專題5.2平行線的性質(zhì)【十大題型】

【人教版】

【題型1平行線的判定與性質(zhì)的運用（計算與證明）】............................................1

【題型2平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】.....................................................5

【題型3平行線與三角尺（直角頂點在平行線上）】..............................................9

【題型4平行線與三角尺（直角頂點不在平行線上）】...........................................11

【題型5平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關系）】.....................................16

【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】..................................................21

【題型7平行線的判定與性質(zhì)綜合（規(guī)律問題）】................................................31

【題型8平行線的性質(zhì)（折疊問題）］..........................................................36

【題型9平行線的應用（轉(zhuǎn)角問題）】..........................................................41

【題型1（）平行線的判定與性質(zhì)綜合（旋轉(zhuǎn)）】....................................................46

一更三

【知識點平行線的性質(zhì)】

1.兩條平行被第三條直線所截同住角相等.簡單說成兩直線平行同位角相等.

2.兩條平行線被第三條直線所截內(nèi)錯角相等.簡單說成兩直線平行內(nèi)錯角相等.

3.兩條平行線被第三條直線所截同旁內(nèi)角互補.簡單說成兩直線平行同旁內(nèi)角互補.

【題型1平行線的判定與性質(zhì)的運用（計算與證明）】

【例1】（2022?西藏?林芝市廣東實驗中學七年級期中）如圖，點。，E在力C上，點F,G

分k別在4C,44上，且0GII8C,Z1=Z2.

BFC

（1）求證:DBWEFi

（2）若EF_L月C,Nl=50。，求〃OG的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵4OG=40°

【分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可得證：

（2）先求出NC,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可得解.

第1頁，共55頁

(1)

證明：???DGHBC,

SNDBC.

又???N1=N2,

???N2=NQ8C,

：.DB\\EF.

(2)

,JEFVAC,

：.ZCEF=90°.

VZ2=Z1=5O°,

/.ZC=90o-50o=40°.

^DGWBC,

AZADG=ZC=40°.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì).熟練掌握平行線的性質(zhì)和列定是解題的關鍵.

【變式1-1](2022?湖北?五峰土家族自治縣中小學教研第訓中心七年級期末)已知：如圖,

AE1BC,FG1.BC,乙CEA=LFGB,40=+50°.Z.CBD=70°.

AG?

⑴求證：ABWCD,

⑵求乙C的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析

⑵NC=30。

【分析】(1)先證明AEIIGF,可得=4尸G8,再證明乙CEA=4E力氏從而可得答案：

(2)由48IIC0,可得4O+4CBO+乙48。=180。，再把乙0=乙48。+50。,4CBO=70。代

入進行計算即可.

(1)

證明：???AE1BC,FG工BC,

：.AE\\GF,

:.Z.EAB=乙FGB,

■:Z.CEA=Z.FGB,

第2頁，共55頁

???Z-CEA=Z-EAB,

：.AB\\CD；

(2)

解：由(1)得，AB\\CD,

???40+乙CBD+/.ABC=180°,

■:乙D=匕力BC+50°,/C8D=70°,

?"ABC+70°4-4ABC+50°=180°

乙ABC=30°,

乙C=/.ABC=30°.

【點睛】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，方程思想的應用，掌握“平行線的判定與性質(zhì)”

是解本題的關鍵.

【變式1?2】(2022?重慶?巴川初級中學校七年級期中)如圖，△48。中，/8力。的角平分

線交8C于。，點下在加的延長線上，點E在線段CQ上，與/C相交于點G,且

NBZM+NCEC=1800.

F

H

⑴求證：AD||EF：

⑵若點，在正的延長線上，且NEDH=NC,則N尸與N”相等嗎？請說明理由.

【答案】(1)見詳解

(2)乙尸=乙”，說明見詳解

【分析】(1)根據(jù)NBZL4+NCEG=180。，ADEF+^CEG=180°,可得凡根據(jù)同

位角相等，兩直線平行可判定力。IIEF；

(2)根據(jù)可得0〃||AC,繼而得至由對頂角Z/1G/=4EGC,可得

AH=^AGF,由(1)40||EF可得N/L4G=N4GF,Z.BAD=/.F,再因為4。是N5/4C的角平

分線，有乙n4G即可證明乙"=乙”.

(1)

證明：VzFD/l+zCEG=180o,ZDEF+ZCEG=18O°,

：,Z.BDA=/.DEF,

：.ADIIEF.

第3頁，共55頁

Azi=/.BAD（兩直線平行，同位角相等）,

又：zl=Z2（已知）,

工乙2=々BAD（等量代換），

：.DG||BA（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

???NB4C+乙4GD=180。（兩直線平行,同旁內(nèi)角互補）.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的

關鍵.

【題型2平行線的判定與性質(zhì)（書寫過程）】

【例2】（2022?黑龍江?哈爾濱市風華中學校七年級期中）如圖，Zl=Z2,乙4=40.

AFB

CED

求證：ZF=ZC.（請把下面證明過程補充完整）

證明：???1=Z2（已知）

又???=Z.3（）

:.Z.2=Z3（）

???AEWFD（）

???Z.A=Z.（）

???Z.A=Z.D（已知）

:.乙D=乙BFD（等量代換）

:.IICD（）

:.乙B=Z.C（）

【答案】對頂角相等；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；BFD；兩直線平行，內(nèi)錯角相

等：AB-.內(nèi)錯角相等,兩直線平行：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【分析】先利用對頂角的性質(zhì)證明42=匕3,再證明力臼IFD,可證明乙力=48r0,可得乙。=

NBFD,再證明48IICD,從而可得答案.

【詳解】證明：???1=42（已知）

又???乙1=乙3（對頂角相等）

二乙2二乙3（等量代換）

■-.AEWFD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

.??乙力=48尸。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

第5頁，共55頁

V乙4=乙D（已知）

ZD=乙BFD（等量代換）

：.AB\\CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

二48二4。（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

【點睛】本題考查的是對頂角的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練的利用平行線的判定與性

質(zhì)進行證明是解本題的關健.

【變式2-1]（2022?黑龍江?哈爾濱市蕭紅中學校七年級階段練習）閱讀并完成下面的證明

過程：

已知：如圖，AB||EF,zl=z2,BE、CE分另U平分N4BC和48C。，求證：BE1CE.

證明：〈BE、CE分別平分乙46C和48C0.

：./.ABE=Z.EBC=^Z.A8C

△2==*CD(角平分線定義)

又：乙1=42,

.\zl=Z.ECD()

：.EF\\CD()

又二力R||EF(已知)

???()

：.^ABC+^LBCD=180°()

：./-ABE+Z2=+/.BCD)=90°,

又??NB||EF,

：.LABE=Z.BEF()

AzFFF+zl=90°,

?"8EC=90。，

：.BEICE（）

【答案】4ECD；等量代換：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；AB||CD；如果兩條直線都與第三

條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯

角相等；垂直定義.

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、平行線的判定以及垂直的定義進行分析即可解答.

【詳解】證明：，：BE、CE分另ij平分乙48c和/BCD.

第6頁，共55頁

：.LABE=乙EBC==乙ABC

2

Z2=ZECD=*8C0（角平分線定義）

XVzl=Z2,

Azi=乙ECD（等量代換）

：.EF\\CD（內(nèi)錯角相等,兩直線平行）

乂???力8||EF（已知）

||CD（如果兩條直線都與笫二條直線平行，那么這兩條直線也可相平行）

???々1BC+匕8CD=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

J./-ABE+Z2=\{Z-ABC+4BCD）=90°,

又〈AB||EF,

?"ABE=iBEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

???48￡2+乙1=90°,

.\ZFEC=9O°,

：.BE1CE（垂直定義）.

故答案為：乙ECD；等最代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；AB||CD；如果兩條直線都與第

三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)

錯角相等；垂直定義.

【點睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義等知以點，靈活運用平行線的判

定與性質(zhì)是解答本題的關鍵.

【變式2-2］（2022?湖南?株洲景炎學校七年級期中）完成下面證明過程并寫出推理根據(jù)：

已知：如圖所示，匕B4P與乙4PD互補，Zl=z2.

求證：zF=zF.

證明：???48力/>與442?；パa（已知），

即力P+44Po=180。，

,II<），

：.^BAP=^APC（）.

又??21=/2,

.\ZF/1P-Z1=Z/1PC-Z2（等式的性質(zhì)），

BPz3=z4,

第7頁，共55頁

:.II（）,

???"="（）.

【答案】力8：CD：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；AE；FP：內(nèi)

錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等

【分析】根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)，結合圖形完成填空即可求解.

【詳解】與「APD互補（已知），

即48AP+4力。。=180。，

??"B||CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），

：.LBAP^APC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

又???41=22,

.\z^P-zl=z/lPC-z2（等式的性質(zhì)），

即43=/4,

：.AE||FP（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

???"="（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

故答案為：AB；CD；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；AE；FP；

內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定進行證明，掌握平行線的性質(zhì)與判定是解題的關鍵.

【變式2-3]（2022?重慶?巴川初級中學校七年級期中）推理填空：完成下面的證明過程.

如圖，已知Nl+N2=180。，ZB=ZDEF,求證：.O七〃8c

證明：VZ1+Z2=18O°（）

Z2=Z3（）

/.Zl+Z3=180°

:.〃()

：,/B=()

?:/B=/DEF(已知)

:.ZDEF=()

：.DE//BC()

【答案】已知；對頂角相等；AB；EFx同旁內(nèi)角互補，兩直線平行；Z￡FC；兩直線平

行，同位角相等：ZEFC：等量代換：內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】由于Nl+/2=180\Z2=Z3,則Nl+N3=180。，根據(jù)向旁內(nèi)角互補，兩直線

第8頁，共55頁

平行得到力陰IE凡則利用平行線的性質(zhì)得N8=NCFE,由于/8=/。匹凡所以NOM=

ZCFE,于是根據(jù)平行線的判定得到。EII8C

【詳解】證明：???/1+/2=180。（己知）

Z2=Z3（對頂角相等）

，/1+/3=180。

?"創(chuàng)EF（同旁內(nèi)角互補,兩直線平行）

??.N8=NEFC（兩直線平行，同位角相等）

?；/B=/DEF（已知）

/.ZDEF=ZEFC（等量代換）

臼18c（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直

線平行；兩直線平行，同位角相等.掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

【題型3平行線與三角尺（直角頂點在平行線上）】

【例3】（2022遼寧阜新實驗中學七年級期末）如圖，含有30。角的直角三角板的兩個頂點

E、尸放在一個長方形的對邊上，點E為直角頂點，上EFG=30°,延長EG交CD于點P,如果23=

65°,那么22的度數(shù)是（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

【答案】C

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得到Nl=25。，根據(jù)平角的定義得到//￡尸=90。21=65。,

根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結論.

【詳解】解：???/。=90。，Z3=65°,

AZ1=25%

???NFEG=90。,

jZJ￡T=90o-Zl=65°,

.\Z2=180°-ZJEF=115<,,

故選：C.

【點睛】本題考查了直角三角形兩銳角互余和平行線的性質(zhì)，關鍵是得出萬與N2互補.

【變式2-1]?浙汀?金華市第四中學九年級階段練習）將一直角二角板與兩邊平行的

第9頁，共55頁

紙條如圖所示放置，下列結論：（1）41=42；（2）43=42；（3）Z2+Z4=9O°：（4）

44+45=180。，其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)兩直線平行同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補，及直角三角板的特殊性

解答.

【詳解】解：???紙條的兩邊平行,

:.（1）Z1=Z2（兩直線平行，同位角相等）；

（2）Z3=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；

（4）/4+/5=180。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）均正確；

又???直角三角板與紙條下線相交的角為90。，

/.（3）Z2+Z4=90°,正確.

故選：D.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，正確識別"三線八角"中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正

確答題的關鍵.

【變式3-2]（2022?山東青島?七年級期中）將一塊直角三角極48c按如圖方式放置，其中

〃BC=30°,4B兩點分別落在直線m、n匕zl=20°,添加下列哪一個條件可使直線m舊

（）

A.Z2=20°B.Z2=30°C,Z2=45°D.z2=50°

【答案】D

【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可.

【詳解】解：由平行線的判定可知，當N2=N48C+N1時，m\\n,

即Z2=N48C+Nl=3€T+20°=50°,

第10頁，共55頁

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關鍵.

【變式3-3］（2022?河南南陽?二模）小明把一副三角板技如圖所示方式擺放，直角邊CO與

直角邊力4相交于點R斜邊。E||BC,NB=30°,NE=45。，則NC用的度數(shù)是（）

A.95°B.115°C.105°D.1250

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得ZD=45。，再由平行線的性質(zhì)得出Z8CF=45。，

再由三角形的內(nèi)角和定理進行求解即可.

【詳解】???ACDE是直角三角形，ZE=45°,

ZD=45°,

vDEWBC,

乙BCF=ZD=45°,

???cB+Z-BCF+Z.BFC=180°,zF=30°,

???乙CFB=105°,

故選：C.

【點睛】本題考瓷了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理，熟練學

握知識點是解題的關鍵.

【題型4平行線與三角尺（直角頂點不在平行線上）】

【例4】（2022?全國,八年級專題練習）如圖，a\\b,一塊含45。的直角三角板的一個頂點落

A.103°6B.104°6C.103°54D.104054

【答案】C

【分析】設N2的同位角為N3,N3的鄰補角為/5,三角板的一個銳角為/4,根據(jù)等腰三

角板的特點可求出N4,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出N5,再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出/3,

進而根據(jù)兩直線平行同位角相等即可求出N2.

第11頁，共55頁

【詳解】設N2的同位角為N3,N3的鄰補角為N5,三角板的一個銳角為N4,如圖,

?.?直角三角板含一個45。的銳角,

???該三角板為等腰三角形,

，N4=45°,

???/1=58°54',

又???在三角形中有Nl+N4+N5=180。，

.*.Z5=180°-(Zl+Z4)=180o-(58o54,+45o)=180,,-103o54,=7606,,

VZ3+Z5=180°,

Z3=180°-/5=18(T-76"6'=1U3"54',

Talib,

AZ2=Z3,

/.Z2=103°54,,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識，掌握兩直線平行同位角

相等是解答本題的關鍵.

【變式4-1】(2022?山西晉中?七年級期末)用一?塊含60■的直角三角板和一把直尺按圖中

所示的方式放置，其中直尺的直角頂點與三角板的60。角頂點重合，直尺兩邊分別與三角板

的兩條直角邊相交，若41=50。，則N2的度數(shù)為()

A.25°B.22.5°C.20°D.15°

【答案】C

【分析】如圖，根據(jù)題意得到NC=90。，AB//DE,NCDF=60°.先根據(jù)三角形內(nèi)角和求出

48040。，再根據(jù)平行的性質(zhì)求出NC￡>E=40。，即可求出N2=20。.

【詳解】解：如圖，由題意得/C=90°,AB//DE,NCDF=60°.

VZC=90°,Zl=50°,

第12頁，共55頁

:.ZJ5C=1800-ZC-Z1=40°,

'：AB//DE,

：.ZCDE=ZCBA=4Q\

???NCDF=60。

：?42=4CDF-4CDE=2O。.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，熟知兩個定理并理解題意得到已

知條件是解題的關鍵.

【變式4-2]（2022?福建?莆田市城廂區(qū)南門學校七年級階段練習）如圖，ABWCD,將副

直角三角板作如下擺放，ZGEF=60°,/MNP=45°.下列結論：①GEIIMP；②/EFN=

150°：③N4￡F=75。；?ZAEG=ZPMN.其中正確的是.

【答案】①②③④

【分析】①由題意得乙G=4MPN=iMPG=90。，利用內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可判定

GEIIMP；②由題意得“FG=30°,利用鄰補角即可求出"FN的度數(shù)：③過點“作FH_L43,

可得產(chǎn)“IICO,從而得到乙開廠N=NMNP=45。，可求得ZEFN=1O5。，再利用平行線的性質(zhì)

即可求出48EF；④利用角的計算可求出乙4EG=45。，從而可判斷.

【詳解】解：①4G=乙MPN=乙MPG=90°,

:.GEWMP,

故①正確；

@vLEFG=30°,

乙EFN=180°-30°=150°,

故②正確；

③過點尸作如圖，

第13頁，共55頁

VABWCD,

???FHWCD,

Z.HFN=(MNP=45°,

:.乙EFN=150°-45°=105°,

vFHWAB,

乙BEF=180°-105°=75°；

故③正確；

④???4GZ7/=60°,^DEF=75°,

:.乙AEG=180°-60°-75°=45°,

乙AEG=乙PMN=45°,

故④正確.

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)與判定，解題的關鍵是熟記平行線的判定條件與性質(zhì)并靈活

運用.

【變式4-3](2022?山東淄博?期末)如圖所示，將一直角三角板放在46,CO兩條平行線

之間：

⑴圖甲中，容易求得乙1+△2=90。，請直接寫出圖乙中Nl,N2的數(shù)量關系;

(2)請問圖內(nèi)中N1,/2的數(shù)量關系是什么？并加以說明；

⑶請直接寫出圖丁中Nl,N2的數(shù)量關系.

【答案】⑴Nl+N2=270。

(2)N2-N1=9O。；見解析

(3)Z1=Z2+9O0

第14頁，共55頁

【分析】(1)過三角板的直角頂點作48的平行線MN,得4BIIMNIICD.根據(jù)兩直線平行，

同旁內(nèi)角互補，即可得，1,乙2的關系.

(2)過三角板的直角頂點作月8的平行線MN,^ABWMNWCD.根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相

等,平角互補，即可得Z2的關系.

(3)過點。作力B的平行線MN,得4811MMICD,據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等,即可得41,Z2

的關系.

(1)

如圖，過三角板的直角頂點作力B的平行線MN,得/BIIMNIICD

AZ1+乙3=180°,42+44=180°

又???土3+24=90°

AZ14-Z3+Z2+Z4=180°+180°

AZ.1+乙2=360°-90°=270°

???/1+乙2=270°.

如圖，過三角板的直角頂點作AB的平行線MN,得ABIIMNIICD

，41=43,42+乙4=180°

又???43+44=90。

AZ1+180。一42=90°

?32-41=90°.

如圖，過點。作的平行線MN,得ABIIMNIICD

???4MOC=42

???41=90°+4Moe

第15頁，共55頁

Azi=9O0+Z2.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互

補；平角互補.

【題型5平行線的判定與性質(zhì)綜合（角度之間的數(shù)量關系）】

【例5】（2022?黑龍江鶴崗?七年級期末）如圖①，"IIC。，M為平面內(nèi)一點，若8WLWC,

則易證/ABM與NDCM互余.

圖①圖②備用圖

（1）如圖②，力創(chuàng)。。.點M在射線口上運動，猜想點用在點彳和。之間時，N8MC與

ZABM.NOCW之間的數(shù)量關系，并證明.

⑵在（1）的條件下，當點M在射線口的其它位置上時（不與點E,心。重合）請直接

寫出NBMC與/ARM、之間的數(shù)量關系.

【答案】⑴理由見解析

⑵ZBMC=ADCM-/ABM或N8MC=/ABM-/DCM.

【分析】（1）過M作知川|力以交BC于F,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NOCM=NRWC,可得

/ABM+ZDCM=ZBMF+ZCMF=/BMC；

（2）分兩種情況：當點M在七、力兩點之間時；當點M在力。的延長線上時；進行討論可

求/6MC與/月2DGW的數(shù)量關系.

（1）

解：NABM+/DCM=/BMC,理由如下：

如圖，過M作必1148,交BC于F,則/48M=/8必/，

第16頁，共55頁

又???力抑co,

：.MF^CD,

J/DCM二/FMC,

:.NABM+NDCM=/BMF+NCMF=NBMC；

(2)

解：當點M在￡、/兩點之間時，如圖3,4BMC=/DCM-/ABM；

過M作MFUB^交ECTF,則NABM=NBMF,

又??［訓CD,

AMFHCZ),

???NDCM=NFMC,

???乙BMC=Z1CMF-乙BMF=Z1DCM-乙ABM：

當點”在4。的延長線上時，如圖4,/BMC二/ABM-/DCM.

過A/作用戶口4,交EC于F,則/48V/=N8MR

又??Z8||CO,

?CO,

ZDCM=ZFMC,

Z./BMC=NBMF-NCMF=NABM-/DCM.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，關鍵是構建平行線，利用平行線的性質(zhì)進行解

答.解題時注意分類思想的運用.

第17頁，共55頁

【變式5-1](2022?遼寧?興城市第二初級中學七年級階段練習)已知，點4點8分別在

(2)分別過點力和點C作直線4G、CH使力GIIC”,以點8為頂點的直角引的兩邊分別

與直線C〃，4G交于點尸和點￡如圖2,試判斷NCP8、/8EG之間的數(shù)量關系，并證明；

⑶在(2)的條件下，若60和力七恰好分別平分NC4P和NC4M并且乙1。?=80。，求NCFB

的度數(shù).(直接寫出答案)

【答案】⑴見解析

(2)乙CFB—乙BEG=90°,證明見解析

⑶NCF8=130°

【分析】(1)過。作CEIIMN,根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)即可得到結論；

(2)過8作4HII/1G,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N8EG=N￡BR,NRBRNCFB=180。,等量代

換即可得到結論；

(3)過E作ESIIMM根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NM4￡=N/ES,/QBE=/BES,根據(jù)角平分

線的定義得到NM1代NE4C,NCBD二NDBP,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可得到結論.

(1)

解：如圖，過C作CEIIMV,

：.Z1=ZMAC,

VZ2=ZJC5-Z1,

；?N2=/ACB-/MAC,

/ACB-/MAC=NCBP,

：./2=/CBP,

：.CE\\PQ,

(2)

如圖，過占作"IMG,

第18頁，共55頁

VJGHC/7,

:./BEG二NEBR,NRBF+NCFB=180。,

???NEB尸=90°,

JNBEG=/EBR=9()o-/RBF,

:?NBEG=90°?/RBF=90°-(1800-ZCFB),

：?NCFB-NBEG=90°；

(3)

如圖，過￡作ESIIMV,

VMV||P(),

：.ES\\PQ,

:?/NAE=/AES,ZQBE=ZBES,

?:BD和AE分別平分NCBP和NC4V,

NCBDYDBP,

1/CAE=/AES,

NEBD=90。,

：.NEBQ+NPBD=NEBC+NCBD=9。。,

；?/QBE=/EBC,

ZEBC=ZBES,

J/AEB=NAES+NBES=NCAE+NEBC*360。-^ACB),

ZJCB=80%

/.ZJE5=140°,

:.NBEG=40°,

?/NCFB-/BEG=901

AZCra=130°.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和，正確的作出輔助

第19頁，共55頁

線是解題的關鍵.

【變式5?2】(2022?湖北?宜昌市第九中學七年級期中)如圖，zl=Z2,3=“MG.

⑴求證：ADWNG；

(2)若4力+ZD”G=180°,試探索：乙ANB,乙NBG,乙1的數(shù)顯關系；

⑶在(2)的條件下，若4ANB:乙BNG=2",Z1=100°,4N8G=130。，求N/I的度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)zNBG+-Z.ANB=180°

(3)Z.A=105°

【分析】(1)由N1=N2,N1=NGFC,得到N2=NbG,于是得到CM||DE,根據(jù)平行線

的性質(zhì)得到NQ=/4CA7,等量代換得到NCA/G=N4aW于是得到結論.

(2)過8作BPII4N交NG于P,由于4DIING,于是得至］NQ=NQ〃G,等量代換得到

ZJ+ZZ)=180%得到ANIIDH,根據(jù)平行線的判定得到BPIICM,由平行線的性質(zhì)得到

ZP^G+Z1=18O°,等量代換即可得到結論；

(3)由/l+NP8G=180°,Z1=100%得至ljNP8G=80。，由于NN8G=130°,于是得到

ZANB=ZNBP=50\根據(jù)已知條件得到N4M?：/BNG=2：1,即可得到結論.

(1)

證明：VZ1=Z2,N1=NGFC,

AZ2=ZCFG,

???CMIIDE,

/.ZD=ZJCM,

VZD=ZCMG,

：?NCMG=NACM,

：.AD\\NGi

(2)

解：ZNBG-ZANB+Z1=180°；

理由如下：過3作BPIIAN交NG于P,

第20頁，共55頁

:、/ANB=/NBP,

^ADWNG,

，ZD=ZDHG,

,:/4+NOHG=180°,

:.N/+NO=180°，

：.AN\\DH,

又,：CM〃DH,

：.BP\\CM,

AZP5G+Z1=180°,

丁/FBG=/NBG-UNBP=/NBG-UANB,

:.ZNBG-ZANB+Z1=180°；

(3)

解：TN1+NP4G=180°,Z1=100°,

JNPBG=80°,

?；/NBG=13b,

：./ANB=/NBP=50°,

VZANB：NBNG=2：1,

???/BNP=25。,

???/ANG=75。,

:.4=105°.

【點睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

【變式5-3](2022?湖北?潛江市高石碑鎮(zhèn)第一初級中學七年級期中)如圖1,ABWCD,直線

力上分別交力仄CD于點/、E.點、F是直線4E上一點、,連結BP平分/ABF,EP平

分N4EC,BP與EP交于點、P.

圖1備用圖

⑴若點產(chǎn)是線段力正上一點，KBFLAE,求NP的度數(shù);

第21頁，共55頁

(2)若點F是直線AE上一動點(點尸與點A不重合)，請寫出ZP與/AFB之間的數(shù)量關系并

證明.

【答案】⑴45。

⑵當尸點在力點上方時，ZBPE=^ZAFB,當尸點在4點下方時，ZBPE=90°-^ZAFB

【分析】(1)過點尸作P0I/8,過點/作FHWAB,由平行線的性質(zhì)得N/6P+/CE尸=/3尸E,

/ARF^/CF.F=/RFE,再由垂直定義和角平分線定義求得結果：

(2)分三種情況：點b在口的延長線上時，點少在線段力￡上時，點尸在力￡的延長線上

時，分別進行探究便可.

(1)

解：過點P作尸。II川?，過點尸作尸”1148,

???力811cO,

：.AB\\CD\\PQ\\FH,

ABP一乙BPQ,/CEP—/EPQ,NABF一/BFH,UCEF一/EFH,

JZABP+ZCEP=ZBPQ+ZEPQ=ZBPE,ZABF+ZCEF=ZBFH+ZEFH=/BFE,

,：BFLAE,

JNABF+/CEF=ZBFE=9Q°,

〈BP平分N48凡EP平分N4EC,

:./ABP+NCEP=Q/ABF+NCEF)=45°,

2

(2)

①當點/在￡4的延長線上時，NBPE=；NAFB,理由如下:

如備用圖1,

第22頁，共55頁

過點P作PQUB,過點F作FHUB,

*：ABnCDt

：.ABl\CD\\PQHFHf

:?/ABP=/BPQ,NCEP=/EPQ,ZABF=ZBFH,/CEF=/EFH,

，/CEP-ZABP=ZEPQ-/BPQ=NBPE,ACEF-ZABF=/EFH-/BFH=ZBFE,

?；BP平分N4BF,EP平分N/EC,

:?/CEP-/ABP二(ZCEF-NABF)=NBFE=NAFB,

22

：?NBPE=3/AFB；

②當點尸在線段力E上(不與力點重合)時，NBPE=90°■沁FB；理由如下：

備用圖2

過點P作尸。II力氏過點F作FHWAB,

,：AB\\CD,

：.AB\\CD\\PO\\FH,

:?NABP=NBPO,ZCEP=ZEPQ,NABF=/BFH,NCEF=NEFH,

JNABP+NCEP=NBPQ+NEPQ=NBPE,N4BF+/CEF=NBFH+NEFH=NBFE,

?：BP平分/ABF,EP平分/4EC,

:?/ABP+NCEP=3(/ABF+/CEF),

，/BPE二/BFE

2

：.ZBFE=180°-/AFE,

:./BPE="Y/AFB；

③當點尸在nE的延長線上時，ZBPE=9Q0-\AAFB,理由如下：如備用圖3,

4

第23頁，共55頁

過點P作PQUB,過點F作FHUB,

'：ABWD,

,力創(chuàng)CQIIPQ尸〃，

:?NABP=NBPQ,NCEP=NEPQ,180°-ZABF=ZBFH,/AEC=NEFH,

，/CEP+/ABP=4EP54BPQ=/BPE,NBFH-Z￡F/7=180°-/ABF-ZAEC=

NAFB,

?:BP平?分NABF,EP平分N<EC,

:.NCEP+/ABP二（ZAEC+ZABF）=\（180°-/AFB）,

22

；?NBPE=90°-；NAFB；

綜上，當E點在A點上方時，NBPE=；/AFB,當E點在A點下方時，ZBPE=9Q°-獎AFB.

【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線

平行同旁內(nèi)角互補，以及角平分線的性質(zhì)，在相交線問題中通常作平行線利用平行線的性質(zhì)

解答，將角度轉(zhuǎn)化由此求出答案.解題中運用分類思想解答問題.

【題型6平行線的判定與性質(zhì)綜合（求定值）】

【例6】（2022?湖南?株洲二中七年級期末）實驗證明，平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平

面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等.如圖1，一束光線〃，射到平面鏡

⑴如圖2,一束光線機射到平面鏡〃匕被。反射到平面鏡力上，又被/）反射.若被6反

射出的光線〃與光線加平行，且Nl=50。，則N2=。，Z3=

⑵請你猜想：當射到平面鏡。上的光線〃?，經(jīng)過平面鏡。、b的兩次反射后，入射光線〃?與

反射光線〃平行時，兩平面鏡間的夾角N3的大小是否為定值？若是定值，請求出N3,

若不是定值，請說明理由.

⑶如圖3,兩面鏡子的夾角為。。（0<。<90）,進入光線與離開光線的夾角為￡。（0<￡<90）.試

第24頁，共55頁

探索a與例勺數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】⑴100:90：

(2)90°

(3)2a+S=180。

【分析】(1)根據(jù)平面鏡反射光線的規(guī)律得Nl=N4=50。，再利用平角的定義得N5=8。。，

然后利用平行線的性質(zhì)計算出N2=100。，則N6=40。，再利用三角形內(nèi)角和定理計算N3；

(2)當N3=90。時,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/4+/6=90。,則2/4+2/6=180。，利用平角

的定義得到N2+N5=180。，然后根據(jù)平行線的判定得到加|歷；

(3)由(1)可得，Z5=180°-2Z2,Z6=180°-2Z3,再根據(jù)N2+N3=18(T-Na,即可得出

Z^=180ft-Z5-Z6=2(N2+N3)-180°=2(180°-Z?)-180°=180°-2Z?.

(1)

解：如圖：

VZ1=Z4=5O°,

AZ5=180°-2x50°=80°,

/.Z2+Z5=180°,

AZ2=100%

???N6M(180°-Z2)=40。,

2

.,.Z3=180°-Z4-Z6=90°；

故答案為：100,90；

(2)

當N3=90。時,m\\n

理由如下：

ON3=90",

AZ4+Z6=90°,

???2N4+2/6=180°,

，N2+/5=180°,

/.wlln；

(3)

第25頁，共55頁

解：如圖3,

由(1)可得，Z5=180°-2Z2,Z6=180°-2Z3,

VZ2+Z3=180°-Za,

/.Z^=180°-Z5-Z6=2(Z2+Z3)-180°=2(180°-Za)-180°=180°-2Za,

???a與五的數(shù)量關系為：2a+6=180°,

故答案為：2a+6=180。.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，解題時注意：同旁內(nèi)角互

補，兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

【變式6-1](2022?河北保定?七年級階段練習)如圖，直線點M,N分別在直線

CD上，〃為直線。。卜方一點.

圖1圖2圖3

⑴如圖1,和NH相交于點〃，求證：乙MHN=—乙CNH.(溫馨提示：可過點〃

作48的平行線)

(2)延長HN至點G,的平分線ME和4GND的平分線NE相交于點E,與CD相交于點

F.

①如圖2,若乙BME=50。,/END=30°,求乙M//N的度數(shù)；

②如圖2,當點歹在點N左側(cè)時，若48ME的度數(shù)為%。，4ENO的度數(shù)為y。，且％+y的值是

一個定值，請問4MHN的度數(shù)是否會隨x的變化而發(fā)生改變？若不變，求出NMHN的度數(shù)；

若變化，請說明理由.

③如圖3,當點N在點尸左側(cè)時，②中其他條件不變，請問NMHN的度數(shù)是否會隨x的變

化而發(fā)生改變？若不變，直?接?寫?出?NM"N的度數(shù)；若變化，請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)①20。；②不變，180°-2(x°+y°)：③不變，2(x°+y°)-180°

【分析】(1)過點〃作HQUB.可得//OilCD,從而得到乙力M”=乙MHQ,乙CNH=乙NHQ,

第26頁，共55頁

即可求證；

(2)①根據(jù)48ME=50°/￡WD=30。，可得48MH=100。，LGND=60°,從而得到

乙AMH=180°-乙BMH=80°,乙CNH=60°.再由4M//N=/.AMH-乙CNH,即可求解：

②根據(jù)題意可得乙4MH=180°-2x°,Z.CNH=2y。，再由/MHN=乙4MH-Z.CNH,即可

求解；③過點〃作0，〃力以根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證得NMHN=ZOHM-4OHN=

乙BMH—乙DNH.從而得到乙n“％=2%。+2丫。-180。=2(%。+、。)-180。，即可求解.

(1)

證明：如圖，過點、H作HQL4B.

???"0||月6且

：.HQ\\CD,

=乙MHQ,乙CNH=乙NHQ,

?"MHN=匕MHQ-乙NHQ=Z.AMH-乙CNH：

（2）

解：①ME平分48MH/BME=50。，

"BMH=100°,

，：NE平分乙DNG,ZDNE=3O°,

?"GND=60°,

：.LAMH=180°-乙BMH=80°,乙CNH=60°.

由（1）可知：Z-MHN=LAMH-ACNH=80°-60°=20°.

?"MHN=20°；

②???ME平分，8M”，iBME=x。,

工乙BMH=2x°,

，：NE平分4DNG,4DNE=y。,

"GND=2y°,

：.LAMH=180°-2x°,LCNH=2y°,

?"MHN=180°-2x°-2y°=180°-2（x°+y°）.

???％+y為一個定值，

???4MHN不會隨x的變化而發(fā)生改變，度數(shù)為180。-2（》。+y。）；

③不變,NMHN的度數(shù)為2（成+儼）—180。.理由如下:

第27頁，共55頁

如圖，過點〃作O，||48,

J4BMH=40HM,

'：ABKD,

：.OH\\CD,

J4DNH=/OHN,

?"MHN=4OHM-乙OHN=乙BMH-乙DNH.

:ME平分匕BMH,匕BME=x0,

?"BMH=2x0

，：NE平分/DNG,ZDNE=y0,

：.LGND=2y。，

."DNH=180°-2y°,

:.乙MHN=2x°-(180°-2y°),

?"MHN=2x°+2y°-180°=2(x°+y°)-180°.

??次+y為一個定值，

???NMHN不會隨x的變化而改變.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定,有關角平分線的計算,熟練掌握平行線的件

質(zhì)和判定，利用類比思想解答是解題的關鍵.

【變式6-2](2022?福建龍巖?七年級期末)如圖1,點,4、。分別在射線AM、CN線上，

BM〃CN,8M_L8C于點B,AE平分NBAD交BC于點、E,連接?！闦l+Z2=90°.

(1)求證：AE1ED；

⑵求證：OE平分NZOC；

⑶如圖2,NE4M和/EDN的平分線交于點、G試猜想Nb的值是否為定值，若是，請予

以證明；若不是，請說明理由.

第28頁，共55頁

【答案】(1)見解析

⑵見解析

⑶N尸為定值,N尸=135°,理由見解析

【分析】(1)過點E作EG〃BM,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，得出N/1EZ)=N1+N2,即

可求解.

(2)根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補，得出NA4O+/CO力=180。，再將各個角代入計算，得

出(Nl+N2)+(/l+N5)=180°,Z5=Z2,即可求解.

(3)過點/作ZAFH=at/DFH呻,根據(jù)平行線性質(zhì)得出Na+N/?=/6+N'7,

由于NE4M和NEON的平分線交于點尸，所以Na+/以(180。一/1)+3180。一42),即

可求解.

圖1

(1)證明：如圖1,過點、E作EG〃BM,則N1=N3,???8W〃CN,

:,EG〃CN,AZ4=Z2,/.Z3+Z4=Z1+Z2=9O°,/.ZAED=9Q°,：.AELED.

(2)證明：???4E平分NA4O,/.Z^D=2Z1,*：BM〃CN,，/歷1Q+NCD4=18O°,

...2N1+NCZM,=2Z1+Z2+Z5=18O°,=(Z1+Z2)+(Zl+Z5)=180°,VZl+Z2=90°,

AZ1+Z5=9O°,AZ5=Z2,；?DE平分N/IDC.

(3)N尸為定值.證明：如圖2,過點F作尸H〃BM,設NAFH=a,4DFH邛,

?:BM〃CN,:,FH〃CN,/.Za+Z^=Z6+Z7,丁N￡4必和

4EDN的平分線交于點尸，，Za+Z//=1(180°-Z1)+1(180°-42)=180°-1(zl+Z2)

=180°-45°=135°,???/尸=/。+//?=135°,?'?N/為定值,/斤=135°,故答案為:/尸=235°.

【點睛】本題主要考查垂線、角平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握垂垂線的概念和角平分線

的性質(zhì)及角的和差計算等知識點.

第29頁，共55頁

【變式6-3］（2022?天津河東?七年級期中）直線MN與直為48、CD分別相交于點E、F,

與ZCFM互補

⑴如圖1,試判斷直線4B與