遼寧省瓦房店市中考數(shù)學(xué)真題分類（勾股定理）匯編單元測(cè)試考試時(shí)間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘2、答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個(gè)題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置，如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計(jì)14分）1、兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm2、在中，，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．3、觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．4、如圖，在中，，兩直角邊，，現(xiàn)將AC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則CD長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5、如圖，在水塔O的東北方向24m處有一抽水站A，在水塔的東南方向18m處有一建筑工地B，在AB間建一條直水管，則水管AB的長(zhǎng)為（

）A．40m B．45m C．30m D．35m6、如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長(zhǎng)方形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為()A．20 B．22 C．24 D．307、如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為2cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈達(dá)到點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要（

）A．11cm B．2cm C．（8+2）cm D．（7+3）cm第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計(jì)16分）1、如圖，AB⊥CD于B，△ABD和△BCE都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC的長(zhǎng)為_______2、如圖所示，數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為_______．3、如圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)至少需______米．4、如圖，學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形草坪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在草坪內(nèi)走出了一條“路”，他們僅僅少走了________步路（假設(shè)步為米），卻踩傷了花草．5、《九章算術(shù)》中記載著這樣一個(gè)問題：已知甲、乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時(shí)，甲、乙各走了多遠(yuǎn)？解：如圖，設(shè)甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據(jù)勾股定理可列得方程為______．6、圖①所示的正方體木塊棱長(zhǎng)為6cm，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為_____cm．7、云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會(huì)7個(gè)雪上競(jìng)賽場(chǎng)館中唯一利用現(xiàn)有雪場(chǎng)改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場(chǎng)U型池的實(shí)景圖和示意圖，該場(chǎng)地可以看作是從一個(gè)長(zhǎng)方體中挖去了半個(gè)圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點(diǎn)E在上，．一名滑雪愛好者從點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，他滑行的最短路線長(zhǎng)為_________m．8、如圖，一架長(zhǎng)5米的梯子A1B1斜靠在墻A1C上，B1到墻底端C的距離為3米，此時(shí)梯子的高度達(dá)不到工作要求，因此把梯子的B1端向墻的方向移動(dòng)了1.6米到B處，此時(shí)梯子的高度達(dá)到工作要求，那么梯子的A1端向上移動(dòng)了_____米．三、解答題（7小題，每小題10分，共計(jì)70分）1、閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：∠MBN＝30°，點(diǎn)A為射線BM上一點(diǎn)，且AB＝4，點(diǎn)C為射線BN上動(dòng)點(diǎn)，連接AC，以AC為邊在AC右側(cè)作等邊三角形ACD，連接BD．當(dāng)AC⊥BN時(shí)，求BD的長(zhǎng)．小明發(fā)現(xiàn)：以AB為邊在左側(cè)作等邊三角形ABE，連接CE，能得到一對(duì)全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，從而將問題解決（如圖1）．請(qǐng)回答：(1)在圖1中，小明得到的全等三角形是△≌△；BD的長(zhǎng)為．(2)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到AC時(shí)，求BD的長(zhǎng)；(3)動(dòng)點(diǎn)C在射線BN上運(yùn)動(dòng)，求△ABD周長(zhǎng)最小值．2、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A行駛向點(diǎn)B，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A、B的距離分別為300km和400km，又AB＝500km，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）海港C會(huì)受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？（2）若臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有多長(zhǎng)？3、如圖所示，在中，，，，為邊上的中點(diǎn).（1）求、的長(zhǎng)度；（2）將折疊，使與重合，得折痕；求、的長(zhǎng)度.4、如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=10cm，D是腰AC上一點(diǎn)，且CD=6cm，BD=8cm．(1)判斷△BCD的形狀，并說明理由；(2)求△ABC的周長(zhǎng)．5、（1）圖1是由有20個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成的，把它按圖1的分割方法分割成5部分后可拼接成一個(gè)大正方形（內(nèi)部的粗實(shí)線表示分割線），請(qǐng)你在圖2的網(wǎng)格中畫出拼接成的大正方形．（2）如果（1）中分割成的直角三角形兩直角邊分別為a，b斜邊為c．請(qǐng)你利用圖2中拼成的大正方形證明勾股定理．（3）應(yīng)用：測(cè)量旗桿的高度：校園內(nèi)有一旗桿，小希想知道旗桿的高度，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)從頂端垂下一根拉繩，于是他測(cè)出了下列數(shù)據(jù)：①測(cè)得拉繩垂到地面后，多出的長(zhǎng)度為0.5米；②他在距離旗桿4米的地方拉直繩子，拉繩的下端恰好距離地面0.5米．請(qǐng)你根據(jù)所測(cè)得的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)可行性方案，解決這一問題．（畫出示意圖并計(jì)算出這根旗桿的高度）．6、已知m＞0，若3m+2，4m+8，5m+8是一組勾股數(shù)，求m的值．7、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向由行駛向，已知點(diǎn)為海港，并且點(diǎn)與直線上的兩點(diǎn)，的距離分別為，，又，以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求的度數(shù)；（2）海港受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？-參考答案-一、單選題1、D【解析】【分析】畫出圖形，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，cm，cm，∴在中，cm，故選：D【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．2、A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結(jié)合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對(duì)的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關(guān)鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．3、C【解析】【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個(gè)直角三角形的面積可得問題的答案．【詳解】標(biāo)記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【考點(diǎn)】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進(jìn)行證明，掌握面積差得算式是解決此題關(guān)鍵．4、A【解析】【分析】先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)求得AE，BE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理可求得CD的長(zhǎng)．【詳解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），由折疊的性質(zhì)得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm?6cm＝4cm，∠BED＝90°，設(shè)CD＝x，則BD＝BC?CD＝8?x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝（8?x）2，解得：x＝3，∴CD＝3cm，故選：A．【考點(diǎn)】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；熟記折疊性質(zhì)并表示出Rt△DEB的三邊，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．5、C【解析】【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可．【詳解】解：∵OA是東北方向，OB是東南方向，∴∠AOB=90°，又∵OA=24m，OB=18m，∴30m．故選：C．【考點(diǎn)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解直角三角形的應(yīng)用，正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．6、C【解析】【詳解】由折疊得：在Rt中，∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則故BC=BF+FH+HC=6+8+10=24.故選C.7、B【解析】【詳解】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．解：將長(zhǎng)方體展開,連接AB′，則AB′最短.∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6cm，∴AB′=cm.故選B..二、填空題1、13【解析】【分析】先根據(jù)△BCE等腰直角三角形得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出BD的長(zhǎng)，根據(jù)△ABD是等腰直角三角形可知AB=BD．在Rt△ABC中利用勾股定理即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】∵△BCE等腰直角三角形，BE=5，∴BC=5．∵CD=17，∴DB=CD﹣BE=17﹣5=12．∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB=BD=12．在Rt△ABC中，∵AB=12，BC=5，∴AC13．故答案為13．【考點(diǎn)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟知等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．2、【解析】【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)和相關(guān)線段的長(zhǎng)，結(jié)合勾股定理求出斜邊長(zhǎng)，即可求出-1和A之間的線段的長(zhǎng)，即可知A所表示的數(shù)．【詳解】圖中直角三角形的兩直角邊為1，2，所以斜邊長(zhǎng)為，那么-1和A之間的距離為，那么數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)為：．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系以及勾股定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊的長(zhǎng)是解答本題的關(guān)鍵．3、2+2【解析】【分析】地毯的豎直的線段加起來等于BC，水平的線段相加正好等于AC，即地毯的總長(zhǎng)度至少為（AC+BC）．【詳解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2m，∠C=90°，∴AB=2BC=4m，∴AC=m，∴AC+BC=2+2（m）.故答案為2+2.【考點(diǎn)】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解題中地毯的長(zhǎng)度為水平與豎直的線段的和.4、【解析】【分析】少走的距離是AC+BC-AB，在直角△ABC中根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖，∵在中，，∴米，則少走的距離為：米，∵步為米，∴少走了步．故答案為：．【考點(diǎn)】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．善于觀察題目的信息，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5、【解析】【分析】設(shè)甲、乙二人出發(fā)后相遇的時(shí)間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設(shè)經(jīng)x秒二人在C處相遇，這時(shí)乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問題中抽象出直角三角形．6、（3+3）．【解析】【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】如圖所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴從頂點(diǎn)A爬行到頂點(diǎn)B的最短距離為（3+3）cm．故答案為（3+3）．【考點(diǎn)】本題考查了平面展開-最短路徑問題，關(guān)鍵是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解題.7、【解析】【分析】根據(jù)題意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，線段AE即為滑行的最短路線長(zhǎng)．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，線段AE即為滑行的最短路線長(zhǎng)．在Tt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE＝（m）．故答案為：【考點(diǎn)】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，解決本題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A柱的側(cè)面展開圖是矩形，利用勾股定理求最短距離．8、0.8【解析】【分析】梯子的長(zhǎng)是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動(dòng)前和滑動(dòng)后的所構(gòu)成的兩直角三角形，分別得出AO，A1O的長(zhǎng)即可．【詳解】解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理知，A1O==4（m），在Rt△ABO中，由題意可得：BO=1.4（m），根據(jù)勾股定理知，AO==4.8（m），所以AA1=AO-A1O=0.8（米）．故答案為0.8．【考點(diǎn)】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．三、解答題1、(1)ABD，ACE，；(2)BD的長(zhǎng)為；(3)＋4．【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的長(zhǎng)度；（2）作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，求出BH，HC即BC的長(zhǎng)度，再利用勾股定理即可求出CE的長(zhǎng)度，由（1）知BD＝CE，據(jù)此得解；（3）作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，延長(zhǎng)EB至F，使BF＝EB，連接AF交BN于C'，連接EC'，此時(shí)BD＋AC'有最小值即為AF，此時(shí)△ABD周長(zhǎng)＝AF＋AB最小，求出AF即可．(1)解：∵△ACD和△ABE是等邊三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝4，∠MBN＝30°，∴AC＝2，∴BC＝，∴BD＝CE＝，故答案為：ABD，ACE，；(2)解：如下圖，作AH⊥BC于點(diǎn)H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，∵AB＝4，∠MAN＝30°，∴AH＝2，BH＝，∵AC＝，∴HC＝，∴BC＝BH＋HC＝＋＝，∴CE＝，由（1）可知BD＝CE，∴此時(shí)BD的長(zhǎng)為；(3)解：如圖，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，延長(zhǎng)EB至F，使BF＝EB，連接AF交BN于C'，連接EC'，∵EC'＝FC'＝BD，∴此時(shí)BD＋AC'有最小值即為AF，∴此時(shí)△ABD周長(zhǎng)＝AD＋BD+AB＝AF＋AB最小，作AG⊥BE于G，∴AG∥BN，∴∠BAG＝30°，∴BG＝AB＝2，AG＝，∴GF＝BG＋BF＝2＋4＝6，由勾股定理得AF＝，∴此時(shí)△ABD周長(zhǎng)為：＋4．【考點(diǎn)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2、（1）會(huì)，理由見解析；（2）7h【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進(jìn)而利用三角形面積得出CD的長(zhǎng)，從而判斷出海港C是否受臺(tái)風(fēng)影響；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D點(diǎn)，∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴，∴△ABC為直角三角形，∴，∴，∴，∵以臺(tái)風(fēng)中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響；（2）由（1）得CD=240km，如圖所示，當(dāng)EC=FC=250km時(shí)，即臺(tái)風(fēng)經(jīng)過EF段時(shí)，正好影響到海港C，此時(shí)△ECF為等腰三角形，∵，∴EF=140km，∵臺(tái)風(fēng)的速度為20km/h，∴140÷20=7h，∴臺(tái)風(fēng)影響該海港持續(xù)的時(shí)間有7h．【考點(diǎn)】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用，解答此類題目的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理解答．3、（1）BD＝2，；（2），【解析】【分析】（1）由勾股定理求出BC=4，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得到BD，然后再一次運(yùn)用勾股定理求出AD即可；（2）設(shè)，則，，利用勾股定理列出方程解，從而得解.【詳解】（1）∵在中，，，∴在中，∴又∵為邊上的中點(diǎn)∴∴在中，∴（2）折疊后如圖所示，為折痕，聯(lián)結(jié)設(shè)，則，在中，，即解得：∴∴【考點(diǎn)】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，也考查了折疊的性質(zhì).是常見中考題型.4、(1)△BDC為直角三角形，理由見解析；(2)△ABC的周長(zhǎng)為=cm．【解析】【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC為直角三角形；（2）由此可求出AC的長(zhǎng)，周長(zhǎng)即可求出．(1)解：△BDC為直角三角形，理由如下，∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，而102=62+82，∴BC2=BD2+CD2．∴△BDC為直角三角形；(2)解：設(shè)AB=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC=x，則AD=x-6，∵AB2=AD2+BD2，即x2=（x-6）2+82，∴x=，∴△ABC的周長(zhǎng)=2AB+BC=（cm）．【考點(diǎn)】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用解答．5、（1）見解析；（2）見解析；（3）在四邊形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AD比AB長(zhǎng)0.5米，BC=4米，CD=0.5米，求AB的長(zhǎng)；8米【解析】【分析】(1)將圖1分割成五塊：四個(gè)直角邊分別為1、2的直角三角形，一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，再在圖2中，拼成邊長(zhǎng)為的正方形即可．(2)根據(jù)20個(gè)小正方形的面積的和等于拼成的正方形的面積，根據(jù)勾股定理確定截線的長(zhǎng)度即可；(3)根據(jù)題意，畫出圖形，可將該問題抽象為解直角三角形問題，該直角三角形的斜邊比其中一條直角邊多1m，而另一條直角邊長(zhǎng)為5