高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)與典型例題一、引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心主線，連接代數(shù)、幾何、三角、導(dǎo)數(shù)等多個模塊，也是高考的重點考查對象（占比約20%~25%）。其本質(zhì)是“變量間的對應(yīng)關(guān)系”，復(fù)習(xí)時需圍繞“概念—性質(zhì)—應(yīng)用”展開，注重邏輯嚴謹性與方法實用性的結(jié)合。本文將系統(tǒng)梳理函數(shù)專題的核心內(nèi)容，并通過典型例題解析，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識體系。二、函數(shù)的基本概念與要素分析函數(shù)的三要素：定義域（輸入范圍）、值域（輸出范圍）、對應(yīng)法則（變量間的映射關(guān)系）。三者缺一不可，其中對應(yīng)法則是核心，定義域是前提。（一）定義域的求法與典型例題定義域是函數(shù)的“輸入門檻”，求解時需遵循以下規(guī)則：1.分式：分母≠0；2.偶次根式：被開方數(shù)≥0；3.對數(shù)：真數(shù)>0，底數(shù)>0且≠1；4.復(fù)合函數(shù)：逐層求解，取交集。例1求函數(shù)\(f(x)=\frac{\sqrt{x-1}}{x-2}\)的定義域。解：偶次根式要求\(x-1\geq0\)，即\(x\geq1\)；分式要求分母\(x-2\neq0\)，即\(x\neq2\)；取交集得定義域：\([1,2)\cup(2,+\infty)\)。例2求函數(shù)\(f(x)=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域。解：對數(shù)真數(shù)需>0，即\(x^2-3x+2>0\)，解得\(x<1\)或\(x>2\)，故定義域：\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)。（二）值域的求法與典型例題值域是函數(shù)的“輸出結(jié)果集”，常見方法如下：1.配方法：適用于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的函數(shù)；2.換元法：適用于含根式、指數(shù)的復(fù)合函數(shù)（如\(f(x)=x+\sqrt{x-1}\)）；3.單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域（如\(f(x)=e^x+1\)在\(\mathbb{R}\)上遞增）；4.判別式法：適用于分式函數(shù)（如\(f(x)=\frac{x^2+1}{x^2-1}\)）。例3求函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)的值域。解：配方得\(f(x)=(x-1)^2+2\)，因\((x-1)^2\geq0\)，故值域：\([2,+\infty)\)。例4求函數(shù)\(f(x)=x+\sqrt{x-1}\)的值域。解：令\(t=\sqrt{x-1}\)（\(t\geq0\)），則\(x=t^2+1\)，代入得：\(f(t)=t^2+1+t=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)。因\(t\geq0\)，故\(f(t)\geq\frac{3}{4}\)，值域：\([\frac{3}{4},+\infty)\)。（三）對應(yīng)法則與同一函數(shù)的判斷同一函數(shù)的條件：定義域相同且對應(yīng)法則一致（與變量符號無關(guān)）。例5判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：（1）\(f(x)=x\)與\(g(x)=\sqrt{x^2}\)；（2）\(f(x)=\lnx^2\)與\(g(x)=2\ln|x|\)。解：（1）\(g(x)=|x|\)，對應(yīng)法則與\(f(x)=x\)不同，不是同一函數(shù)；（2）\(f(x)=\lnx^2=2\ln|x|\)，定義域均為\(x\neq0\)，是同一函數(shù)。三、函數(shù)的基本性質(zhì)與應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)是研究函數(shù)的“工具”，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性。（一）單調(diào)性：定義、證明與應(yīng)用定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對任意\(x_1<x_2\inI\)，恒有\(zhòng)(f(x_1)<f(x_2)\)（或\(f(x_1)>f(x_2)\)），則稱\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增（或遞減）。證明步驟：取值→作差→變形→定號→結(jié)論（變形的目的是判斷差的符號，常用因式分解、配方）。例6證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。證明：任取\(1<x_1<x_2\)，則：\[f(x_2)-f(x_1)=(x_2+\frac{1}{x_2})-(x_1+\frac{1}{x_1})=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)(1-\frac{1}{x_1x_2}).\]因\(x_2-x_1>0\)，\(x_1x_2>1\)，故\(1-\frac{1}{x_1x_2}>0\)，因此\(f(x_2)>f(x_1)\)，即\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上遞增。應(yīng)用：利用單調(diào)性解不等式（如\(f(x_1)>f(x_2)\Rightarrowx_1>x_2\)，需保證\(f(x)\)單調(diào)）。（二）奇偶性：定義、判斷與對稱性定義：奇函數(shù)：\(f(-x)=-f(x)\)（定義域關(guān)于原點對稱）；偶函數(shù)：\(f(-x)=f(x)\)（定義域關(guān)于原點對稱）。判斷步驟：1.先看定義域是否關(guān)于原點對稱（若不對稱，直接排除）；2.計算\(f(-x)\)，與\(f(x)\)比較。例7判斷函數(shù)\(f(x)=x^3+\sinx\)的奇偶性。解：定義域為\(\mathbb{R}\)（關(guān)于原點對稱），計算\(f(-x)=(-x)^3+\sin(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)\)，故\(f(x)\)是奇函數(shù)。對稱性：奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱。（三）周期性：定義、常見類型與計算定義：若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對任意\(x\in\text{定義域}\)，有\(zhòng)(f(x+T)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為周期（最小正周期是指最小的正數(shù)周期）。常見周期函數(shù)：正弦函數(shù)\(\sinx\)：周期\(2\pi\)；余弦函數(shù)\(\cosx\)：周期\(2\pi\)；正切函數(shù)\(\tanx\)：周期\(\pi\)。例8已知\(f(x+2)=-f(x)\)，求\(f(x)\)的周期。解：\(f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)\)，故周期\(T=4\)。（四）對稱性：軸對稱與中心對稱軸對稱：若\(f(a+x)=f(a-x)\)，則\(f(x)\)關(guān)于直線\(x=a\)對稱（如二次函數(shù)\(f(x)=(x-1)^2\)關(guān)于\(x=1\)對稱）；中心對稱：若\(f(a+x)=-f(a-x)\)，則\(f(x)\)關(guān)于點\((a,0)\)對稱（如奇函數(shù)關(guān)于原點\((0,0)\)對稱）。例9已知\(f(2+x)=f(2-x)\)，且\(f(0)=3\)，求\(f(4)\)的值。解：\(f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=3\)。四、常見函數(shù)類型的性質(zhì)與典型問題高中階段需重點掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。（一）二次函數(shù)：圖像、最值與區(qū)間問題二次函數(shù)的一般形式：\(f(x)=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），頂點式：\(f(x)=a(x-h)^2+k\)（頂點\((h,k)\)，對稱軸\(x=h\)）。最值規(guī)律：\(a>0\)：最小值為\(k\)（頂點處）；\(a<0\)：最大值為\(k\)（頂點處）。例10求函數(shù)\(f(x)=-x^2+2x+3\)在區(qū)間\([0,3]\)上的最值。解：頂點式為\(f(x)=-(x-1)^2+4\)，對稱軸\(x=1\in[0,3]\)，故最大值為\(4\)（頂點）；端點值：\(f(0)=3\)，\(f(3)=0\)，故最小值為\(0\)。例11（含參數(shù)的區(qū)間最值）求函數(shù)\(f(x)=x^2+ax+1\)在\([0,2]\)上的最小值。解：對稱軸\(x=-\frac{a}{2}\)，分三類討論：1.\(-\frac{a}{2}\leq0\)（\(a\geq0\)）：函數(shù)在\([0,2]\)遞增，最小值\(f(0)=1\)；2.\(0<-\frac{a}{2}<2\)（\(-4<a<0\)）：最小值為頂點值\(f(-\frac{a}{2})=1-\frac{a^2}{4}\)；3.\(-\frac{a}{2}\geq2\)（\(a\leq-4\)）：函數(shù)在\([0,2]\)遞減，最小值\(f(2)=5+2a\)。（二）指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)：單調(diào)性與大小比較指數(shù)函數(shù)：\(f(x)=a^x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）；\(a>1\)：單調(diào)遞增（如\(2^x\)）；\(0<a<1\)：單調(diào)遞減（如\((1/2)^x\)）。對數(shù)函數(shù)：\(f(x)=\log_ax\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）；\(a>1\)：單調(diào)遞增（如\(\log_2x\)）；\(0<a<1\)：單調(diào)遞減（如\(\log_{1/2}x\)）。例12比較\(2^{0.3}\)與\(0.3^2\)的大小。解：\(2^{0.3}>2^0=1\)，\(0.3^2=0.09<1\)，故\(2^{0.3}>0.3^2\)。例13解不等式\(\log_2(x-1)>1\)。解：\(\log_2(x-1)>\log_22\)，因\(\log_2x\)遞增，故\(x-1>2\)，解得\(x>3\)，解集：\((3,+\infty)\)。（三）冪函數(shù)：圖像特征與指數(shù)影響冪函數(shù)的一般形式：\(f(x)=x^\alpha\)（\(\alpha\in\mathbb{R}\)），圖像隨\(\alpha\)變化而變化：\(\alpha>0\)：圖像過原點，在\((0,+\infty)\)遞增（如\(x^2,x^{1/2}\)）；\(\alpha<0\)：圖像不過原點，在\((0,+\infty)\)遞減（如\(x^{-1}=1/x\)）。例14比較\(3^{1/3}\)與\(2^{1/2}\)的大小。解：兩邊取6次方（正數(shù)冪函數(shù)單調(diào)遞增）：\((3^{1/3})^6=3^2=9\)，\((2^{1/2})^6=2^3=8\)，故\(3^{1/3}>2^{1/2}\)。五、函數(shù)的綜合應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用主要涉及函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式、函數(shù)與實際問題三大類。（一）函數(shù)與方程：零點存在定理與二分法零點定義：若\(f(a)=0\)，則\(a\)為\(f(x)\)的零點（即方程\(f(x)=0\)的根）。零點存在定理：若函數(shù)\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)至少有一個零點。例15判斷函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)在\((1,2)\)內(nèi)是否有零點。解：\(f(1)=1-3+1=-1<0\)，\(f(2)=8-6+1=3>0\)，且\(f(x)\)在\([1,2]\)連續(xù)，故\((1,2)\)內(nèi)有零點。（二）函數(shù)與不等式：單調(diào)性解不等式利用函數(shù)的單調(diào)性，可將不等式\(f(x_1)>f(x_2)\)轉(zhuǎn)化為\(x_1>x_2\)（或\(x_1<x_2\)）。例16解不等式\(2^{x^2-3x}>2^{2x-6}\)。解：\(2^x\)單調(diào)遞增，故\(x^2-3x>2x-6\)，即\(x^2-5x+6>0\)，解得\(x<2\)或\(x>3\)，解集：\((-\infty,2)\cup(3,+\infty)\)。（三）函數(shù)與實際問題：建模與優(yōu)化步驟：設(shè)變量→建立函數(shù)模型→求函數(shù)最值（常用二次函數(shù)配方法、導(dǎo)數(shù)法）。例17某工廠生產(chǎn)\(x\)件產(chǎn)品，成本函數(shù)為\(C(x)=x^2+10x+50\)（元），收入