第三章不等式3.1.1不等關(guān)系教學(xué)目標(biāo)1.通過具體情境建立不等觀念，并能用不等式或不等式組表示不等關(guān)系；2.了解不等式或不等式組的實(shí)際背景；3.能用不等式或不等式組解決簡單的實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)1.通過具體的問題情景，讓學(xué)生體會(huì)不等量關(guān)系存在的普遍性及研究的必要性；2.用不等式或不等式組表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系；教學(xué)難點(diǎn)1.用不等式或不等式組準(zhǔn)確地表示不等關(guān)系；2.用不等式或不等式組解決簡單的含有不等關(guān)系的實(shí)際問題.教學(xué)過程導(dǎo)入新課日常生活中,同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了哪些數(shù)量關(guān)系.你能舉出一些例子嗎？1：某天的天氣預(yù)報(bào)報(bào)道，最高氣溫32℃，最低氣溫26℃.則當(dāng)天的氣溫t應(yīng)該滿足：2：對(duì)于數(shù)軸上任意不同的兩點(diǎn)A、B，若點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，則xaxb.3:若一個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于或等于零.則這個(gè)數(shù)x可表示為.三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.可以表示為推進(jìn)新課實(shí)例5:當(dāng)我們?cè)诼飞峡吹竭@個(gè)路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v滿足實(shí)例6:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.可以表示為［合作探究］1、2、3、4、及實(shí)例5、實(shí)例6的答案［過程引導(dǎo)］一、什么是不等式呢?用不等號(hào)“≠，>，<，≥，≤”表示不等關(guān)系的式子叫不等式.如：-7＜-5；3+4＞1+4；2x≤6；a+2≥0;3≠4.問題1：設(shè)點(diǎn)A與平面α的距離為d,B為平面α上的任意一點(diǎn).用不等式或不等式組來表示出此問題中的不等量關(guān)系借助圖形來表示不等量關(guān)系,過點(diǎn)A作AC⊥平面α于點(diǎn)C，則d=|AC|≤|AB|.問題2：某種雜志原以每本2.5元的價(jià)格銷售,可以售出8萬本.據(jù)市場調(diào)查,若單價(jià)每提高0.1元,銷售量就可能相應(yīng)減少2000本.若把提價(jià)后雜志的定價(jià)設(shè)為x元,怎樣用不等式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢?答案：表示為x≥20或者表示為(2.5+0.1n)(8-0.2n)≥20.問題3：某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種,按照生產(chǎn)的要求,600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍.怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式?解假設(shè)截得500mm的鋼管x根，截得600mm的鋼管y根.根據(jù)題意，可以用下面的不等式組來表示：反饋練習(xí)1.若需在長為4000mm的圓鋼上，截出長為698mm和518mm兩種毛坯，問怎樣寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式組?2.銳角ABC中，B=2A,為了求A的范圍，應(yīng)該怎樣列出相應(yīng)的不等式（組）？3.某種植物適宜生長在溫度為的山區(qū)。已知山區(qū)海拔每升高100m，氣溫下降?，F(xiàn)測得山腳下的平均氣溫為，該植物種在山區(qū)多高處為宜？（只列式，不求解）4.下表給出了三種食物,,的維生素含量及成本：維生素(單位/kg)維生素(單位/kg)成本(元/kg)300700550010043003003某人欲將這三種食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000單位的維生素及40000單位的維生素，設(shè),這兩種食物各取kg，kg，那么,應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？課堂小結(jié)本節(jié)課理解了什么是不等關(guān)系，并重點(diǎn)聯(lián)系了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式或不等式組，從而為實(shí)現(xiàn)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在的大量不等量關(guān)系的實(shí)際問題提供了便利，但是，在列相關(guān)的不等式（組）時(shí)，要考慮周全，不能遺漏任何不等關(guān)系.布置作業(yè)課本P71課后教學(xué)反思：§3.1.2比較大小【教學(xué)目標(biāo)】（1）【知識(shí)與技能目標(biāo)】通過回憶初中內(nèi)容，用實(shí)數(shù)的基本理論來比較兩個(gè)代數(shù)式的大??；掌握作差比較大小的基本步驟，并且能靈活的應(yīng)用來解決一些實(shí)際生活問題。（2）【過程方法目標(biāo)】通過本節(jié)學(xué)習(xí)，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。（3）【情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)】通過本節(jié)學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的欲望，體會(huì)數(shù)學(xué)的奧妙與數(shù)學(xué)式子的結(jié)構(gòu)美、對(duì)稱美，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】比較大小的基本步驟及其應(yīng)用?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】準(zhǔn)確理解實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及一些代數(shù)式的恒等變形。【教學(xué)過程】1、【創(chuàng)設(shè)情景】大家先看右圖，這兩個(gè)人誰更漂亮？請(qǐng)說說你們的理由？左邊這個(gè)人再用動(dòng)畫展示一下，讓學(xué)生從動(dòng)畫中發(fā)現(xiàn)人的身材是否勻稱，其中有一關(guān)鍵點(diǎn)是比例問題。然后再給出問題的理論依據(jù)?！纠碚撘罁?jù)】一般的人，下半身長與全身長的比值在0.57~0.60之間，當(dāng)這個(gè)比值越接近黃金分割值0.618時(shí)人的身材就越好。2、【探究發(fā)現(xiàn)】【問1】為什么芭蕾舞演員在表演時(shí)，腳尖立起來給人以美的享受？大家能不能結(jié)合上述理論依據(jù)猜想一下理由？【問2】：實(shí)際生活中，我們想追求這種美，有沒有什么簡單有效果辦法？（穿高跟鞋）問：上述方法都是我們的猜想，能不能用數(shù)學(xué)知識(shí)來證明？這是一個(gè)實(shí)際問題，要用數(shù)學(xué)知識(shí)證明，必須先建立數(shù)學(xué)模型，就以穿高跟鞋為例。已知某人下半身長為a(cm)，全身長為b(cm)，請(qǐng)問這個(gè)人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身長與全身長的比值會(huì)增加嗎？分析：沒穿高跟鞋時(shí)的比值為，穿高跟鞋之后的比值為，只要比較與的大小關(guān)系。這個(gè)問題涉及到不等式知識(shí)，我們先來復(fù)習(xí)回顧不等式的的知識(shí)?！静坏仁降男再|(zhì)】：①若，則②若，，則③若，，則④若，，則（傳遞性）注：不等式的傳遞性有很重要的作用，比如：比較，的大小。我們可以找中間值0，其中，【比較大小的理論依據(jù)】比較大小常用它們的差與0的大小關(guān)系來確定我們?cè)倩氐缴鲜觥締?】問題，解答如下：解：∵所以，穿上高跟鞋后，下半身長與全身長的比值會(huì)變大；穿上適當(dāng)?shù)母吒梢允谷说南掳肷黹L與全身長的比值接近黃金分割值，從而使得人更漂亮了。這也是女士們?yōu)槭裁聪矚g穿高跟鞋的原因。其實(shí)藝術(shù)史上早就有這樣的例子，古希臘維納斯女神塑像通過故意延長雙腿，使之與身高的比值為0.618，從而創(chuàng)造藝術(shù)美之神話?！練w納小結(jié)】1、比較大小的基本步驟：作差→變形→判斷符號(hào)→下結(jié)論。2、一般地，設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則有【探究1】日常生活中，還有哪些實(shí)例滿足上述不等式？（1）建筑設(shè)計(jì)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積。但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%，且這個(gè)比值越大，住宅的采光條件越好。試問：同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請(qǐng)說明理由。通過上述兩張圖讓學(xué)生從視覺上理解課本例7所要表達(dá)的效果。（2）糖水中加糖，糖水變甜。3、【例題講解】【例1】試比較與的大小解：由于∴【練習(xí)1】已知，試比較與的大小。解：【練習(xí)2】設(shè)，，則a與b的大小關(guān)系為（）A、B、C、D、與x有關(guān)解：【歸納小結(jié)】“變形”是作差比較大小的關(guān)鍵，“變形”的目的在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少?！白冃巍钡某Ｓ梅椒ㄓ型ǚ?、因式分解、配方等。4、【知識(shí)應(yīng)用】【例】甲、乙兩人同時(shí)從A地出發(fā)沿同一路線走到B地，所用時(shí)間分別為t1、t2，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n。試判斷甲、乙誰先到達(dá)B地。解：設(shè)甲、乙所用的時(shí)間分別為t1、t2，從A地到B地的路程為S，則甲：乙：故甲比乙先到B地【練習(xí)】兩位采購員同去一家糧食銷售公司買了兩次糧食，兩次糧食的價(jià)格不同，兩位采購員的購糧方式也不同。其中，甲每次購買1000kg，乙每次購糧用去1000元錢，誰的購糧方式更合算？解：設(shè)前后兩次糧食的價(jià)格分別為x1、x2，甲、乙兩人購糧的平均價(jià)格為y1、y2故乙的購糧方式更合算5、【知識(shí)小結(jié)】1、比較大小（1）步驟：作差→變形→判斷符號(hào)→下結(jié)論。（2）關(guān)鍵點(diǎn)：變形是比較大小的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不必考慮差的值是多少。常用方法有通分、因式分解、配方等。2、一般地，設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則有3、應(yīng)用：靈活地應(yīng)用比較大小的知識(shí)來解決實(shí)際生活中的問題。6、【作業(yè)布置】1、已知，試比較P，Q的大小。2、已知，試比較與的大小。3、對(duì)于同樣的距離，船在靜水中來回行駛一次所花的時(shí)間與在流水中來回行駛一次所花的時(shí)間是否相等？請(qǐng)說明理由。（船在靜水中的速度與在流水中的速度一致）教后反思§3.2.1一元二次不等式的解法（1）教學(xué)目標(biāo)：1、正確理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的解法。2、理解一元二次不等式，一元二次方程及二次函數(shù)之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：一元二次不等式的解法。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：一元二次不等式的解法?！咀灾鲗W(xué)習(xí)】預(yù)習(xí)教材第75～78頁，完成下列問題．1、一元二次不等式含有未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為不等式，叫做一元二次不等式形如__________________或________________的不等式叫做一元二次不等式。2、一元二次不等式的解及其解集一般地，使某個(gè)一元二次不等式成立的叫做這個(gè)不等式的解.一元二次不等式的所有解組成的，叫做這個(gè)不等式的解集.3、解一元二次不等式的一般步驟（1）確定相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的根；（2）畫出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像；（3）結(jié)合函數(shù)圖像，得出不等式的解集。4、一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根口訣：大于取兩邊,小于取中間（a>0）．【預(yù)習(xí)自測】完成課本第78頁練習(xí)第1、2、3題．【合作探究】探究1解下列不等式：（1）2x2-3x-2>0；（2）2x2-8x+8≤0.探究2解下列不等式：（1）-3x2+6x>2;(2)-x2+6x-9≤0.題型解法歸納：一元二次不等式解的結(jié)構(gòu)，解集的端點(diǎn)與對(duì)應(yīng)方程根的關(guān)系小結(jié)：解一元二次不等式的步驟

（1）判號(hào)：檢查二次項(xiàng)系數(shù)a是否為正，若為負(fù)值，則利用不等式性質(zhì)轉(zhuǎn)化為正值；

（2）求根：計(jì)算判別式，求出相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根；

（3）標(biāo)根：在數(shù)軸上標(biāo)出所得的實(shí)數(shù)根（注意兩實(shí)數(shù)根的大小順序，特別是當(dāng)實(shí)數(shù)根中含有字母系數(shù)時(shí)），并畫出開口向上的拋物線的示意圖；

（4）寫解集：不等式的解集要寫成解集的形式，即用集合或區(qū)間表示【課后檢測】1.設(shè)集合M={x|x2+x-6<0}，N={x|1≤x≤3},則M∩N=（）A.［1,2)B.［1,2］C.(2,3］D.［2,3］2、不等式-x2≥x-2的解集為（）A.｛x|x≤-2或x≥1｝B.｛x|-2<x<1｝C.{x|-2≤x≤1}D.3.不等式ax2+bx+2>0的解集是｛x|-<x<｝,則a-b等于（）A.-4B.14C.-10D.104.若0<t<1,則不等式(x-t)(x-)<0的解集為（）A.｛x|<x<t｝B.{x|x>或x<t}C.{x|x<或x>t}D.{x|t<x<}5、x=2是方程x2+kx+2=0的一根，則不等式x2+kx+2<0的解集為（）A.{x|x≠2}B.{x|1<x<2}C.{x|x<1或x>2}D.6.下列四個(gè)不等式：①-x2+x+1≥0；②x2-2x+>0;③x2+6x+10>0;④2x2-3x+4<1.其中解集為R的是（）A.①B.②C.③D.④五、教后反思3.2.2一元二次不等式的解法2教學(xué)目標(biāo)：掌握含參數(shù)的一元二次不等式的解法，體會(huì)分類討論思想的重要性學(xué)習(xí)重點(diǎn)：含參數(shù)的一元二次不等式的解法。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：分類討論思想的正確使用。復(fù)習(xí)回顧：1.一元二次不等式的形式：與（a>0）2.只考慮的情形。當(dāng)a＜0時(shí)，將不等式兩邊乘－1就化成了“a＞0”。3.一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系：從函數(shù)的觀點(diǎn)來考慮。設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c

(a≠0)的圖象是拋物線L，則不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分別是拋物線L在x軸上方，在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是拋物線L與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。二次函數(shù)的根的解集的解集的解集的解集4.二次不等式、二次方程和二次函數(shù)的聯(lián)系，通常稱為“三個(gè)二次問題”，我們要深刻理解、牢牢掌握，并靈活地應(yīng)用它。它是函數(shù)與方程思想的應(yīng)用范例。應(yīng)用這“三個(gè)二次”的關(guān)系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且還能解決“二次問題”的難題。5.一元二次不等式的解法步驟。1）化為一般式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0)。這步可簡記為“使a＞0”。2）.計(jì)算△=b2－4ac，判別與求根：解對(duì)應(yīng)的二次方程ax2+bx+c=0，判別根的三種情況，△≥0時(shí)求出根。3）.寫出解集：用區(qū)間或用大括號(hào)表示解集。

注意：1.解題策略：使a值為正，求得兩根，“＞”則兩根之外；“＜”則兩根之內(nèi)。2.不要死記書上的解集表，要抓住對(duì)應(yīng)的二次方程的“根”來活記活用。二次不等式的解集求法可用數(shù)軸標(biāo)根?！?lt;0

△<0

△>0

++-

△≥0注意：正反思維：不等式的解集區(qū)間端點(diǎn)值就是不等式相應(yīng)方程的根；一．含參數(shù)的一元二次不等式例1（二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)）(1.)解關(guān)于x的不等式：x2－(2m＋1)x＋m2+m＜0。(2).解關(guān)于的不等式：x2+(1-a)x-a<0題型解法歸納：例2．二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)（1）解關(guān)于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0。（2）解關(guān)于的不等式：練習(xí):解不等式：mx2-2x+1＞0.題型解法歸納：二．正反思維：已知一元二次不等式解集，求參數(shù)問題思考1：能否寫出一個(gè)解集為(－2，1)的一元二次不等式？這樣的不等式有幾個(gè)？思考2：若不等式2x2－ax＋b＞0的解集為(－∞，－1)∪(3，＋∞)，求a、b值。例3．已知不等式的解集為，則不等式的解集為．變式：1..若不等式ax2+5x+b＞0的解集為{x|＜x＜}，則a、b的值分別是__________.2.已知的解集為，則不等式的解集是.歸納：不等式的解集區(qū)間端點(diǎn)值就是不等式相應(yīng)方程的根三.一元二次不等式解集為R或問題 7．不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解集為R，求a的取值范圍。8．k為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式(k＋1)x2－2x＋(k＋1)＞0的解集為？拓展訓(xùn)練1.已知不等式，若對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求m的取值范圍？3．已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，問是否存在常數(shù)，使不等式對(duì)一切都成立？4.已知不等式kx2-2x+6k<0（1）若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值；（2）若不等式的解集是全體實(shí)數(shù)集R,求k的值5．已知不等式①；②；③，要使同時(shí)滿足①②的也滿足③，則的取值范圍是_____________．6．已知不等式的解集是，對(duì)于有以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的有7.在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)成立，求a的取值范圍教學(xué)反思：§3.2一元二次不等式及其解法（3）【教學(xué)目標(biāo)】掌握不等式的恒成立問題這類問題涉及函數(shù)，方程，不等式等，一般處理方法如下：（1）利用函數(shù)在區(qū)間的最值解決（2）分離出參數(shù)再去求函數(shù)的最值來處理。若對(duì)一切恒成立，則；若對(duì)一切恒成立，則。（3）變換主元：把已知范圍的元素看成自變量，從而轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡單易解的問題。一、函數(shù)思想（轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題）1.一次函數(shù)f(x)=kx+b在x上恒大于0例1.已知函數(shù)f(x)=2mx+m-3在上恒大于0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍2.二次函數(shù)f(x)=例2．（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x,式子均有意義，求常數(shù)k的取值范圍（2）已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當(dāng)x∈[－1，＋∞)時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．變式訓(xùn)練：（1）當(dāng)a∈()時(shí)，不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求的值（2）若，對(duì)一切x∈都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍題型解法歸納：二．參數(shù)分離法例3已知函數(shù)f(x)=，對(duì)任意的x∈，f(x)≥0都成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍變式訓(xùn)練(1)關(guān)于x的不等式eq\f(4x＋m,x2－2x＋3)<2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．(2)已知函數(shù)f(x)=①若對(duì)于一切實(shí)數(shù)x,f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．②對(duì)任意的x∈，f(x)<-m+5都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍題型解法歸納：三．變換主元法例4若不等式（1）對(duì)所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．（2）對(duì)滿足的所有實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．變式訓(xùn)練：若不等式x2＋px>4x＋p－3對(duì)一切0≤p≤4均成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．題型解法歸納：課后作業(yè)：1.若不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為2.已知函數(shù)f(x)=①若函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍②若函數(shù)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3.已知函數(shù)f(x)=，其中a∈R,若x∈時(shí)f(x)有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍4.已知函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，解關(guān)于x的不等式教學(xué)反思：3.2.2一元二次不等式的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.能利用一元二次不等式解簡單的分式不等式與高次不等式.2.解決相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題.重點(diǎn)1.解簡單的分式不等式與高次不等式.2.解決與一元二次不等式有關(guān)的實(shí)際問題.難點(diǎn)：分式不等式與高次不等式的解法.學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)解不等式的關(guān)鍵問題就是保證轉(zhuǎn)化的等價(jià)性.（1）分式不等式一般先移項(xiàng)通分，然后利用>0(或<0)型轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)>0（或<0），再求解.對(duì)于≥0（或≤0），一定不能忽視去掉g(x)=0的情況.（2）含絕對(duì)值號(hào)的不等式，可分段去掉絕對(duì)值號(hào)討論，也可采用兩邊平方法，應(yīng)根據(jù)題目條件的特點(diǎn)選取方法.（3）高次不等式一般分解因式后用標(biāo)根法求解，但要注意x的高次項(xiàng)系數(shù)為正.思路方法技巧［例1］不等式<1.［分析］解分式不等式一般首先要化為>0（或<0）的標(biāo)準(zhǔn)形式，再等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式或化為一次因式積的形式來用"穿針引線法"，借助于數(shù)軸得解.解法一：原不等式可化為>0(2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0解得原不等式的解集為｛x|x<或<x<1，或x>2｝.解法二：原不等式移項(xiàng)，并因式分解得>0(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)>0,在數(shù)軸上標(biāo)出(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)＝0的根，并畫出示意圖，如圖所示.可得原不等式的解集為｛x|x<或<x<1，或x>2｝.題型解法歸納：解分式不等式的思路方法是等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式，本題的兩種解法在等價(jià)變形中主要運(yùn)用了符號(hào)法則，故在求解分式不等式時(shí)，首先應(yīng)將一邊化為零，再進(jìn)行求解.變式1：解不等式：≤1.解原不等式-1≤0≤0故原不等式的解集為｛x|-2≤x<1｝.例2解下列不等式:（1）(x+1)(1-x)(x-2)>0;(2)x3-2x2+3<0;(3)x(x-1)2(x+1)3(x+2)≥0.［分析］通過因式分解，把高次不等式化為一元一次不等式或一元二次不等式的積的問題，然后再依據(jù)相關(guān)性質(zhì)解答.［解析］（1）原不等式等價(jià)于(x-1)(x-2)(x+1)<0,令y=(x-1)(x-2)(x+1),當(dāng)y=0時(shí)，各因式的根分別為1，2，-1，如圖所示可得不等式的解集為｛x|x<-1或1<x<2｝.（2）原不等式可化為（x+1）(x2-3x+3)<0,而對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有x2-3x+3>0(∵Δ=（-3）2-12<0).∴原不等式等價(jià)于x+1<0,∴原不等式的解集為｛x|x<-1｝.(3)∵方程x(x-1)2(x+1)3(x+2)=0的根依次為0，1，-1，-2，其中1為雙重根，-1為三重根，（即1為偶次根，-1為奇次根），如圖所示，由"穿針引線法"可得∴不等式的解集為｛x|-2≤x≤-1，或x≥0｝.題型解法歸納：解高次不等式用穿針引線法簡捷明了，使用此法時(shí)一定要注意：①所標(biāo)出的區(qū)間是否是所求解的范圍，可取特值檢驗(yàn)，以防不慎造成失誤；②是否有多余的點(diǎn)，多余的點(diǎn)應(yīng)去掉；③總結(jié)規(guī)律，"遇奇次方根一穿而過，遇偶次方根只穿，但不過"，如上圖.變式2：解不等式(3-x)(x+2)(x-1)2(x-4)<0.解令(x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)=0，得各因式的根分別為-2,1,3,4.將各因式的根從小到大依次標(biāo)在數(shù)軸上，如圖∴原不等式的解集是{x|-2<x<1或1<x<3或x>4}.［例3］某摩托車廠上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛,出廠價(jià)為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x（0<x<1），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x，已知年利潤＝（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量.(1)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；（2）為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？［分析］首先根據(jù)題意建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，然后解不等式.［解析］(1)由題意得y=［1.2×（1+0.75x）-1×（1+x）］×1000（1+0.6x）(0<x<1),整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1).(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有解得0<x<.即投入成本增加的比例應(yīng)在（0，）的范圍內(nèi).題型解法歸納：應(yīng)用問題中需把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，其中建模是關(guān)鍵，把題中的不等關(guān)系用不等式表示，通過不等式的解法解決范圍問題.變式：國家為了加強(qiáng)對(duì)煙酒生產(chǎn)的宏觀管理，實(shí)際征收附加稅政策，現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不加收附加稅時(shí)，每年大約產(chǎn)銷100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅R元（叫做稅率R％），則每年的銷售量減少10R萬瓶，要使每年在此項(xiàng)經(jīng)營中所收附加稅金額不少于112萬元，則R應(yīng)怎樣確定？課堂鞏固訓(xùn)練一、選擇題1.不等式<0的解集為（）A.{x|-2<x<3}B.{x｜x<-2}C.{x｜x<-2,或x>3}D.{x｜x>3}2.不等式≥2的解集為（）A.［-1,0)B.［-1,+∞)C.(-∞,-1］D.(-∞,-1］∪(0,+∞)3.下列不等式的解集是R的為（）A.x2+2x+1>0B.>0C.（)x+1>0D.-<二、填空題4..不等式＞0的解集是5.若函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，則a的取值范圍為.三、解答題6.解不等式：≤2.7.已知不等式ax2-3x+6>4的解集為｛x|x<1或x>b｝,（1）求a,b的值；(2)解不等式>0.教學(xué)反思：3.3.1基本不等式（一）一、教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個(gè)基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“≥”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等；2．過程與方法：通過實(shí)例探究抽象基本不等式；3．情態(tài)與價(jià)值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣二、教學(xué)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；教學(xué)難點(diǎn)：基本不等式等號(hào)成立條件三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合四、教學(xué)過程課題導(dǎo)入：一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，我們有恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.如果a,b都是非負(fù)數(shù)，設(shè)x=,y=,則由上面這個(gè)不等式可以得出以下結(jié)論：，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立．（二）、探析新課1.一般的，如果我們稱此不等式為重要不等式2.如果a,b都是非負(fù)數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立我們稱此不等式為基本不等式，又叫均值不等式，有時(shí)候又寫成理解定義：在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).因此，均值不等式還可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)，看作是正數(shù)a、b的等比中項(xiàng)，那么該定理可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng).理解基本不等式的幾何意義探究：在右圖中，AB是圓的直徑，點(diǎn)C是AB上的一點(diǎn)，AC=a,BC=b。過點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個(gè)圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.這個(gè)圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心重合，即a＝b時(shí)，等號(hào)成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”例1設(shè)a,b均為正數(shù)，證明不等式.證明∵a,b均為正數(shù)，由基本不等式，∴∴，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立方法二：如圖，AB是圓O的直徑，AC=,CB=b,過點(diǎn)C作交圓O上半圓于D，過C作交OD于E，你能給出這個(gè)不等式的幾何解釋嗎？證明：在中，由射影定理可知：∴==例2已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形.解：∵x，y都是正數(shù)∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0∴＝2即≥2.(2)∵x＋y≥2＞0，x2＋y2≥2＞0，x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.（三）、隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc2．已知f(x)＝x2＋px＋q(p>0)，當(dāng)x1>0，x2>0時(shí)，下列關(guān)系成立的是()A．f(eq\r(x1x2))≤f(eq\f(x1＋x2,2))≤eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]B．f(eq\r(x1x2))≤eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]≤f(eq\f(x1＋x2,2))C．eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]≤f(eq\r(x1x2))≤f(eq\f(x1＋x2,2))D．f(eq\f(x1＋x2,2))≤f(eq\r(x1x2))≤eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]課后拓展：證明：設(shè)、，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（四）、課時(shí)小結(jié)：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2＋b2≥2ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（≥）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價(jià)變形來解決問題：ab≤，ab≤（）2.五、教后反思：3.3.2基本不等式（二）一、教學(xué)目標(biāo)：1．知識(shí)與技能：進(jìn)一步掌握基本不等式；會(huì)應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實(shí)際問題2．過程與方法：通過兩個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會(huì)用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。3．情態(tài)與價(jià)值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：均值不等式定理的應(yīng)用。三、教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式四、教學(xué)過程1．復(fù)習(xí)回顧（1）、寫出均值不等式并闡述其證明過程。（2）、均值不等式成立的條件是什么？2．例題講解：例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)（2）y＝x＋eq\f(1,x)（變式：加上條件x>2)解：（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)≥2eq\r(3x2·eq\f(1,2x2))＝eq\r(6)∴y∈[eq\r(6)，+∞）（2）當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2；當(dāng)x＜0時(shí)，y≤－2∴y∈（－∞，－2]∪[2，+∞）例2：當(dāng)x＞1時(shí)，求函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x－1)的最小值解：y＝（x－1）＋eq\f(1,x－1)＋1（∵x＞1）≥2＋1＝3∴函數(shù)的最小值是3問題：x＞8時(shí)？總結(jié)：一正二定三相等號(hào)。介紹：函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的圖象及單調(diào)區(qū)間例3：求下列函數(shù)的值域（1）y=eq\f(x2＋3x＋5,x＋1)（2）y=eq\f(x＋1,x2＋3x＋5)解：（1）y＝eq\f((x＋1)2＋(x＋1)＋3,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(3,x＋1)＋1當(dāng)x＋1＞0時(shí)，y≥2eq\r(3)＋1；當(dāng)x＋1＜0時(shí)，y≤－2eq\r(3)＋1即函數(shù)的值域?yàn)椋海ǎ?，?eq\r(3)＋1]∪[2eq\r(3)＋1，+∞）（2）當(dāng)x＋1≠0時(shí)，令t=eq\f(x2＋3x＋5,x＋1)則問題變?yōu)椋簓=eq\f(1,t)，t∈（－∞，－2eq\r(3)＋1]∪[2eq\r(3)＋1，+∞）∴y∈[eq\f(1,－2eq\r(3)＋1)，0）∪（0，eq\f(1,2eq\r(3)＋1)]又x＋1=0時(shí)，y=0即y∈[－eq\f(1＋2eq\r(3),11)，eq\f(2eq\r(3)－1,11)]說明：這類分式函數(shù)的值域也可通過判別式法求值域，但要注意檢驗(yàn)。例4：求下列函數(shù)的最大值（1）y＝2x（1－2x）（0＜x＜eq\f(1,2)）（2）y＝2x（1－3x）（0＜x＜eq\f(1,3)）例5：已知x＋2y＝1，求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值。學(xué)生練習(xí)，教師準(zhǔn)對(duì)問題講評(píng)。3．課堂小結(jié)：一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及變形的應(yīng)用以及等號(hào)成立的條件。4．課后作業(yè)1）已知x+y=2，求2x＋2y的最小值。2）求函數(shù)y=eq\f(x2,x4＋9)(x≠0)的最大值。3）求函數(shù)y=eq\f(x2＋4x＋6,x2＋3x＋5)的值域。4）已知函數(shù)y=(3x＋2)（1－3x）（1）當(dāng)－eq\f(2,3)＜x＜eq\f(1,3)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（2）當(dāng)0≤x≤eq\f(1,4)時(shí)，求函數(shù)的最大、最小值。五、教后反思：3.3.3基本不等式（三）一、教學(xué)目標(biāo)：通過這節(jié)課，使學(xué)生能夠運(yùn)用均值不等式定理來討論與不等式有關(guān)的各類問題。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：均值不等式定理的靈活運(yùn)用。三、教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式四、教學(xué)過程1．復(fù)習(xí)回顧（1）、寫出均值不等式并闡述其證明過程。（2）、均值不等式成立的條件是什么？2．例題講解：例1：已知a>1，0<b<1，求證：logab＋logba≤－2解題思路分析：由對(duì)數(shù)函數(shù)可知：logba＝eq\f(1,logab)，logab＜0，因此由logab＋eq\f(1,logab)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)聯(lián)想到用基本不等式去縮小，但條件顯然不滿足，應(yīng)利用相反數(shù)的概念去轉(zhuǎn)化?！遧ogab＜0∴－logab＞0∴－logab＋eq\f(1,－logab)≥2eq\r((－logab)·eq\f(1,－logab))＝2∴l(xiāng)ogab＋eq\f(1,logab)≤－2即logab＋logba≤－2當(dāng)且僅當(dāng)－logab＝eq\f(1,－logab)，loga2b＝1，logab＝－1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)ab＝1。例2：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.解題思路分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤eq\f(a2＋b2,2)。同時(shí)還應(yīng)化簡eq\r(1＋y2)中y2前面的系數(shù)為eq\f(1,2)

xeq\r(1＋y2)＝xeq\r(2·eq\f(1＋y2,2))＝eq\r(2)x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))下將x，eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))分別看成兩個(gè)因式x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(x2＋(eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2)))2,2)＝eq\f(x2＋eq\f(y2,2)＋eq\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)∴xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2)·xeq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(3,4)eq\r(2)例3：已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.解題思路分析：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，eq\f(a＋b,2)≤eq\f(a2＋b2,2)，本題很簡單eq\r(3x)＋eq\r(2y)≤eq\r(2)eq\r(（eq\r(3x)）2＋（eq\r(2y)）2)＝eq\r(2)eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(5)否則，這樣思考：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)＝10＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)≤10＋(eq\r(3x))2·(eq\r(2y))2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤eq\r(20)＝2eq