聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)中，以下哪個(gè)概念不屬于聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)的核心范疇？

A.聯(lián)盟博弈

B.合作對(duì)策

C.非合作博弈

D.博弈均衡

2.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，聯(lián)盟博弈的基本要素不包括：

A.聯(lián)盟集合

B.元素集合

C.贏得函數(shù)

D.博弈策略

3.在聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪種方法不屬于聯(lián)盟博弈的求解方法？

A.劃分法

B.核心法

C.Shapley值法

D.線性規(guī)劃法

4.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中的合作對(duì)策理論主要研究：

A.非合作博弈中的策略選擇

B.合作博弈中的利益分配

C.博弈中的信息傳遞

D.博弈中的風(fēng)險(xiǎn)控制

5.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪個(gè)概念描述了聯(lián)盟博弈中每個(gè)元素對(duì)聯(lián)盟的貢獻(xiàn)？

A.聯(lián)盟價(jià)值

B.Shapley值

C.聯(lián)盟規(guī)模

D.博弈收益

6.在聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，聯(lián)盟博弈的劃分法主要基于以下哪個(gè)原則？

A.元素的對(duì)稱性

B.聯(lián)盟的對(duì)稱性

C.聯(lián)盟的穩(wěn)定性

D.元素的穩(wěn)定性

7.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪種方法可以用來(lái)判斷聯(lián)盟博弈的核是否存在？

A.劃分法

B.核心法

C.Shapley值法

D.線性規(guī)劃法

8.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中的合作對(duì)策理論主要應(yīng)用在以下哪個(gè)領(lǐng)域？

A.經(jīng)濟(jì)學(xué)

B.計(jì)算機(jī)科學(xué)

C.物理學(xué)

D.化學(xué)工程

9.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪個(gè)概念描述了聯(lián)盟博弈中所有可能的聯(lián)盟的集合？

A.聯(lián)盟集合

B.元素集合

C.贏得函數(shù)

D.博弈策略

10.在聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪種方法可以用來(lái)評(píng)估聯(lián)盟博弈中每個(gè)元素的貢獻(xiàn)？

A.劃分法

B.核心法

C.Shapley值法

D.線性規(guī)劃法

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪些概念屬于聯(lián)盟博弈的基本要素？

A.聯(lián)盟集合

B.元素集合

C.贏得函數(shù)

D.博弈策略

E.博弈收益

2.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪些方法可以用來(lái)求解聯(lián)盟博弈？

A.劃分法

B.核心法

C.Shapley值法

D.線性規(guī)劃法

E.幾何法

3.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中的合作對(duì)策理論主要研究哪些問(wèn)題？

A.合作博弈中的利益分配

B.博弈中的信息傳遞

C.博弈中的風(fēng)險(xiǎn)控制

D.聯(lián)盟的形成與穩(wěn)定

E.元素的貢獻(xiàn)評(píng)估

4.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪些概念與聯(lián)盟博弈的核有關(guān)？

A.聯(lián)盟價(jià)值

B.Shapley值

C.聯(lián)盟規(guī)模

D.博弈收益

E.穩(wěn)定集

5.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，以下哪些方法可以用來(lái)評(píng)估聯(lián)盟博弈中每個(gè)元素的貢獻(xiàn)？

A.劃分法

B.核心法

C.Shapley值法

D.線性規(guī)劃法

E.效用函數(shù)法

三、填空題（每題4分，共20分）

1.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，描述了聯(lián)盟博弈中每個(gè)元素對(duì)聯(lián)盟的貢獻(xiàn)的概念是__________。

2.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，用于判斷聯(lián)盟博弈的核是否存在的理論方法是__________。

3.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，合作對(duì)策理論主要研究聯(lián)盟博弈中的__________分配問(wèn)題。

4.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，聯(lián)盟博弈的基本要素包括聯(lián)盟集合、元素集合和__________。

5.聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)中，評(píng)估聯(lián)盟博弈中每個(gè)元素的貢獻(xiàn)的常用方法是__________和Shapley值法。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知一個(gè)聯(lián)盟博弈的聯(lián)盟集合為{1,2,3,4}，元素集合為{a,b,c}，贏得函數(shù)為v({1,a})=5,v({2,b})=7,v({3,c})=8,v({1,2,a,b})=12,v({1,3,a,c})=15,v({2,4,b,d})=10。請(qǐng)計(jì)算元素a的Shapley值。

2.已知一個(gè)聯(lián)盟博弈的聯(lián)盟集合為{1,2,3}，元素集合為{x,y,z}，贏得函數(shù)為v({1,x})=3,v({2,y})=4,v({3,z})=5,v({1,2,x,y})=9,v({1,3,x,z})=10,v({2,3,y,z})=12。請(qǐng)判斷該博弈的核是否為空，并給出證明。

3.已知一個(gè)聯(lián)盟博弈的聯(lián)盟集合為{1,2,3,4}，元素集合為{u,v,w}，贏得函數(shù)為v({1,u})=6,v({2,v})=8,v({3,w})=9,v({1,2,u,v})=15,v({1,3,u,w})=16,v({2,3,v,w})=18。請(qǐng)計(jì)算聯(lián)盟{(lán)1,2,3}的價(jià)值。

4.已知一個(gè)聯(lián)盟博弈的聯(lián)盟集合為{1,2,3}，元素集合為{p,q,r}，贏得函數(shù)為v({1,p})=4,v({2,q})=5,v({3,r})=6,v({1,2,p,q})=10,v({1,3,p,r})=11,v({2,3,q,r})=13。請(qǐng)計(jì)算元素p的邊際貢獻(xiàn)。

5.已知一個(gè)聯(lián)盟博弈的聯(lián)盟集合為{1,2,3,4}，元素集合為{m,n,o}，贏得函數(shù)為v({1,m})=7,v({2,n})=9,v({3,o})=10,v({1,2,m,n})=14,v({1,3,m,o})=15,v({2,3,n,o})=17。請(qǐng)判斷該博弈是否存在穩(wěn)定集，并給出可能的穩(wěn)定集。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.C

2.D

3.E

4.B

5.B

6.B

7.B

8.A

9.A

10.C

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.A,B,C

2.A,B,C,D

3.A,D,E

4.A,E

5.C,E

三、填空題答案

1.Shapley值

2.核心法

3.利益

4.贏得函數(shù)

5.效用函數(shù)法

四、計(jì)算題答案及解題過(guò)程

1.計(jì)算元素a的Shapley值

解：

元素a的Shapley值計(jì)算公式為：

φ(a)=Σ_{S?N,a∈S}(|S|!*(|N|-|S|-1)!)/|N|!*v(S∪{a})-v(S)

其中N為元素集合，S為包含元素a的聯(lián)盟。

計(jì)算過(guò)程如下：

φ(a)=(1/3!)*[(1!*2!)/3!*(5-0)-0]+(1/3!)*[(1!*2!)/3!*(12-5)-5]+(1/3!)*[(1!*2!)/3!*(15-8)-8]+(1/3!)*[(1!*2!)/3!*(10-7)-7]

φ(a)=0.3333+1.3333+1.3333+0.6667

φ(a)=3.6667

元素a的Shapley值為3.6667。

2.判斷博弈的核是否為空

解：

核是所有聯(lián)盟的效用向量的凸組合的交集。判斷核是否為空，需要檢查是否存在一個(gè)分配方案，使得所有聯(lián)盟的成員都得到至少他們單獨(dú)行動(dòng)時(shí)的效用。

假設(shè)一個(gè)分配方案為x=(x1,x2,x3)，其中xi為元素i的效用。

根據(jù)核的定義，對(duì)于所有聯(lián)盟S，有Σ_{i∈S}xi≥v(S)。

對(duì)于聯(lián)盟{(lán)1,x}，有x1≥3。

對(duì)于聯(lián)盟{(lán)2,y}，有x2≥4。

對(duì)于聯(lián)盟{(lán)3,z}，有x3≥5。

對(duì)于聯(lián)盟{(lán)1,2,x,y}，有x1+x2≥9。

對(duì)于聯(lián)盟{(lán)1,3,x,z}，有x1+x3≥10。

對(duì)于聯(lián)盟{(lán)2,3,y,z}，有x2+x3≥12。

通過(guò)求解上述不等式組，可以發(fā)現(xiàn)存在一個(gè)分配方案x=(5,4,7)滿足所有條件。

因此，該博弈的核不為空，核中存在至少一個(gè)分配方案。

3.計(jì)算聯(lián)盟{(lán)1,2,3}的價(jià)值

解：

聯(lián)盟{(lán)1,2,3}的價(jià)值即為該聯(lián)盟的贏得函數(shù)值。

根據(jù)題目給出的贏得函數(shù)，v({1,2,3})=15。

因此，聯(lián)盟{(lán)1,2,3}的價(jià)值為15。

4.計(jì)算元素p的邊際貢獻(xiàn)

解：

元素p的邊際貢獻(xiàn)是指元素p加入聯(lián)盟后，聯(lián)盟的贏得函數(shù)值的增加量。

計(jì)算過(guò)程如下：

邊際貢獻(xiàn)=v({1,2,p,q})-v({2,q})

邊際貢獻(xiàn)=10-5

邊際貢獻(xiàn)=5

元素p的邊際貢獻(xiàn)為5。

5.判斷博弈是否存在穩(wěn)定集

解：

穩(wěn)定集是所有聯(lián)盟的效用向量的凸組合的交集，且不存在任何一個(gè)成員可以通過(guò)離開(kāi)當(dāng)前聯(lián)盟加入另一個(gè)聯(lián)盟來(lái)提高自己的效用。

假設(shè)一個(gè)穩(wěn)定集為S，其中包含元素m,n,o。

根據(jù)穩(wěn)定集的定義，對(duì)于所有元素i，有i∈S當(dāng)且僅當(dāng)Σ_{j∈S}xj≥v(S∪{i})-xi，其中xi為元素i的效用。

通過(guò)嘗試不同的聯(lián)盟組合，可以發(fā)現(xiàn)不存在一個(gè)穩(wěn)定集滿足上述條件。

因此，該博弈不存在穩(wěn)定集。

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)部分主要包括以下幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)：

1.聯(lián)盟博弈：聯(lián)盟博弈是聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)的核心概念，它研究的是多個(gè)參與者（元素）通過(guò)形成不同的聯(lián)盟來(lái)合作獲取收益的情況。聯(lián)盟博弈的基本要素包括聯(lián)盟集合、元素集合和贏得函數(shù)。

2.合作對(duì)策：合作對(duì)策是聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究的是聯(lián)盟博弈中的利益分配問(wèn)題。合作對(duì)策理論主要包括核、穩(wěn)定集、Shapley值等概念。

3.聯(lián)盟博弈的求解方法：聯(lián)盟博弈的求解方法主要包括劃分法、核心法、Shapley值法、線性規(guī)劃法等。這些方法可以用來(lái)求解聯(lián)盟博弈的核、評(píng)估元素的貢獻(xiàn)等。

4.元素的貢獻(xiàn)評(píng)估：元素的貢獻(xiàn)評(píng)估是聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要問(wèn)題，它研究的是如何評(píng)估每個(gè)元素對(duì)聯(lián)盟的貢獻(xiàn)。Shapley值法是一種常用的元素貢獻(xiàn)評(píng)估方法。

題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

1.選擇題：選擇題主要考察學(xué)生對(duì)聯(lián)盟點(diǎn)數(shù)學(xué)基本概念的理解和記憶。例如，題目中涉及到聯(lián)盟博弈的基本要素、合作