§9.2用樣本估計(jì)總體01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.會用統(tǒng)計(jì)圖表對總體進(jìn)行估計(jì)，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.能用數(shù)字特征估計(jì)總體集中趨勢和總體離散程度.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時精練目錄落實(shí)主干知識02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

p%大于或等于

中間平均數(shù)最多

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.(

)(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.(

)(3)如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改變，方差不變.(

)(4)在頻率分布直方圖中，可以用最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)作為眾數(shù)的估計(jì)值.(

)√××√2.在下列統(tǒng)計(jì)量中，用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的量是A.平均數(shù)

B.眾數(shù)C.百分位數(shù)

D.標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差反映了數(shù)據(jù)離散程度的大小，所以說標(biāo)準(zhǔn)差是用來描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量，故D正確.√3.已知在高考前最后一次模擬考試中，高三某班8名同學(xué)的物理成績分別為84，79，84，86，95，84，87，93，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和眾數(shù)分別是A.86，84 B.84.5，85C.85，84 D.86.5，84

√4.(2024·周口模擬)已知一組從小到大排列的數(shù)據(jù)為a，2，2，4，4，5，6，b，8，8，若其第70百分位數(shù)等于其極差，則2a＋b＝

.10

返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題例1

(1)(多選)(2024·郴州模擬)隨機(jī)抽取8位同學(xué)對他們2024年數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國Ⅰ卷的平均分進(jìn)行預(yù)估，得到一組樣本數(shù)據(jù)：97，98，99，100，101，103，104，106，則下列關(guān)于該樣本的說法正確的有A.平均數(shù)為101 B.極差為9C.方差為8 D.第60百分位數(shù)為101√題型一√√樣本數(shù)字特征的估計(jì)

(2)如圖是2023年11月中國的10個城市地鐵運(yùn)營里程(單位：公里)及運(yùn)營線路條數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖，下列判斷正確的是A.這10個城市中北京的地鐵運(yùn)營里程

最長且運(yùn)營線路條數(shù)最多B.這10個城市地鐵運(yùn)營里程的中位數(shù)

是516公里C.這10個城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的平均數(shù)為15.4D.這10個城市地鐵運(yùn)營線路條數(shù)的極差是12√

計(jì)算一組n個數(shù)據(jù)第p百分位數(shù)的步驟思維升華

√√

題型二例2

某考試機(jī)構(gòu)舉行了新高考適應(yīng)性考試，在聯(lián)考結(jié)束后，根據(jù)聯(lián)考成績，考生可了解自己的學(xué)習(xí)情況，作出升學(xué)規(guī)劃，決定是否參加強(qiáng)基計(jì)劃.在本次適應(yīng)性考試中，某學(xué)校為了解高三學(xué)生的聯(lián)考情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的聯(lián)考數(shù)學(xué)成績作為樣本，并按照分?jǐn)?shù)段[50，70)，[70，90)，[90，110)，[110，130)，[130，150]分組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.總體集中趨勢的估計(jì)(1)求出圖中a的值并估計(jì)本次考試的及格率(“及格率”指得分為90分及以上的學(xué)生所占的比例)；由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得(a＋0.004＋0.013＋0.014＋0.016)×20＝1，解得a＝0.003.所以及格率為(0.016＋0.014＋0.003)×20＝0.66＝66%.(2)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的第80百分位數(shù)；

(3)估計(jì)該校學(xué)生聯(lián)考數(shù)學(xué)成績的眾數(shù)、平均數(shù).由題圖可得，眾數(shù)的估計(jì)值為100.平均數(shù)的估計(jì)值為0.08×60＋0.26×80＋0.32×100＋0.28×120＋0.06×140＝99.6.頻率分布直方圖中的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：最高矩形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo).(2)中位數(shù)：中位數(shù)左邊和右邊的矩形的面積和應(yīng)該相等.(3)平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布直方圖中等于各組區(qū)間的中點(diǎn)值與對應(yīng)頻率之積的和.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(多選)(2024·佛山模擬)某企業(yè)是一所大學(xué)的社會實(shí)踐基地，實(shí)踐結(jié)束后學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行考核評分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績位于后25%的學(xué)生劃定為不及格，把成績位于前25%的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是A.本次測試分?jǐn)?shù)的極差在50~70之間B.本次測試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值為76.2分C.本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70D.本次測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)√√√由頻率分布直方圖可知，90－20＝70，80－30＝50，極差在50~70之間，故A正確；由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)不低于80的頻率為0.2，分?jǐn)?shù)不低于70的頻率為0.5，所以優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計(jì)值在區(qū)間[70，80)內(nèi)，設(shè)其為m，則(80－m)×0.03＋0.2＝0.25，解得m≈78.3，故B錯誤；因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)不低于70的頻率為0.5，所以本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計(jì)值為70，故C正確；因?yàn)轭l率分布直方圖左拖尾，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.題型三

總體離散程度的估計(jì)

(3)利用(2)中的結(jié)果，你認(rèn)為展區(qū)是否應(yīng)該設(shè)置互動體驗(yàn)展區(qū)？請說明理由.從(2)中可知展區(qū)應(yīng)該設(shè)置互動體驗(yàn)展區(qū)，這樣可以吸引更多的參觀者進(jìn)行觀看與體驗(yàn)，使他們能更多地了解產(chǎn)品，并能更大程度地激發(fā)中小學(xué)生的興趣愛好.總體離散程度的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(多選)(2024·佛山統(tǒng)考)甲、乙兩臺機(jī)床同時生產(chǎn)同一種零件，在10天中，兩臺機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲：0，1，2，2，0，2，3，3，3，4；乙：1，3，1，1，0，2，0，1，0，1.則下列說法正確的是A.甲機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)的平均數(shù)大于乙機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)的平

均數(shù)B.甲機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)的方差大于乙機(jī)床每天生產(chǎn)的次品數(shù)的方差C.從這兩組次品數(shù)的平均數(shù)和方差來看，乙機(jī)床的性能更好D.從這兩組次品數(shù)的平均數(shù)和方差來看，甲機(jī)床的性能更好√√√

(2)(2024·珠海模擬)甲、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成績?yōu)?2，方差為90；乙班的平均成績?yōu)?0，方差為60.那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是

，方差是

.80

返回課時精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案123456789101112題號1234567答案CCDDBDBCD6題號81112答案DAD對一對答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.序號i12345678910zi＝xi－yi968－8151119182012答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.一、單項(xiàng)選擇題1.已知一組樣本數(shù)據(jù)1，2，2，3，4，5，則2.5是該組數(shù)據(jù)的A.極差 B.平均數(shù)

C.中位數(shù)

D.眾數(shù)123456789101112知識過關(guān)答案

√123456789101112答案

甲乙丙丁8.29.59.97.7s20.160.650.090.41根據(jù)表中數(shù)據(jù)，若從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽，最合適的人是A.甲 B.乙

C.丙

D.丁√123456789101112答案由題意可知，丙的平均數(shù)最大且方差最小，所以丙的總成績最好且發(fā)揮最穩(wěn)定，故最合適的人是丙.

甲乙丙丁8.29.59.97.7s20.160.650.090.41123456789101112答案3.某時間段公路上車速的頻率分布直方圖如圖所示，則A.a＝0.1B.車速眾數(shù)的估計(jì)值是70C.車速平均數(shù)的估計(jì)值大于其中位數(shù)的估計(jì)值D.車速中位數(shù)的估計(jì)值是62.5√123456789101112答案由10(a＋3a＋4a＋2a)＝1，得a＝0.01，A錯誤；車速在[60，70)內(nèi)的頻率最大，所以車速眾數(shù)的估計(jì)值是65，B錯誤；車速的平均數(shù)為0.1×45＋0.3×55＋0.4×65＋0.2×75＝62，車速的中位數(shù)m∈(60，70)，則(m－60)×0.04＝0.1，解得m＝62.5，C錯誤，D正確.123456789101112答案4.(2025·大慶模擬)法國當(dāng)?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎舉行開幕式.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運(yùn)會的關(guān)注程度，在高一年級隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的答題成績(滿分100分)，按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092123456789101112答案則下列說法錯誤的是A.男生樣本數(shù)據(jù)的25%分位數(shù)是86B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變√男生82858687889090929496女生82848587878788889092123456789101112答案

123456789101112答案二、多項(xiàng)選擇題5.(2025·邯鄲模擬)某公司計(jì)劃組織秋游活動，定制了一套服裝，女職工需要不同尺碼服裝的頻數(shù)如圖.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是A.服裝尺碼的眾數(shù)為187B.服裝尺碼的平均數(shù)為165C.服裝尺碼的方差為28D.服裝尺碼的中位數(shù)為165√√123456789101112答案

123456789101112答案6.(2024·濟(jì)南模擬)某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計(jì)算得到這100名學(xué)生中，成績位于[80，90)內(nèi)的學(xué)生成績的方差為12，成績位于[90，100]內(nèi)的學(xué)生成績的方差為10.則A.a＝0.004B.估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為77.14C.估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平

均數(shù)為87.5D.估計(jì)該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25√√√123456789101112答案在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積之和為1，則(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝200a＝1，解得a＝0.005，故A錯誤；前兩個矩形的面積之和為(2a＋3a)×10＝50a＝0.25<0.5，前三個矩形的面積之和為(2a＋3a＋7a)×10＝120a＝0.6>0.5.設(shè)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為m，則m∈(70，80)，根據(jù)中位數(shù)的定義可得0.25＋(m－70)×0.035＝0.5，解得m≈77.14，所以估計(jì)該年級學(xué)生成績的中位數(shù)為77.14，故B正確；123456789101112答案

123456789101112答案

6123456789101112答案8.身體質(zhì)量指數(shù)，簡稱體質(zhì)指數(shù)，是國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標(biāo)準(zhǔn).該指標(biāo)是通過體重(kg)除以身高(m)的平方計(jì)算得來.這個公式所得比值在一定程度上可以反映人體密度.一般情況下，我國成年人的體質(zhì)指數(shù)在18.5~23.9內(nèi)屬正常范圍.已知A，B，C三人的體質(zhì)指數(shù)的平均值為20，方差為3.D，E兩人的體質(zhì)指數(shù)分別為18和22.則這5人的體質(zhì)指數(shù)的方差為

.

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案四、解答題9.某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行了10次配對試驗(yàn)，每次配對試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為xi，yi(i＝1，2，…，10)，記zi＝xi－yi(i＝1，2，…，10).試驗(yàn)結(jié)果如下：試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536123456789101112答案

試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536(1)求甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率的中位數(shù)和極差；123456789101112答案

試驗(yàn)序號i12345678910伸縮率xi545533551522575544541568596548伸縮率yi536527543530560533522550576536123456789101112答案由表格可知

序號i12345678910zi＝xi－yi968－8151119182012123456789101112答案

序號i12345678910zi＝xi－yi968－8151119182012123456789101112答案10.我國醫(yī)療科研專家攻堅(jiān)克難，研發(fā)出某種治療肺炎的復(fù)方的A，B兩種新配方，在兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取數(shù)量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值(藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好)，規(guī)定指標(biāo)值小于85為廢品，指標(biāo)值在[85，115)內(nèi)為一等品，不小于115為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如下，其中B配方廢品有6件.A配方的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125]頻數(shù)8a36248123456789101