數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)分布與正態(tài)分布01§10.7二項(xiàng)分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.理解二項(xiàng)分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實(shí)際問題.2.借助正態(tài)曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型目錄01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.二項(xiàng)分布(1)伯努利試驗(yàn)只包含

可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為

.(2)二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝0，1，2，…，n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作

.兩個(gè)n重伯努利試驗(yàn)

X~B(n，p)(3)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差①若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝

，D(X)＝

.②若X~B(n，p)，則E(X)＝

，D(X)＝

.pp(1－p)npnp(1－p)2.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝

，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

X~N(μ，σ2)x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X~N(μ，σ2)，則E(X)＝

，D(X)＝

.μσ21.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時(shí)的特殊情形.(

)(2)若X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布.(

)(3)從裝有3個(gè)紅球、3個(gè)白球的盒中有放回地任取一個(gè)球，連取3次，則取到紅球的個(gè)數(shù)X服從超幾何分布.(

)(4)當(dāng)μ取定值時(shí)，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”.(

)×√√×2.若隨機(jī)變量ξ~N(3，σ2)，且P(ξ≥4)＝0.2，則P(2<ξ<3)等于A.0.2 B.0.3

C.0.4

D.0.5由隨機(jī)變量ξ~N(3，σ2)，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知，P(ξ>3)＝0.5，因?yàn)镻(ξ≥4)＝0.2，可得P(3<ξ<4)＝P(ξ>3)－P(ξ≥4)＝0.5－0.2＝0.3，再根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知，P(2<ξ<3)＝P(3<ξ<4)＝0.3.√

√

返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

題型一二項(xiàng)分布

(2)現(xiàn)從該中學(xué)的學(xué)生中任意抽取三名學(xué)生，記X表示這三名學(xué)生中肥胖的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

所以X的分布列為

X0123P二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的.③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個(gè)，即發(fā)生與不發(fā)生.(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個(gè)參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

某校為了解本校學(xué)生課間進(jìn)行體育活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取了50名男生和50名女生，通過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：50名女生中有10人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)，50名男生中有20人課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng).(1)請(qǐng)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)是否有關(guān)聯(lián)；性別體育活動(dòng)合計(jì)課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)男

女

合計(jì)

附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

依題意，列出2×2列聯(lián)表如下：零假設(shè)為H0：性別與課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)相互獨(dú)立，即性別與課間是否經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)無關(guān).性別體育活動(dòng)合計(jì)課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)男302050女401050合計(jì)7030100

(2)以樣本的頻率作為概率的值，在全校的男生中任取4人，記其中課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差.性別體育活動(dòng)合計(jì)課間不經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)課間經(jīng)常進(jìn)行體育活動(dòng)男302050女401050合計(jì)7030100附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

X01234P題型二例2

(2025·成都模擬)某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度(單位：cm)介于[15，25]之間，現(xiàn)對(duì)植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)求a的值；依題意可得(0.05＋0.075＋a＋0.15＋0.1)×2＝1，解得a＝0.125.超幾何分布(2)若從高度在[15，17)和[17，19)內(nèi)的花卉中采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在[15，17)內(nèi)的株數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

X012P所以X的分布列為

(3)以頻率估計(jì)概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求在至少有2株花卉的高度在[21，25]內(nèi)的條件下，恰有2株花卉的高度不低于23cm的概率.

(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù).超幾何分布的特征是①考察對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體數(shù)X的分布列.(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其本質(zhì)是古典概型.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2024·聊城模擬)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開啟，新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長.某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評(píng)分調(diào)查(滿分100分)，評(píng)分結(jié)果如下：分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91.分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89.(1)求抽取的這20位客戶評(píng)分的第一四分位數(shù)；

(2)規(guī)定評(píng)分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

所以X的分布列為

X123P正態(tài)分布

√√√題型三

√√

解決正態(tài)分布問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)對(duì)稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x＝0.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2024·洛陽質(zhì)檢)某教學(xué)研究機(jī)構(gòu)從參加高考適應(yīng)性考試的20000名優(yōu)秀考生中隨機(jī)抽取了200人對(duì)其數(shù)學(xué)成績進(jìn)行了整理分析，作出了如圖所示的頻率分布直方圖：

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課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號(hào)1234567答案BADBACBC0.4

64題號(hào)81112答案410BC2對(duì)一對(duì)答案123456789101112

9.答案123456789101112根據(jù)頻率分布直方圖得，對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的頻率為0.0024×10＝0.024，則本次調(diào)查中對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的顧客約有250×0.024＝6(人).9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.X012P答案123456789101112

10.答案123456789101112

X0123P10.答案123456789101112

Y－1020200P10.一、單項(xiàng)選擇題1.已知某地區(qū)中學(xué)生的身高X近似服從正態(tài)分布N(164，σ2)，若P(X≥170)＝0.3，則P(158<X<170)等于A.0.2 B.0.4

C.0.6

D.0.8123456789101112知識(shí)過關(guān)答案P(158<X<170)＝2P(164<X<170)＝2×[0.5－P(X≥170)]＝0.4.√123456789101112答案

√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案4.某商場推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無獎(jiǎng)券共10張，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月(30天)下來，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有A.1張

B.2張

C.3張

D.4張√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

三、填空題7.(2024·南通調(diào)研)已知隨機(jī)變量X~N(4，42).若P(X<3)＝0.3，則P(3<X<5)＝

，若Y＝2X＋1，則Y的方差為

.123456789101112答案0.464由題意可知μ＝4，σ＝4，即D(X)＝16，所以D(Y)＝4D(X)＝64，因?yàn)?＋5＝2μ，且P(X<3)＝0.3，所以P(3<X<5)＝1－2P(X<3)＝0.4.123456789101112答案8.為舒緩高考?jí)毫?，某中學(xué)高三年級(jí)開展了“葵花心語”活動(dòng)，每個(gè)同學(xué)選擇一顆葵花種子親自播種在花盆中，四個(gè)人為一組，每組四人的種子播種在同一花盆中，若盆中至少長出三株花苗，則可評(píng)為“陽光小組”.已知每顆種子發(fā)芽的概率為0.8，全年級(jí)恰好共種了500盆，則大約有

個(gè)小組能評(píng)為“陽光小組”.(結(jié)果四舍五入法保留整數(shù))410123456789101112答案

123456789101112答案四、解答題9.某公司為了解市場對(duì)其開發(fā)的新產(chǎn)品的需求情況，共調(diào)查了250名顧客，采取100分制，對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度、產(chǎn)品外觀滿意程度分別進(jìn)行評(píng)分，其中對(duì)產(chǎn)品功能滿意程度的評(píng)分服從正態(tài)分布N(80，25)，對(duì)產(chǎn)品外觀滿意程度評(píng)分的頻率分布直方圖如圖所示，規(guī)定評(píng)分90分以上(不含90分)視為非常滿意.(1)本次調(diào)查中對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的各有多少人？(結(jié)果四舍五入取整數(shù))123456789101112答案

123456789101112答案(2)若這250人中對(duì)兩項(xiàng)都非常滿意的有2人，現(xiàn)從對(duì)產(chǎn)品功能非常滿意和對(duì)產(chǎn)品外觀非常滿意的人中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩項(xiàng)都非常滿意的有X人，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(附：若Y~N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤Y≤μ＋