第03講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：圓的定義和圓的方程 4知識點2：點與圓的位置關系判斷 4題型一：求圓多種方程的形式 5題型二：直線系方程和圓系方程 6題型三：與圓有關的軌跡問題 7題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件 9題型五：點與圓的位置關系判斷 10題型六：數形結合思想的應用 11題型七：與圓有關的對稱問題 11題型八：圓過定點問題 1204真題練習·命題洞見 1305課本典例·高考素材 1406易錯分析·答題模板 15易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件 15答題模板：求圓的方程 16

考點要求考題統(tǒng)計考情分析(1)圓的方程(2)點與圓的位置關系2024年北京卷第3題，5分2023年乙卷（文）第11題，5分2023年上海卷第7題，5分2022年甲卷（文）第14題，5分2022年乙卷（文）第15題，5分高考對圓的方程的考查比較穩(wěn)定，考查內容、頻率、題型難度均變化不大，備考時應熟練掌握圓的標準方程與一般方程的求法，除了待定系數法外，要特別要重視利用幾何性質求解圓的方程．復習目標：（1）理解確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，掌握圓的標準方程與一般方程．（2）能根據圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題．

知識點1：圓的定義和圓的方程1、平面內到定點的距離等于定長的點的集合（軌跡）叫圓．2、圓的四種方程（1）圓的標準方程：，圓心坐標為（a，b），半徑為（2）圓的一般方程：，圓心坐標為，半徑（3）圓的直徑式方程：若，則以線段AB為直徑的圓的方程是（4）圓的參數方程：①的參數方程為（為參數）；②的參數方程為（為參數）．【診斷自測】已知點，，，則外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．知識點2：點與圓的位置關系判斷（1）點與圓的位置關系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內．（2）點與圓的位置關系：①點P在圓外；②點P在圓上；③點P在圓內．【診斷自測】（2024·河北滄州·二模）若點在圓（為常數）外，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型一：求圓多種方程的形式【典例1-1】已知直線與圓相切于點，圓心在直線上，則圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2024·高三·北京·開學考試）圓心為，且與軸相切的圓的方程是（

）A． B．C． D．【方法技巧】（1）求圓的方程必須具備三個獨立的條件，從圓的標準方程上來講，關鍵在于求出圓心坐標（a，b）和半徑r；從圓的一般方程來講，必須知道圓上的三個點．因此，待定系數法是求圓的方程常用的方法．（2）用幾何法來求圓的方程，要充分運用圓的幾何性質，如圓心在圓的任一條弦的垂直平分線上，半徑、弦心距、弦長的一半構成直角三角形等．【變式1-1】過點作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．【變式1-2】圓心在直線上，且經過點，的圓的方程為．【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知直線與均與相切，點在上，則的方程為.【變式1-4】與直線和圓都相切的半徑最小的圓的方程是（

）A． B．C． D．題型二：直線系方程和圓系方程【典例2-1】過圓：和圓：的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．C． D．【典例2-2】圓經過點，且經過兩圓和圓的交點，則圓的方程為．【方法技巧】求過兩直線交點（兩圓交點或直線與圓交點）的直線方程（圓系方程）一般不需求其交點，而是利用它們的直線系方程（圓系方程）．（1）直線系方程：若直線與直線相交于點P，則過點P的直線系方程為：簡記為：當時，簡記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點，則過A，B兩點的圓系方程為：簡記為：，不含當時，該圓系退化為公共弦所在直線（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系【變式2-1】經過直線與圓的交點，且過點的圓的方程為.【變式2-2】曲線與的四個交點所在圓的方程是．【變式2-3】過圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程為（

）A． B．．C． D．題型三：與圓有關的軌跡問題【典例3-1】已知定點B（3，0），點A在圓x2＋y2＝1上運動，∠AOB的平分線交線段AB于點M，則點M的軌跡方程是．【典例3-2】（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知直線，直線，與相交于點A，則點A的軌跡方程為．【方法技巧】要深刻理解求動點的軌跡方程就是探求動點的橫縱坐標x，y的等量關系，根據題目條件，直接找到或轉化得到與動點有關的數量關系，是解決此類問題的關鍵所在．【變式3-1】（2024·高三·青海西寧·期中）已知，，C為平面內的一個動點，且滿足，則點C的軌跡方程為．【變式3-2】（2024·廣東·二模）如圖，在平面直角坐標系中放置著一個邊長為1的等邊三角形，且滿足與軸平行，點在軸上.現將三角形沿軸在平面直角坐標系內滾動，設頂點的軌跡方程是，則的最小正周期為；在其兩個相鄰零點間的圖象與軸所圍區(qū)域的面積為.【變式3-3】已知圓，過點的直線與圓交于兩點，是的中點，則點的軌跡方程為．【變式3-4】如圖所示，已知圓O：x2＋y2＝4與y軸的正方向交于A點，點B在直線y＝2上運動，過點B作圓O的切線，切點為C，則△ABC的垂心H的軌跡方程為．【變式3-5】點，點是圓上的一個動點，則線段的中點的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【變式3-6】已知動點與兩個定點，的距離之比為，則動點的軌跡方程為.【變式3-7】已知是圓內的一點是圓上兩動點，且滿足，求矩形頂點Q的軌跡方程．【變式3-8】在邊長為1的正方形ABCD中，邊AB、BC上分別有一個動點Q、R，且．求直線AR與DQ的交點P的軌跡方程．【變式3-9】如圖，已知點A(-1，0)與點B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點P的軌跡方程.

【變式3-10】已知點是圓上的定點，點是圓內一點，、為圓上的動點．(1)求線段AP的中點的軌跡方程．(2)若，求線段中點的軌跡方程．題型四：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件【典例4-1】若方程表示一個圓，則m可取的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例4-2】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）關于x、y的方程表示一個圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，【方法技巧】方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關問題時，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑【變式4-1】若方程表示圓，則實數的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或【變式4-2】（2024·貴州·模擬預測）已知曲線的方程，則“”是“曲線是圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式4-3】已知方程表示圓，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．題型五：點與圓的位置關系判斷【典例5-1】（2024·高三·廣東·開學考試）“”是“點在圓內”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【典例5-2】（2024·江西·模擬預測）若點在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【方法技巧】在處理點與圓的位置關系問題時，應注意圓的不同方程形式對應的不同判斷方法，另外還應注意其他約束條件，如圓的一般方程的隱含條件對參數的制約．【變式5-1】（2024·貴州黔南·二模）已知直線與直線的交點在圓的內部，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（2024·陜西西安·三模）若過點可作圓的兩條切線，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-3】點P在單位圓⊙O上（O為坐標原點），點，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．3【變式5-4】（2024·高三·全國·課后作業(yè)）已知兩直線與的交點在圓的內部，則實數k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．題型六：數形結合思想的應用【典例6-1】已知曲線與直線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例6-2】若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【方法技巧】研究曲線的交點個數問題常用數形結合法，即需要作出兩種曲線的圖像．在此過程中，尤其要注意需對代數式進行等價變形，以防出現錯誤．【變式6-1】（多選題）關于曲線：，下列說法正確的是（

）A．曲線圍成圖形的面積為B．曲線所表示的圖形有且僅有條對稱軸C．曲線所表示的圖形是中心對稱圖形D．曲線是以為圓心，為半徑的圓【變式6-2】已知直線l：與曲線有兩個交點，則實數k的取值范圍為.【變式6-3】直線與曲線的交點個數為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-4】若兩條直線：，：與圓的四個交點能構成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3題型七：與圓有關的對稱問題【典例7-1】圓關于直線對稱的圓的方程為.【典例7-2】已知圓關于直線l對稱的圓為圓，則直線l的方程為.【方法技巧】（1）圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱（2）圓關于點對稱：①求已知圓關于某點對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點（3）圓關于直線對稱：①求已知圓關于某條直線對稱的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫出標準方程②兩圓關于某條直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線【變式7-1】（2024·遼寧·二模）已知圓與圓關于直線對稱，則直線的方程為（

）A． B．C． D．【變式7-2】（2024·高三·山西·期末）已知點A，B在圓上，且A，B兩點關于直線對稱，則圓的半徑的最小值為（

）A．2 B． C．1 D．3【變式7-3】已知直線，圓，若圓C上存在兩點關于直線l對稱，則的最小值是（

）A．5 B． C． D．20【變式7-4】如果圓關于直線對稱，那么（

）A． B．C． D．【變式7-5】圓關于直線對稱后的圓的方程為（

）A． B．C． D．題型八：圓過定點問題【典例8-1】點是直線上任意一點，是坐標原點，則以為直徑的圓經過定點（

）A．和 B．和 C．和 D．和【典例8-2】圓恒過的定點是.【方法技巧】特殊值法【變式8-1】已知圓，點，平面內一定點（異于點），對于圓上的任意動點，都有為定值，定點的坐標為．【變式8-2】（2024·高三·上海閔行·期中）若拋物線與坐標軸分別交于三個不同的點、、，則的外接圓恒過的定點坐標為．【變式8-3】對任意實數，圓恒過定點，則其坐標為.【變式8-4】設有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經過原點．1．（2024年北京高考數學真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．2．（2022年新高考北京數學高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（

）A． B． C．1 D．3．（2020年山東省春季高考數學真題）已知圓心為的圓與軸相切，則該圓的標準方程是（

）A． B．C． D．4．（2022年高考全國甲卷數學真題）設點M在直線上，點和均在上，則的方程為．5．（2022年高考全國乙卷數學真題）過四點中的三點的一個圓的方程為．1．平面直角坐標系中有，，，四點，這四點是否在同一個圓上？為什么？2．已知圓的一條直徑的端點分別是A（x1，y1），B（x2，y2）．求證：此圓的方程是（x–x1）（x–x2）+（y–y1）（y–y2）=0．3．如圖，在四邊形ABCD中，，，且，，AB與CD間的距離為3．求等腰梯形ABCD的外接圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑．4．在半面直角坐標系中，如果點P的坐標滿足，其中為參數．證明：點P的軌跡是圓心為，半徑為r的圓．5．已知動點M與兩個定點，的距離的比為，求動點M的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．6．長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．易錯點：忽視圓的一般方程成立的條件易錯分析：易忽視圓的一般方程：表示圓的條件而導致錯誤.【易錯題1】已知點為圓外一點，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【易錯題2】已知圓的方程為，若點在圓外，則的取值范圍是（

）A． B．C．