高中數(shù)學(xué)人教版必修第一冊(cè)：5.4.3《正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)》聽評(píng)課記錄設(shè)計(jì)一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時(shí)間：上午第二節(jié)課

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)

班級(jí)/年級(jí)：高一（3）班

教學(xué)主題或章節(jié)：5.4.3《正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)》

聽課人姓名：王華

聽課人職務(wù)：數(shù)學(xué)教研組長(zhǎng)

聽課目的：教學(xué)研究、教師專業(yè)發(fā)展

本節(jié)課圍繞正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)展開教學(xué)，旨在幫助學(xué)生理解正切函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性等關(guān)鍵性質(zhì)，并通過圖像繪制掌握其變化規(guī)律。正切函數(shù)作為三角函數(shù)的重要組成部分，其圖像與性質(zhì)是后續(xù)學(xué)習(xí)其他三角函數(shù)及解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。李明老師通過精心設(shè)計(jì)的導(dǎo)入、展開和總結(jié)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入理解正切函數(shù)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，并結(jié)合多媒體技術(shù)增強(qiáng)直觀性，體現(xiàn)了新課程改革中“以學(xué)生為中心”的教學(xué)理念。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰且具有層次性。教學(xué)目標(biāo)明確，包括知識(shí)目標(biāo)（理解正切函數(shù)的圖像特征及性質(zhì)）、能力目標(biāo)（掌握?qǐng)D像繪制方法）和情感目標(biāo)（培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力）。教學(xué)流程設(shè)計(jì)合理，從復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式到引入正切函數(shù)定義，再到圖像繪制與性質(zhì)分析，邏輯銜接自然。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括人教版教材、幾何畫板軟件、電子白板課件等。教材中正切函數(shù)的圖像示例清晰，教具準(zhǔn)備簡(jiǎn)單但實(shí)用，如直角坐標(biāo)系模型，多媒體課件則動(dòng)態(tài)展示了正切函數(shù)的周期變化，為后續(xù)性質(zhì)分析提供了直觀支持。

2.教學(xué)過程

開始階段（導(dǎo)入新課）：李明老師以復(fù)習(xí)“正切值的定義”和“單位圓中正切線長(zhǎng)度”作為導(dǎo)入，通過提問“正切值如何隨角度變化”引發(fā)學(xué)生思考。這一方式有效激活了學(xué)生已有知識(shí)，但導(dǎo)入時(shí)間略長(zhǎng)，約5分鐘，可適當(dāng)壓縮以留出更多時(shí)間用于新課展開。

展開階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：

（1）講授法：在正切函數(shù)定義講解時(shí)，教師結(jié)合單位圓模型和動(dòng)態(tài)課件，逐步推導(dǎo)出正切函數(shù)的周期為π，并強(qiáng)調(diào)其無界性。語言表達(dá)清晰，但部分概念（如“正切函數(shù)在開區(qū)間（kπ-π/2，kπ+π/2）內(nèi)單調(diào)遞增”）的表述略顯復(fù)雜，可借助反例（如角度從-π/3到π/3的變化）幫助學(xué)生理解。

（2）實(shí)驗(yàn)法：利用幾何畫板繪制正切函數(shù)圖像時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生逐步調(diào)整參數(shù)觀察圖像變化，如改變定義域范圍對(duì)圖像連續(xù)性的影響。這一環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)巧妙，學(xué)生通過動(dòng)手操作加深了對(duì)“無垂直漸近線”的理解。

（3）討論法：在分析奇偶性時(shí)，教師提出“正切函數(shù)是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”的問題，組織小組討論。部分小組對(duì)“對(duì)稱軸為kπ+π/2”的結(jié)論存在爭(zhēng)議，教師及時(shí)引導(dǎo)通過圖像驗(yàn)證，培養(yǎng)了學(xué)生的辯證思維。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納）：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)五字訣”（周期T、奇偶O、單調(diào)S、漸近線A、定義域D），并布置分層作業(yè)——基礎(chǔ)題（繪制0到2π的圖像）、拓展題（比較正切函數(shù)與余切函數(shù)圖像差異）。總結(jié)環(huán)節(jié)時(shí)間控制較合理，約3分鐘。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師通過“為什么正切函數(shù)無最大值”等開放性問題激發(fā)學(xué)生表達(dá)?；?dòng)質(zhì)量上，約70%的學(xué)生能主動(dòng)回答問題，但后排部分學(xué)生參與度較低。教師采用隨機(jī)點(diǎn)名和小組代表匯報(bào)相結(jié)合的方式，但未關(guān)注到沉默型學(xué)生。建議增加“搶答正切值”等趣味互動(dòng)形式，提升整體參與感。

學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)：

（1）學(xué)習(xí)積極性：整體表現(xiàn)活躍，尤其在實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，學(xué)生普遍專注操作幾何畫板。但少數(shù)學(xué)生將注意力集中于軟件操作而非數(shù)學(xué)概念，教師需加強(qiáng)巡視。

（2）專注度：前20分鐘課堂紀(jì)律良好，后因討論時(shí)間延長(zhǎng)出現(xiàn)個(gè)別走神現(xiàn)象。教師通過播放輕音樂調(diào)節(jié)節(jié)奏，效果有限。

（3）合作學(xué)習(xí)：小組討論時(shí)，約60%的組能完成性質(zhì)歸納，但分工不均——組長(zhǎng)壟斷發(fā)言、部分成員僅做記錄。教師未明確合作規(guī)則，建議提前分發(fā)任務(wù)清單（如一人負(fù)責(zé)周期、一人負(fù)責(zé)奇偶性）。

4.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，教師通過“舉手發(fā)言”規(guī)則維持秩序，但未處理后排學(xué)生使用手機(jī)的隱性干擾。時(shí)間分配上，導(dǎo)入環(huán)節(jié)占比偏高，新課講授約28分鐘，略短于預(yù)期，導(dǎo)致作業(yè)布置倉(cāng)促。建議優(yōu)化導(dǎo)入設(shè)計(jì)（如用動(dòng)畫對(duì)比正切/余弦圖像差異），將多余時(shí)間分配至性質(zhì)應(yīng)用例題分析。

5.教學(xué)技術(shù)使用

幾何畫板和電子白板有效支持了教學(xué)。動(dòng)態(tài)演示正切函數(shù)圖像的生成過程（通過點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)），直觀展示了圖像與定義的關(guān)聯(lián)。但部分技術(shù)操作（如參數(shù)輸入）耗時(shí)較長(zhǎng)，教師需提前預(yù)設(shè)文件模板。技術(shù)對(duì)教學(xué)效果的支持作用顯著，尤其體現(xiàn)在漸近線分析上——學(xué)生通過拖動(dòng)漸近線位置，直觀感知其與函數(shù)定義域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)定清晰且具有層次性，涵蓋知識(shí)、能力和情感三個(gè)維度。知識(shí)目標(biāo)明確要求學(xué)生掌握正切函數(shù)的圖像特征（周期性、奇偶性、單調(diào)性、漸近線）和性質(zhì)，能力目標(biāo)強(qiáng)調(diào)通過圖像繪制方法培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合能力，情感目標(biāo)則旨在提升學(xué)生探究數(shù)學(xué)規(guī)律的興趣和嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度。從課堂表現(xiàn)來看，目標(biāo)達(dá)成度較高。

（1）知識(shí)目標(biāo)達(dá)成：通過課堂提問和作業(yè)反饋，約85%的學(xué)生能準(zhǔn)確描述正切函數(shù)的周期（π）和奇偶性（奇函數(shù)），80%的學(xué)生能識(shí)別漸近線位置（kπ±π/2，k∈Z）。但在技能層面，僅60%的學(xué)生能獨(dú)立繪制0到2π的完整圖像，部分學(xué)生對(duì)單調(diào)區(qū)間符號(hào)（kπ-π/2，kπ+π/2）的寫法存在混淆。這反映出教學(xué)對(duì)基礎(chǔ)技能的訓(xùn)練強(qiáng)度不足，建議增加“正切函數(shù)三要素填空表”等練習(xí)。

（2）能力目標(biāo)達(dá)成：實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中，90%的學(xué)生能利用幾何畫板驗(yàn)證“正切值隨角度周期變化”，但僅50%的學(xué)生能將技術(shù)操作轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言（如解釋“動(dòng)態(tài)圖像反映了正切值的連續(xù)性”）。這表明技術(shù)輔助雖提升了直觀理解，但學(xué)生技術(shù)-數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化能力仍需培養(yǎng)。教師可設(shè)計(jì)“用技術(shù)證明性質(zhì)”的分層任務(wù)，如低組要求“拖動(dòng)點(diǎn)觀察圖像變化”，高組要求“錄制動(dòng)態(tài)演示并撰寫證明”。

（3）情感目標(biāo)達(dá)成：課堂觀察顯示，70%的學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)探究的興趣，尤其在討論“正切函數(shù)與反三角函數(shù)的聯(lián)系”時(shí)，部分學(xué)生自發(fā)提出“是否所有奇函數(shù)都有類似的圖像特征”。但情感評(píng)價(jià)具有主觀性，需結(jié)合長(zhǎng)期觀察——如課后作業(yè)中若出現(xiàn)“探索正切函數(shù)在物理振動(dòng)中的應(yīng)用”等拓展內(nèi)容，可視為情感目標(biāo)的深化體現(xiàn)。

2.知識(shí)掌握

（1）概念理解：正切函數(shù)性質(zhì)的理解呈現(xiàn)兩極分化現(xiàn)象。優(yōu)勢(shì)學(xué)生能將抽象性質(zhì)與圖像特征建立對(duì)應(yīng)關(guān)系（如“單調(diào)區(qū)間內(nèi)圖像‘爬坡’方向一致”），但基礎(chǔ)薄弱學(xué)生仍停留在記憶定義層面。教師可引入“類比法”——將正切函數(shù)與函數(shù)y=|x|進(jìn)行對(duì)比（均為奇函數(shù)，但圖像形態(tài)差異顯著），強(qiáng)化深度理解。

（2）技能掌握：圖像繪制能力是本節(jié)課的重點(diǎn)技能，但課堂反饋顯示：

-75%的學(xué)生能正確標(biāo)出漸近線，但約40%的組在繪制對(duì)稱分支時(shí)出現(xiàn)交叉或遺漏。

-約30%的學(xué)生忽視“圖像在漸近線處不可定義”的細(xì)節(jié)，導(dǎo)致圖像連續(xù)性表達(dá)錯(cuò)誤。

解決策略包括：提供“正切函數(shù)圖像繪制模板”（含漸近線輔助線），并設(shè)計(jì)“錯(cuò)題診斷”環(huán)節(jié)——展示典型錯(cuò)誤圖像，讓學(xué)生分組分析原因。

（3）知識(shí)遷移：在例題分析中，教師呈現(xiàn)“已知tanα>0求α范圍”的題目，約65%的學(xué)生能正確寫出（kπ-π/2，kπ+π/2），但僅40%能結(jié)合圖像解釋“為何需分類討論k值”。這暴露出性質(zhì)應(yīng)用能力不足，建議補(bǔ)充“性質(zhì)鏈”訓(xùn)練——如“tan(x+π/4)性質(zhì)推導(dǎo)→圖像平移驗(yàn)證→實(shí)際角度求解”。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

（1）全面發(fā)展：本節(jié)課在知識(shí)傳授的同時(shí)，注重學(xué)生非智力因素培養(yǎng)。小組討論環(huán)節(jié)中，教師通過“記錄員負(fù)責(zé)整理觀點(diǎn)”“發(fā)言人需用反例論證”等規(guī)則，隱性訓(xùn)練了協(xié)作與表達(dá)能力。部分學(xué)生在辯論“漸近線是否屬于函數(shù)圖像”時(shí)展現(xiàn)出批判性思維，教師及時(shí)肯定“數(shù)學(xué)是不斷修正的過程”，強(qiáng)化了科學(xué)精神。

（2）興趣激發(fā)：動(dòng)態(tài)演示技術(shù)顯著提升了課堂趣味性，但需警惕技術(shù)依賴——課后訪談顯示，30%的學(xué)生認(rèn)為“只要操作畫板就能掌握性質(zhì)”，教師需強(qiáng)調(diào)“技術(shù)是工具而非替代品”?？稍O(shè)計(jì)“無技術(shù)版探究”——用紙板制作單位圓模型，手動(dòng)測(cè)量正切線長(zhǎng)度，通過具身認(rèn)知加深理解。

（3）價(jià)值觀滲透：在總結(jié)環(huán)節(jié)，教師引用“中國(guó)古代‘勾股術(shù)’與西方三角學(xué)發(fā)展對(duì)比”，隱性傳遞了文化自信。但學(xué)生對(duì)此反應(yīng)平淡，建議增加本土案例——如展示《授時(shí)歷》中正切表編制的歷史，引發(fā)對(duì)“數(shù)學(xué)工具性與人文性”的思考。

綜上，本節(jié)課在目標(biāo)達(dá)成上表現(xiàn)良好，但存在技能訓(xùn)練不足、技術(shù)轉(zhuǎn)化能力欠缺等問題。建議后續(xù)教學(xué)強(qiáng)化“三單設(shè)計(jì)”（基礎(chǔ)單、應(yīng)用單、拓展單），并增加“正切函數(shù)與其他函數(shù)的關(guān)聯(lián)實(shí)驗(yàn)”，以促進(jìn)深度學(xué)習(xí)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課呈現(xiàn)了較高的教學(xué)設(shè)計(jì)水平，整體印象積極。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師對(duì)正切函數(shù)性質(zhì)的探究過程設(shè)計(jì)科學(xué)，通過“單位圓模型→動(dòng)態(tài)圖像→性質(zhì)歸納”的邏輯鏈條，有效降低了抽象概念的認(rèn)知難度。實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的引入尤其值得肯定，幾何畫板的應(yīng)用不僅直觀展示了周期性與漸近線的內(nèi)在聯(lián)系，還激發(fā)了學(xué)生的探究興趣，體現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效滲透。此外，教師對(duì)課堂節(jié)奏的把控較為精準(zhǔn)，能夠在知識(shí)講解與能力訓(xùn)練之間找到平衡點(diǎn)，如通過小組討論促進(jìn)合作學(xué)習(xí)，通過分層作業(yè)滿足不同學(xué)生需求。從學(xué)生反饋來看，約80%的學(xué)生對(duì)課堂內(nèi)容表示“基本理解”，課堂氛圍活躍，達(dá)到了預(yù)期教學(xué)效果。

2.改進(jìn)建議

盡管本節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)異，但仍存在可優(yōu)化空間，具體建議如下：

（1）強(qiáng)化技能訓(xùn)練的系統(tǒng)性：正切函數(shù)圖像繪制是本節(jié)課的重點(diǎn)技能，但課堂反饋顯示學(xué)生操作熟練度與概念理解存在脫節(jié)。建議在后續(xù)教學(xué)中增加“技能專項(xiàng)突破”環(huán)節(jié)——例如，設(shè)計(jì)“正切函數(shù)八宮格練習(xí)”（含對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、特殊點(diǎn)等關(guān)鍵要素的填空），通過“模板-半獨(dú)立-完全獨(dú)立”三階段訓(xùn)練，確?；A(chǔ)技能的牢固掌握。同時(shí)，在技術(shù)應(yīng)用中強(qiáng)調(diào)“先理解后操作”，如要求學(xué)生用幾何畫板模擬“手繪圖像過程”，標(biāo)注每一步的數(shù)學(xué)依據(jù)（如“tan(α+π)=-tanα對(duì)應(yīng)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”）。

（2）提升技術(shù)轉(zhuǎn)化的深度：當(dāng)前幾何畫板主要用于“驗(yàn)證性質(zhì)”，但技術(shù)工具的潛力尚未完全挖掘。建議引入“參數(shù)化探究”——例如，設(shè)置動(dòng)態(tài)變量k，觀察漸近線方程y=kπ±π/2隨k變化規(guī)律，進(jìn)而引申至“正切函數(shù)族”的共性研究。此外，可嘗試“雙屏教學(xué)法”：主屏展示動(dòng)態(tài)圖像，副屏同步呈現(xiàn)推導(dǎo)過程（如利用誘導(dǎo)公式tan(α+π)=tanα），通過技術(shù)手段促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的顯性化。

（3）優(yōu)化互動(dòng)參與度：課堂后半段出現(xiàn)部分學(xué)生參與度下降的現(xiàn)象，需調(diào)整互動(dòng)策略。建議采用“混合式互動(dòng)”模式：在性質(zhì)討論階段增加“匿名投票”功能（如用平板提交對(duì)“正切函數(shù)最顯著特征”的排序），在技能訓(xùn)練環(huán)節(jié)實(shí)施“結(jié)對(duì)互助”（前后排學(xué)生組成臨時(shí)小組，共同繪制圖像并互評(píng)），通過技術(shù)手段和空間布局改善參與不均衡問題。同時(shí)，教師需建立“低風(fēng)險(xiǎn)表達(dá)機(jī)制”——如鼓勵(lì)學(xué)生用“我猜”“我認(rèn)為”等表述參與討論，避免因害怕錯(cuò)誤而沉默。

（4）豐富情感價(jià)值觀的滲透載體：當(dāng)前情感目標(biāo)更多依賴教師口頭引導(dǎo)，建議引入“數(shù)學(xué)文化模塊”——例如，在總結(jié)環(huán)節(jié)播放《正弦余弦正切》科普動(dòng)畫，對(duì)比三角函數(shù)的發(fā)展史，或布置“生活中的正切函數(shù)”調(diào)研任務(wù)（如研究雷達(dá)掃描角度與探測(cè)距離的關(guān)系），通過情境化教學(xué)增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值感。

3.后續(xù)跟蹤

建議開展“二次聽課跟進(jìn)”以檢驗(yàn)改進(jìn)效果。具體措施如下：

（1）短期跟蹤（2周后）：重點(diǎn)觀察技能訓(xùn)練環(huán)節(jié)的改進(jìn)情況?？砂才乓淮巍罢泻瘮?shù)圖像繪制微格測(cè)試”（限時(shí)5分鐘，含對(duì)稱軸標(biāo)注、單調(diào)區(qū)間填空），通過數(shù)據(jù)反饋評(píng)估學(xué)生能力提升幅度。同時(shí)，與教師進(jìn)行非正式訪談，了解其對(duì)學(xué)生作業(yè)中暴露問題的調(diào)整策略。

（2）長(zhǎng)期跟蹤（1個(gè)月后）：結(jié)合單元測(cè)驗(yàn)分析本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的后續(xù)鞏固效果。若發(fā)現(xiàn)學(xué)生“知其然不知其所以然”的現(xiàn)象，需指導(dǎo)教師補(bǔ)充“性質(zhì)推導(dǎo)實(shí)驗(yàn)”——如用幾何畫板模擬“單位圓內(nèi)正切