專題11用公式法求解一元二次方程內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.2.用公式法解一元二次方程的步驟用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；③求出的值；④若，則利用公式求出原方程的解；若，則原方程無實(shí)根.知識(shí)點(diǎn)02一元二次方程根的判別式1.一元二次方程根的判別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即；（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.要點(diǎn)：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.2.一元二次方程根的判別式的逆用在方程中，（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；（3）方程沒有實(shí)數(shù)根﹤0.要點(diǎn)：（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則≥0.【題型1求一元二次方程中判別式的值】例題：（24-25八年級(jí)下·安徽淮北·階段練習(xí)）一元二次方程的根的判別式的值為．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了根的判別式，熟記一元二次方程的根的判別式的公式為．根據(jù)根的判別式等于，代入求值即可．【詳解】解：，故答案為：1．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·吉林·期末）方程的根的判別式的值為．【答案】37【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了根的判別式，牢記根的判別式是解題的關(guān)鍵．首先轉(zhuǎn)化成一般式，然后根據(jù)根的判別式求解即可．【詳解】解：∵∴∴．故答案為：37．2．（24-25九年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知一元二次方程，則其判別式的值．【答案】8【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，直接根據(jù)求解，即可解題．【詳解】解：一元二次方程判別式的值為，故答案為：8．3．（24-25九年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）關(guān)于的方程的根的判別式的值為5，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程——直接開平方法、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，直接開平方法解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，牢記一元二次方程根的判別式的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意建立關(guān)于的一元二次方程，解方程即可求出的值．【詳解】解：，整理，得：，解得：，故答案為：．【題型2利用用公式法還原一元二次方程】例題：（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）在用求根公式解方程的過程中，，，的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】略【變式訓(xùn)練】1.（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期中）若關(guān)于的一元二次方程的根為，則這個(gè)方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了解一元二次方程．根據(jù)公式法解答，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的根為，∴二次項(xiàng)系數(shù)為1，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，∴這個(gè)方程為．故選：D2.（2024八年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）是下列哪個(gè)一元二次方程的根（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，根據(jù)公式法解一元二次方程的方法即可得結(jié)論，用公式法解一元二次方程的一般步驟為：把方程化成一般形式，進(jìn)而確定，，的值；求出的值（若，方程無實(shí)數(shù)根）；在的前提下，把的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根，解題的關(guān)鍵是掌握去根公式．【詳解】解：、中，，不合題意；、中，，不合題意；、中，，不合題意；、中，x，符合題意；故選：．3.（2024·河北石家莊·一模）若是一元二次方程的根，則（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】本題主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判斷即可【詳解】解：∵是一元二次方程方程的根，∴，，，∴，故選：D【題型3用公式法求解一元二次方程】例題：（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）用公式法解方程．【答案】，【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】此題考查了公式法解一元二次方程．根據(jù)一元二次方程的一般形式得到，，，計(jì)算得到，代入求根公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，，∴，∴，解得，．【變式訓(xùn)練】1．（22-23九年級(jí)下·湖南常德·期中）用公式法解一元二次方程：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了用公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握用公式法解一元二次方程的方法和步驟．先求出，得出該方程有實(shí)數(shù)根，再根據(jù)求根公式，即可解答．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴．2．（24-25九年級(jí)上·甘肅蘭州·期末）用公式法解方程：．【答案】，【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查的是解一元二次方程，利用公式法求解即可．【詳解】解：，∵，，，∴，∴，∴，．3．（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）解一元二次方程：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了一元二次方程的解法，特別是使用公式法求解．熟記求根公式是解題的關(guān)鍵．先確定的值，計(jì)算，以確定方程的根的性質(zhì)．如果，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；如果，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；如果，則方程無實(shí)數(shù)根．依據(jù)這個(gè)過程求解即可．【詳解】解：．，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，【題型4用公式法解一元二次方程的錯(cuò)題復(fù)原問題】例題：（2025·廣東深圳·一模）小海在用公式法解方程時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，解答過程如下所示：解方程解：（第一步）（第二步）∴原方程無實(shí)數(shù)根（第三步）小海的解答過程從第__________步開始出錯(cuò)的，其錯(cuò)誤的原因是__________；【答案】一，原方程沒有化成一般形式【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】根據(jù)公式法解方程的基本步驟解答即可．本題考查了公式法解方程，熟練掌握解方程的基本步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由故（第一步）（第二步）∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：一；原方程沒有化成一般形式．【變式訓(xùn)練】1．（24-25九年級(jí)上·河北張家口·期末）嘉嘉解一元二次方程的過程如下．解：……①，，，…②…………③方程無實(shí)數(shù)根．……………④(1)嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解過程從第_______步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫出這個(gè)方程正確的解題步驟．【答案】(1)公式法，②；(2)見詳解【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法的解題步驟是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)嘉嘉的解題過程可知，他采用的方法是公式法，因?yàn)楸硎鞠禂?shù)時(shí)錯(cuò)誤，從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；（2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可．【詳解】（1）解：依題意，嘉嘉解方程的方法是公式法，則求解過程中，，，他的表示系數(shù)時(shí)錯(cuò)誤，∴從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：公式法，②；（2）解：依題意，，，，，，，，．2．（24-25九年級(jí)上·河北保定·期末）嘉嘉解一元二次方程的過程如下．解：整理得，①，②，③方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，④．⑤(1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解過程從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)你寫出這個(gè)方程正確的解題步驟．【答案】(1)公式法，②(2)，【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意可得解方程的方法是公式法，根據(jù)一次項(xiàng)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)錯(cuò)誤可得答案；（2）先求解，再利用公式法求解即可．【詳解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解過程從第②步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤（2）解：整理得，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，．3．（2025·廣東深圳·一模）（1）解方程：（2）茗茗同學(xué)在解關(guān)于x的方程時(shí)，過程如下：第一步：，，，第二步：第三步：當(dāng)（即）時(shí)，；當(dāng)時(shí)方程無解你認(rèn)為茗茗同學(xué)的解方程過程忽視的問題是________________．你認(rèn)為在上述解題過程中應(yīng)該增加的一個(gè)步驟是______________．【答案】（1），；（2）沒有考慮的情況；當(dāng)時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握公式法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)解一元二次方程-公式法直接求解即可；（2）根據(jù)一元二次方程的定義，公式法的條件即可求出答案．【詳解】解：（1）這里，，，；（2）茗茗同學(xué)的解方程過程忽視的問題是沒有考慮的情況；在上述解題過程中應(yīng)該增加的一個(gè)步驟是當(dāng)時(shí)，方程，解得：；故答案為：沒有考慮的情況；當(dāng)時(shí)，．【題型5根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況】例題：（2025·河南焦作·模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程根的情況為（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根是解決問題的關(guān)鍵，先計(jì)算判別式，再利用判別式的意義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：在中，，，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：．【變式訓(xùn)練】1．（2025·安徽合肥·三模）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根．根據(jù)一元二次方程根的判別式逐項(xiàng)分析即可得解，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，故此方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；B、，故此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；C、，故此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；D、，故此方程沒有實(shí)數(shù)根，不符合題意；故選：C．2．（2025·河南平頂山·模擬預(yù)測(cè)）一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查根據(jù)判別式判斷方程的根的情況，將方程轉(zhuǎn)化為一般形式，利用根的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，整理，得：，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；故選A．3．（2025·河南平頂山·二模）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則關(guān)于x的方程的根的情況是（

）A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是熟悉根的判別式．先求出判別式，再利用三角形三邊關(guān)系說明它的符號(hào)，然后得出根的情況．【詳解】解：由題意，得，關(guān)于x的方程，則．∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為，∴，，∴，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．故選A．【題型6根據(jù)一元二方程根的情況求參數(shù)】例題：（2025·北京·一模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若為正整數(shù)，且方程的根均為整數(shù)，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)或5【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元二次方程的解法等知識(shí)，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍；（2）找出k范圍中的整數(shù)解確定出k的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到滿足題意k的值．【詳解】（1）解：由題意，得，解得；∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）解：∵k為正整數(shù)，且方程的根均為整數(shù)，∴是平方數(shù)∴是平方數(shù)∴或5當(dāng)時(shí)，方程解得，都是整數(shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程解得，都是整數(shù)，符合題意；綜上所述，或5．【變式訓(xùn)練】1．（2025·北京西城·二模）關(guān)于的方程．(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；(2)若方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求正整數(shù)的值．【答案】(1)(2)3【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式以及求根公式的應(yīng)用．解題關(guān)鍵在于理解根的判別式與根的關(guān)系，利用判斷根的情況并求解參數(shù)范圍；同時(shí)掌握求根公式，通過對(duì)根的表達(dá)式分析及代入驗(yàn)證來確定滿足條件的參數(shù)值．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，已知方程有實(shí)數(shù)根，所以，通過構(gòu)建關(guān)于的不等式求解的取值范圍．（2）先利用求根公式得出方程的根的表達(dá)式，再結(jié)合第一問的取值范圍確定正整數(shù)可能的值，然后通過代入逐一驗(yàn)證根是否為整數(shù)，從而確定符合條件的值．【詳解】（1）解：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴．∴．解得．即的取值范圍是．（2）解：解方程，得．∵，∴正整數(shù)的值為1，2，3．當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以舍去；當(dāng)時(shí)，，不合題意，所以舍去；當(dāng)時(shí)，，得到方程的根為，，都是整數(shù)．∴正整數(shù)的值是3．2．（24-25八年級(jí)下·福建福州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一根不小于2，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查根的判別式，利用根的情況求參數(shù)范圍等．（1）計(jì)算，即可證明出本題答案；（2）利用求根公式得出，再由根的關(guān)系可得，計(jì)算出結(jié)果即為本題答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于x的一元二次方程，∴，∴，∵，∴，∴無論m取何值，原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，∴，∴，，∵方程有一根不小于2，∴，解得：，∴m的取值范圍：．3．（24-25八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程的一個(gè)根為，求a的值；(2)若，求方程的兩個(gè)根；(3)若方程有實(shí)數(shù)根，求滿足條件的正整數(shù)a的值．【答案】(1)(2)，(3)1，2【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查一元二次方程的根的應(yīng)用、求解方程的根以及根據(jù)方程根的情況求參數(shù)取值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用方程根的性質(zhì)代入計(jì)算、選擇合適方法解方程以及利用判別式建立不等式求解參數(shù)．（1）把代入方程求出a即可．（2）將代入方程，解一元二次方程即可；（3）由題意可得，根據(jù)不等式，求出的取值范圍，再結(jié)合是正整數(shù)求解．【詳解】（1）解：把代入得：，解得；（2）代入方程得，解得，．（3）解：∵方程有實(shí)數(shù)根，∴，即，，，．∵又因?yàn)槭钦麛?shù)且，∴所以滿足條件的正整數(shù)的值為，．一、單選題1．（2025·北京大興·二模）方程的根的情況是（

）A．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．無實(shí)數(shù)根【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：①當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．先求出的值，再判斷，即可解題．【詳解】解：在一元二次方程中，∵，，，，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．2．（2025·河南駐馬店·三模）下列關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題主要查了一元二次方程根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的判別式，逐項(xiàng)判斷，即可求解．【詳解】解：A、因?yàn)?，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)?，沒有實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)符合題意；C、因?yàn)?，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)?，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B3．（24-25八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）以為根的一元二次方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了公式法解一元二次方程，牢記一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)公式法解一元二次方程即可求解．【詳解】解：A、，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B、，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C、，則，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D、，則，故該選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．4．（2025·北京豐臺(tái)·二模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．36 B．9或 C． D．9【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根據(jù)一元二次方程根的判別式可知，求出解即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選：D．5．（2025·河南周口·二模）若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B．C．且 D．且【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的定義、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程定義，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)知識(shí)．根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，建立不等式，且求解，即可解題．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，且，即，解得，∴a的取值范圍是且，故選：D．二、填空題6．（23-24九年級(jí)上·廣西河池·期中）已知一元二次方程，則的值．【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了根的判別式的確定，代入根的判別式進(jìn)行計(jì)算即可，注意首先確定一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．【詳解】∵一元二次方程，∴，，∴．故答案為：5．7．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情況是．【答案】有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．據(jù)此即可求解．求出的值，再判斷符號(hào)即可．【詳解】解：一元二次方程，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故答案為：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．8．（2025·廣東河源·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程沒有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程，即沒有實(shí)數(shù)根，∴∴，故答案為：．9．（2025·河南南陽(yáng)·一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】且【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)【分析】本題主要考查根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)根的判別式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，，且，解得且，故答案為：且．10．（2025·湖南婁底·三模）對(duì)于實(shí)數(shù)定義新運(yùn)算：，例如：．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算【分析】本題考查了新定義運(yùn)算，一元二次方程根的判別式，先根據(jù)新運(yùn)算列出一元二次方程，再根據(jù)方程有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得，據(jù)此列出關(guān)于的方程解答即可求解，理解新定義運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得，，∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得，故答案為：．三、解答題11．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·期中）用公式法解方程：．【答案】，【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了運(yùn)用公式法解一元二次方程，先求出，再代入公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可作答．【詳解】解：，，，，，，，．12．（24-25九年級(jí)上·吉林·階段練習(xí)）用公式法解方程：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．先計(jì)算判別式的值，然后利用求根公式解方程．【詳解】解：，，，，．13．（24-25九年級(jí)上·遼寧大連·期中）(1)用配方法解方程：；(2)用公式法解方程：．【答案】(1)；(2)，．【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握配方法和公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）先把原方程移項(xiàng)得到，等號(hào)左邊的式子直接利用完全平方公式配方即可解答；（2）利用公式法求解方程即可．【詳解】（1）解：，，，．（2），，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，．14．（23-24九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）用公式法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)，(2)方程無解(3)，(4)，【知識(shí)點(diǎn)】公式法解一元二次方程【分析】本題考查公式法解一元二次方程，掌握一元二次方程的求根公式，，先確定的值，判斷方程是否有根，最后求得根即可．（1）運(yùn)用公式法解一元二次方程即可；（2）運(yùn)用公式法解一元二次方程即可；（3）先整理為一般式，再運(yùn)用公式法解一元二次方程即可；（4）先整理為一般式，再運(yùn)用公式法解一元二次方程即可；【詳解】（1）解：，，∴，解得，；（2），，方程無解；（3），，∴，解得，；（4），，∴，解得，．15．（24-25九年級(jí)上·河北保定·期末）習(xí)題課上，數(shù)學(xué)老師展示了兩道習(xí)題及其錯(cuò)誤的解答過程：習(xí)題1：用配方法解方程：解：移項(xiàng)，得，……第一步；配方，得，……第二步；，……第三步；由此可得，……第四步；，．……第五步；習(xí)題2：用公式法解方程：解：將方程化為一般形式，得，……第一步；，，，……第二步；，……第三步；，……第四步；即，．……第五步．(1)分別寫出習(xí)題1，習(xí)題2的解答過程中是從第幾步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的，并指出錯(cuò)誤原因；(2)從以上兩道習(xí)題中任選一題，寫出正確的解答過程．【答案】(1)習(xí)題1和習(xí)題2都是從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是移項(xiàng)時(shí)，沒有變號(hào)；(2)解答過程見解析【知識(shí)點(diǎn)】解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程【分析】本題主要考查解一元二次方程，正確掌握解答過程是解題的關(guān)鍵．（１）習(xí)題1和習(xí)題2都是從第一步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤，不符合等式的性質(zhì)；（２）根據(jù)解方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：習(xí)題1和習(xí)題2都是從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，原因是移項(xiàng)時(shí)，沒有變號(hào)；（2）習(xí)題1：解：，移項(xiàng)，得，配方，得，，由此可得，，.習(xí)題2：解：將原方程化為一般形式，得；，，，，，即，.16．（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若該方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)解，求整數(shù)的值．【答案】(1)見解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況【分析】本題考查了根的判別式．（1）先計(jì)算根的判別式的值得到，則可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；（2）先利用求根公式法解方程得到，，再利用有理數(shù)的整除性得到，從而確定整數(shù)m的值．【詳解】（1）證明：，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：，∴，，方程有兩個(gè)不相等的正整數(shù)