南安高考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是（）

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-∞,1]

2.已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≥1},則A∩B=（）

A.{x|-1<x<1}

B.{x|1≤x<3}

C.{x|x≥-1}

D.{x|x<3}

3.若復(fù)數(shù)z=1+i滿足z2=a+bi,則a+b的值為（）

A.2

B.-2

C.0

D.1

4.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的概率是（）

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.2/3

5.已知直線l:y=kx+b與圓O:x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=2√3,則k的值為（）

A.±√3

B.±1

C.±√2

D.0

6.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.π

B.2π

C.π/2

D.3π/2

7.在等差數(shù)列{a?}中,若a?=10,a??=19,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）

A.a?=3n-2

B.a?=3n+2

C.a?=2n+3

D.a?=2n-3

8.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,則f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值是（）

A.1

B.3

C.5

D.7

9.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2=c2,則角C的度數(shù)可能是（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

10.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值,則a的值為（）

A.e

B.e2

C.1/e

D.1/e2

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的是（）

A.y=2x+1

B.y=(1/3)^x

C.y=log?x

D.y=-x2+1

2.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足a/sinA=b/sinB=c/sinC,則該三角形一定是（）

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.斜三角形

3.下列命題中，正確的是（）

A.命題“p或q”為真，則p、q中至少有一個為真

B.命題“p且q”為假，則p、q中至少有一個為假

C.命題“非p”為真，則p為假

D.命題“若p則q”為真，則“若非q則非p”也為真

4.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x+tan2x,則f(x)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,+∞)

B.[2,+∞)

C.[1,2]

D.[1,1+√3]

5.在等比數(shù)列{b?}中,若b?=2,b?=16,則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S?的表達(dá)式為（）

A.S?=2(2^n-1)

B.S?=16(2^(n-1)-1)

C.S?=2(2^n-1)/3

D.S?=16(1-(1/2)^(n-1))

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1在x=1處取得極值,且f(1)=3,則a+b的值為________.

2.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足2sinAcosB=sinC,則cos(A-B)的值為________.

3.已知直線l?:y=2x+1與直線l?:ax+3y-5=0平行,則a的值為________.

4.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是________.

5.在等差數(shù)列{a?}中,若a?=7,a??=19,則該數(shù)列的第n項(xiàng)a?的表達(dá)式為________.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(x+1)-5*2^x+2=0.

2.已知函數(shù)f(x)=(x-1)/x,求f(1/2)+f(1/3)+f(1/6)的值.

3.在△ABC中,若角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足a=3,b=√7,c=2,求角B的余弦值.

4.求函數(shù)f(x)=sin(2x-π/4)在區(qū)間[0,π]上的最大值和最小值.

5.已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?=n2+n,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?(n≥1).

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

解：由對數(shù)函數(shù)的定義域可知，x-1>0,即x>1.故定義域?yàn)?1,+∞).

2.B

解：A=(-1,3),B=[1,+∞).A∩B=[1,3).

3.A

解：z2=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.故a=0,b=2.a+b=2.

4.C

解：骰子點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)的可能結(jié)果為2,4,6,共3種.總可能結(jié)果為6種.故概率為3/6=1/2.

5.A

解：圓心O到直線l的距離d=√(r2-(AB/2)2)=√(4-3)=1.由點(diǎn)到直線距離公式得1=|b-k|/√(k2+1).兩邊平方得1=(b2-2kb+k2)/(k2+1).整理得(k2+1)=(b2-2kb+k2).化簡得b2-2kb=0,即b(b-2k)=0.若b=0,則直線過原點(diǎn),與圓O相交于原點(diǎn),|AB|≠2√3,舍去.若b-2k=0,即k=b/2.代入距離公式得1=|b/2-k|/√(k2+1)=|k-k|/√(k2+1)=0,矛盾.故直線不過圓心.此時距離d=|b-k|/√(k2+1)=1.代入直線方程y=kx+b得1=|b-k|/√(k2+1).兩邊平方得1=(b-k)2/(k2+1).整理得k2+1=(b-k)2.展開(b-k)2=b2-2bk+k2.代入得k2+1=b2-2bk+k2.化簡得b2-2bk=1.由勾股定理知,|AB|2=4r2-4d2=16-4=12.而|AB|2=(x?-x?)2+(y?-y?)2=((x?+x?)/2)2-2(x?x?)+((y?+y?)/2)2-2(y?y?)=(AB/2)2=12.故(AB/2)2=12.AB=2√3.由弦長公式|AB|=2√(r2-d2)=2√(4-1)=2√3.聯(lián)立1=|b-k|/√(k2+1)和b2-2bk=1.將|b-k|/√(k2+1)=1代入得b2-2bk=√(k2+1)2=k2+1.整理得b2-2bk-k2=1.即(b-k)2-k2=1.展開(b-k)2=b2-2bk+k2.代入得b2-2bk+k2-k2=1.化簡得b2-2bk=1.與之前得到的b2-2bk=1一致.這表明我們的推導(dǎo)過程是自洽的.現(xiàn)在需要解k.由1=|b-k|/√(k2+1)得|b-k|=√(k2+1).兩邊平方得(b-k)2=k2+1.代入b2-2bk=1得(1+2bk)-k2=k2+1.化簡得2bk-2k2=0.即2k(b-k)=0.若k=0,則直線方程為y=b.|AB|=2√3.|AB|2=12.圓心O到直線y=b的距離d=|0-b|=|b|.d2=b2=12/4=3.d=√3.這與之前計(jì)算的d=1矛盾.故k≠0.因此,b-k=0,即b=k.代入|b-k|=√(k2+1)得|k-k|=√(k2+1),即0=√(k2+1),矛盾.這表明我們假設(shè)直線不過圓心導(dǎo)致矛盾是錯誤的.實(shí)際上,直線必須過圓心.因?yàn)槿绻贿^圓心,如上所示會導(dǎo)致矛盾.既然直線過圓心(0,0),則其方程為y=kx.圓心到直線的距離d=0.由弦長公式|AB|=2√(r2-d2)=2√(4-02)=4.但題目給出|AB|=2√3.4≠2√3.這意味著題目條件矛盾,無法求出k.或者,我們可以重新審視題目條件.題目說直線與圓相交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=2√3.這意味著直線必須過圓心O(0,0),因?yàn)橹挥袌A心到直線的距離為0時,弦長才等于2倍半徑,即|AB|=2r=4.但題目給出|AB|=2√3≠4.因此,題目條件存在矛盾.可能題目意圖是直線與圓相切,此時|AB|=2r=4.但題目給出|AB|=2√3≠4.或者題目意圖是直線不過圓心,且|AB|=2√3.但此時|AB|≠2r,無法求出k.由于題目條件矛盾,無法求出k.

6.A

解：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為T=2π/|ω|.對于f(x)=sin(2x+π/3),ω=2.故最小正周期T=2π/2=π.

7.B

解：由a?=a?+4d=10,a??=a?+9d=19.解得a?=2,d=2.故a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)2=2+2n-2=2n.

8.D

解：f'(x)=3x2-3.令f'(x)=0,得x=±1.f(-2)=(-2)3-3(-2)+1=-8+6+1=-1.f(-1)=(-1)3-3(-1)+1=-1+3+1=3.f(0)=03-3(0)+1=1.f(1)=13-3(1)+1=1-3+1=-1.f(2)=23-3(2)+1=8-6+1=3.故最大值為max{-1,3,1,-1,3}=3.

9.D

解：a2+b2=c2是勾股定理的逆定理的條件，結(jié)論是△ABC為直角三角形，且∠C=90°。

10.A

解：f'(x)=e^x-a.令f'(1)=0,得e-a=0,即a=e.

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.AC

解：y=2x+1是一次函數(shù)，其斜率為正，故在定義域R上單調(diào)遞增.y=log?x是對數(shù)函數(shù)，底數(shù)5>1，故在定義域(0,+∞)上單調(diào)遞增.y=(1/3)^x是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)1/3∈(0,1)，故在定義域R上單調(diào)遞減.y=-x2+1是二次函數(shù)，開口向下，對稱軸為x=0.在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減.

2.CD

解：a/sinA=b/sinB=c/sinC是正弦定理的內(nèi)容.它表明△ABC是任意三角形（包括鈍角三角形、銳角三角形、直角三角形）。選項(xiàng)A等腰三角形不一定是任意三角形。選項(xiàng)B直角三角形滿足正弦定理，但正弦定理適用于任意三角形。選項(xiàng)C等邊三角形是等腰三角形的一種特殊情況，也滿足正弦定理。選項(xiàng)D斜三角形是除直角三角形外的任意三角形，滿足正弦定理。

3.ABC

解：根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的真假關(guān)系：p或q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q中至少有一個為真（A正確）。p且q為假，當(dāng)且僅當(dāng)p、q中至少有一個為假（B正確）。非p為真，意味著p為假（C正確）。若p則q為真，意味著非p或q為真。則“若非q則非p”為真，意味著“若非q則非p”為真，也意味著“p或非q”為真。這與“若p則q”為真（即“非p或q”為真）不一定等價。例如，若p為假，q為假，則“若p則q”為真（非p或q為真），但“若非q則非p”為真（非假則假，即真則假，為假），此時“若非q則非p”為假。所以D不一定正確。

4.AC

解：f(x)=sin2x+cos2x+tan2x=1+tan2x=1+(sin2x/cos2x)=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x.函數(shù)的定義域?yàn)閤≠kπ+π/2,k∈Z.在其定義域內(nèi)，1/cos2x的值域?yàn)?0,+∞).但考慮到f(x)=1+tan2x≥1(當(dāng)x=kπ時，tanx=0，f(x)=1).當(dāng)x接近kπ+π/2時，cosx接近0，f(x)趨于無窮大。因此，值域?yàn)閇1,+∞).

5.AD

解：b?=b?q3=2q3=16.解得q=2.S?=b?(1-q?)/(1-q)=2(1-2?)/(1-2)=2(1-2?)/(-1)=-2(1-2?)=2(2?-1).所以A正確.S?=n2+n.S?-S???=a?=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=n2+n-(n2-2n+1+n-1)=n2+n-n2+2n-n=2n.a?=2n.對于n=1,a?=2(1)=2.S?=12+1=2.a?=S?.對于n≥2,a?=2n.S?=n2+n.S???=(n-1)2+(n-1)=n2-2n+1+n-1=n2-n.a?=S?-S???=(n2+n)-(n2-n)=2n.所以a?=2n(n≥1).所以D正確.

三、填空題（每題4分，共20分）

1.-3

解：f'(x)=2ax+b.令f'(1)=0,得2a+b=0.由f(1)=3,得a(1)2+b(1)+1=3,即a+b+1=3,得a+b=2.解方程組{2a+b=0{a+b=2得a=-2,b=4.故a+b=-2+4=2.

2.1/2

解：2sinAcosB=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB.故2sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0,即sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.由于角A、B、C是△ABC的內(nèi)角,0<A,B,C<π.故-π<A-B<π.因此A-B=0,即cos(A-B)=cos0=1.

3.-6

解：直線l?:y=2x+1的斜率k?=2.直線l?:ax+3y-5=0,即y=(-a/3)x+5/3.其斜率k?=-a/3.因l?平行于l?,故k?=k?,即2=-a/3.解得a=-6.

4.3

解：f(x)=|x-1|+|x+2|表示數(shù)軸上點(diǎn)x到點(diǎn)1和點(diǎn)-2的距離之和.當(dāng)x在-2和1之間，包括-2和1時，即-2≤x≤1,|x-1|+|x+2|=(1-x)+(x+2)=3.在其他情況下，距離之和都大于3.故最小值為3.

5.4n-3

解：由a?=7,a?+4d=7.由a??=19,a?+11d=19.解得a?=1,d=2.故a?=a?+(n-1)d=1+(n-1)2=1+2n-2=2n-1.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解：令2^x=t,則t>0.原方程變?yōu)?t-5t+2=0,即-3t+2=0.解得t=2/3.故2^x=2/3.兩邊取以2為底的對數(shù)得x=log?(2/3)=log?2-log?3=1-log?3.

2.解：f(1/2)=(1/2-1)/(1/2)=(-1/2)/(1/2)=-1.f(1/3)=(1/3-1)/(1/3)=(-2/3)/(1/3)=-2.f(1/6)=(1/6-1)/(1/6)=(-5/6)/(1/6)=-5.故f(1/2)+f(1/3)+f(1/6)=-1-2-5=-8.

3.解：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC.代入a=3,b=√7,c=2得22=32+(√7)2-2*3*√7*cosC.即4=9+7-6√7cosC.整理得4=16-6√7cosC.6√7cosC=16-4=12.cosC=12/(6√7)=2/√7=2√7/7.

4.解：f'(x)=2cos(2x-π/4).令f'(x)=0,得2cos(2x-π/4)=0,即cos(2x-π/4)=0.在區(qū)間[0,π]上,2x∈[0,2π].-π/4+2kπ≤2x≤π/4+2kπ,k∈Z.取k=0,得-π/4≤2x≤π/4.令x=π/8,則2x=π/4.取k=1,得7π/4≤2x≤9π/4.令x=7π/8,則2x=7π/4.故在[0,π]上,2x=π/4或2x=7π/4對應(yīng)極值點(diǎn).f(π/8)=sin(π/4)=√2/2.f(7π/8)=sin(7π/4)=sin(π+3π/4)=-sin(3π/4)=-√2/2.f(0)=sin(0)=0.f(π)=sin(π)=0.故最大值為√2/2,最小值為-√2/2.

5.解：a?=S?-S???(n≥2).S?=n2+n.S???=(n-1)2+(n-1)=n2-2n+1+n-1=n2-n.故a?=(n2+n)-(n2-n)=2n(n≥2).驗(yàn)證n=1時:a?=S?=12+1=2.2n=2*1=2.a?=2n.故a?=2n(n≥1).

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下

**一、選擇題**：主要考察了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和運(yùn)算，三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，數(shù)列的基本概念和公式，解析幾何中直線與圓的位置關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)和向量等知識。題目難度中等，要求學(xué)生熟練掌握基本概念和公式，并能靈活運(yùn)用解決實(shí)際問題。

**二、多項(xiàng)選擇題**：主要考察了函數(shù)的單調(diào)性，正弦定理的應(yīng)用，邏輯命題的真假關(guān)系，三角函數(shù)的值域，以及數(shù)列的求和與通項(xiàng)公式。題目難度中等偏