人教B版高中數(shù)學(xué)必修四優(yōu)課聽評課記錄：3.1.1兩角和與差的余弦3一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：李明

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)

班級/年級：高一（7）班

教學(xué)主題或章節(jié)：人教B版高中數(shù)學(xué)必修四3.1.1兩角和與差的余弦

聽課人姓名：王華

聽課人職務(wù)：高中數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究、新教師培養(yǎng)

本節(jié)課圍繞兩角和與差的余弦公式展開，是三角函數(shù)部分的重點內(nèi)容。李明老師通過引入實際情境和幾何直觀，幫助學(xué)生理解公式的推導(dǎo)過程，并通過變式練習(xí)鞏固公式應(yīng)用。課堂設(shè)計注重啟發(fā)式教學(xué)，通過問題引導(dǎo)、小組討論等方式激發(fā)學(xué)生思維，同時結(jié)合多媒體技術(shù)動態(tài)展示公式推導(dǎo)過程，增強(qiáng)學(xué)生的理解和記憶。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞余弦公式的推導(dǎo)和應(yīng)用展開。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，包括教材、幾何模型、多媒體課件等。教材中公式推導(dǎo)部分標(biāo)注詳細(xì)，幾何模型直觀展示了公式推導(dǎo)的幾何意義，多媒體課件動態(tài)演示了公式的推導(dǎo)過程和變式應(yīng)用，為學(xué)生的理解提供了多維度支持。

2.教學(xué)過程

開始階段：教師通過復(fù)習(xí)余弦定理和三角形幾何性質(zhì)導(dǎo)入新課，以“如何計算∠A+∠B的余弦值”為問題情境，引發(fā)學(xué)生思考。導(dǎo)入方式自然，通過幾何模型和實際例子激發(fā)學(xué)生興趣，效果良好。

展開階段：采用講授與討論相結(jié)合的方法。首先，李明老師通過動態(tài)幾何軟件演示了∠A+∠B的余弦公式的推導(dǎo)過程，結(jié)合幾何直觀解釋公式成立的條件。隨后，組織學(xué)生分組討論∠A-∠B公式的推導(dǎo)，教師巡視指導(dǎo)，并邀請小組代表展示推導(dǎo)過程。在變式練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計了不同難度的題目，從基礎(chǔ)應(yīng)用到綜合應(yīng)用，逐步提升學(xué)生的解題能力。課堂中，教師注重引導(dǎo)學(xué)生思考公式的幾何意義，如通過單位圓解釋公式的周期性和對稱性，增強(qiáng)學(xué)生的理解深度。

結(jié)束階段：教師總結(jié)本節(jié)課的余弦公式推導(dǎo)方法、應(yīng)用場景和注意事項，強(qiáng)調(diào)公式的記憶要點和常見誤區(qū)。布置作業(yè)時，分為基礎(chǔ)題和拓展題，滿足不同層次學(xué)生的需求。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師通過提問、追問等方式引導(dǎo)學(xué)生思考，如“為什么余弦公式在單位圓中成立？”“如何用幾何方法解釋公式對稱性？”等。學(xué)生參與度較高，尤其在小組討論環(huán)節(jié)，多數(shù)學(xué)生能夠積極參與推導(dǎo)過程，并主動分享自己的理解。教師對學(xué)生的回答及時給予反饋，如對錯誤推導(dǎo)進(jìn)行糾正，對合理思路給予肯定，互動氛圍良好。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，課堂專注度良好。在幾何模型演示環(huán)節(jié)，學(xué)生認(rèn)真觀察并記錄關(guān)鍵步驟；在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生積極發(fā)言，部分學(xué)生能夠獨立完成公式推導(dǎo)，并嘗試解決變式題目。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組內(nèi)成員分工明確，如有的負(fù)責(zé)幾何演示，有的負(fù)責(zé)代數(shù)推導(dǎo)，共同完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守課堂規(guī)則，無無關(guān)干擾行為。時間分配合理，導(dǎo)入環(huán)節(jié)5分鐘，公式推導(dǎo)10分鐘，小組討論10分鐘，變式練習(xí)15分鐘，總結(jié)作業(yè)布置5分鐘，符合課程進(jìn)度要求。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，教師通過動態(tài)演示和問題引導(dǎo)控制教學(xué)節(jié)奏，避免學(xué)生疲勞。

6.教學(xué)技術(shù)使用

現(xiàn)代教育技術(shù)使用有效，動態(tài)幾何軟件和多媒體課件為公式推導(dǎo)提供了直觀支持。軟件動態(tài)演示了單位圓中余弦值的幾何意義，幫助學(xué)生理解公式的對稱性和周期性。教師還利用課件展示了不同類型的變式題目，并通過電子白板記錄學(xué)生推導(dǎo)過程，便于全班共享和評價。技術(shù)的應(yīng)用不僅提高了教學(xué)效率，還增強(qiáng)了學(xué)生的理解深度。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，圍繞兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)、理解、記憶和應(yīng)用展開。預(yù)期目標(biāo)包括：學(xué)生能夠理解并掌握公式推導(dǎo)的幾何背景；能夠準(zhǔn)確記憶并運(yùn)用公式解決簡單和中等難度的三角函數(shù)問題；能夠體會公式的對稱性和周期性等數(shù)學(xué)性質(zhì)。從課堂觀察和作業(yè)反饋來看，學(xué)生基本達(dá)到了預(yù)期學(xué)習(xí)目標(biāo)。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，多數(shù)學(xué)生能夠跟隨教師演示理解推導(dǎo)過程，并在小組討論中嘗試獨立推導(dǎo)∠A-∠B公式，表明對公式的幾何背景有一定理解。在變式練習(xí)環(huán)節(jié)，約85%的學(xué)生能夠正確運(yùn)用公式解決基礎(chǔ)題目，約60%的學(xué)生能夠處理中等難度的綜合應(yīng)用題，說明公式應(yīng)用能力得到有效提升。課堂提問環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠回答關(guān)于公式對稱性和周期性的問題，表明對公式的數(shù)學(xué)性質(zhì)有一定認(rèn)識。

2.知識掌握

學(xué)生對知識點的理解和記憶情況良好。通過幾何模型和動態(tài)演示，學(xué)生能夠直觀理解余弦公式的推導(dǎo)過程，并將其與余弦定理、單位圓等已有知識建立聯(lián)系。例如，部分學(xué)生能夠用單位圓解釋公式中的邊長關(guān)系，說明對公式的幾何意義有較深理解。在技能掌握方面，學(xué)生的解題能力得到有效提升?；A(chǔ)題目中，學(xué)生能夠直接套用公式，錯誤率較低；綜合應(yīng)用題中，約15%的學(xué)生出現(xiàn)符號錯誤或公式選擇不當(dāng)?shù)那闆r，主要原因是公式記憶混淆或解題步驟不清晰。教師通過針對性講解和變式練習(xí)，幫助學(xué)生糾正了這些問題。此外，部分學(xué)生能夠?qū)⒂嘞夜脚c正弦公式、兩角和的正弦公式等建立聯(lián)系，展現(xiàn)出一定的知識遷移能力。但仍有少數(shù)學(xué)生依賴死記硬背，對公式的推導(dǎo)過程和幾何意義理解不深，需要在后續(xù)教學(xué)中加強(qiáng)引導(dǎo)。

3.情感態(tài)度價值觀

本節(jié)課在促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展方面表現(xiàn)良好。通過引入實際情境和幾何模型，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，多數(shù)學(xué)生能夠積極參與課堂活動，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲。在小組討論環(huán)節(jié)，學(xué)生之間的合作學(xué)習(xí)氛圍濃厚，部分學(xué)生主動承擔(dān)角色并分享見解，展現(xiàn)了良好的合作精神和溝通能力。教師對學(xué)生的鼓勵和肯定，如對正確推導(dǎo)的表揚(yáng)、對錯誤思路的耐心糾正，增強(qiáng)了學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)積極性。課堂中，學(xué)生能夠體會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，如通過幾何模型解釋公式推導(dǎo)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維和抽象思維能力。此外，教師通過布置不同難度的作業(yè)，體現(xiàn)了對個體差異的關(guān)注，幫助學(xué)生在適合自己的難度范圍內(nèi)鞏固知識，培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。部分學(xué)生在解決難題時表現(xiàn)出堅持不懈的精神，展現(xiàn)了積極的數(shù)學(xué)態(tài)度。但仍有少數(shù)學(xué)生在面對困難時出現(xiàn)焦慮情緒，需要教師進(jìn)一步關(guān)注和引導(dǎo)，培養(yǎng)其抗挫折能力。總體而言，本節(jié)課在激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)合作精神、增強(qiáng)自信心等方面取得了良好效果，促進(jìn)了學(xué)生的全面發(fā)展。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課給人留下了深刻印象，是一節(jié)設(shè)計精良、實施有效的優(yōu)課。李明老師的教學(xué)目標(biāo)明確，教學(xué)內(nèi)容重點突出，教學(xué)方法靈活多樣，教學(xué)技術(shù)運(yùn)用得當(dāng)，學(xué)生參與度高，學(xué)習(xí)效果顯著。最突出的優(yōu)點在于教師能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)公式與直觀的幾何模型、動態(tài)的幾何軟件相結(jié)合，幫助學(xué)生建立深刻理解。具體表現(xiàn)在以下幾個方面：首先，導(dǎo)入環(huán)節(jié)巧妙，通過實際問題和幾何模型激發(fā)學(xué)生興趣，自然引出教學(xué)主題；其次，公式推導(dǎo)過程清晰，教師不僅展示了公式的代數(shù)推導(dǎo)，更注重幾何直觀的解釋，如通過單位圓和三角形面積關(guān)系闡釋公式意義，加深了學(xué)生的理解；再次，小組討論環(huán)節(jié)設(shè)計合理，學(xué)生通過合作探究，不僅掌握了公式，還鍛煉了溝通能力和合作精神；最后，變式練習(xí)層次分明，既鞏固了基礎(chǔ)，又提升了應(yīng)用能力。課堂氛圍活躍，師生互動頻繁，學(xué)生專注度高，展現(xiàn)出良好的學(xué)習(xí)狀態(tài)?？傮w而言，本節(jié)課體現(xiàn)了新課程理念，注重學(xué)生的主體地位和思維發(fā)展，是一節(jié)值得學(xué)習(xí)的優(yōu)秀課例。

2.改進(jìn)建議

盡管本節(jié)課已經(jīng)非常出色，但仍有提升空間。針對存在的問題，提出以下改進(jìn)措施：首先，在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，可以進(jìn)一步增加學(xué)生的自主探究時間。目前教師演示較多，學(xué)生自主推導(dǎo)的機(jī)會相對較少。建議在動態(tài)幾何軟件演示后，讓學(xué)生有更多時間獨立嘗試推導(dǎo)，或分組合作完成，教師再進(jìn)行點評和補(bǔ)充。這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的動手能力和理解深度。例如，可以設(shè)計一個探究活動，讓學(xué)生利用單位圓和向量的方法推導(dǎo)公式，并比較不同方法的優(yōu)劣。其次，在變式練習(xí)環(huán)節(jié)，可以增加一些具有挑戰(zhàn)性的開放性問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更深入的思考。目前練習(xí)以基礎(chǔ)和中等難度為主，可以適當(dāng)增加需要學(xué)生結(jié)合其他知識（如三角恒等變換、解三角形等）解決的問題，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。例如，設(shè)計一道題目要求學(xué)生用余弦公式證明一個關(guān)于角的恒等式，或解決一個實際測量問題。再次，在小組討論環(huán)節(jié)，可以加強(qiáng)對學(xué)生參與度的監(jiān)控和指導(dǎo)。目前雖然氛圍良好，但仍有少數(shù)學(xué)生可能跟隨大流，沒有深入思考。建議教師明確分工，如設(shè)記錄員、匯報員等，并設(shè)計一些需要每個人獨立完成的任務(wù)，確保所有學(xué)生參與。教師巡視時，對參與不足的小組進(jìn)行重點指導(dǎo)，提出具體問題引導(dǎo)學(xué)生思考。最后，在作業(yè)布置方面，可以增加分層作業(yè)的比重。目前作業(yè)區(qū)分基礎(chǔ)和拓展，但可以進(jìn)一步細(xì)化，為不同水平的學(xué)生提供更具針對性的練習(xí)。例如，基礎(chǔ)題強(qiáng)調(diào)公式的直接應(yīng)用，拓展題則涉及公式的變形、逆用或與其他知識的結(jié)合，滿足不同學(xué)生的需求。

如何進(jìn)一步提升教學(xué)質(zhì)量？可以從以下幾個方面入手：一是加強(qiáng)知識的前后聯(lián)系。余弦公式是三角函數(shù)部分的核心內(nèi)容，與學(xué)生已學(xué)的余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式等密切相關(guān)。教學(xué)中可以更有意識地引導(dǎo)學(xué)生建立知識網(wǎng)絡(luò)，如通過對比余弦定理和余弦公式的推導(dǎo)思路，或通過幾何模型解釋不同公式的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)。二是注重數(shù)學(xué)思想的滲透。本節(jié)課涉及的主要數(shù)學(xué)思想有數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等。教師可以結(jié)合具體環(huán)節(jié)，明確指出這些思想的應(yīng)用。例如，在用單位圓解釋公式時滲透數(shù)形結(jié)合思想，在將∠A+∠B轉(zhuǎn)化為∠(A+∠B)-∠B時滲透化歸思想，幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)思維能力。三是關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)差異。針對不同學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和思維特點，采取差異化教學(xué)策略。例如，對基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生，加強(qiáng)公式推導(dǎo)的幾何直觀解釋和基礎(chǔ)題的練習(xí)；對學(xué)有余力的學(xué)生，提供更具挑戰(zhàn)性的問題和探究空間，如鼓勵他們研究公式的更一般形式或探索其在其他學(xué)科的應(yīng)用。四是加強(qiáng)教學(xué)反思。教師課后可以結(jié)合學(xué)生反饋和課堂表現(xiàn)，反思教學(xué)設(shè)計的有效性，總結(jié)成功經(jīng)驗和不足之處，為后續(xù)教學(xué)提供改進(jìn)方向。

3.后續(xù)跟蹤

建議進(jìn)行后續(xù)聽課跟進(jìn)，以評估改進(jìn)措施的效果。計劃采取以下支持措施幫助教師成長：首先，安排一次復(fù)聽課，觀察李明老師是否根據(jù)建議調(diào)整了教學(xué)設(shè)計和實施策略。復(fù)聽課前，與教師溝通改進(jìn)建議，共同制定具體的調(diào)整方案。復(fù)課后，進(jìn)行深入交流，重點探討改進(jìn)措施的落實情況和效果，并進(jìn)一步提出優(yōu)化建議。其次，組織集體備課活動，圍繞余弦公式的教學(xué)展開。邀請李明老師分享改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計和經(jīng)驗，其他教師則分享自己的教學(xué)心得和困惑，共同研討如何更好地落實差異化教學(xué)、滲透數(shù)學(xué)思想等。通過集體智慧，進(jìn)一步完善教學(xué)方案。再次，提供相關(guān)教學(xué)資源支持。如推薦一些關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)的優(yōu)秀案例