等，即可得到點B的坐標(biāo).

解：如圖，當(dāng)點B在第一象限時，過A作ACJ_x軸于C,過B作BDLAC于D,則

易得AABD與ZSOAC(AAS),

.\AC=BD=1,AD=0C=3,

AB(2,4)；

當(dāng)點B在第四象限時，過A作AE_Ly軸于E,過B作BF_LAE于F,則OE=1,

AE=3,

易得aAOEg/XBAF(AAS),

.\Ab=OE=l,Bb=AE=3,

AB'(4,2),

故答案為（2,4）或（4,2）.

【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形等知

識點，畫出圖形，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解此題的關(guān)鍵.

由題意，分以下兩種情況：

【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論

是解題關(guān)鍵.

13.（7,0）或（0,7）

【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（a,a）,根據(jù)題意和平移逆向推出B、A的坐標(biāo)，然后討論A

點在哪個坐標(biāo)軸上，即可完成解答.

解：設(shè)C點坐標(biāo)為（a,a）,則B的坐標(biāo)為（a,a）,A點坐標(biāo)為（a+4,a3）；

當(dāng)A在x軸上，即a3=0,即a=3,則坐標(biāo)為（7,0）

當(dāng)A在y軸上，即a+4=0,即a=4,則坐標(biāo)為（0,7）

綜上，本題答案為：（7,0）或（0,7）

【點撥】本題考查了平移的知識，解答的關(guān)鍵逆向平移和對A點位置的分類討論.

14.（0,2）或（0,6）

【分析】如圖，以點P為圓心，5為半徑畫弧，交y軸于Mi、M2兩點，過P點作y軸

的垂線，垂足為N,在RtzsPMiN和RQPM2N中，由勾段定理得MIN=M2N=4,再由N（0,

2）即可得點M的坐標(biāo).

解：如圖，以點P為圓心，5為半徑畫弧，交y軸于Mi、M2兩點，過P點作y軸的垂

線，垂足為N.

AM(0,2)或(0,6).

故答案為：(0,2)或(0,6).

【點撥】解決本題的基本思路是先確定點M的位置，再用勾股定理計算各線段的長度，

再確定M點坐標(biāo).

【點撥】本題主要考查坐標(biāo)與圖形及三角形全等的判定，綜合性較強，分情況討論是解

決本題的關(guān)鍵.

17.2

【分析】根據(jù)等腰宜角三角形的性質(zhì)，可得AP與BC的關(guān)系，根據(jù)垂線的性質(zhì)，可得

答案

解：如圖：作軸于點P,由余角的性質(zhì)，得/OBA=NPAC,

在RIAOBA和RIAPAC中，

1<(△OBA^RIAPAC(AAS),

.\AP=OB=b,PC=OA=a.

由線段的和差，得OP=OA+AP=a+b,即C點坐標(biāo)是（a+b,a）,

a+b=2.

故答案為2.

【點撥】本題解題主要①利用了等腰直角三角形的性質(zhì)；②利用了全等三角形的判定與

性質(zhì)；③利用了線段中點的性質(zhì).

18.2>/3

解：連接AC交直線MN于P點，P點即為所求.

???直線MN為梯形ABCD的對稱軸，

AAP=DP,

???當(dāng)A、P、C三點位于一條直線時，PC+PD=AC,為最小值,

VAD=DC=AB,AD//BC,

.*.ZDCB=ZB=60°,

VAD//BC,

AZACB=ZDAC,

TAD二CD,

AZDAC=ZDCA,

???ZDAC=ZDCA=ZACB

VZACB+ZDCA=60°,

???ZDAC=ZDCA=ZACB=30°,

???ZBAC=90°,

VAB=2,ZB=60°

AC=tan60°xAB=舊x2=275.

???PC+PD的最小值為26.

19.光線從A點到B點的路徑長為5.

試題分析：由光線反射的性質(zhì)，作點B關(guān)于x軸的對稱點方，連接AB，交x軸于點C,

則AB，的長就是光線從A點到B點的路徑的長，用勾股定理則可求解.

解：如圖，作點B關(guān)于x軸的對稱點B，，連接AB，交x軸于點C,過點作BDJLy軸

于點D.

因為點A(0,1),點B(3,3),所以B\3,-3),D(0,-3).

在RtZkADB，中，AD=1—(-3)=4,DB，=3,

所以AB，2=AD2-FDB，2=42+32=25,所以AB'=5,

所以AC+CB=5,

光線從A點到B點的路徑長為5.

20.⑴點P的坐標(biāo)為(1,1)：(2)OA+OB的值不發(fā)生變化，其值為2.

試題分析：(1)根據(jù)第一象限的角平分線上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等列方程求解;

(2)作PD_Lx軸于點D,PE±y軸于點E,證△PADgZ^PBE,可得OA+OB=2.

解：(1)由題意，得2m—l=6m—5.解得m=l,

???點P的坐標(biāo)為(1,1)

⑵作PD±x軸于點D,PEly軸于點E,

則4PAD^APBE,

???AD=BE,

.*.OA+OB=OD+AD+OB=OD+BE+OB=OD+OE=2,為定值，

故OA+OB的值不發(fā)生變化，其值為2.

【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及象限的角平分線上的點的坐標(biāo)特征,

一、三象限的角平分線上的點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等：二、四象限的角平分線上的點的橫坐

標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

21.(1)8(0,6),C(8,0)(2)2r-8(4</<7).⑶存在,3秒和5秒

【分析】(1)根據(jù)題意即可得到結(jié)論；

(2)當(dāng)點尸在線段6A上時，根據(jù)A(8,6),B(0,6),C(8,0),得至l]AB=8,AC=6

當(dāng)點尸在線段AC上時，于是得到結(jié)論；

(3)當(dāng)點尸在線段胡上時，當(dāng)點P在線段AC上時，根據(jù)三角形的面積公式即可得到

結(jié)論.(0,6),C(8,0),

解：(1)B(0,6),C(8,0),

(2)當(dāng)點P在線段BA上時，

由A(8,6),B(0,6),C(8,0)可得：48=8,AC=6

\'AP=ABBP,BP=2h

.\AP=S2t(0<r<4)；

當(dāng)點P在線段AC上時，

???A片點尸走過的路程A8=2/8(4</<7).

(3)存在兩個符合條件的/值，

當(dāng)點夕在線段8A上時

解得：￡=3,

當(dāng)點尸在線段AC上時,

【點撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形面積的計算，正確的作出圖

形是解題的關(guān)鍵.

22.（1）@（2,I）；②（3,0）.（2）6.

【分析】（I）①根據(jù)關(guān)于），軸對稱的點縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)即可解答；

②設(shè)A點坐標(biāo)為（m0）,再運用兩點間距離公式求得8C的長，進而求得48的長，然后根

據(jù)兩點間距離公式即可求解；

（2）作點尸關(guān)于x軸的對稱點”（0,〃），則AF=AH、OF=OH,過點“作“N_LAC于

點N,過點小作于點M,則C（0,機）、H（0,〃?<0、心0,進一步說明HC二EF；

然后再證明△FEM0△"CN得到人例二〃N、EM=CM證明RQAFM@RIA人〃N得到AM=AN,

進一步說明A氏AC,最后求得AC的長即可.

解：（1）①由關(guān)于），粕對稱的點縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，則點C（2.1）

關(guān)于），軸對稱點的坐標(biāo)為（2,1）；

故答案是（2,1）；

②設(shè)A點坐標(biāo)為（a,0）

?；B（0,2）,C（2,1）,

：.AB=BC=>/i3

???點A的坐標(biāo)為（3,0）.

（2）解：（2）作點尸關(guān)于x軸的對稱點〃（0,〃），MAF=AH.OF=OH,過點〃作〃NJ_4C

于點N,過點尸作FML4E于點M,

VC（0,?。?，H（0,〃），"1<0,〃>0,

:?HOOCOH=mn,

<.*EF=mn，

:?HC=EF,

,/ZAEF=ZACO=30Q,

???/FME=/HNC,

:.XFEM@AHCN（/US）,

:.FM=HN,EM=CN,

在/?/△AFM和Rt&AHN中，

AF=AH,FM=HN

AFMWRmAHN（HL）,

：,AM=AN,

???EM+AM=CN+AN,

：,AE=AC,

VZACO=30°,A(3,0),

???QA=3,

：.AC=2OA=6,

：.AE=6.

【點撥】本題主要考查了軸對稱、兩點間的距離公式、勾股定理、全等三角形的判定與

性質(zhì)等知識點，綜合應(yīng)用相關(guān)知識成為解答