1.1.1命題[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解命題的概念.2.會(huì)判斷命題的真假，能夠把命題化為“若p，則q”的形式.知識(shí)點(diǎn)一命題的定義(1)用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.(2)判斷為真的語句叫做真命題.(3)判斷為假的語句叫做假命題.思考(1)“x>5”是命題嗎？(2)陳述句一定是命題嗎？答案(1)“x>5”不是命題，因?yàn)樗荒芘袛嗾婕?(2)陳述句不一定是命題，因?yàn)椴恢婕?只有可以判斷真假的陳述句才叫做命題.知識(shí)點(diǎn)二命題的結(jié)構(gòu)從構(gòu)成來看，所有的命題都由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成.在數(shù)學(xué)中，命題常寫成“若p，則q”的形式.通常，我們把這種形式的命題中的p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.題型一命題的判斷例1(1)下列語句為命題的是()A.x－1＝0 B.2＋3＝8C.你會(huì)說英語嗎？ D.這是一棵大樹(2)下列語句為命題的有________.①一個(gè)數(shù)不是正數(shù)就是負(fù)數(shù)；②梯形是不是平面圖形呢？③22015是一個(gè)很大的數(shù)；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.答案(1)B(2)①④解析(1)A中x不確定，x－1＝0的真假無法判斷；B中2＋3＝8是命題，且是假命題；C不是陳述句，故不是命題；D中“大”的標(biāo)準(zhǔn)不確定，無法判斷真假.(2)①是陳述句，且能判斷真假；②不是陳述句；③不能斷定真假；④是陳述句且能判斷真假；⑤不是陳述句.反思與感悟并不是所有的語句都是命題，只有能判斷真假的陳述句才是命題.命題首先是“陳述句”，其他語句如疑問句、祈使句、感嘆句等一般都不是命題；其次是“能判斷真假”，不能判斷真假的陳述句不是命題，如“x≥2”、“小高的個(gè)子很高”等都不能判斷真假，故都不是命題.因此，判斷一個(gè)語句是否為命題，關(guān)鍵有兩點(diǎn)：①是否為陳述句；②能否判斷真假.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列語句是不是命題.(1)求證eq\r(3)是無理數(shù)；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二學(xué)生嗎？(4)并非所有的人都喜歡蘋果；(5)一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)；(6)若x∈R，則x2＋4x＋7＞0；(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命題，(2)(4)(5)(6)是命題.題型二命題真假的判斷例2判斷下列命題的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，則a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，則x3>x2成立；(3)若m>1，則方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根；(4)存在一個(gè)三角形沒有外接圓.解(1)假命題.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命題.反例：當(dāng)x＝0時(shí)，x3>x2不成立.(3)真命題.∵m>1?Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0無實(shí)數(shù)根.(4)假命題.因?yàn)椴还簿€的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，即任何三角形都有外接圓.反思與感悟要判斷一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況作出正確的判斷.而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.跟蹤訓(xùn)練2下列命題：①若xy＝1，則x、y互為倒數(shù)；②四條邊相等的四邊形是正方形；③平行四邊形是梯形；④若ac2>bc2，則a>b.其中真命題的序號(hào)是________.答案①④解析①④是真命題，②四條邊相等的四邊形是菱形，但不一定是正方形，③平行四邊形不是梯形.題型三命題的構(gòu)成形式例3(1)已知命題：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分弦所對的弧，若把上述命題改為“若p，則q”的形式，則p是_____________，q是_____________________.答案一條直線是弦的垂直平分線這條直線經(jīng)過圓心且平分弦所對的弧(2)把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并判斷命題的真假.①已知x，y為正整數(shù)，當(dāng)y＝x＋1時(shí)，y＝3，x＝2；②當(dāng)abc＝0時(shí)，a＝0且b＝0且c＝0.解①已知x，y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3，x＝2，假命題.②若abc＝0，則a＝0且b＝0且c＝0，假命題.反思與感悟把一個(gè)命題改寫成“若p，則q”的形式，首先要確定命題的條件和結(jié)論，若條件和結(jié)論比較隱含，要補(bǔ)充完整，有時(shí)一個(gè)條件有多個(gè)結(jié)論，有時(shí)一個(gè)結(jié)論需多個(gè)條件，還要注意有的命題改寫形式也不惟一.跟蹤訓(xùn)練3指出下列命題中的條件p和結(jié)論q，并判斷各命題的真假.(1)若四邊形是平行四邊形，則它的對角線互相平分；(2)若a>0，b>0，則a＋b>0；(3)面積相等的三角形是全等三角形.解(1)條件p：四邊形是平行四邊形，結(jié)論q：四邊形的對角線互相平分.真命題.(2)條件p：a>0，b>0，結(jié)論q：a＋b>0.真命題.(3)條件p：兩個(gè)三角形面積相等，結(jié)論q：它們是全等三角形.假命題.1.下列語句不是命題的個(gè)數(shù)為()①2<1；②x<1；③若x<2，則x<1；④函數(shù)f(x)＝x2是R上的偶函數(shù).A.0 B.1C.2 D.3答案C解析①④可以判斷真假，是命題；②③不能判斷真假，所以不是命題.2.下列命題為真命題的是()A.互余的兩個(gè)角不相等B.相等的兩個(gè)角是同位角C.若a2＝b2，則|a|＝|b|D.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角答案C解析由平面幾何知識(shí)可知A、B、D三項(xiàng)都是錯(cuò)誤的.3.下列命題是真命題的是()A.若a2＝4，則a＝2 B.若a＝b，則eq\r(a)＝eq\r(b)C.若eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)，則a＝b D.若a<b，則a2<b2答案C解析判斷是假命題，只需舉反例，用排除法，得到正確選項(xiàng).由a2＝4得a＝±2，排除A；取a＝b＝－1，排除B；－2<1，但(－2)2>12，排除D.故選C.4.給出下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行；④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中，為真命題的是()A.①② B.②③C.③④ D.②④答案D解析當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可以平行于另一個(gè)平面，故①錯(cuò)；由平面與平面垂直的判定定理可知②正確；空間中垂直于同一條直線的兩條直線可以平行、相交也可以異面，故③錯(cuò)；若兩個(gè)平面垂直，在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直，故④正確.5.下列命題：①若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；②若a>b，則ac2>bc2；③矩形的對角線互相垂直.其中假命題的個(gè)數(shù)是________.答案3解析①當(dāng)x，y中一個(gè)為零，另一個(gè)不為零時(shí)，|x|＋|y|≠0；②當(dāng)c＝0時(shí)不成立；③菱形的對角線互相垂直.矩形的對角