第02講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎(chǔ)練 2題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算 2題型二：平面向量的夾角問題 3題型三：平面向量的模長 5題型四：平面向量的投影、投影向量 6題型五：平面向量的垂直問題 7題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題 8題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用 11題型八：向量回路恒等式 1402重難創(chuàng)新練 1503真題實(shí)戰(zhàn)練 24題型一：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算1．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知平行四邊形中，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】平行四邊形中，由，得，由，得，因此，整理得，即，所以.故選：B2．（2024·陜西·模擬預(yù)測）如圖是某人設(shè)計(jì)的正八邊形八角窗，若O是正八邊形ABCDEFGH的中心，，則.【答案】【解析】故答案為：3．（2024·重慶·三模）已知單位正方形ABCD，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，若，則.【答案】【解析】因?yàn)樵趩挝徽叫蜛BCD，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，又，所以，，所以，故答案為：題型二：平面向量的夾角問題4．（2024·陜西銅川·三模）已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則.【答案】/【解析】由，得，由為外接圓的圓心，得，如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故.故答案為：5．（2024·福建寧德·三模）已知是兩個(gè)單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為.【答案】【解析】由題意可得，即，，則，故與的夾角為.故答案為：.6．（2024·福建漳州·三模）已知向量，且在上的投影向量的坐標(biāo)為，則與的夾角為.【答案】/【解析】設(shè)與的夾角為，且，，則在上的投影向量為，即，所以，所以，故答案為：.7．（2024·福建莆田·三模）已知向量，滿足，且，則向量，夾角的余弦值是.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，則.故答案為：8．已知均為單位向量，且，則與的夾角的余弦值為.【答案】/【解析】,則與的夾角的余弦值為.故答案為：.題型三：平面向量的模長9．已知向量，且，則.【答案】【解析】，因?yàn)?，所以，解得，所?故答案為：.10．若向量滿足，，，則.【答案】【解析】由，有，即，得.又，得.故答案為：.11．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測）已知向量，均為單位向量，且，，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】由題意知，，故，且，即，故，故答案為：12．已知向量，，滿足，則．【答案】/或/或【解析】因?yàn)?，，所以，，得．故答案為：題型四：平面向量的投影、投影向量13．（2024·河北張家口·三模）已知向量，若，則在上的投影向量為．【答案】【解析】因?yàn)椋?，又，所以，解得，因?yàn)?，所以在上的投影向量?故答案為：14．（2024·浙江紹興·三模）若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意可得，所以，則所以，則在方向上的投影向量為.故選：B15．（2024·寧夏銀川·三模）已知是單位向量，且與垂直，與的夾角為135°，則在上的投影數(shù)量為.【答案】【解析】因?yàn)榕c垂直，所以，即，解得，又因?yàn)榕c的夾角為135°，所以，解得，所以在上的投影數(shù)量為，故答案為：16．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?，由得，則，得，設(shè)與的夾角為，則在方向上的投影向量為.故選：A題型五：平面向量的垂直問題17．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測）已知向量，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，，則，又，所以故選：B18．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知向量，若，則（

）A．－1 B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】,,由得：，則，所以，故選：B.19．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知兩個(gè)向量，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，即，因此，所以.故選：B題型六：建立坐標(biāo)系解決向量問題20．如圖，在矩形ABCD中，，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，若，則.【答案】14【解析】以A為原點(diǎn)，AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系則A（0，0），B（3，0），C（3，4），D（0，4），因?yàn)辄c(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且，所以E（3，2），F(xiàn)（2，4），故，所以故答案為：.21．在中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，D在邊BC上（與B、C不重合），延長射線AD到P，使得AP＝9，若（m為常數(shù)），則DB的長度為．【答案】/1.4【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（4，0），C（0，3），由若，得，整理得：．由AP＝9，得，解得或．當(dāng)時(shí)，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線PA的方程為，直線BC的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以三點(diǎn)共線，點(diǎn)在直線上，所以三點(diǎn)共線，又三點(diǎn)共線，所以可知D與C重合（舍去），∴BD的長度是．故答案為：．22．如圖在平面四邊形中，，點(diǎn)在線段上滿足，若，則．【答案】/【解析】以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則有，，過D作軸于F，，，所以，，，，因?yàn)?，所以，所以，，解得：，則的值為.故答案為：.題型七：平面向量的實(shí)際應(yīng)用23．加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為350N，則該學(xué)生的體重（單位：kg）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為m/s2，）A．55 B．61 C．66 D．71【答案】B【解析】如圖，，，作平行四邊形，則是菱形，，，所以，因此該學(xué)生體重為（kg）.故選：B．24．（2024·高三·福建廈門·期末）長江某地南北兩岸平行，一艘游船南岸碼頭出發(fā)航行到北岸.假設(shè)游船在靜水中的航行速度的大小為，水流的速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸的點(diǎn)在的正北方向，則游船正好到達(dá)處時(shí)，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)船的實(shí)際速度為，與南岸上游的夾角為，如圖所示，要使得游船正好到達(dá)處，則，即，又因?yàn)?，所以，故選：D.25．（2024·江西南昌·二模）如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對(duì)岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時(shí)間為6min，則客船在靜水中的速度為（

）A． B．8C． D．10【答案】A【解析】設(shè)客船在靜水中的速度大小為，水流速度為，則，則船實(shí)際航行的速度，，由題意得.把船在靜水中的速度正交分解為，即，∵km/h，而與同向，即，∴∴.故選：A.26．質(zhì)點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量(即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與相同，且每秒移動(dòng)的距離為個(gè)單位).設(shè)開始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，5秒后P點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，由題意有.即所以解得故選:C27．點(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的初始坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，列出方程組，即可求解.設(shè)點(diǎn)的初始坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，解得，即點(diǎn)的初始坐標(biāo)為.故選：B.題型八：向量回路恒等式28．如圖，在平面四邊形中，，，則．【答案】【解析】由題意得，，，因?yàn)?，，從?故答案為：.29．如圖，在平面四邊形中，若，，則．【答案】【解析】由題意可得：，故，則，即.故答案為：.1．（2024·甘肅蘭州·三模）已知向量，設(shè)與的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)闉榕c的夾角，所以.故選：D2．（2024·湖北武漢·一模）已知向量，，且，則（

）A． B． C． D．8【答案】A【解析】因?yàn)樗?所以,因?yàn)?，所?故選：A.3．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B． C．6 D．8【答案】B【解析】由，，，得，則，因此，所以．故選：B4．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測）若，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，又，所以，解得，所以，設(shè)與的夾角為，所以，又，所以.故選：A5．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測）已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，整理得，即，所以，所以故選：B.6．（2024·遼寧沈陽·二模）已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，?dāng)時(shí)，，即解得所以“”是的充分不必要條件.故選：A.7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若平面向量滿足，則向量夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)向量夾角為，兩邊平方得則，又，即，解得.故選：A.8．（2024·江西新余·二模）已知，，若與的夾角為，則（

）A．-1 B．1 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)椋?，所以，解得或，因?yàn)椋?，解得，所?故選：.9．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知向量，的夾角為，且，，則（

）A． B．C． D．在的方向上的投影向量為【答案】AB【解析】，，故A正確；，所以，故B正確；，所以，又因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，故D錯(cuò)誤；故選：AB．10．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，為的重心，，，則（

）A． B．C．的面積的最大值為 D．的最小值為【答案】ABC【解析】延長交于點(diǎn).因?yàn)槭堑闹匦?，所以點(diǎn)是中點(diǎn)，，則.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋蔬x項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又因?yàn)椋?，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由，，得，所以由余弦定理可得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．（多選題）（2024·江西鷹潭·三模）已知向量，，，則（

）A．若，則B．在方向上的投影向量為C．存在，使得在方向上投影向量的模為1D．的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則，則，即，所以，故A正確；對(duì)于B，在方向上的投影向量為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在方向上的投影向量的模為，若，則，即，其中，，所以，所以存在，使得在方向上的投影向量的模為1，故C正確.對(duì)于D，,因?yàn)樗裕?，所以，故D正確.故選：ACD.12．（多選題）（2024·廣東廣州·二模）在梯形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】在中，，則，由正弦定理知，即，故A正確；，，，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故，即，故D正確．故選：ABD13．（2024·天津南開·二模）已知在平行四邊形中，，，記，，用和表示；若，，則值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，故，即，又，故，即，因?yàn)?，，所?故答案為：；.14．（2024·湖南長沙·三模）在，已知，.則.【答案】【解析】設(shè)，，，由得，所以.又，因此，.由，得；于是，所以，∴，即.∵，∴，∴，∴或，∴或.又∵，∴，，，則.故答案為：15．（2024·廣東江門·二模）設(shè)向量，則的最小值為.【答案】/【解析】，令，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且最小值為．故答案為：16．已知向量，，，【答案】【解析】因?yàn)橄蛄?，，，所以，因此，．故答案為：?．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）正方形的邊長是2，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【解析】方法一：以為基底向量，可知，則，所以；方法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得，所以；方法三：由題意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故選：B.2．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選：B.3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?所以,即,即,所以.如圖,設(shè),由題知,是等腰直角三角形,AB邊上的高,所以,,.故選:D.4．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖所示，，則由題意可知:，由勾股定理可得當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，則當(dāng)時(shí)，有最大值.當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則當(dāng)時(shí)，有最大值.綜上可得，的最大值為.故選：A.5．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．6．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【解析】,,即,解得,故選：C7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】因?yàn)?，所?故選：D8．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】∵，又∵∴9，∴故選：C.9．（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D10．（多選題）（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（

）A．直線的斜率為 B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；對(duì)于D，，則為鈍角，又，則為鈍角，又，則，D正確.故選：ACD.11．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）在邊長為1的正方形中，點(diǎn)為線段的三等分點(diǎn)，，則；為線段上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】【解析】解法一：因?yàn)?，即，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，