考點(diǎn)14函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系.2.理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡單應(yīng)用.3.了解用二分法求方程的近似解．【知識點(diǎn)】1．函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù)y＝f(x)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y＝f(x)有?函數(shù)y＝f(x)的圖象與有公共點(diǎn)．(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得，這個c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法對于在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間，使所得區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．常用結(jié)論1．若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點(diǎn)．2．連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號【核心題型】題型一函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判定確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來判斷．【例題1】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）設(shè)方程的兩根為，，則（

）A．， B．C． D．【變式1】（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有一個零點(diǎn)，則屬于下列哪個區(qū)間（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式3】（2023·遼寧葫蘆島·一模）請估計函數(shù)零點(diǎn)所在的一個區(qū)間.題型二函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判定求解函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少個解，則f(x)有多少個零點(diǎn)；(2)定理法：利用定理時往往還要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等；(3)圖象法：一般是把函數(shù)拆分為兩個簡單函數(shù)，依據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)得出函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)．【例題2】（2024·天津·二模）已知函數(shù)，關(guān)于有下面四個說法：的圖象可由函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度得到；在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的取值范圍為；在區(qū)間上有個零點(diǎn)．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)滿足，，當(dāng)時，，則函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】．（2024·青海西寧·二模）記是不小于的最小整數(shù),例如,則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為.【變式3】（2024·北京西城·一模）關(guān)于函數(shù)，給出下列三個命題：①是周期函數(shù)；②曲線關(guān)于直線對稱；③在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)．其中真命題的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型三函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的三種常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.命題點(diǎn)1根據(jù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)【例題3】（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．，使函數(shù)恰有1個零點(diǎn)B．，使函數(shù)恰有3個零點(diǎn)C．，函數(shù)都有零點(diǎn)D．若函數(shù)有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【變式1】（2024·安徽黃山·二模）若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）若方程在上有兩個不同的根，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·上海徐匯·二模）已知函數(shù)，其中.(1)求證：是奇函數(shù)；(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.命題點(diǎn)2根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)【例題4】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上只有1個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·四川巴中·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【變式2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式3】（2023·全國·模擬預(yù)測）將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像．若在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，無極值，則的取值范圍是．【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2023·浙江寧波·一模）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．2．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．13．（23-24高三下·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C．在內(nèi)有零點(diǎn) D．若在內(nèi)有零點(diǎn)，則4．（2024·北京海淀·一模）已知，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為，過點(diǎn)與曲線相切的直線的條數(shù)為，則的值分別為（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是（

）A．在區(qū)間上的值域是B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個零點(diǎn)二、多選題6．（2024·甘肅定西·一模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)有2個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)B．當(dāng)有3個零點(diǎn)時，只有1個零點(diǎn)C．當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有2個零點(diǎn)D．當(dāng)有2個零點(diǎn)時，有4個零點(diǎn)7．（2023·安徽馬鞍山·三模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若，則關(guān)于的方程的解的個數(shù)是．9．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知，是該函數(shù)的極值點(diǎn)，定義表示超過實(shí)數(shù)的最小整數(shù)，則的值為.四、解答題10．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù).(1)若時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若時，求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)若對于任意，恒成立，求的取值范圍.11．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，是的零點(diǎn)．(1)求的值；(2)求函數(shù)的值域．12．（2023·四川綿陽·模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；(2)已知僅有兩個零點(diǎn)，證明：函數(shù)僅有一個零點(diǎn)．綜合提升練一、單選題1．（2023·吉林長春·一模）方程的根所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國·模擬預(yù)測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如，，，設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）若函數(shù)的最小正周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·二模）記函數(shù)的最小正周期為.若，為的零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．66．（2024·安徽蕪湖·二模）在數(shù)列中，為其前n項和，首項，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則=（

）A．26 B．63 C．57 D．257．（2023·四川南充·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．8．（2024·山西呂梁·模擬預(yù)測）用[]表示不大于實(shí)數(shù)a的最大整數(shù)，如[1.68]=1，設(shè)分別是方程及的根，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．（2024·甘肅隴南·一模）已知函數(shù)有3個不同的零點(diǎn),且，則（

）A． B．的解集為C．是曲線的切線 D．點(diǎn)是曲線的對稱中心10．（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的最小正周期，，且在處取得最大值.下列結(jié)論正確的有（

）A．B．的最小值為C．若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則的最小值為D．函數(shù)在上一定存在零點(diǎn)11．（2023·江西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對于任意的，存在偶函數(shù)，使得為奇函數(shù)B．若只有一個零點(diǎn)，則C．當(dāng)時，關(guān)于的方程有3個不同的實(shí)數(shù)根的充要條件為D．對于任意的，一定存在極值三、填空題12．（2023·廣東深圳·一模）定義開區(qū)間的長度為．經(jīng)過估算，函數(shù)的零點(diǎn)屬于開區(qū)間（只要求寫出一個符合條件，且長度不超過的開區(qū)間）．13．（2024·河南南陽·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則整數(shù)的一個取值可以是．14．（2023·山西陽泉·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，給出以下三個結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號為.四、解答題15．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值；(2)若函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，方程有兩個解，求參數(shù)的取值范圍.17．（2023·江蘇·三模）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所得函圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模é兀?）倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．(1)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；(2)若函數(shù)在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，求ω的取值范圍．18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)設(shè)函數(shù)，若有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（2023·福建福州·模擬預(yù)測）設(shè)，函數(shù)．(1)判斷的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論；(2)若，記的一個零點(diǎn)為，若，求證：．拓展沖刺練一、單選題1．（2024·山西晉城·二模）將函數(shù)的圖象向右平移（）個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點(diǎn)、2個極值點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·北京·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列命題正確的是（

）①是奇函數(shù)；②方程有且僅有1個實(shí)數(shù)根；③在上是增函數(shù)；④如果對任意，都有，那么的最大值為2.A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④4．（2023·四川南充·一模）已知函數(shù)（）有兩個不同的零點(diǎn)，（），下列關(guān)于，的說法正確的有（

）個①

②

③A．0 B．1 C．2 D．35．（23-24高三下·湖南·階段練習(xí)）設(shè)方程的兩根為，，則（

）A．， B．C． D．二、多選題6．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在上單調(diào)遞增B．若且，則C．若在上有且僅有2個不同的解，則的取值范圍為D．存在，使得的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則（

）A． B．C． D．的最小值為8．（2023·河南焦作·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)