歷城二中競賽班數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在集合論中，集合A包含于集合B記作（）。

A.A=BB.A?BC.A?BD.A?B

2.函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當b^2-4ac>0時，拋物線與x軸的交點個數(shù)為（）。

A.0B.1C.2D.3

3.極限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(5x^2+4x-3)的值為（）。

A.0B.1/5C.3/5D.∞

4.在三角函數(shù)中，sin(π/2-α)等于（）。

A.sinαB.cosαC.-sinαD.-cosα

5.等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=n(a1+an)/2，其中a1是首項，an是第n項，則第n項an等于（）。

A.Sn-a1B.2Sn/n-a1C.Sn/n-a1D.2Sn-a1

6.在空間幾何中，過空間一點作三條兩兩垂直的直線，這三條直線確定的平面稱為（）。

A.平面B.直線C.球面D.坐標系

7.指數(shù)函數(shù)f(x)=a^x（a>0，a≠1）的圖像恒過定點（）。

A.(0,0)B.(1,1)C.(1,a)D.(a,1)

8.在解析幾何中，圓心在原點，半徑為r的圓的方程為（）。

A.x^2+y^2=rB.x^2-y^2=r^2C.x^2+y^2=-r^2D.x^2-y^2=-r^2

9.在數(shù)列中，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這樣的數(shù)列稱為（）。

A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.調(diào)和數(shù)列D.算術(shù)數(shù)列

10.在概率論中，事件A發(fā)生的概率記作P(A)，如果事件A與事件B互斥，即A∩B=?，則P(A∪B)等于（）。

A.P(A)+P(B)B.P(A)-P(B)C.P(A)×P(B)D.1-P(A)-P(B)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的有（）。

A.y=2x+1B.y=x^2C.y=1/xD.y=e^x

2.在三角恒等變換中，下列等式成立的有（）。

A.sin^2α+cos^2α=1B.sin(α+β)=sinα+sinβC.cos(α-β)=cosα-cosβD.tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

3.已知等比數(shù)列{a_n}中，a_1=1，a_3=8，則該數(shù)列的通項公式a_n等于（）。

A.2^(n-1)B.2^nC.4^(n-1)D.4^n

4.在空間幾何中，下列命題正確的有（）。

A.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直B.過一點有且只有一條直線與已知平面垂直C.過一點有且只有一條直線與已知平面平行D.過三點確定一個平面

5.在概率論中，事件A與事件B相互獨立，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，則下列結(jié)論正確的有（）。

A.P(A∩B)=0.42B.P(A∪B)=0.88C.P(A|B)=0.6D.P(B|A)=0.7

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+3在x=1時取得極小值，且f(0)=5，則a的值為______。

2.不等式|x-1|<2的解集為______。

3.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y+3)^2=16，則圓C的圓心坐標為______，半徑為______。

4.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10，a_10=25，則該數(shù)列的通項公式a_n=______。

5.若事件A的概率P(A)=0.4，事件B的概率P(B)=0.3，且事件A與事件B互斥，則事件A與事件B同時發(fā)生的概率P(A∩B)=______。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.求極限lim(x→0)(sin5x)/(3x)。

2.解方程2^(x+1)-5×2^x+6=0。

3.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

4.在直角坐標系中，已知點A(1,2)，點B(3,0)，求向量AB的模長及其方向角（即向量AB與x軸正方向的夾角，結(jié)果用反三角函數(shù)表示）。

5.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C(A表示A等于B，B表示A真包含于B，D表示A真包含B)

2.C(判別式大于0，方程有兩個不等實根，拋物線與x軸有兩個交點)

3.B(分子分母同除以x^2，極限等于低次項系數(shù)之比)

4.B(根據(jù)誘導公式sin(π/2-α)=cosα)

5.B(由等差數(shù)列性質(zhì)a_n=a_1+(n-1)d，代入前n項和公式化簡得到)

6.D(空間直角坐標系的定義)

7.B(指數(shù)函數(shù)過定點(0,1))

8.A(圓的標準方程)

9.A(等差數(shù)列的定義)

10.A(互斥事件的概率加法公式)

多項選擇題答案及解析

1.A,D(y=2x+1是一次函數(shù)，單調(diào)遞增；y=e^x是指數(shù)函數(shù)，單調(diào)遞增)

2.A,D(A是基本恒等式；B錯誤，正確為sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；C錯誤，正確為cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ)

3.A,B(由a_3=a_1q^2得q=2，所以a_n=1×2^(n-1)=2^(n-1)或a_n=2^(n-1))

4.B,D(B正確，直線與平面垂直的判定；D正確，不在同一直線上的三點確定一個平面)

5.A,B,C(A正確，P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7；B正確，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.88；C正確，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.42/0.7=0.6；D錯誤，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=0.42/0.6=0.7)

填空題答案及解析

1.6(f'(x)=2ax+b，f'(1)=2a+b=0，又f(0)=c=3，f(1)=a+b+3=極小值，聯(lián)立解得a=6)

2.(-1,3)(由|x-1|<2可得-2<x-1<2，解得x∈(-1,3))

3.(-2,4)(由標準方程(x-h)^2+(y-k)^2=r^2知圓心為(h,k)，半徑為r，所以圓心(-2,4)，半徑4)

4.3n-6(a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，聯(lián)立解得a_1=2,d=3，所以a_n=2+3(n-1)=3n-6)

5.0(互斥事件A∩B=?，所以P(A∩B)=P(?)=0)

計算題答案及解析

1.lim(x→0)(sin5x)/(3x)=lim(x→0)(5sin5x)/(15x)=5/15=1/3(利用sinα/α當α→0時趨于1)

2.令t=2^x，則原方程變?yōu)?t^2-5t+6=0，解得t=2或t=3/2，所以2^x=2或2^x=3/2，解得x=1或x=log?(3/2)

3.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1)(x+2)/(x+1)dx=∫(x+2)dx=∫xdx+∫2dx=x^2/2+2x+C

4.向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，模長|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√8=2√2，方向角θ滿足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(-1)=-π/4(在第四象限)

5.f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(0)=2，f(2)=-4，f(-1)=-2，f(3)=0，所以最大值為max{2,-4,-2,0}=2，最小值為min{2,-4,-2,0}=-4

三、知識點分類總結(jié)

1.函數(shù)與極限

-函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

-極限的計算方法（代入法、因式分解法、有理化法、重要極限）

-函數(shù)連續(xù)性的概念

2.代數(shù)

-方程的解法（代數(shù)方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程）

-不等式的解法

-數(shù)列（等差數(shù)列、等比數(shù)列）的通項公式、前n項和公式

3.解析幾何

-直線與圓的方程及性質(zhì)

-向量運算（模長、方向角、數(shù)量積）

-空間幾何（直線與平面的位置關系）

4.概率論

-事件的類型（必然事件、不可能事件、隨機事件）

-概率的基本性質(zhì)

-條件概率、獨立事件、互斥事件的概率計算

四、各題型知識點詳解及示例

選擇題

-考察對基本概念的掌握程度，如函數(shù)性質(zhì)、極限定義、數(shù)列類型等

-示例：判斷函數(shù)單調(diào)性需要掌握導數(shù)與單調(diào)性的關系

填空題

-考察對基本公式的記憶和應用能力，如求極限、解方程、求數(shù)列通項等

-示例：求等差數(shù)列通項需要用到通項公式a_n=a_1+(n-1)d

計算題

-考察綜合運用知識解決問題的能力，需要多步運算和推理

-示例：求函數(shù)