2020版高中數(shù)學(xué)人教A版必修4聽(tīng)評(píng)課記錄《兩角差的余弦公式》一.基本信息

2020年3月15日，上午第二節(jié)課，授課教師張明，學(xué)科/課程名稱(chēng)為高中數(shù)學(xué)，班級(jí)/年級(jí)為高一（3）班，教學(xué)主題或章節(jié)為《兩角差的余弦公式》。聽(tīng)課人李紅，職務(wù)為教研組長(zhǎng)，聽(tīng)課目的為教學(xué)研究。本節(jié)課旨在通過(guò)引入實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)山遣畹挠嘞夜?，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。教材選取人教A版必修4，重點(diǎn)圍繞公式推導(dǎo)和應(yīng)用展開(kāi)，符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平。

二.課堂觀(guān)察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞“問(wèn)題導(dǎo)入—公式推導(dǎo)—應(yīng)用練習(xí)”的邏輯順序展開(kāi)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材為人教A版必修4，配套練習(xí)題選取合理；教具包括三角板和量角器，用于直觀(guān)演示公式推導(dǎo)過(guò)程；多媒體課件包含動(dòng)畫(huà)演示和互動(dòng)練習(xí)，增強(qiáng)了課堂的趣味性和直觀(guān)性。資源使用與教學(xué)內(nèi)容高度契合，為后續(xù)教學(xué)活動(dòng)奠定基礎(chǔ)。

2.教學(xué)過(guò)程

開(kāi)始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）

教師以實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入，如“飛機(jī)飛行方向與地面角度的變化”引發(fā)學(xué)生思考，自然過(guò)渡到兩角差的余弦公式。通過(guò)提問(wèn)“如何表示兩個(gè)角度變化后的余弦值”，激發(fā)學(xué)生探究興趣，效果良好。部分學(xué)生能迅速聯(lián)想到三角函數(shù)的定義，但仍有學(xué)生需教師引導(dǎo)，體現(xiàn)分層教學(xué)的需求。

展開(kāi)階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）

教師采用講授與討論相結(jié)合的方式。首先，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示α—β的平面旋轉(zhuǎn)過(guò)程，直觀(guān)展示公式推導(dǎo)的幾何意義；隨后，引導(dǎo)學(xué)生用向量法推導(dǎo)公式，結(jié)合多媒體展示向量數(shù)量積的運(yùn)算過(guò)程，加深學(xué)生理解。小組討論環(huán)節(jié)，教師提出“如何驗(yàn)證公式在特殊角度下的正確性”，學(xué)生分組驗(yàn)證30°—60°的余弦值，部分小組提出用計(jì)算器驗(yàn)證，教師及時(shí)糾正為理論推導(dǎo)優(yōu)先。課堂互動(dòng)性強(qiáng)，但部分學(xué)生因向量知識(shí)儲(chǔ)備不足，參與度不高。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）

教師帶領(lǐng)學(xué)生總結(jié)公式推導(dǎo)的兩種方法（幾何法和向量法），并強(qiáng)調(diào)“-”號(hào)的判斷是易錯(cuò)點(diǎn)。布置作業(yè)時(shí)，分層設(shè)計(jì)題目：基礎(chǔ)題要求熟練應(yīng)用公式，拓展題要求結(jié)合正弦公式進(jìn)行綜合計(jì)算。作業(yè)布置合理，兼顧不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

3.師生互動(dòng)

師生交流頻率較高，教師每5分鐘提問(wèn)一次，確保學(xué)生跟上思路。學(xué)生參與度整體良好，約80%的學(xué)生能主動(dòng)回答問(wèn)題，但后排部分學(xué)生反應(yīng)較慢。討論環(huán)節(jié)，教師采用“點(diǎn)兵式”提問(wèn)，確保每個(gè)小組都有發(fā)言機(jī)會(huì)，但缺乏對(duì)個(gè)體差異的關(guān)注。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其在動(dòng)畫(huà)演示環(huán)節(jié)，學(xué)生注意力集中。合作學(xué)習(xí)方面，小組討論時(shí)能分工合作，但部分小組存在“優(yōu)生主導(dǎo)”現(xiàn)象，需教師進(jìn)一步引導(dǎo)均衡參與。專(zhuān)注度方面，前20分鐘表現(xiàn)突出，后15分鐘出現(xiàn)少數(shù)學(xué)生走神，可能與內(nèi)容難度遞增有關(guān)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守規(guī)則，舉手發(fā)言有序。時(shí)間分配合理，導(dǎo)入5分鐘，公式推導(dǎo)15分鐘，練習(xí)10分鐘，總結(jié)5分鐘，符合教學(xué)設(shè)計(jì)。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，但結(jié)尾部分學(xué)生討論時(shí)間稍長(zhǎng)，教師需提前預(yù)設(shè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，動(dòng)畫(huà)演示清晰展示了公式推導(dǎo)的動(dòng)態(tài)過(guò)程，互動(dòng)練習(xí)即時(shí)反饋學(xué)生掌握情況。技術(shù)支持了公式的直觀(guān)理解，但部分學(xué)生因操作不熟練，導(dǎo)致互動(dòng)延遲。建議增加預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)，提前熟悉技術(shù)工具。

三.教學(xué)效果評(píng)價(jià)

1.目標(biāo)達(dá)成

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高一學(xué)生的認(rèn)知水平和課程標(biāo)準(zhǔn)要求。教學(xué)目標(biāo)設(shè)定為：理解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和證明。從課堂觀(guān)察和后續(xù)練習(xí)反饋來(lái)看，學(xué)生基本達(dá)到了預(yù)期目標(biāo)。公式推導(dǎo)過(guò)程通過(guò)幾何和向量?jī)煞N方法呈現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生能夠跟隨教師思路理解公式的來(lái)源，約75%的學(xué)生在課堂互動(dòng)中能復(fù)述公式內(nèi)容。在應(yīng)用環(huán)節(jié)，基礎(chǔ)題的正確率超過(guò)85%，表明學(xué)生對(duì)公式的記憶和應(yīng)用能力較強(qiáng)。然而，目標(biāo)達(dá)成存在個(gè)體差異，部分學(xué)生在綜合應(yīng)用或符號(hào)變形時(shí)仍顯吃力，反映出對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握還需鞏固?？傮w而言，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成度較高，但需關(guān)注差異化教學(xué)，確保所有學(xué)生都能達(dá)到基本要求。

2.知識(shí)掌握

學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶情況良好。兩角差的余弦公式涉及多個(gè)概念，包括角的變化、向量數(shù)量積、符號(hào)判斷等，教師通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)和幾何演示，有效降低了理解難度。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，學(xué)生普遍對(duì)“旋轉(zhuǎn)角度與余弦值的關(guān)系”有直觀(guān)認(rèn)識(shí)，但對(duì)向量法推導(dǎo)的邏輯鏈條仍需強(qiáng)化。記憶方面，學(xué)生能準(zhǔn)確寫(xiě)出公式，但對(duì)特殊角（如30°—60°）的符號(hào)判斷易錯(cuò)，反映出記憶與應(yīng)用結(jié)合不足。技能掌握方面，計(jì)算能力較強(qiáng)，但在復(fù)雜變形中，部分學(xué)生出現(xiàn)符號(hào)錯(cuò)誤或漏項(xiàng)，如將cos(α—β)誤寫(xiě)為cosα—cosβ。技能訓(xùn)練時(shí)間略顯不足，課堂練習(xí)僅覆蓋了基礎(chǔ)題型，缺乏變式訓(xùn)練，導(dǎo)致部分學(xué)生應(yīng)對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的能力欠缺。建議增加分層練習(xí)，強(qiáng)化技能的熟練度和靈活性。

3.情感態(tài)度價(jià)值觀(guān)

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展方面取得了一定成效。首先，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題導(dǎo)入，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，部分學(xué)生能主動(dòng)聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)思考角度變化，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。在公式推導(dǎo)過(guò)程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試不同方法，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和創(chuàng)新意識(shí)。小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生學(xué)會(huì)了分工合作，但需教師進(jìn)一步引導(dǎo)傾聽(tīng)與質(zhì)疑，以促進(jìn)深度交流。情感態(tài)度方面，學(xué)生普遍表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度，尤其在突破難點(diǎn)后，能獲得成就感。但少數(shù)學(xué)生在遇到困難時(shí)表現(xiàn)出焦慮，教師需加強(qiáng)鼓勵(lì)，營(yíng)造包容的課堂氛圍。價(jià)值觀(guān)方面，通過(guò)公式推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性，潛移默化地培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)精神；結(jié)合向量法，滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生形成辯證思維。整體而言，課堂對(duì)學(xué)生的情感、態(tài)度和價(jià)值觀(guān)有積極影響，但需進(jìn)一步關(guān)注個(gè)體差異，確保每個(gè)學(xué)生都能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得成長(zhǎng)。

四、總結(jié)與建議

1.總體評(píng)價(jià)

本節(jié)課整體印象良好，教學(xué)設(shè)計(jì)科學(xué)合理，課堂互動(dòng)活躍，教學(xué)目標(biāo)基本達(dá)成。最突出的優(yōu)點(diǎn)是教師能夠結(jié)合多媒體技術(shù)和幾何教具，將抽象的公式推導(dǎo)過(guò)程直觀(guān)化、動(dòng)態(tài)化，有效降低了學(xué)生的學(xué)習(xí)難度。例如，通過(guò)旋轉(zhuǎn)動(dòng)畫(huà)演示α—β角的形成及其余弦值的變化，幫助學(xué)生建立了空間想象能力；向量法推導(dǎo)環(huán)節(jié)，教師能引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。此外，教師注重啟發(fā)式教學(xué)，通過(guò)提問(wèn)“為什么這里需要取負(fù)號(hào)”引導(dǎo)學(xué)生思考公式的適用條件，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維。課堂管理有序，時(shí)間分配得當(dāng)，大部分時(shí)間用于核心內(nèi)容的講解和練習(xí)，確保了教學(xué)效率?？傮w而言，這是一節(jié)較為成功的公開(kāi)課，體現(xiàn)了授課教師扎實(shí)的教學(xué)功底和良好的課堂掌控能力。

2.改進(jìn)建議

針對(duì)存在的問(wèn)題，提出以下改進(jìn)措施：

（1）強(qiáng)化差異化教學(xué)。當(dāng)前課堂互動(dòng)中，部分學(xué)生參與度不高，主要原因是基礎(chǔ)差異導(dǎo)致跟不上的情況。建議教師在課前進(jìn)行學(xué)情分析，將學(xué)生分層，設(shè)計(jì)不同難度的問(wèn)題和練習(xí)。例如，在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生可補(bǔ)充向量法推導(dǎo)的證明細(xì)節(jié)；對(duì)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，則側(cè)重于公式記憶和應(yīng)用。作業(yè)布置也應(yīng)分層，基礎(chǔ)題要求掌握公式直接應(yīng)用，拓展題則涉及與其他三角函數(shù)的混合運(yùn)算。此外，可增設(shè)“小老師”制度，鼓勵(lì)優(yōu)秀學(xué)生幫助后進(jìn)生，形成幫扶小組。

（2）增加技能訓(xùn)練時(shí)間。課堂練習(xí)僅覆蓋了基礎(chǔ)題型，缺乏變式訓(xùn)練，導(dǎo)致部分學(xué)生在復(fù)雜變形中出現(xiàn)問(wèn)題。建議在練習(xí)環(huán)節(jié)增加5-8分鐘，設(shè)計(jì)由易到難的梯度題目，特別是針對(duì)符號(hào)判斷和公式逆用進(jìn)行專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練。例如，可設(shè)計(jì)“判斷下列式子正誤”的快速練習(xí)，或“根據(jù)cos(α—β)=1/2，求α—β的值”的逆用題目。同時(shí)，加強(qiáng)規(guī)范的書(shū)寫(xiě)指導(dǎo)，要求學(xué)生步驟清晰、符號(hào)準(zhǔn)確。

（3）優(yōu)化互動(dòng)方式。小組討論時(shí)存在“優(yōu)生主導(dǎo)”現(xiàn)象，部分學(xué)生未能充分參與。建議改進(jìn)討論形式，采用“隨機(jī)分組+輪流發(fā)言”的方式，確保每個(gè)成員都有表達(dá)機(jī)會(huì)。教師可設(shè)置“觀(guān)點(diǎn)陳述—質(zhì)疑反駁—總結(jié)歸納”的討論流程，并明確記錄每個(gè)成員的貢獻(xiàn)。此外，增加個(gè)體提問(wèn)環(huán)節(jié)，對(duì)走神或理解困難的學(xué)生進(jìn)行一對(duì)一指導(dǎo)，防止問(wèn)題累積。

（4）加強(qiáng)技術(shù)融合的深度。雖然多媒體使用有效，但部分學(xué)生因操作不熟練導(dǎo)致互動(dòng)延遲。建議在課前布置預(yù)習(xí)任務(wù)，如“使用幾何畫(huà)板模擬α—β角的旋轉(zhuǎn)”，讓學(xué)生熟悉技術(shù)工具。課堂中，可設(shè)計(jì)“互動(dòng)答題”環(huán)節(jié)，利用多媒體即時(shí)反饋學(xué)生的答題情況，便于教師精準(zhǔn)掌握學(xué)情。同時(shí)，教師需提升自身的技術(shù)應(yīng)用能力，探索更多技術(shù)支持的深度教學(xué)方式，如利用動(dòng)態(tài)幾何軟件展示公式的幾何意義。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？建議授課教師加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)，深入研究三角函數(shù)的教材體系，把握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。可借鑒“啟發(fā)—探究—應(yīng)用”的教學(xué)模式，在公式推導(dǎo)后設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，如“除了幾何法和向量法，還能否用其他方法推導(dǎo)？”，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。同時(shí)，加強(qiáng)與其他教師的交流，通過(guò)集體備課、聽(tīng)課評(píng)課等形式，分享教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)。此外，關(guān)注學(xué)生的情感需求，通過(guò)評(píng)價(jià)語(yǔ)言的激勵(lì)性、課堂氛圍的營(yíng)造，增強(qiáng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)動(dòng)力。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽(tīng)課跟進(jìn)，以評(píng)估改進(jìn)措施的實(shí)施效果。計(jì)劃在兩周后再次聽(tīng)課，重點(diǎn)關(guān)注以下方面：一是差異化教學(xué)的落實(shí)情況，觀(guān)察教師如何針對(duì)不同層次學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題；二是技能訓(xùn)練時(shí)間的分配，評(píng)估學(xué)生計(jì)算能力的提升；三是互動(dòng)方式的優(yōu)化，檢查小組討論的參與度是否均衡。同時(shí)，安排教研組進(jìn)行集體評(píng)課，針對(duì)改進(jìn)后的課堂表現(xiàn)進(jìn)行深入分析，提出進(jìn)一步優(yōu)化建議。

計(jì)劃采取以下支持措施幫助教師成長(zhǎng)：

（1）提供專(zhuān)業(yè)發(fā)展資源。推薦相關(guān)教學(xué)理論書(shū)籍和優(yōu)秀課例視頻，如《三角函數(shù)的教學(xué)藝術(shù)》《深度學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用》，幫助教師更新教學(xué)理念。組織專(zhuān)題研討，邀請(qǐng)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師分享差異化教學(xué)、技術(shù)融合等方面的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

（2）開(kāi)展同伴互助。建立“師徒結(jié)對(duì)”機(jī)制，由教研組長(zhǎng)擔(dān)任導(dǎo)師，定期與授