第6章點的合成運動6.1相對運動、牽連運動及絕對運動6.2點的速度合成定理6.3牽連運動為平動時點的加速度合成定理6.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理及科氏加速度思考題習(xí)題

6.1相對運動、牽連運動及絕對運動

6.1.1兩種參考系

本章采用兩種參考系描述點的運動。一個是固定參考系，簡稱為定系。如無特殊說明，則認(rèn)為定系固結(jié)于地面，用Oxyz表示。固結(jié)于相對地球運動的其它參考體上的坐標(biāo)系稱為動參考系，簡稱為動系，用O′x′y′z′表示，動參考系是隨動參考體一起運動的幾何空間。物體相對于定系與相對于動系的運動之間的關(guān)系，與動系相對于定系的運動有關(guān)。

下面舉例分析。圖6-1是機(jī)加工車間、火車站常見的橋式起重機(jī)(行車或天車)。當(dāng)起吊重物時，若橋架在水平位置保持不動，而卷揚小車沿橋架做直線平動，同時將吊鉤上的重物鉛垂向上提升，則重物A在鉛垂平面內(nèi)做平面曲線運動?，F(xiàn)將重物A視為考察的動點，動系固結(jié)于卷揚小車上，定系固結(jié)于橋架或地面，則重物A相對于定系的平面曲線運動，可以看成是動點相對于

動系(卷揚小車)的鉛垂向上的直線運動和動點隨動系(卷揚小車)一起水平向右的直線運動合成的結(jié)果。為了分析以上幾種運動，引入三個重要概念，即絕對運動、相對運動和牽連運動。圖6-16.1.2三種運動

動點相對定參考系的運動稱為絕對運動，其軌跡、速度、加速度分別稱為絕對軌跡、絕對速度va和絕對加速度aa；動點相對于動參考系的運動，稱為相對運動，其軌跡、速度、加速度分別稱為相對軌跡、相對速度vr和相對加速度ar；動系相對于定系的運動，稱為牽連運動，它是剛體的運動。動參考系上與動點相重合的那一點稱為牽連點，牽連點具有瞬時性，牽連點的速度和加速度稱為動點在該瞬時的牽連速度ve和牽連加速度ae。在圖6-2中，車輪沿直線軌道做純滾動。若以輪緣上的

M為動點，定系固結(jié)于地面，動系固結(jié)于車廂，則M點相對

地面的運動是絕對運動，軌跡為旋輪線；M點相對車廂的運動是相對運動，軌跡為圓周曲線；動系相對地面的運動是牽連運動，為水平移動，動系上與動點M重合的那一點為牽連點。圖6-2

在圖6-3中，車刀在車削工件。若以車刀的刀尖M為動點，定系固結(jié)于地面，動系固結(jié)于工件，M點相對地面的運動為絕對運動，運動軌跡為水平直線；M點相對于工件的運動為相對運動，運動軌跡為螺旋線；牽連運動為動系相對于地面的運動，即定軸轉(zhuǎn)動，工件上與刀尖M重合的那一點稱為牽連點。(讀者可自行對圖6-1中的三種運動做出分析)。

總之，動點的絕對運動既取決于動點的相對運動，又取決于動參考系的牽連運動，動點的絕對運動是相對運動與牽連運動合成的結(jié)果。圖6-3

6.2點的速度合成定理

本節(jié)研究點的絕對速度va、相對速度vr與牽連速度ve三者之間的關(guān)系。

設(shè)動點M的相對運動軌跡為曲線AB，如圖6-4所示。為了容易理解，設(shè)想AB為一平板上的細(xì)槽，動點M為槽內(nèi)一小球，小球M在隨平板運動的同時還在細(xì)槽內(nèi)做相對運動。圖6-4設(shè)瞬時t動點位于曲線AB上的M點，經(jīng)過極短的時間間隔Δt之后，動參考系移動到新的位置A′B′；同時動點沿弧線MM′移動到M′，動點的絕對運動軌跡為弧線MM′。動點M的相對運動為沿曲線AB移動到M2，弧線MM2是動點的相對運動軌跡。在Δt時間間隔內(nèi),曲線AB上與動點重合的那一點沿弧線MM1運動到點M1。矢量MM′、MM2和MM1分別為動點的絕對位移、相對位移和牽連位移。根據(jù)速度的定義，動點M在瞬時t的絕對速度為

,其方向沿絕對軌跡MM′的切線方向；相對速度為，其方向沿相對軌跡MM2的切線方向；牽連速度為曲線AB上與動點M重合的A點在瞬時t的速度，

，其方向沿曲線MM1的切線方向。由圖中的矢量關(guān)系可得

用Δt除以上式兩端，并取極限可得因為當(dāng)Δt→0時，曲線A′B′趨于曲線AB，故有

所以

va=ve+vr

(6-1)這就是點的速度合成定理：動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。即動點的絕對速度va可由牽連速度ve和相對速度vr為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形的對角線來確定，這個平行四邊形稱為速度平行四邊形。

在推導(dǎo)點的速度合成定理時，并沒有限制動參考系做什么樣的運動，因此該定理適用于任何形式的牽連運動，即動參考系可做平動、定軸轉(zhuǎn)動或其它任何復(fù)雜形式的運動。

例6-1曲柄搖桿機(jī)構(gòu)如圖6-5所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈聯(lián)接。當(dāng)曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動，并帶動O1B繞固定軸O1擺動。設(shè)曲柄長OA=r，兩軸間的距離OO1=l。求當(dāng)曲柄在水平位置時搖桿O1B的角速度ω1。

解：選擇曲柄端點A為動點，動系固結(jié)于搖桿O1B上。點A的絕對運動是以點O為圓心，以r為半徑的圓周運動；相對運動是沿O1B的直線運動；牽連運動是搖桿O1B繞O1軸的定軸轉(zhuǎn)動。圖6-5絕對速度va大小等于rω，方向垂直于曲柄OA；相對速度vr的方向沿O1B；而牽連速度ve是桿O1B上與A點重合的那一點的速度，其方向垂直于O1B。

根據(jù)速度合成定理，作出速度平行四邊形如圖6-5所示，由幾何關(guān)系可得

ve=vasinφ

又，且va=rω，所以。設(shè)搖桿此瞬時的角速度為ω1，則

其中,。

所以此瞬時搖桿的角速度為

轉(zhuǎn)向沿逆時針方向。

例6-2在如圖6-6(a)所示的尖底凸輪機(jī)構(gòu)中，凸輪半徑為R，偏心距為e，以勻角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，頂桿AB在滑槽中上下平動，頂桿的端點A始終與凸輪接觸，且O、A、B位于同一鉛垂線上。在圖示瞬時，OC位于水平位置，求頂桿AB的速度。圖6-6

解：選擇頂桿AB上的A點為動點，動系固結(jié)于凸輪。

點A的絕對運動為隨頂桿AB的上下直線運動；相對運動是沿凸輪廓線的圓周運動；牽連運動是凸輪繞O軸的定軸轉(zhuǎn)動。

絕對速度va沿鉛垂方向，大小待求；相對速度沿A處凸輪廓線的切線方向，大小未知；牽連速度為凸輪上與桿端A點重合的那一點的速度，方向垂直于OA，大小為ve=ω·OA。

根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形,如圖6-6(a)所示。由幾何關(guān)系即可求得動點A的絕對速度為

由于AB桿做平動，因此動點A的絕對速度即為AB桿的速度，方向如圖6-6(a)所示。

此題也可選擇凸輪的輪心C為動點，動系固結(jié)于AB桿。有興趣的讀者可結(jié)合圖6-6(b)自行分析動點C的絕對運動、相對運動和牽連運動，并對其進(jìn)行速度分析。需要注意的是在這種情況下va與ve共線，速度平行四邊形退化成一直線。

例6-3在如圖6-7所示的平底凸輪機(jī)構(gòu)中，凸輪為偏心圓盤，其半徑為R，偏心距為e，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。頂桿的平底借助彈簧始終與凸輪接觸。求在任意位置θ時頂桿的速度。

解：此例與上例有點類似，不同之處是頂桿上與凸輪接觸的點是不斷變化的點，因此動點、動系的選擇需另作考慮，必須使得動點有比較明確的相對運動軌跡。圖6-7選擇凸輪輪心C為動點，動系固結(jié)于頂桿。

絕對運動為C點繞O點的圓周運動；相對運動為C點平行于x′軸的直線運動；牽連運動為頂桿沿垂直方向的直線平

動。

絕對速度va垂直于OC，大小為va=ω·OC=ωe；相對速度

vr方向沿x′軸，大小未知；牽連速度ve方向沿y′軸，大小

待求。

根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形如圖6-7所示。由幾何關(guān)系可得

ve=va·cosθ=eωcosθ,

vr=va·sinθ=eωsinθ

假定OC的初始位置水平，則θ=ωt，由于頂桿做平動，牽連速度即為頂桿的速度，于是可得任意瞬時頂桿的速度大小為

v=ve=eωcosωt

方向如圖6-7所示。6.3牽連運動為平動時點的加速度合成定理

設(shè)Oxyz是定坐標(biāo)系，O′x′y′z′為平動坐標(biāo)系，x′、y′、z′各軸方向不變，并與定坐標(biāo)軸x、y、z分別平行，如圖6-8所示。如動點M的相對坐標(biāo)為x′、y′、z′，而i′、j′、k′為動坐標(biāo)軸的單位矢量，則點M的相對速度和相對加速度分別為

(6-2)

(6-3)圖6-8由點的速度合成定理，有

上式兩端對時間求一階導(dǎo)數(shù)，可得

(6-4)上式左端為動點M的絕對加速度aa。由于牽連運動為平動，動系上各點的速度、加速度在任一時刻都是相同的，因而動系原點O′的速度vO′和加速度aO′就等于牽連速度ve和牽連加速度ae。將式(6-2)兩端對時間求一階導(dǎo)數(shù)，注意到動系平動時，i′、j′、k′的大小和方向都不改變，為恒矢量，因而有

(6-5)所以

aa=ae+ar

(6-6)

上式即為牽連運動為平動時點的加速度合成定理：當(dāng)牽連運動為平動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時的牽連加速度與相對加速度的矢量和。

例6-4在圖6-9(a)所示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長OA＝10cm，繞O軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)φ=30°時，其角速度為ω=1rad/s，角加速度為α=1rad/s2。試求導(dǎo)桿BC的加速度及滑塊A在滑道中的相對加速度。

解：取滑塊A為動點，動系固結(jié)于導(dǎo)桿BC上。A點的絕對運動為繞O點的圓周運動；相對運動為動點在槽AB內(nèi)的往復(fù)直線運動；牽連運動為滑道的上下直線平動。圖6-9絕對加速度分為切向加速度ata和法向加速度ana兩部分，其大小分別為

相對加速度ar沿水平方位，假定指向向右，大小待求；牽連加速度ae沿鉛垂方位，假定指向向上，大小待求。此時，點的加速度合成定理可寫為

選定坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖6-9(b)所示，將上式分別向x、y軸投影，可得

解得

求出的ae和ar均為正值，說明假設(shè)的方向是正確的，由于牽連運動為平動，因此ae即為導(dǎo)桿在此瞬時的平動加速度。

例6-5在圖6-10所示的凸輪機(jī)構(gòu)中，凸輪在水平面上向右做減速運動，凸輪半徑為R，圖示瞬時凸輪的速度和加速度分別為v和a，求桿AB在圖示位置時的加速度。

解：以桿AB上的A點為動點，動系固結(jié)于凸輪，則動點的絕對運動為上下直線運動，相對運動為沿凸輪廓線的圓周運動，牽連運動為凸輪的水平平動。圖6-10由于牽連運動為平動，因此點的加速度合成定理可寫為

aa=ae+ar=ae+atr+anr(a)

式中,aa的方位沿直線AB，假定指向向下，大小待求；牽連運動為平動，牽連加速度即為凸輪的加速度，有ae=a；相對加速度可分解為切向加速度atr和法向加速度anr兩部分，方向分別如圖所示，atr的大小未知，anr=v2r/R。式中,相對速度vr的

大小可根據(jù)速度合成定理求出，作出點的速度分析圖,如圖

6-10(b)所示，可求出相對速度大小為矢量方程(a)中只有aa、atr的大小未知，可求解。將式(a)向法線軸n上投影，得

解得

當(dāng)φ<90°時，aa>0，說明假設(shè)aa的方向正確。6.4牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度

合成定理及科氏加速度

牽連運動為轉(zhuǎn)動時，加速度的合成較為復(fù)雜，先分析一個簡單的例子。假設(shè)圓盤以勻角速度ωe繞垂直于盤面的固定中心軸O轉(zhuǎn)動，如圖6-11所示。一小球M在圓盤上半徑為r的圓槽內(nèi)按ωe轉(zhuǎn)向以勻速率vr相對于圓盤運動?，F(xiàn)考察小球M的加速度。圖6-11取動點為小球M，動系固結(jié)于圓盤，定系固結(jié)于地面。動點M的相對運動為勻速率圓周運動，相對速度為vr，故相對加速度ar的大小為

(6-7)

方向指向圓心O。牽連運動是圓盤以勻角速度ωe繞O軸轉(zhuǎn)動，故動點M的牽連速度ve的大小為ve=ωer，方向與vr一致；牽連加速度ae的大小為

(6-8)方向也指向圓心O。由于vr和ve方向相同，故點M的絕對速度的大小為

va=ve+vr=ωer+vr=常數(shù)

可見，動點M的絕對運動也是勻速圓周運動，于是M的絕對加速度aa的大小為

(6-9)

方向也是指向圓心O。考慮到(6-7)、(6-8)兩式，有

aa=ae+ar+2ωevr

(6-10)

從上式可以看出，動點的絕對加速度除了牽連加速度和相對加速度兩項外，還多了一項2ωevr，可見牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點的絕對加速度并不等于牽連加速度與相對加速度的矢量和，而多出的一項與牽連轉(zhuǎn)動角速度ωe和相對速度vr有關(guān)，多出的這一項稱為科氏加速度，是1832年由法國科學(xué)家科里奧利首先發(fā)現(xiàn)的。牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理為：牽連運動為轉(zhuǎn)動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和,即

aa=ae+ar+ac

(6-11)

式中ac為科氏加速度，它等于動系角速度矢與點的相對速

度矢矢積的兩倍，即

ac=2ωe×vr

(6-12)

剛體的角速度矢的模等于角速度的大小，其方位沿剛體的轉(zhuǎn)軸，指向用右手螺旋法則來確定(右手四指代表角速度的轉(zhuǎn)向，拇指表示角速度矢的指向)。

ac的大小為

ac=2ωevrsinθ

其中,θ為ωe與vr兩矢量間的最小夾角。矢ac垂直于ωe與vr，指向按右手法則確定，如圖6-12所示。

當(dāng)ωe與vr平行時(θ=0°或180°)，ac=0；當(dāng)ωe與vr垂直時，ac=2ωevr。常見的平面機(jī)構(gòu)中，ωe與vr是相互垂直的，

此時ac=2ωevr；且vr按ωe轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過90°就是ac的指向。

科氏加速度是當(dāng)牽連運動為轉(zhuǎn)動時，由于牽連運動與相對運動相互影響而產(chǎn)生的?，F(xiàn)舉一特例給以形象說明。圖6-12在圖6-13(a)中，動點M沿直桿AB運動，而桿又繞A軸勻速轉(zhuǎn)動。設(shè)動系固結(jié)于桿AB。在瞬時t，動點在M處，其相對速度和牽連速度分別為vr和ve。經(jīng)過時間間隔Δt后，桿轉(zhuǎn)到位置AB′，動點移到M′，其相對速度為vr1，牽連速度為ve1。

由圖6-13(b)、(c)可知，在Δt間隔內(nèi)，相對速度和牽連速度的改變量分別為

式中,Δvr′表示相對速度大小的改變量，Δvr″表示牽連運動為轉(zhuǎn)動而引起的相對速度方向的改變量；Δve′表示牽連速度方向的改變量，Δve″表示牽連速度大小的改變量。圖6-13動點M在瞬時t的絕對加速度為上式中每一項的物理意義說明如下：

表明相對速度本身改變的加速度，這顯然就是動點的相對加速度。

表明牽連速度方向改變的加速度，這就是牽連加速度(由于轉(zhuǎn)動是勻速的，故牽連切向加速度為零)。表明由于牽連轉(zhuǎn)動使相對速度vr方向改變的加速度，這是科氏加速度的一部分。

表明由于相對速度的存在使?fàn)窟B速度的大小發(fā)生改變的加速度，這是科氏加速度的另一部分。因而科氏加速度為

其大小為

普遍情形下加速度合成定理式(6-11)的推導(dǎo)，可參閱哈工大理論力學(xué)教研室編寫的《理論力學(xué)》教材。由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球上運動的物體總存在科氏加速度。由于地球自轉(zhuǎn)角速度很小，一般情況下科氏加速度可略去不計；但在某些情況下，卻必須給予考慮。

例如，在北半球，河水向北流動時，河水的科氏加速并ac向西，即指向左側(cè)，如圖6-14所示。由動力學(xué)可知，有向左的加速度，河水必須受右岸對水向左的作用力。根據(jù)作用與反作用定律，河水必對右岸有向右的反作用力。北半球的江河，其右岸都有較明顯的沖刷痕跡，這是地理學(xué)中的一項規(guī)律。另外，像彈道偏差、季風(fēng)等都受科氏加速度的影響，是可以觀察到的自然現(xiàn)象。圖6-14

例6-6求例6-1中的搖桿O1B在圖6-15所示位置時的角加速度。

解：動點和動系的選擇同例6-1。因為動系做定軸轉(zhuǎn)動，因此要用到牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理

aa=ae+ar+ac

(a)

由于ate=α·O1A，欲求搖桿O1B的角加速度α，只需求

出ate即可。圖6-15加速度合成定理中的各項加速度具體分析如下：

aa：因為動點的絕對運動是以O(shè)為圓心的勻速圓周運動，故只有法向加速度，方向如圖6-15所示，大小為

aa=ω2r

ae：搖桿上與動點相重合的那一點(A)的加速度。搖桿擺動，其上點A的切向加速度ate垂直于O1A，假設(shè)指向如圖6-15所示；法向加速度為ane，它的大小為

方向如圖6-15所示。

ar：因為相對運動軌跡為直線，故ar沿O1B，大小未知。

ac：由ac=2ωe×vr可知

ac=2ω1vrsin90°=2ω1vr

由例6-1可知，相對速度

于是有

方向如圖6-15所示。為了求得ate，將加速度合成定理表達(dá)式(a)向O1x′軸投影：

解得

式中負(fù)號表示ate的真實指向與圖中假設(shè)的方向相反。所以，搖桿O1A的角加速度為

負(fù)號表示搖桿的角加速度α的真實轉(zhuǎn)向為逆時針轉(zhuǎn)向，如圖6-15所示。

例6-7某氣閥上的凸輪機(jī)構(gòu)如圖6-16(a)所示。頂桿可沿鉛垂導(dǎo)軌運動，其端點A由彈簧壓緊在凸輪表面上，當(dāng)凸輪繞O軸轉(zhuǎn)動時，推動頂桿上下直線平動。已知凸輪以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，在圖示位置時OA=r，輪廓曲線上A點的法線與AO的夾角為θ，A處輪廓線的曲率半徑為ρ。求圖示瞬時頂桿平動的速度和加速度。

解：選取頂桿上的A點為動點，動系固結(jié)于凸輪，定系固結(jié)于地面。

絕對運動為動點A的上下直線運動；相對運動為A點沿凸輪輪廓線的曲線運動，軌跡為輪廓線；牽連運動為凸輪繞O點的定軸轉(zhuǎn)動。根據(jù)速度合成定理作出速度平行四邊形，如圖6-16(b)所示。由圖可知

方向如圖6-16(b)所示。根據(jù)牽連運動為轉(zhuǎn)動時的加速度合成定理

(a)

作出加速度分析圖如圖6-16(c)所示，式中，

aa、atr大小未知，假設(shè)方向如圖6-16(c)所示。將式(a)向An軸投影，得

可解得

若計算出的aa值為正，則實際方向與圖示一致，否則相反。圖6-16工程中設(shè)計凸輪壓緊彈簧時，必須考慮頂桿加速度的影響。

應(yīng)用加速度合成定理時，正確地選取動點和動系是非常重要的。動點相對于動系必須是運動的，因此它們不能處于同一剛體上。選擇動點、動系時還要注意相對運動軌跡是否清楚、簡單。若相對運動軌跡不清楚，則相對加速度atr、anr的方向就難以確定，致使求解困難。點的合成運動問題解題步驟如下：

(1)選取動點、動系和定系。所選的動系應(yīng)將動點的運動分解為相對運動和牽連運動。因此，動點和動系不能選在同一物體上；一般應(yīng)使相對運動有比較簡單的運動軌跡。

(2)分析三種運動和三種速度。分析絕對運動和相對運動各是怎樣的一種運動(直線運動、圓周運動或其它某種曲線運動)，牽連運動是怎樣一種運動(平動、轉(zhuǎn)動或其它某種剛體運動)。

(3)應(yīng)用速度合成定理，作出速度平行四邊形。必須注意，作圖時要使絕對速度位于速度平行四邊形的對角線上。各速度都有大小和方向兩個要素，只有已知其中四個要素時才能作出速度平行四邊形，由幾何關(guān)系求解未知量。

(4)根據(jù)牽連運動的形式，選擇合適的加速度合成定理進(jìn)行加速度分析。點的加速度合成定理一般可寫成如下形式：

矢量式中每一項都有大小和方向兩個要素，必須認(rèn)真分析每一項，才有可能正確地解決問題。在平面問題中，一個矢量方程相當(dāng)于兩個代數(shù)方程，因而可求解兩個未知量。上式中各法向加速度的方向總是指向相應(yīng)曲線的曲率中心，它們的大小總是可根據(jù)相應(yīng)的速度大小和曲率半徑求出。因此,在應(yīng)用加速度合成定理解決問題時，一般應(yīng)先進(jìn)行速度分析，這樣各法向加速度都是已知量；科氏加速度ac的大小和方向可由牽連角速度ωe和相對速度vr確定，ωe、vr可由速度分析求出。這樣，只有三個切向加速度的六個要素可能是待求量，若知道其中四個要素，則余下的兩個要素就完全確定了。思考題

6-1何謂動點的相對速度及相對加速度？何謂點的牽連速度及牽連加速度？為什么不宜說是參考系的速度及加速度？

6-2牽連點和動點有什么不同？如何選擇動點和動參考系？

6-3思6-3圖中所示的速度平行四邊形有無錯誤？若有錯，請改之。思6-3圖

6-4是否只要牽連運動為轉(zhuǎn)動，就必定有科氏加速度？在什么條件下，科氏加速度為零？

6-5思6-5圖所示的結(jié)構(gòu)中，OA桿以勻角速度轉(zhuǎn)動。

(a)、(b)兩圖中哪種分析正確？

(a)以O(shè)A上的A點為動點，以BC為動參考體；

(b)以BC上的A點為動點，以O(shè)A為動參考體。思6-5圖習(xí)題

6-1題6-1圖所示為一橋式起重機(jī)，重物以勻速度u上升，行車以勻速度v在靜止橋梁上向右移動，求重物相對地面的速度。題6-1圖

6-2水流在水輪機(jī)工作輪入口處的絕對速度va=15m/s，并與直徑成β=60°的角，如題6-2圖所示。工作輪的半徑

R=2m，轉(zhuǎn)速n=30r/min，為避免水流與工作輪葉片相沖擊，葉片應(yīng)恰當(dāng)?shù)匕惭b，以使水流對工作輪的相對速度與葉片相切。求在工作輪外緣處水流對工作輪相對速度的大小和方向。題6-2圖

6-3題6-3圖所示的平面機(jī)構(gòu)中，曲柄OA=r，以勻角速度ω0轉(zhuǎn)動，套筒A可沿BC桿滑動。已知BC=DE，且BD=CE=l，求在圖示位置時BD桿的角速度。題6-3圖

6-4礦砂從傳送帶A落到另一傳送帶B，其絕對速度為v1=4m/s，方向與鉛直線成30°角，如題6-4圖所示。設(shè)傳送帶B與水平面成15°角，其速度為v2=2m/s。求此時礦砂對于傳送帶B的相對速度,并問當(dāng)傳送帶B的速度為多大時，礦砂的相對速度才能與它垂直？題6-4圖

6-5如題6-5圖所示，瓦特離心調(diào)速器以角速度ω繞鉛直軸轉(zhuǎn)動。由于機(jī)器負(fù)荷的變化，調(diào)速器重球以角速度ω1向外張開。如ω=10rad/s，ω1=1.2rad/s，球柄長l=500mm，懸掛球柄的支點到鉛直軸的距離為e=50mm，球柄與鉛直軸間所成的交角β=30°,求此時重球的絕對速度。題6-5圖

6-6題6-6圖所示為內(nèi)圓磨床，砂輪直徑d=60mm，轉(zhuǎn)速n1=10000r/min；工件孔徑D=80mm，轉(zhuǎn)速n2=500r/min，轉(zhuǎn)向與n1相反。求磨削時砂輪與工件接觸點之間的相對速度。題6-6圖

6-7題6-7圖所示的曲柄滑道機(jī)構(gòu)中，曲柄長OA=r，并以等角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動。裝在水平桿上的滑槽DE與水平線成60°角。求當(dāng)曲柄與水平線的交角分別為φ=0°、30°、60°時，桿BC的速度。題6-7圖

6-8半徑為R的半圓