第八章數(shù)學

大一輪復習202X/01/01§8.4直線與圓的位置關系1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系.2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.課標要求第一部分落實主干知識第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時精練目錄落實主干知識01單擊此處添加章節(jié)副標題相離相切相交圖形

量化方程觀點Δ

0Δ

0Δ

0幾何觀點d

rd

rd

r<＝>>＝<1.直線與圓的位置關系(圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r)2.直線被圓截得的弦長(1)幾何法：弦心距d、半徑r和弦長|AB|的一半構(gòu)成直角三角形，弦長|AB|＝

.(2)代數(shù)法：設直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點M，N，代入，消去y，得關于x的一元二次方程，則|MN|＝___________________

.3.直線與圓相切圓C的圓心為C，半徑為r，切線為l，切點為P，則|CP|＝r，CP⊥l.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)過點P有兩條與圓C相切的直線.(

)(2)過任意一點作直線與圓相交，且弦長等于半徑，這樣的直線有兩條.(

)(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有且只有一組實數(shù)解，則直線與圓相切.(

)(4)在圓中最長的弦是直徑.(

)√××√2.直線3x＋4y＝5與圓x2＋y2＝16的位置關系是A.相交且直線經(jīng)過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線不經(jīng)過圓心

√

√4.若點A(0，1)在圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上，則過點A的圓的切線方程為

.

y＝x＋1

牢記三個相關結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.返回微點提醒探究核心題型02單擊此處添加章節(jié)副標題

√題型一直線與圓位置關系的判斷

判斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系判斷.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.思維升華跟蹤訓練1

(多選)已知圓C：(x－2)2＋y2＝16，直線l：mx＋y－3m－1＝0，則下列結(jié)論中正確的是A.直線l恒過定點(3，1) B.直線l與圓C相切C.直線l與圓C相交 D.直線l與圓C相離√√

題型二例2

(1)(2025·贛州模擬)若圓C的圓心為C(3，1)，y軸被圓C截得的弦長為8，則圓C的一般方程為A.x2＋y2－6x＋2y－15＝0B.x2＋y2－6x＋2y－7＝0C.x2＋y2－6x－2y－15＝0D.x2＋y2－6x－2y－7＝0√直線與圓的弦長問題

√

思維升華

√

直線與圓的切線問題例3

(多選)過點A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，所得切線方程為A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0√√題型三

當切線方程斜率存在時，圓的切線方程的求法(1)幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.(2)代數(shù)法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.注意驗證斜率不存在的情況.思維升華

√

題型四例4

已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點，則四邊形PACB面積的最小值為

.

直線與圓位置關系中的最值問題

涉及與圓的切線有關的線段長度范圍(最值)問題，解題關鍵是能夠把所求線段長表示為關于圓心與直線上的點的距離的函數(shù)的形式，利用求函數(shù)值域的方法求得結(jié)果.思維升華

√

返回課時精練03單擊此處添加章節(jié)副標題答案123456789101112題號123456答案DACCABDBC題號781112答案m2+n2＝1A對一對答案123456789101112

9.答案123456789101112

9.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.答案123456789101112

10.

123456789101112知識過關答案

√123456789101112答案2.(2024·吳忠模擬)直線l：xcosθ＋ysinθ－2＝0與圓O：x2＋y2＝1的位置關系為A.相離

B.相切C.相交

D.無法確定

√123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案

√123456789101112答案

123456789101112答案

√√√123456789101112答案

123456789101112答案

√√123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案8.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體，例如x＝ty＋1表示過點(1，0)且斜率不為0的直線，直線的包絡曲線定義為：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上的每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.若圓C1：x2＋y2＝1是直線族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包絡曲線，則m，n滿足的關系式為

.

m2＋n2＝1123456789101112答案四、解答題9.(2024·邢臺模擬)已知直線l1：3x＋4y＋15＝0，半徑為3的圓C與l1相切，圓心C在x軸的非負半軸上.(1)求圓C的方程；

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

123456789101112答案

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123456789101112答案

123456789101112答案能力拓展

√123456789101112答案

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