第13章全等三角形13.5

逆命題與逆定理第3課時(shí)

角平分線授課教師：×××一學(xué)習(xí)目標(biāo)1．學(xué)會(huì)通過(guò)尺規(guī)作圖，理解角平分線的概念，探究角分線的性質(zhì)和判定；2．學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)和判定的運(yùn)用；二重難點(diǎn)重點(diǎn):探究角平分線的性質(zhì)．難點(diǎn):角平分線的性質(zhì)和判定的聯(lián)系與區(qū)別．1.情境導(dǎo)入三教學(xué)過(guò)程角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是角的對(duì)稱軸．

如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上任一點(diǎn)，作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E.將∠AOB沿OC對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)PD與PE有什么關(guān)系？答：PD與PE重合，即PD＝PE.2.探究新知問(wèn)題1

探究角平分線的性質(zhì)定理和判定定理（1）由情景導(dǎo)入得出：PD＝PE，你能證明這個(gè)結(jié)論嗎？證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠AOC＝∠BOC.又∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO.∵OP＝OP，∴△PDO≌△PEO(A.A.S.)．∴PD＝PE.

(2)反之，如果點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，且PD＝PE，那么，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上嗎？證明：連結(jié)OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°.又∵OP＝OP，PD＝PE，∴△PDO≌△PEO(H.L.)．∴∠AOP＝∠BOP.∴OP平分∠AOB.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．知識(shí)歸納

(1)角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．(2)角平分線的判定定理：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．問(wèn)題2

如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上∴PD=PE

(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPMN3.例題精講例1

已知：如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.試證明：BE＝CF.證明：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°.又∵DB＝DC，∴△DEB≌△DFC(H.L.)．∴BE＝CF.例2

如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F，求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．證明：過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC∴FG＝FM又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上5.課堂小結(jié)小結(jié)：1.角平分線的性質(zhì)