第12.3角平分線的性質(zhì)人教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1、會用尺規(guī)作圖法作一個角的平分線，知道作法的理論依據(jù).2、探究并證明角平分線的性質(zhì).3、會用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題.情境引入如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD，BC=DC.將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn)，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?證明：在△ACD和△ACB中，AD=AB（已知），DC=BC（已知），CA=CA（公共邊），∴△ACD≌△ACB（SSS）.∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)角相等）.∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）.互動新授從利用平分角的儀器畫角的平分線中，你受到哪些啟發(fā)？如何利用直尺和圓規(guī)作一個角的平分線？如圖，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分線.ABO互動新授ABOMNC作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧線，交OA于點(diǎn)N，交OB于點(diǎn)M.

（2）分別以M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.

（3）畫射線OC，射線OC即為所求.你能證明OC是∠AOB的角平分線嗎？證明：∵在中

∴

∴∠MOC=∠NOC

即OC是∠AOB的角平分線ABOMNC互動新授

如圖，任意作一個角∠AOB，作出∠AOB的平分線OC.在OC上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P畫出OA、OB的垂線，分別記垂足為D、E，測量PD、PE并作比較，你得到什么結(jié)論？在OC上再取幾個點(diǎn)試一試.

經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)，PD=PE，在OC上再取幾個點(diǎn)，都能得到同樣的結(jié)論.互動新授通過以上測量，你發(fā)現(xiàn)了角的平分線的什么性質(zhì)？通過動手實(shí)驗(yàn)、觀察比較，我們發(fā)現(xiàn)“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，你能通過嚴(yán)格的邏輯推理證明這個結(jié)論嗎？

已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.互動新授證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB.

∴∠PDO＝∠PEO＝90°.

在△PDO和△PEO中，

∠PDO＝∠PEO，

∠AOC＝∠BOC，

OP＝OP，

∴△PDO≌△PEO(AAS).

∴PD＝PE.互動新授

已知：∠AOC=∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.求證：PD=PE.符號語言表示：角的平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.∵OC是∠AOB的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等).互動新授互動新授由角的平分線的性質(zhì)的證明過程，你能概括出證明幾何命題的一般步驟嗎？（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號表示已知和求證；（3）經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.S思考

如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路、鐵路的距離相等，并且離公路與鐵路的交叉處500m.這個集貿(mào)市場應(yīng)建于何處（在圖上標(biāo)出它的位置，比例尺為1：20000）?互動新授BASCDMN解：在Rt△ABC與Rt△ABD中：∴

Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．AB=ABBC=BD∴∠CAB=∠DAB即點(diǎn)B在∠CAD的角平分線上互動新授角的平分線的判定:角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.你能得出什么結(jié)論呢？典例精析

例：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P.求證：點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點(diǎn)P作PD⊥AB交于點(diǎn)D，PE⊥BC交于點(diǎn)E，PF⊥AC交于點(diǎn)F.∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上∴PD=PE（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）同理：PE=PF∴PD=PE=PF∴點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.ABCPDEFMN想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？

想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？ACPDEFMN典例精析∵PD⊥AB，PF⊥AC，PD=PF∴P在∠A的平分線上結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.小試牛刀

如圖，OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD證明：∵OP為∠AOB的平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，

∴PC=PD.

在Rt△OCP和Rt△ODP中，

OP=OP，PC=PD，∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）.∴∠CPO=∠DPO，OC=OD.

B1．如圖，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，則∠DOC=________.OCABED30°課堂檢測2.判斷正誤，并說明理由：（1）如圖1，P在射線OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，則PE=PF.()（2）如圖2，P是∠AOB的平分線OC上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在OA，OB上，則PE=PF.()（3）如圖3，在∠AOB的平分線OC上任取一點(diǎn)P，若P到OA的距離為3cm，則P到OB的距離為3cm.()AOBPEF圖2CAOBPEF圖1C圖3AOBPEC××√課堂檢測1.直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有()

A.一處 B.兩處

C.三處 D.四處D分析:由于沒有限制在何處選址，故要求的地址共有四處.拓展訓(xùn)練2.如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF.求證：CF=EB.

證明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°（已知），∴CD＝DE(角的平分線的性質(zhì)).在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=DE（已證），DF=DB（已知），

∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB（全等三角形對應(yīng)邊相等）.拓展訓(xùn)練解：在△ABC中，∠C=90°，

∴DC⊥AC.

∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，

∴DC=DE.

在Rt△ACD和Rt△AED中,AD=AD，DC=DE，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE.

∵AC=BC，

∴AE=BC，

∴△DEB的周長為8cm.3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E，若AB=8cm，則△DEB的周長為（）A.10cmB.7cmC.8cmD.不能確定拓展訓(xùn)練C三角形的角平分線尺規(guī)作圖性質(zhì)定理判定定理角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.課堂小結(jié)證明：過點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，

∵∠B=∠C=90°，

∴DC⊥EC，EB⊥AB.

∵DE平分∠ADC，

∴EC=EF.