3.1引言

3.2隨機事件與概率

3.3隨機變量及其數(shù)字特征

3.4隨機過程的概念及其統(tǒng)計特性

3.5平穩(wěn)隨機過程和高斯隨機過程

3.6隨機過程通過線性系統(tǒng)

3.7噪聲分析

3.8匹配濾波器

3.9衰落信道

思考題

習(xí)題第3章隨機信號分析3.1引言實際通信系統(tǒng)中由信源發(fā)出的信息是隨機的，或者說是不可預(yù)知的，因而攜帶信息的信號也都是隨機的，如話音信號、數(shù)字信號等。這種信號稱為隨機信號。攜帶了信息的信號在傳輸過程中將受到噪聲的污染。噪聲也是一種隨機的波形。由于隨機信號和噪聲在波形上的隨機性，因而無法用一個或幾個時間函數(shù)準(zhǔn)確地加以描述。但這并不意味著隨機波形就毫無規(guī)律，實際上它們都遵循一定的統(tǒng)計規(guī)律，因此可以用概率統(tǒng)計的方法來研究。

雖然隨機信號和噪聲都具有不可預(yù)測的波形特點，但兩者的意義完全不同。隨機信號的不可預(yù)測性是它攜帶信息的能力，而噪聲的不可預(yù)測性則是有害的，它將使有用信號受到污染。研究發(fā)現(xiàn)，隨機信號和噪聲的統(tǒng)計特性有許多差異，因此可以利用這種差異在某種程度上把信號從噪聲中提取出來，并且盡量恢復(fù)信號所攜帶的信息。本章將在復(fù)習(xí)概率論基本概念的基礎(chǔ)上，對隨機信號和噪聲的數(shù)學(xué)模型即隨機過程進行理論分析，然后用隨機過程理論來研究實際應(yīng)用問題。3.2隨機事件與概率3.2.1事件和概率在概率論中，把某次試驗中可能發(fā)生的和可能不發(fā)生的事件稱為隨機事件，簡稱事件。例如，二元數(shù)字序列的某一位的取值就是一個隨機事件。對隨機現(xiàn)象進行的這種試驗，稱為隨機試驗。假定進行一次試驗，可能出現(xiàn)A、B、C這3種結(jié)果，把試驗重復(fù)N次，并記錄每一事件發(fā)生的次數(shù)，分別用nA、nB、nC表示，則每個事件發(fā)生的相對頻率分別為nA/N、nB/N、nC/N，在N→∞的情形下，這些頻率就趨于事件發(fā)生的概率，用P(·)表示，即

(3.1)

概率的取值范圍為0~1，P(A)=0的事件A稱為不可能事件，P(A)=1的事件A稱為必然事件。3.2.2復(fù)雜事件復(fù)雜事件是指兩個或兩個以上簡單事件構(gòu)成的事件，并且事件之間有一個相互關(guān)系問題。其基本關(guān)系大致有如下幾種：

(1)事件相等：若事件A的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B的發(fā)生，而事件B的發(fā)生也必然導(dǎo)致事件A的發(fā)生，則稱事件A和B相等，記作A=B。

(2)事件和：兩事件A與B至少發(fā)生其中之一而構(gòu)成的事件，稱為A與B的和，記作A+B。

(3)事件積：事件A與B同時發(fā)生而構(gòu)成的事件，稱為A與B的積，記作A·B。

(4)互不相容事件：事件A與B不能同時出現(xiàn)，即事件A·B是一個不可能事件，則稱A與B是互不相容的事件。

(5)對立事件：若A+B是必然事件，而A·B卻是不可能事件，則稱A與B為對立事件。例如：在某一時刻觀察二元數(shù)字序列的取值，出現(xiàn)“0”與出現(xiàn)“1”是對立事件。事件A的對立事件常記為，也稱為逆事件。

(6)事件的完備群：如果試驗的結(jié)果必然要在某些事件中發(fā)生一件，則稱這些事件構(gòu)成了一個完備的事件群。3.2.3條件概率與統(tǒng)計獨立在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率用P(B|A)表示。按定義，有(3.2)上式只適用于P(A)≠0的情形。在一般情形下，P(B|A)≠P(B)，這說明事件A的發(fā)生對事件B出現(xiàn)的概率有影響，只有在P(B|A)=P(B)時，才可以認為這種影響不存在，這時稱事件A和B是統(tǒng)計獨立的。當(dāng)A和B統(tǒng)計獨立時，由式(3.2)可得

P(A·B)=P(A)P(B)

(3.3)這就是兩個事件統(tǒng)計獨立的條件。3.2.4概率的基本定理

(1)事件之和的概率：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)

(3.4)當(dāng)A與B互不相容時，有P(A+B)=P(A)+P(B)

(3.5)

(2)事件之積的概率：

P(A·B)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)(3.6)

(3)全概率公式：如果事件B能且只能與n個互不相容事件A1、A2、…、An之一同時發(fā)生，則(3.7)

(4)貝葉斯(Bayes)公式：在全概率公式的命題中，如果知道事件B已發(fā)生，那么，各個互不相容事件之一Ai發(fā)生的概率為

(3.8)3.3隨機變量及其數(shù)字特征3.3.1隨機變量與概率分布某隨機試驗有許多種可能的結(jié)果，我們可以規(guī)定一些數(shù)值來對應(yīng)表示各個可能的結(jié)果。例如，在擲一枚硬幣出現(xiàn)正面和反面的隨機試驗中，規(guī)定數(shù)值“1”表示出現(xiàn)反面，數(shù)值“0”表示出現(xiàn)正面，這就引入一個變量X，它隨機地取某些數(shù)值，而對應(yīng)于每一個可能取的數(shù)值，都有一個概率，這一變量X就稱為隨機變量。當(dāng)隨機變量X的取值個數(shù)是有限的或者可數(shù)無限個時，則稱它為離散隨機變量，否則就稱為連續(xù)隨機變量，即可能的取值充滿某一有限或無限區(qū)間。

1.概率分布函數(shù)和概率密度函數(shù)

假設(shè)隨機變量X可以取xi=x1，x2，x3，x4四個值，并且有x1<x2<x3<x4，相應(yīng)的概率為P(xi)或P(X=xi)，則有P(X≤x2)=P(x1)+P(x2)。用P(X≤x)定義的x的函數(shù)稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)，記作F(x)，即

F(x)=P(X≤x)

(3.9)在這個定義中，X可以是離散的，也可以是連續(xù)的，顯然有

F(-∞)=P(X≤-∞)=0

F(+∞)=P(X≤+∞)=1以及F(x1)≤F(x2)，x1≤x2即F(x)是單調(diào)不減函數(shù)?？紤]一連續(xù)隨機變量X，設(shè)其分布函數(shù)F(x)對于一個非負函數(shù)f(x)滿足

(3.10)則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度。因為式(3.10)表示隨機變量X在(-∞，x］區(qū)間上取值的概率，因此f(x)具有概率密度的含義，進而式(3.10)可以寫成

(3.11)因此，概率密度就是分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。概率密度有如下的性質(zhì)：

(1)f(x)≥0； (3.12)

(2) (3.13)

(3) (3.14)

2.多維隨機變量和多維概率分布許多隨機試驗的結(jié)果只用一個隨機變量來描述是不夠的，而必須同時用兩個或多個隨機變量來描述，將這種由多個隨機變量所組成的一個隨機變量總體稱為多維隨機變量。例如二維變量(X1，X2)，n維變量(X1，X2，…，Xn)等。應(yīng)當(dāng)注意，多維隨機變量不是多個隨機變量的簡單組合，它不但取決于組成它的每個隨機變量的性質(zhì)，而且還取決于這些隨機變量兩兩之間的統(tǒng)計關(guān)系。

設(shè)有兩個隨機變量X和Y，將兩個事件(X≤x)和(Y≤y)同時出現(xiàn)的概率定義為二維隨機變量(X，Y)的二維分布函數(shù)，記作F(x，y),F(x，y)=P(X≤x，Y≤y)

(3.15)如果F(x，y)可以表示成(3.16)則稱f(x，y)為二維概率密度，式(3.16)也意味著下式成立：

(3.17)二維聯(lián)合概率分布有如下性質(zhì)：

(1)f(x，y)≥0； (3.18)

(2)(3.19)

(3)F(-∞，y)=F(x，-∞)=0； (3.20)

(4)(3.21)以及

(3.22)式(3.21)、式(3.22)分別稱為二維邊際分布函數(shù)和二維邊際概率密度，這說明知道了二維概率分布，就可以求得一維概率分布。

(5)前面討論的統(tǒng)計獨立的條件也可以用概率分布來表述，即當(dāng)滿足

f(x，y)=f(x)·f(y)

(3.23)并且也只有滿足此條件時，隨機變量X和Y是，也才是統(tǒng)計獨立的。由式(3.23)可見，當(dāng)隨機變量X、Y統(tǒng)計獨立時，可以由一維概率分布確定二維聯(lián)合分布。但是在一般情況下，知道一維的概率分布時，并不一定能求出二維的聯(lián)合分布，這時就需要引進條件概率分布的概念。給定隨機變量X后，變量Y的條件概率密度定義為

(3.24)由此可得

f(x，y)=f(x)·f(y|x)=f(y)·f(x|y)

(3.25)即：二維聯(lián)合概率密度等于一個隨機變量的概率密度與另一個隨機變量的條件概率密度之積。f(x)≠0

由式(3.23)和式(3.25)又可以得出，只有當(dāng)

f(y|x)=f(y)

(3.26)時，式(3.25)才能變成式(3.23)。以上概念和結(jié)論可以推廣到n維隨機變量中。

3.幾種典型的概率分布

1)二項分布下面通過一個例子來說明二項分布。在二元傳輸系統(tǒng)中，設(shè)“1”碼出現(xiàn)(即被發(fā)送)的概率為p，“0”碼出現(xiàn)的概率為q=1-p。記X為n位二元碼中出現(xiàn)“1”碼的次數(shù)，顯然X是一個離散型的隨機變量。下面確定X的分布函數(shù)。我們先來確定n位碼中出現(xiàn)“1”碼為k次的概率。顯然，如果“1”碼出現(xiàn)了k次，則“0”碼出現(xiàn)n-k次，因而，“n位碼中出現(xiàn)‘1’碼為k次”這一隨機事件便是事件“‘1’碼出現(xiàn)k次”與事件“‘0’碼出現(xiàn)n-k次”之積。又考慮到，“1”碼出現(xiàn)k次在n位中可以任意組合，共有種組合方法，于是“X=k”的概率為(3.27)由于式(3.27)的右邊恰好是(p+q)n展開式中的第k+1項，因此，稱X是服從二項分布的隨機變量，X的分布函數(shù)為

(3.28)式中，u(x)是單位階躍函數(shù)。而X的概率密度為(3.29)

2)均勻分布設(shè)-∞<a<b<∞，令

(3.30)以此f(x)為概率密度的隨機變量X稱為是服從均勻分布的，其分布函數(shù)為(3.31)

f(x)和F(x)如圖3.1所示。均勻分布是常見的概率分布之一。例如，觀察到正弦振蕩源所產(chǎn)生的振蕩的初始相位是在(0，2π)上均勻分布的隨機變量。圖3.1均勻分布

3)高斯(Gauss)分布高斯分布也稱正態(tài)分布，它的概率密度為

(3.32)

式中，m為高斯隨機變量的數(shù)學(xué)期望，σ2為方差。如果m=0，σ2=1，則稱這種高斯分布為標(biāo)準(zhǔn)化的，即有(3.33)

高斯分布的分布函數(shù)為(3.34)式中，稱為概率積分函數(shù)。高斯分布如圖3.2所示。圖3.2高斯分布

4)瑞利(Rayleigh)分布后面將要遇到的窄帶噪聲的包絡(luò)就是服從瑞利分布的。瑞利隨機變量的概率密度為(3.35)

式中，σ>0。其圖形如圖3.3所示。圖3.3瑞利分布3.3.2隨機變量的函數(shù)一維或多維隨機變量經(jīng)過函數(shù)變換后，可得到一個新的隨機變量，稱為隨機變量的函數(shù)。它可以表示為以下幾種情況：

(1)

Y=q(X)式中，X，Y均為一維隨機變量。

(2)Y=q(X1，X2，…，Xn)式中，X是n維隨機變量，函數(shù)Y是一維的。

(3)

式中，X是n維隨機變量，函數(shù)(Y1，Y2，…，Yk)則是k維的。3.3.3隨機變量的數(shù)字特征如果要完整地表述一個隨機變量的統(tǒng)計特性，就必須求得它的分布函數(shù)或者概率密度函數(shù)。然而在許多實際問題中，往往并不關(guān)心隨機變量的概率分布，而只想知道它的某些特征。這些表述隨機變量“某些特征”的數(shù)，就稱為隨機變量的數(shù)字特征。常用的數(shù)字特征有：

(1)隨機變量的數(shù)學(xué)期望，也稱均值，反映了隨機變量取值的集中位置；

(2)隨機變量的方差，反映隨機變量取值的集中程度；

(3)兩個隨機變量的相關(guān)系數(shù)，反映了它們之間的線性相關(guān)程度。

1.數(shù)學(xué)期望設(shè)P(xi)(i=1，2，…，K)是離散隨機變量X取值xi的概率，則其數(shù)學(xué)期望為

(3.36)式中的E{·}表示“統(tǒng)計平均運算”，它實際上就是對隨機變量的加權(quán)求和，而加權(quán)值就是各個可能值出現(xiàn)的概率。這一定義也可推廣到對X的函數(shù)Y=g(X)的集合平均，根據(jù)式(3.36)有

(3.37)式中，xi和yi是相互對應(yīng)的取值。

對于連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望可以用積分計算。設(shè)f(x)為連續(xù)隨機變量X的概率密度函數(shù)，則X的數(shù)學(xué)期望定義為

(3.38)

只要下面的積分存在，則X的函數(shù)g(x)的數(shù)學(xué)期望為(3.39)

2.n階矩

Xn的期望稱為X的n階(原點)矩，由式(3.39)可知，此n階矩為(3.40)顯然，上面討論的數(shù)學(xué)期望E{x}就是一階矩，它常用m來表示，即m=E{x}。除了原點矩外，還有相對于均值m的n階矩，即E{(X-m)n}，也稱為n階中心矩。由式(3.39)可知：(3.41)

在n階矩中，最重要的是二階中心矩，又稱為方差，它由下式定義：D{X}=E{(X-m)2}

(3.42)它也經(jīng)常用σ2來表示，方差的平方根σ稱為“標(biāo)準(zhǔn)偏差”。

3.兩個隨機變量的矩矩的概念可以推廣到兩個隨機變量上，稱為混合矩。隨機變量X和Y的n+k階混合原點矩定義為

(3.43)其相應(yīng)的混合中心矩unk則定義為unk=E{(X-mX)n(Y-mY)k}式中

mX=E{X}，mY=E{Y}

(3.44)

在混合中心矩unk中，最重要的是n=1，k=1的混合中心矩E{(X-mX)(Y-mY)}，記作u11，它反映著X與Y之間的內(nèi)在聯(lián)系，因此，u11又稱為相關(guān)矩或者協(xié)方差。我們也常用到X和Y的歸一化相關(guān)矩，又稱為X和Y的相關(guān)系數(shù)，定義為(3.45)相關(guān)系數(shù)是十分重要的概念，具有如下性質(zhì)：

(1)|ρ|≤1；

(2)相關(guān)性：若X和Y的相關(guān)系數(shù)|ρ|=0，則稱X，Y是線性不相關(guān)的；

(3)獨立與相關(guān)：若兩隨機變量X和Y是統(tǒng)計獨立的(見式(3.23))，則它們必不相關(guān)。這是因為代入式(3.45)中有ρ=0

但是應(yīng)當(dāng)注意，如果X和Y不相關(guān)，則并不意味著它們一定是統(tǒng)計獨立的。3.4隨機過程的概念及其統(tǒng)計特性3.4.1隨機過程的概念自然界中事物變化的過程大致可以分成兩類。一類是其變化過程具有確定的形式，或者說變化過程有一定的規(guī)律，因此經(jīng)過觀察、研究后，就可以用一個或幾個確定的時間函數(shù)或者時間曲線精確地描述這個變化過程。例1如圖3.4(a)所示的RLC串聯(lián)電路，在開關(guān)閉合后，描述回路電流i(t)的變化過程。圖3.4RLC電路中的電流波形圖3.4(b)中給出了欠阻尼①、臨界阻尼②、過阻尼③三種情況下的電流i(t)變化曲線。顯然，只要給定了電路參數(shù)，電流i(t)的變化過程是完全可以預(yù)知的，而且可以精確地描述出來。但是另一類事物的變化過程就復(fù)雜多了，它們沒有一個確定的變化過程，即不可能用時間函數(shù)對它們進行精確的描述。換句話說，對事物變化的全過程進行一次觀測得到一條時間的變化曲線，但在完全同樣的條件下，進行另一次觀測卻得到一條完全不同的時間曲線。下面給出一個例子。

例2

設(shè)有N臺性能完全相同的通信機，在同樣的工作條件下記錄各通信機輸出的噪聲波形，這也可以理解為對一臺通信機作N次觀測，得到如圖3.5所示的N條噪聲曲線x1(t)，x2(t)，…，xN(t)。每次觀測的結(jié)果都得到一條確定的時間波形，但是在各次觀測中所得到的波形都不相同，而且在觀測之前無法預(yù)知輸出波形的形狀。進一步地，如果在t時刻之前已經(jīng)做了觀測，則這些觀測結(jié)果對以后某一時刻上波形取值的大小都無法準(zhǔn)確地作出預(yù)測。這種對通信機輸出噪聲波形的不可預(yù)知性正是由于噪聲電壓變化的隨機性的結(jié)果。與例1的變化特點相對照，將這種由于某一種隨機性的物理因素所引出的變化過程稱為隨機過程。圖3.5通信機輸出噪聲波形根據(jù)概率論的知識，我們把對通信機輸出噪聲波形的觀測看做是進行一次隨機試驗，這種觀測(即隨機試驗)是在一段時間內(nèi)持續(xù)進行的。每次隨機試驗的結(jié)果是得到一條時間波形，記作xi(t)。由此而得到的時間波形的全體{x1(t)，x2(t)，…，xN(t)，…}就構(gòu)成一個隨機過程，記作X(t)，而某次試驗的結(jié)果xi(t)則稱做隨機過程X(t)的一個樣本函數(shù)或者實現(xiàn)。顯然，通信機的輸出噪聲是一個隨機過程，它是由所有可能出現(xiàn)的噪聲波形構(gòu)成的。在某次觀測中，只是得到這個隨機過程的一個樣本，至于它是過程的所有可能樣本中的哪一個樣本，它將如何隨時間變化，在進行觀測前是無法預(yù)測的。這種不可預(yù)測性或者說隨機性表現(xiàn)在兩個方面：其一，每個樣本都以某一概率出現(xiàn)；其二，樣本在尚未觀測的某一時刻t上的取值是一個隨機變量。根據(jù)這個觀點，可以從另一個角度來定義隨機過程。仍以圖3.5所示的通信機噪聲輸出為例。如果在時刻t1對n條樣本波形同時進行觀測，就得到各個樣本波形在t1時刻的取值：x1(t1)，x2(t1)，…，xN(t1)。由于噪聲電壓是隨機變化的，因此全體樣本在t1時刻的取值就構(gòu)成一個隨機變量，記作X(t1)。沿時間軸在不同的時刻t2，t3，…，tn上進行觀測，得到隨機變量X(t2)，X(t3)，…，X(tn)。于是，沿時間軸順序出現(xiàn)的這一族隨機變量{X(t1)，X(t2)，…，X(tn)}構(gòu)成了這個輸出噪聲的隨機過程。因此，就又可以把隨機過程定義為依賴于時間參數(shù)的隨機變量的全體。下面再以具有隨機初始相位的正弦信號為例來說明隨機過程的概念。

例3

分析隨相信號s(t)=A0sin(ω0t+θ)，-∞<t<∞。其中A0、ω0為常數(shù)，θ為在(-π，π)上均勻分布的隨機變量。當(dāng)初相位θ取值為θ1(以一定的概率)時，s1(t)=A0sin(ω0t+θ1)就是一個確定的正弦波，即它是隨相信號s(t)的一個樣本。當(dāng)θ取值為θ2，θ3，…時，就可以得到與之相對應(yīng)的一系列樣本，如圖3.6所示(圖中僅給出隨機信號的兩個樣本)。而所有可能的樣本的全體就構(gòu)成了隨相信號這個隨機過程。另一方面，對某一時刻t1，s(t1)=A0sin(ω0t1+θ)是一個隨機變量。在時間軸上取一系列抽樣時刻t2，t3，…時，就得到相應(yīng)的隨機變量s(t2)，s(t3)…。這些依賴于時間參數(shù)的隨機變量同樣描述了隨相信號s(t)。在通信系統(tǒng)中，除了隨相信號外，還經(jīng)常遇到具有隨機頻率的信號過程、具有隨機振幅的信號過程等。

圖3.6隨機信號的樣本函數(shù)3.4.2隨機過程的統(tǒng)計描述當(dāng)我們對某一個隨機過程進行觀測時，實際上所觀測到的或記錄下來的只是它的若干個樣本波形。這些樣本波形看上去千變?nèi)f化、各不相同，似乎很難定量地描述這些樣本以至這個隨機過程的變化規(guī)律。但是，任何隨機過程總是由具有某種統(tǒng)計性質(zhì)的物理因素所支配的，這些物理因素的統(tǒng)計特性必然會體現(xiàn)在隨機過程的每一個樣本波形中。因此，從統(tǒng)計意義上來看，樣本波形將具有一定的共性，即相同的統(tǒng)計特性。也就是說，在描述一個隨機過程時，我們關(guān)心的僅僅是它所具有的統(tǒng)計特性，而不關(guān)心也難以描述這個過程的各個樣本波形變化的細節(jié)。

隨機過程的統(tǒng)計特性包括以下幾個方面：隨機過程在任一時刻的取值(隨機變量)的概率分布函數(shù)是什么？過程是圍繞什么均值起伏變化的？對均值的偏離程度如何？波形變化的快慢程度如何？這些特性是否隨時間變化?我們已經(jīng)知道，隨機過程X(t)是在時間點t1，t2，…，tn上的隨機變量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的全體。那么，只要知道了隨機變量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的n維聯(lián)合概率分布函數(shù)，可以認為隨機過程X(t)也就是由這個概率分布函數(shù)描述的。這就是討論如何描述隨機過程的出發(fā)點。在某一固定時刻t1，隨機過程X(t)的取值就是一個一維隨機變量X(t1)。它的概率分布函數(shù)為F1(x1，t1)=P［X(t1)≤x1］(3.46)概率密度函數(shù)(下式偏導(dǎo)存在的話)為

(3.47)式(3.46)、式(3.47)描述了隨機過程X(t)在特定時刻t1的統(tǒng)計分布情況，分別稱為隨機過程X(t)的一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)。但是，一維概率分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)只描述了隨機過程在某個時刻上的統(tǒng)計分布特性，并沒有反映出隨機過程在不同時刻取值間的關(guān)聯(lián)程度，因此有必要再研究隨機過程X(t)的二維分布。

隨機過程X(t)在t=t1和t=t2時，X(t1)≤x1和X(t2)≤x2同時出現(xiàn)的概率為P［X(t1)≤x1，X(t2)≤x2］，記作

F2(x1，x2；t1，t2)=P［X(t1)≤x1，X(t2)≤x2］(3.48)稱為隨機過程X(t)的二維概率分布函數(shù)。如果F2(x1，x2；t1，t2)對x1，x2的偏導(dǎo)存在，則有

(3.49)稱為隨機過程X(t)的二維概率密度函數(shù)。為了更加充分地描述隨機過程X(t)，需要考慮隨機過程在更多時刻上的多維聯(lián)合分布函數(shù)。一般地，定義隨機過程X(t)的n維概率分布函數(shù)為Fn(x1，…，xn；t1，…，tn)=P［X(t1)≤x1，…，X(tn)≤xn］

(3.50)定義n維概率密度函數(shù)(如果n階偏導(dǎo)存在)為

(3.51)

顯然，隨著n的增大，對隨機過程的統(tǒng)計特性的描述也越充分，但問題的復(fù)雜性也隨之增加。實際上，一般情況下掌握二維分布函數(shù)就已經(jīng)足夠了。3.4.3隨機過程的數(shù)字特征除了用概率分布函數(shù)來描述一個隨機過程外，我們更關(guān)心這個隨機過程的數(shù)字特征。因為這些數(shù)字特征比較容易用實驗方法來確定，從而更簡捷地解決實際工程問題。隨機過程的數(shù)字特征包括數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)函數(shù)，它們是由隨機變量的數(shù)字特征的概念推廣而來的，但不再是確定的數(shù)值，而是確定的時間函數(shù)。首先分析隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望。對某個固定時刻t，隨機過程X(t)是一個隨機變量，因此可以求得這個隨機變量的數(shù)學(xué)期望。隨著時間t的變化，我們可以求得對應(yīng)不同時刻的隨機變量的數(shù)學(xué)期望。顯然，數(shù)學(xué)期望是一個依賴于時間t的函數(shù)，稱此函數(shù)為隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望，記作m(t)，即(3.52)由圖3.7所示隨機過程的數(shù)學(xué)期望可見，隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望m(t)是一個平均函數(shù)，過程的所有樣本都圍繞著m(t)變化。在通信中，假定傳送的是一確定的時間信號s(t)，噪聲n(t)是數(shù)學(xué)期望為零的隨機過程，那么接收信號X(t)=s(t)+n(t)為一隨機過程，它的數(shù)學(xué)期望就是信號s(t)。圖3.7隨機過程的數(shù)學(xué)期望其次，為了描述隨機過程X(t)的各個樣本過程對數(shù)學(xué)期望的偏離程度，我們引入隨機過程的方差這個數(shù)字特征量，定義為(3.53)

由式(3.52)、式(3.53)可見，隨機過程的數(shù)學(xué)期望和方差都只與隨機過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因此它們只描述了隨機過程在各個時間點的統(tǒng)計性質(zhì)，而不能反映過程在任意兩個時刻之間的內(nèi)在聯(lián)系。為此，考察圖3.8給出的兩個隨機過程X(t)和Y(t)的一條樣本波形，它們具有大致上相同的數(shù)學(xué)期望和方差，但是隨機過程X(t)的樣本波形比較平緩，說明這個過程在不同時刻的取值之間有較強的相關(guān)性，而過程Y(t)的這種相關(guān)性就要弱得多。圖3.8具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的兩個隨機過程為了定量地描述隨機過程的這種內(nèi)在聯(lián)系的特征，即隨機過程在任意兩個不同時刻上取值之間的線性相關(guān)程度，引入自相關(guān)函數(shù)的概念，定義如下：(3.54)式中，t1

、t2為任意兩個時刻。有時也用自協(xié)方差函數(shù)來描述隨機過程內(nèi)在聯(lián)系的特征，定義為

(3.55)

可以得到自相關(guān)函數(shù)RX(t1，t2)和自協(xié)方差函數(shù)CX(t1，t2)的關(guān)系如下：

CX(t1，t2)=RX(t1，t2)-m(t1)·m(t2)

(3.56)

由此表明，它們所描述的隨機過程的特征是一致的。因此為簡單起見，以后只討論自相關(guān)函數(shù)。相關(guān)函數(shù)的概念可以引申到兩個隨機過程中，以描述它們之間的關(guān)聯(lián)程度，稱為互相關(guān)函數(shù)。設(shè)有隨機過程X(t)和Y(t)，則它們的互相關(guān)函數(shù)為(3.57)式中，f2(x，y；t1，t2)為隨機過程X(t)和Y(t)的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)。3.5平穩(wěn)隨機過程和高斯隨機過程在通信理論和技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的是具有平穩(wěn)統(tǒng)計特性的平穩(wěn)隨機過程。在這一節(jié)中，將給出平穩(wěn)隨機過程的概念，討論平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學(xué)特征和它們一般都具有的一種特性即各態(tài)歷經(jīng)性；然后分析在理論中應(yīng)用最為廣泛的高斯隨機過程；最后討論平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度及其與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。3.5.1平穩(wěn)隨機過程如果對任意的n和Δt，隨機過程X(t)的n維概率密度函數(shù)滿足

fn(x1，x2，…，xn；t1，t2，…，tn)

=fn(x1，x2，…，xn；t1+Δt，t2+Δt，…，tn+Δt)(3.58)則稱X(t)是平穩(wěn)隨機過程。由式(3.58)可見，平穩(wěn)隨機過程的概率密度函數(shù)或者說它的統(tǒng)計特性并不隨著時間的推移而變化。特別地，對一維分布有

f1(x；t)=f1(x；t+Δt)=f1(x)

(3.59)表明平穩(wěn)隨機過程的一維分布與時間無關(guān)。對二維分布有

f2(x1，x2；t1，t2)=f2(x1，x2；t1+Δt，t2+Δt)=f2(x1，x2；τ)(3.60)其中τ=t2-t1。式(3.60)表明平穩(wěn)隨機過程的二維分布僅與所取的兩個時間點的間隔τ有關(guān)。或者說，平穩(wěn)隨機過程具有相同間隔的任意兩個時間點之間的聯(lián)合分布保持不變的特性。根據(jù)平穩(wěn)隨機過程的定義，可以求得平穩(wěn)隨機過程X(t)的數(shù)學(xué)期望、方差和自相關(guān)函數(shù)，分別為(3.61)

可見，平穩(wěn)隨機過程的數(shù)字特征變得簡單了，數(shù)學(xué)期望和方差都是與時間無關(guān)的常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)只是時間間隔τ的函數(shù)。正如以前曾指出的，由于隨機過程的數(shù)字特征在一定程度上描述了這個隨機過程，同時在通信技術(shù)中感興趣的主要是這些數(shù)字特征，因此可以用式(3.61)直接定義平穩(wěn)過程。即：如果隨機過程的數(shù)學(xué)期望和方差與時間無關(guān)，而且自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)，那么該隨機過程就稱為廣義平穩(wěn)的。相應(yīng)地，式(3.58)所定義的過程稱為嚴(yán)格平穩(wěn)的。

可以根據(jù)式(3.61)來判斷一個隨機過程是否平穩(wěn)。從本質(zhì)上來說，只要產(chǎn)生隨機過程的物理因素在很長的時間內(nèi)保持不變，那么就可以認為這個隨機過程是平穩(wěn)的。例如，在穩(wěn)定的環(huán)境下工作的通信機，其輸出噪聲就是平穩(wěn)的。一旦確定某一隨機過程是平穩(wěn)的，那么就可以在任意時刻上測定它的統(tǒng)計特性。下面舉例說明隨機過程的廣義平穩(wěn)性。例如隨相正弦信號s(t)=Asin(ω0t+θ)，經(jīng)計算m(t)=0，，其中，A、ω0是常數(shù)，相位θ是在區(qū)間(-π，π)上均勻分布的隨機變量。數(shù)學(xué)期望與時間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)R(t，t+τ)=R(τ)與t無關(guān)，僅與τ有關(guān)。所以，隨相正弦信號是廣義平穩(wěn)的。3.5.2各態(tài)歷經(jīng)性前面所討論的數(shù)字特征，都是對隨機過程的全體樣本函數(shù)在特定時刻上取值，然后按概率密度函數(shù)加權(quán)積分而求得，所以它們都是統(tǒng)計平均量。這樣的求法在原則上是可行的，但實際上卻是極為困難的，因為這不僅要知道隨機過程的一維和二維概率密度函數(shù)，而且要得到隨機過程的全體樣本，而往往我們只能得到隨機過程的一個或至多幾個樣本。那么，能否根據(jù)隨機過程的一個樣本函數(shù)求得隨機過程的數(shù)字特征呢？如果可以，又應(yīng)該怎么求呢？這就是平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性所要解決的問題。首先，我們給出平穩(wěn)隨機過程的樣本函數(shù)的時間平均量的概念。對平穩(wěn)隨機過程X(t)進行一次觀測，從而記錄下一條樣本波形，設(shè)為x(t)。既然是進行觀測的結(jié)果，那么x(t)就是一個確定的時間函數(shù)了?？梢郧蟮盟鼈兊臅r間平均為(3.62)上式的積分限(-T，T)取在觀測時間內(nèi)。同樣，它們的時間相關(guān)函數(shù)(隨機過程的樣本一般是功率信號，而不是能量信號)為

(3.63)以及樣本x(t)與〈x(t)〉之差平方的時間平均為

(3.64)這些時間平均量描述了樣本x(t)的時間特征。對平穩(wěn)隨機過程X(t)，如果它的數(shù)字特征與某一樣本x(t)的相對應(yīng)的時間平均值之間有下列關(guān)系：(3.65)則稱平穩(wěn)隨機過程X(t)具有各態(tài)歷經(jīng)性。上面的分析雖然是針對平穩(wěn)隨機過程的某一特定樣本而言的，但是，只要平穩(wěn)隨機過程的所有樣本都具有相同的性質(zhì)，那么這些分析就與樣本的選擇無關(guān)了。

平穩(wěn)隨機過程的各態(tài)歷經(jīng)性可以理解為平穩(wěn)過程的各個樣本都同樣地經(jīng)歷了隨機過程的各種可能狀態(tài)。由于任一樣本都內(nèi)蘊著平穩(wěn)過程的全部統(tǒng)計特性的信息，因而任一樣本的時間特征就可以充分地代表整個平穩(wěn)隨機過程的統(tǒng)計特性。這就是式(3.65)的實質(zhì)。如果一個平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，那么就可以通過過程的一個樣本很容易地求得平穩(wěn)過程的各數(shù)字特征量，這是很有實際意義的結(jié)論。由此也可以看出平穩(wěn)隨機過程數(shù)字特征的物理意義(以平穩(wěn)過程是一個噪聲電壓為例)：

(1)m=E{X(t)}=〈x(t)〉是直流分量；

(2)RX(0)=〈x2(t)〉是總平均功率；

(3)σ2=〈［x(t)-〈x(t)〉］2〉是交流平均功率。從上面的討論中可以看到，具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程一定是平穩(wěn)隨機過程，但是平穩(wěn)隨機過程卻并不都具有各態(tài)歷經(jīng)性。實際應(yīng)用中，經(jīng)常把各態(tài)歷經(jīng)性作為一種假設(shè)，然后再根據(jù)實驗來檢驗這個假設(shè)是否合理。3.5.3高斯隨機過程高斯過程(或正態(tài)過程)在通信理論中應(yīng)用得最為廣泛。所謂高斯過程，是指它的任意n維分布服從高斯分布的過程，即

(3.66)式中：mk=E{x(tk)}是隨機變量x(tk)的數(shù)學(xué)期望；是隨機變量x(tk)的方差；|ρ|為相關(guān)系數(shù)矩陣的行列式，即

|ρ|jk是行列式中元素ρjk所對應(yīng)的代數(shù)余子式。高斯過程具有下面幾個重要性質(zhì)：

(1)由式(3.66)可以看出，高斯過程的n維分布完全由n個隨機變量X(t1)，X(t2)，…，X(tn)的數(shù)學(xué)期望、方差及兩兩之間的相關(guān)系數(shù)所決定。因此，對高斯過程來說，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。

(2)由上面的特點可以看出，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，即數(shù)學(xué)期望、方差與時間無關(guān)，相關(guān)函數(shù)僅取決于時間間隔，而與時間起點無關(guān)，那么高斯過程的n維分布也與時間起點無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)格平穩(wěn)的。

(3)如果高斯過程在不同時刻的取值是不相關(guān)的，即滿足當(dāng)j≠k時ρjk=0且ρjj=1，那么，式(3.66)為也就是說，如果高斯過程在不同時刻的取值是互不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計獨立的。

(4)如果一個線性系統(tǒng)的輸入隨機過程是高斯的，那么線性系統(tǒng)的輸出過程仍然是高斯的。這個特點我們在后面討論。3.5.4平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度及其與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系討論確定信號和線性系統(tǒng)時，有時域分析法和頻域分析法，這兩種分析法是用傅里葉變換聯(lián)系起來的。那么，能否把傅里葉變換運用到平穩(wěn)隨機過程理論中呢？回答是可以，但是將帶有隨機過程的特點，這是應(yīng)當(dāng)注意的。自相關(guān)函數(shù)R(τ)是在時域上描述平穩(wěn)隨機過程的主要方式。通過傅里葉變換，由自相關(guān)函數(shù)R(τ)引出平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的概念，這將是本節(jié)所要討論的問題。為此先深入討論一下平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)的性質(zhì)。

(1)R(τ)是偶函數(shù)，即

R(τ)=R(-τ)

(3.67)

根據(jù)定義R(τ)=E{X(t)X(t+τ)}令t′=t+τ，則t=t′-τ，代入上式中，有R(τ)=E{X(t′-τ)X(t′)}=E{X(t′)X(t′-τ)}=R(-τ)

(2)|R(τ)|≤R(0)。顯然有E{［X(t)±X(t+τ)］2}≥0上式展開后有

E{X2(t)±2X(t)X(t+τ)+X2(t+τ)}

=E{X2(t)}±2E{X(t)X(t+τ)}+E{X2(t+τ)}

=2［R(0)±R(τ)］≥0所以有|R(τ)|≤R(0)。

(3)R(τ)與協(xié)方差函數(shù)C(τ)、數(shù)學(xué)期望、方差的關(guān)系。對平穩(wěn)隨機過程，式(3.56)變?yōu)?/p>

C(τ)=E{［X(t)-m］［X(t+τ)-m］}=R(τ)-m2

(3.68)由上式可見，R(τ)與C(τ)僅相差一個常數(shù)。當(dāng)τ=±∞時，X(t)-m與X(t±∞)-m顯然是相互獨立的隨機變量，這一點從物理意義上可以理解為：隨機過程在相距非常遠的兩個時間點上的取值是毫無關(guān)聯(lián)性可言的。因此C(±∞)=E{［X(t)-m］}·E{［X(t±∞)-m］}=0代入式(3.68)得到R(±∞)=m2寫成極限形式，有

(3.69)因此，可以從自相關(guān)函數(shù)R(τ)求得該平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學(xué)期望。

在式(3.68)中，令τ=0，得到

C(0)=σ2=R(0)-m2=R(0)-R(±∞)(3.70)因此，平穩(wěn)隨機過程的又一數(shù)字特征即方差也可以從自相關(guān)函數(shù)R(τ)中求出。上面的討論表明，自相關(guān)函數(shù)R(τ)是描述平穩(wěn)隨機過程最重要的數(shù)字特征。圖3.9給出一條典型的R(τ)曲線，并且從圖形上可以反映出它的全部特點。圖3.9平穩(wěn)過程R(τ)和C(τ)的典型曲線下面先給出平穩(wěn)隨機過程功率譜密度的概念，然后推導(dǎo)它與平穩(wěn)隨機過程的自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。首先要指出的一點是，一個平穩(wěn)隨機過程的持續(xù)時間是無限長的，所以其總能量不是有限的。這說明隨機過程的振幅頻譜不存在。然而，平穩(wěn)隨機過程的平均功率卻是有限值。因此，研究平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是有意義的?？疾炱椒€(wěn)隨機過程X(t)的一個樣本x(t)，該樣本在-∞<t<∞上存在。我們對其截取2T長的一段，如圖3.10所示，記為xT(t)，則有顯然，xT(t)的傅里葉變換存在，它的頻譜函數(shù)為(3.71)XT(ω)為xT(t)的頻譜函數(shù)。圖3.10x(t)及其截矩函數(shù)xT(t)

根據(jù)帕塞瓦爾定理有

在上式兩邊除以2T，有令T→∞，就得到平穩(wěn)隨機過程X(t)的一個樣本x(t)的平均功率為(3.72)需要強調(diào)的是，式(3.72)僅僅給出平穩(wěn)隨機過程X(t)的一個樣本x(t)的平均功率，當(dāng)然它不能代表這個隨機過程的平均功率。我們知道，樣本x(t)是對平穩(wěn)隨機過程X(t)做一次觀測的結(jié)果，所以樣本x(t)的平均功率是一個隨機變量。而平穩(wěn)隨機過程X(t)的平均功率S只要對所有樣本的平均功率進行統(tǒng)計平均即可，于是有

(3.73)令

(3.74)則有

(3.75)

由此可見，式(3.74)所定義的P(ω)具有三個特點：

(1)它是ω的確定函數(shù)而不再具有隨機性；

(2)它描述了在各個不同的頻率上功率分布的情況；

(3)當(dāng)在整個頻率范圍內(nèi)對它進行積分后，就給出了平穩(wěn)隨機過程X(t)的總平均功率。因此，將P(ω)稱為平穩(wěn)過程X(t)的功率譜密度，簡稱功率譜。它是從頻域角度描述平穩(wěn)隨機過程X(t)的統(tǒng)計特性的重要數(shù)字特征。雖然式(3.74)給出了平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜P(ω)，但是直接用這個表達式來計算功率譜P(ω)還是很困難的。那么，應(yīng)當(dāng)如何求功率譜P(ω)呢？為此重新考察式(3.73)，則平穩(wěn)隨機過程X(t)的平均功率S為

(3.76)于是有(3.77)如前所述，平穩(wěn)隨機過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)在τ=0的取值R(0)表示該過程的平均功率。這里又驗證了這一點。因此R(τ)與功率譜P(ω)是有聯(lián)系的，把這二者聯(lián)系起來的就是傅里葉變換，即(3.78)及(3.79)式(3.78)也稱維納-辛欽定理，是一個在理論與實際應(yīng)用中都有極大意義的重要公式。

例4

求隨相正弦信號的功率譜。前面已經(jīng)推導(dǎo)出了隨相正弦信號s(t)=Asin(ω0t+θ)的自相關(guān)函數(shù)，即。根據(jù)式(3.78)可以求得它的功率譜P(ω)為上式表明，這個隨相正弦信號的功率譜是由位于±ω0的兩條譜線構(gòu)成的，如圖3.11所示。圖3.11隨相信號的R(τ)和P(ω)

根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)及式(3.68)，很容易得出平穩(wěn)隨機過程的功率譜具有以下性質(zhì)：

(1)P(ω)是實偶函數(shù)，即

P(-ω)=P(ω)

(3.80)

(2)P(ω)是非負函數(shù)，即

P(ω)≥0

(3.81)

根據(jù)同樣的分析方法，還可以定義兩個隨機過程X(t)和Y(t)的互功率譜密度函數(shù)(簡稱互功率譜)PXY(ω)?；スβ首VPXY(ω)和互相關(guān)函數(shù)RXY(τ)是一對傅里葉變換，即

(3.82)及

(3.83)3.6隨機過程通過線性系統(tǒng)在這一節(jié)中，將運用以前所學(xué)過的確定信號通過線性系統(tǒng)的分析方法，來討論當(dāng)一個平穩(wěn)隨機過程加到某個線性系統(tǒng)的輸入端時，該系統(tǒng)的輸出將是如何變化的。

為什么確知信號通過線性系統(tǒng)的分析方法仍然適用于平穩(wěn)隨機過程通過線性系統(tǒng)的情況呢？如前所述，隨機過程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的全體。因此，我們說把隨機過程加到線性系統(tǒng)的輸入端，實際上應(yīng)當(dāng)理解為隨機過程的某一可能的樣本函數(shù)出現(xiàn)在線性系統(tǒng)的輸入端。既然如此，我們完全可以應(yīng)用確定信號通過線性系統(tǒng)的分析方法來求得相應(yīng)的系統(tǒng)輸出。如果加到線性系統(tǒng)輸入端的是隨機過程X(t)的某一樣本x(t)，系統(tǒng)相應(yīng)的輸出為y(t)，則有(3.84)其中，h(t)為線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)函數(shù)，且有進而很容易理解，在線性系統(tǒng)的輸出端，將得到一族時間函數(shù)y(t)，它們構(gòu)成一個新的隨機過程，記作Y(t)，稱為線性系統(tǒng)的輸出隨機過程。于是，式(3.84)可以表示為

(3.85)

因此，我們所關(guān)心的問題就是線性系統(tǒng)輸出端的隨機過程Y(t)將具有什么樣的統(tǒng)計特性，即它的數(shù)學(xué)期望、自相關(guān)函數(shù)、功率譜以及概率密度函數(shù)。下面就分別討論這些問題。首先假定線性系統(tǒng)的輸入過程X(t)是平穩(wěn)的，它的數(shù)學(xué)期望mX、自相關(guān)函數(shù)RX(τ)、功率譜PX(ω)均已知。3.6.1輸出過程Y(t)的數(shù)學(xué)期望在式(3.85)兩邊取統(tǒng)計平均，得(3.86)式中，因為mX是常數(shù)，所以可以放到積分號外面來。再由則有

E{Y(t)}=mX·H(0)

(3.87)3.6.2輸出過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義式(3.54)，有

(3.88)

由式(3.87)、式(3.88)可以看出，輸入隨機過程是平穩(wěn)時，線性系統(tǒng)的輸出隨機過程至少是廣義平穩(wěn)的。3.6.3輸出隨機過程Y(t)的功率譜由式(3.78)得：令τ′=τ+u-v，則有其中所以有PY(ω)=H(ω)·H*(ω)·PX(ω)=|H(ω)|2·PX(ω)(3.89)

式(3.89)表明，線性系統(tǒng)輸出平穩(wěn)過程Y(t)的功率譜是輸入平穩(wěn)過程的功率譜與系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方乘積。這是今后經(jīng)常用到的一個重要公式，同時可以看到，把式(3.89)與式(3.79)結(jié)合起來求RY(τ)，比直接用式(3.88)來求要容易得多。此外，可以求得線性系統(tǒng)的輸入過程X(t)與輸出過程Y(t)的互功率譜為

PXY(ω)=H(ω)·PX(ω)

(3.90)3.6.4輸出過程的概率分布原則上可以通過線性系統(tǒng)輸入隨機過程的概率分布和式(3.85)來確定輸出隨機過程的概率分布，但是計算過程相當(dāng)復(fù)雜，只有在輸入過程是高斯分布時是個例外。即平穩(wěn)高斯隨機過程通過線性系統(tǒng)后，輸出隨機過程仍然是服從高斯分布的，下面證明這個結(jié)論。假設(shè)線性系統(tǒng)的輸入隨機過程X(t)是一個平穩(wěn)高斯過程，根據(jù)式(3.85)可以得到輸出隨機過程Y(t)為或者寫成求和形式為(3.91)既然X(t)為平穩(wěn)高斯過程，那么式(3.91)中的每一項X(t-un)h(un)

Δun都是高斯隨機變量，所以輸出過程Y(t)在任一時刻上的取值將是無窮多個高斯隨機變量之和。那么，若干個高斯隨機變量的和是否為高斯隨機變量呢？如果是高斯隨機變量，則說明輸出過程Y(t)是一個高斯過程。設(shè)u1、u2是兩個高斯隨機變量，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)為其中各個字母的意義和式(3.66)中所說明的一樣。于是，隨機變量v=u1+u2的概率密度函數(shù)fv(y)為

令x1-m1=α，y-m1-m2=β，于是上式中括號內(nèi)的項可以化成再令則有顯然，這是數(shù)學(xué)期望為m1+m2，方差為的高斯概率密度函數(shù)。由此得到，任意兩個高斯隨機變量之和仍然是高斯隨機變量。同理可以得到，多個高斯隨機變量之和也是高斯的。輸出過程Y(t)在任一時刻上的取值是服從高斯分布的，于是輸出過程Y(t)的n維聯(lián)合分布也是高斯的。這樣就得到了線性系統(tǒng)的輸出隨機過程仍然保持了高斯分布的統(tǒng)計特性這個重要結(jié)論。但是應(yīng)當(dāng)注意，它的輸出過程的數(shù)字特征一般來說不同于輸入過程的數(shù)字特征。3.7噪聲分析3.7.1白噪聲隨機過程通常是按它的概率分布和功率譜進行分類的。就概率分布來說，服從高斯分布的隨機過程占有重要地位；就功率譜特點來說，白噪聲對通信理論是極為重要的。我們首先提出白噪聲的概念，然后分析白噪聲通過線性系統(tǒng)的情況。如果一個隨機過程n(t)，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即

(3.92)則稱n(t)為白噪聲，式中N0為常數(shù)，單位是W/Hz。由式(3.79)可以求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

(3.93)這個結(jié)果表明，白噪聲在任意兩個不同時刻的取值之間是互不相關(guān)的。圖3.12給出了白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)的圖形。圖3.12白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜

如果白噪聲是服從高斯分布的，就稱為高斯白噪聲。根據(jù)式(3.93)可以看出，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。應(yīng)當(dāng)注意，上面所定義的這種理想化的白噪聲實際上是不存在的，但是通信系統(tǒng)中有很多噪聲，它們的功率譜均勻分布的頻率范圍遠遠超過通信系統(tǒng)的工作頻帶，因此可以近似認為它們是白噪聲，這樣可以使分析大大簡化。當(dāng)白噪聲通過信道時，頻帶將受到限制，稱為帶限白噪聲。下面根據(jù)信道通帶的位置分兩種情況討論。

1．理想低通白噪聲白噪聲通過理想矩形的低通信道時，就會產(chǎn)生這類帶限白噪聲。假定理想矩形低通信道為根據(jù)式(3.89)，該信道輸出的帶限白噪聲的功率譜為

(3.94)自相關(guān)函數(shù)為(3.95)

理想低通白噪聲的功率譜與自相關(guān)函數(shù)如圖3.13所示。由式(3.95)可以得到，在τ=kπ/Ω(k=1，2，…)時，R(τ)=0。這表明：帶限白噪聲波形只要按照π/Ω等間隔抽樣，那么各樣點值是互不相關(guān)的隨機變量。圖3.13理想低通白噪聲的功率譜與自相關(guān)函數(shù)

2．理想帶通白噪聲這種帶通白噪聲是通過理想矩形的帶通信道后產(chǎn)生的，它的功率譜為(3.96)式中：ω0為中心角頻率，B為通帶寬度。它的自相關(guān)函數(shù)為

(3.97)

理想帶通白噪聲的功率譜與自相關(guān)函數(shù)如圖3.14所示。由圖可見，帶通白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是以取樣函數(shù)為包絡(luò)，再填進角頻率為ω0的載波所組成的。圖3.14理想帶通白噪聲的功率譜與自相關(guān)函數(shù)3.7.2通信系統(tǒng)中的噪聲在通信過程中不可避免地存在噪聲，它們對通信質(zhì)量的好壞，甚至能否進行正常的通信有著極大的影響。因此，在研究抗噪聲性能之前，有必要對噪聲的特性有一個認識，這就是下面所要討論的問題。

1.噪聲的分類所謂噪聲，就是存在于通信系統(tǒng)中，干擾信號的傳輸和處理的那一類不需要的電波形，它在系統(tǒng)中無處不有，有時也稱為隨機干擾信號。

噪聲產(chǎn)生于各種不同的源，而且表現(xiàn)出來的特性也不盡相同?？梢愿鶕?jù)噪聲的來源對它進行分類，也可以依據(jù)噪聲的隨機特性進行分類。根據(jù)前者，噪聲可以分為以下三類：

(1)自然噪聲。例如：打雷放電而產(chǎn)生的天電噪聲；雨點、沙塵和下雪等會產(chǎn)生靜電，引起靜電放電并產(chǎn)生噪聲；太陽和其它星體也會發(fā)出強烈的噪聲電波。

(2)人為噪聲。例如：各種電氣設(shè)備、汽車的火花塞所產(chǎn)生的火花放電；高壓輸電線路的電暈放電；鄰近電臺信號的干擾等。

(3)電路噪聲。例如：電子管和半導(dǎo)體器件內(nèi)電子、空穴運動所產(chǎn)生的散彈噪聲；電阻內(nèi)部的熱噪聲等。

根據(jù)噪聲的特性，可以將其分為脈沖型噪聲和連續(xù)型噪聲。前者有各種人為噪聲，它們是重復(fù)出現(xiàn)的持續(xù)時間很短的脈沖波形；后者如熱噪聲、散彈噪聲那樣具有連續(xù)波形。也可以按噪聲瞬時幅度值的概率分布來進行分類，例如幅度值分布是服從高斯分布的就稱為高斯噪聲。還可以按功率譜形狀來分類，例如白噪聲和不具有均勻分布的功率譜的有色噪聲。

在理論上還可以把噪聲分為平穩(wěn)噪聲和非平穩(wěn)噪聲。平穩(wěn)噪聲在前面已經(jīng)有了嚴(yán)格的定義和充分的討論。非平穩(wěn)噪聲的統(tǒng)計特性隨著時間的變化而變化，在某一時間間隔內(nèi)集中發(fā)生，而其它時間內(nèi)幾乎不發(fā)生的所謂突發(fā)噪聲就是一例。最后，根據(jù)噪聲對信號作用的方式，可以將其分成加性噪聲和乘性噪聲。熱噪聲和其他的一般噪聲，由干擾源產(chǎn)生并疊加在信號上進而在輸出端表現(xiàn)出來；也就是說，如果s(t)是信號，n(t)是噪聲，則輸出波形為s(t)+n(t)，這就是加性噪聲。如果信道衰耗發(fā)生變化或電阻發(fā)生變化，則噪聲就成為調(diào)制信號的波形了，在數(shù)學(xué)上表示為s(t)［1+n(t)］，這就是乘性噪聲。

總之，噪聲的來源和表現(xiàn)形式是復(fù)雜多樣的，我們只能從中選擇對通信系統(tǒng)有較大的持續(xù)影響的起伏噪聲進行研究。起伏噪聲包括通信設(shè)備內(nèi)部的散彈噪聲、熱噪聲以及外部的宇宙噪聲等，盡管它們來自不同的干擾源，但是稍后將會看到它們都具有幾乎相同的統(tǒng)計特性。

2.起伏噪聲

我們首先討論散彈噪聲、熱噪聲、宇宙噪聲的產(chǎn)生原因及統(tǒng)計特性，然后引出窄帶噪聲的概念。

1)散彈噪聲散彈噪聲存在于電子管與半導(dǎo)體器件中。以圖3.15所示的二極管為例，在允許的溫度范圍內(nèi)工作的二極管的板極電流i(t)，是由陰極發(fā)射出來的大量電子的運動而形成的，由于每個電子的發(fā)射都是隨機的，因此，如果把時間軸劃成等長的小區(qū)間，則每一小區(qū)間內(nèi)陰極發(fā)射出的電子數(shù)是隨機的。這樣在板極上形成的電流就不是一個直流，而是在一個平均值上上下起伏變化的，即i(t)=I0+in(t)，這個in(t)就稱為散彈噪聲。圖3.15二極管發(fā)射的散彈噪聲上面的分析表明，總電流i(t)實質(zhì)上是許多電子單獨作用的總結(jié)果，從陰極發(fā)射出來的電子可以認為是相互獨立的，每個電子在陰極上產(chǎn)生一個獨立的小電流，所以總電流i(t)就是大量獨立小電流之和。由中心極限定理可知，總電流i(t)是一個高斯隨機過程，平均電流I0是i(t)的數(shù)學(xué)期望，而in(t)=i(t)-I0則是數(shù)學(xué)期望為零的高斯隨機過程。利用普通電子學(xué)的知識可以推導(dǎo)出在溫度限制下的二極管的散彈噪聲in(t)的功率譜Si(f)，大約在低于100MHz的頻率范圍內(nèi)可以認為Si(f)是一個恒定值qI0，其中I0是平均電流值，q=1.6×10-19C。

2)熱噪聲電阻一類導(dǎo)體的兩端即使沒有外加電壓，也會或多或少地出現(xiàn)微小變化的電壓，這是由于電阻中自由電子經(jīng)常作不規(guī)則的熱運動所產(chǎn)生的噪聲起伏而形成的。每個自由電子因其熱能而不斷運動，由于和分子的碰撞，使它的運動途徑是隨機的，結(jié)果就產(chǎn)生一個隨機的微小電流。電阻內(nèi)部所有電子運動的總結(jié)果形成一個起伏電流，其大小和方向是隨機變化的，平均電流為零，這個起伏的電流就稱為熱噪聲。

根據(jù)熱噪聲形成的物理機理可以看出，它也是服從高斯分布的。分析和測量表明，大約直到1013MHz的頻率范圍內(nèi)，電阻熱噪聲的功率譜密度基本上是平坦的，取值為2kTGW/MHz。其中k為玻爾茲曼常數(shù)(等于1.3805×10-23J/℃)，T為熱噪聲源的絕對溫度，G為電阻R的電導(dǎo)。電阻中的熱噪聲有兩種表示法，如圖3.16所示。一種是無噪聲電導(dǎo)G和功率譜密度為2kTG的噪聲電流源in(t)并聯(lián)，如圖3.16(b)所示；另一種是無噪聲電阻R和噪聲電壓源vn(t)串聯(lián)，如圖3.16(c)所示。圖3.16電阻噪聲的表示法根據(jù)戴文寧等效電源定理應(yīng)有：vn(t)=Rin(t)，且應(yīng)當(dāng)輸出相同的噪聲功率，即，又因為

其中B是該電阻所處電路的工作頻率范圍，于是有SV(f)=R2SI(f)=R2·2kTG=2kTR這就是以電壓形式表示的電阻熱噪聲的功率譜密度。

3)宇宙噪聲宇宙噪聲是指天體輻射的電磁波對接收機所形成的噪聲。它在整個空間的分布是不均勻的，最強的來自銀河系的中部，其強度與季節(jié)、頻率等因素有關(guān)。實際測量表明，在20~300MHz的范圍內(nèi)，它的強度與頻率的三次方成反比，因而當(dāng)工作頻率低于300MHz時就要考慮它的影響了。實踐證明，宇宙噪聲也是服從高斯分布的，在很寬的頻率范圍內(nèi)它也具有平坦的功率譜密度。

上面簡單地對散彈噪聲、熱噪聲和宇宙噪聲進行了討論?？梢钥闯?，盡管它們的形成機理不同，但卻有一些共同的特點，即都服從高斯分布，在相當(dāng)寬的頻率范圍內(nèi)都具有平坦的功率譜密度，因而將這樣的起伏噪聲統(tǒng)稱為高斯白噪聲。高斯白噪聲是通信系統(tǒng)中加性噪聲的主要代表。在通信系統(tǒng)中，起伏噪聲是最基本的噪聲來源，但是應(yīng)當(dāng)注意，從信道的角度來看，到達或集中于解調(diào)器輸入端的并不是起伏噪聲本身，而是它的某種變換形式，即一種帶通型噪聲。這是因為，在到達解調(diào)器之前，起伏噪聲通常要經(jīng)過接收轉(zhuǎn)換器，而接收轉(zhuǎn)換器的主要作用之一是濾出有用信號和部分地濾除噪聲，它一般被等效成一個帶通濾波器，而帶通濾波器輸出端的噪聲是帶通型的噪聲。如果帶通濾波器的通帶很窄，那么輸出的噪聲就稱為窄帶噪聲。起伏噪聲是高斯白噪聲，考慮到帶通濾波器一般是一種線性網(wǎng)絡(luò)，因此輸出噪聲就是窄帶高斯噪聲。這樣，當(dāng)研究調(diào)制與解調(diào)問題時，調(diào)制信道的加性噪聲可以直接表示為窄帶高斯噪聲。那么窄帶高斯噪聲的統(tǒng)計特性如何呢？下面就來討論這個問題。

3.窄帶高斯噪聲高斯白噪聲通過以fC為中心頻率的窄帶系統(tǒng)時，就形成窄帶高斯噪聲。那么“窄帶系統(tǒng)”的確切含義是什么呢？所謂窄帶系統(tǒng)，是指通帶寬度Δf<<fC，且通帶的中心頻率fC>>0的系統(tǒng)。由此可知，窄帶噪聲的功率譜局限在±fC附近很窄的頻率范圍內(nèi)，見圖3.17(a)；在波形上表現(xiàn)為包絡(luò)和相位都在作緩慢的變化，見圖3.17(b)?；貞浺幌抡{(diào)幅或調(diào)頻、調(diào)相信號波形，只要低頻信號a(t)的頻帶限制在Δf/2之內(nèi)，那么調(diào)幅信號具有與圖3.17(a)相似的頻譜?；蛘咭粋€角調(diào)制波形cos[ω0t+φ(t)]，這里φ(t)是受調(diào)的相位函數(shù)，只要φ(t)變化緩慢，以至信號產(chǎn)生的最大頻差大致限制在Δf/2之內(nèi)，則角調(diào)制波形也類似于圖3.17(a)的頻譜。這樣就不難理解窄帶噪聲具有圖3.17(b)所示的波形。因此，可以把窄帶噪聲表示為n(t)=R(t)cos［ωCt+φ(t)］(3.98)其中：R(t)≥0為隨機包絡(luò)函數(shù)，φ(t)為隨機相位函數(shù)，它們相對于載頻ωC都是緩慢變化的。圖3.17窄帶噪聲的功率譜和時間波形將式(3.98)展開，有n(t)=R(t)cosφ(t)cosωCt-R(t)sinφ(t)sinωCt

=nC(t)cosωCt-nS(t)sinωCt(3.99)其中

nC(t)=R(t)cosφ(t)(3.100)nS(t)=R(t)sinφ(t)(3.101)(3.102)(3.103)式(3.99)表明，窄帶噪聲也可以用兩個正交的載波成分的組合來表示，而每個載波成分的幅度分別由式(3.100)、式(3.101)給出。顯然，nC(t)、nS(t)也是緩慢變化的。上面給出了窄帶噪聲的數(shù)學(xué)表達式。需要強調(diào)的是，所謂窄帶噪聲是指一個隨機過程，這個隨機過程是由式(3.98)或式(3.99)定義的。式(3.98)中的R(t)、φ(t)也分別都是一個隨機過程。R(t)的一個樣本波形和φ(t)的一個樣本波形構(gòu)成了n(t)的一個樣本波形。因此窄帶噪聲就是窄帶樣本波形的全體。對式(3.99)中的nC(t)和nS(t)也作同樣的理解，因此窄帶噪聲n(t)的統(tǒng)計特性將表現(xiàn)在