分數(shù)階偏微分方程：二階時間逼近格式下有限元方法的深度剖析與應用一、引言1.1研究背景與意義分數(shù)階偏微分方程作為傳統(tǒng)整數(shù)階偏微分方程的拓展，近年來在眾多科學與工程領域展現(xiàn)出了獨特的應用價值。其核心優(yōu)勢在于能夠精準刻畫各類復雜現(xiàn)象的非局部性與記憶特性，這些特性在傳統(tǒng)整數(shù)階模型中往往難以被充分描述。在物理學領域，分數(shù)階偏微分方程廣泛應用于反常擴散過程的研究。例如，在描述多孔介質(zhì)中流體的擴散行為時，由于介質(zhì)結構的復雜性，流體粒子的運動軌跡不再遵循傳統(tǒng)的布朗運動模式，而是呈現(xiàn)出長程相關性和非高斯統(tǒng)計特性。分數(shù)階擴散方程能夠準確捕捉這些特性，為研究人員深入理解多孔介質(zhì)中物質(zhì)傳輸機制提供了有力工具。在描述具有復雜內(nèi)部結構材料的熱傳導過程時，傳統(tǒng)熱傳導方程假設熱流僅依賴于當前時刻的溫度梯度，而實際材料中的熱傳導可能受到材料微觀結構、缺陷等因素的影響，具有記憶效應。分數(shù)階熱傳導方程通過引入分數(shù)階導數(shù)，可以有效考慮這些歷史因素對熱傳導過程的影響，從而更準確地預測材料的熱性能。在生物學領域，分數(shù)階偏微分方程為生物系統(tǒng)的建模提供了新的視角。以神經(jīng)傳導研究為例，神經(jīng)元之間的信號傳遞并非簡單的瞬間完成，而是存在著復雜的時間延遲和空間相互作用。分數(shù)階導數(shù)能夠描述神經(jīng)元對過去輸入信號的記憶效應，以及信號在神經(jīng)纖維中傳播時的非局部特性，從而為構建更真實的神經(jīng)傳導模型奠定基礎。在描述腫瘤生長過程中，腫瘤細胞的增殖、遷移和侵襲行為受到多種因素的綜合影響，具有復雜的時空動態(tài)特性。分數(shù)階偏微分方程可以考慮腫瘤細胞與周圍微環(huán)境之間的長程相互作用，以及腫瘤生長過程中的歷史依賴性，為腫瘤生長的數(shù)學建模和預測提供更有效的方法。在金融學領域，分數(shù)階偏微分方程在期權定價、風險評估等方面具有重要應用。金融市場的波動往往呈現(xiàn)出復雜的非正態(tài)分布和長期記憶性，傳統(tǒng)的金融模型難以準確描述這些特征。分數(shù)階微積分理論能夠更好地刻畫金融時間序列的非局部相關性和長期記憶特性，基于分數(shù)階偏微分方程的期權定價模型可以更準確地反映市場的實際情況，為投資者提供更合理的決策依據(jù)。在風險評估中，分數(shù)階偏微分方程可以考慮多種風險因素之間的復雜相互作用，以及風險隨時間的積累和傳播特性，提高風險評估的準確性和可靠性。盡管分數(shù)階偏微分方程在理論研究和實際應用中取得了顯著進展，但由于其分數(shù)階導數(shù)的非局部性和復雜性，求解過程面臨著巨大挑戰(zhàn)。與整數(shù)階偏微分方程相比，分數(shù)階偏微分方程的解析解往往難以獲得，這使得數(shù)值方法成為求解分數(shù)階偏微分方程的主要手段。在眾多數(shù)值方法中，有限元方法因其對復雜幾何區(qū)域的良好適應性、靈活性以及強大的理論基礎，成為求解分數(shù)階偏微分方程的常用選擇之一。有限元方法通過將求解區(qū)域離散化為有限個單元，并在每個單元上構造近似解，從而實現(xiàn)對整個區(qū)域的逼近求解。然而，傳統(tǒng)的有限元方法在處理分數(shù)階偏微分方程時，由于分數(shù)階導數(shù)的特殊性質(zhì)，可能會導致計算精度較低、計算效率不高以及數(shù)值穩(wěn)定性差等問題。為了克服這些問題，研究基于二階時間逼近格式的有限元方法具有重要的理論意義和實際應用價值。二階時間逼近格式能夠在時間方向上提供更高的逼近精度，有效提高數(shù)值解的準確性。通過結合二階時間逼近格式和有限元方法，可以充分發(fā)揮兩者的優(yōu)勢，實現(xiàn)對分數(shù)階偏微分方程的高效、高精度求解。這不僅有助于深入理解分數(shù)階偏微分方程所描述的復雜物理現(xiàn)象的本質(zhì)規(guī)律，還能為相關科學與工程領域的實際應用提供更可靠的數(shù)值模擬工具，推動相關領域的進一步發(fā)展。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀分數(shù)階偏微分方程的數(shù)值解法研究在國內(nèi)外均受到了廣泛關注，眾多學者致力于開發(fā)高效、高精度的求解方法，其中二階時間逼近格式與有限元方法的結合成為研究熱點之一。在國外，許多知名研究團隊在這一領域取得了豐碩成果。如[學者姓名1]等人在[具體文獻1]中，針對時間分數(shù)階擴散方程，提出了一種基于二階向后差分公式（BDF2）的有限元方法。他們通過理論分析嚴格證明了該方法在時間方向上具有二階精度，在空間方向上具有與有限元插值函數(shù)相關的精度。在數(shù)值實驗部分，詳細對比了不同網(wǎng)格尺寸和時間步長下數(shù)值解與精確解的誤差，結果表明該方法在各種條件下都能保持較高的精度，有效提高了時間分數(shù)階擴散方程的求解效率和準確性。[學者姓名2]在[具體文獻2]中研究了分數(shù)階波動方程，采用了基于L1-2格式的有限元方法進行求解。L1-2格式是一種具有二階時間精度的逼近格式，通過巧妙構造離散化的分數(shù)階導數(shù)近似公式，克服了分數(shù)階導數(shù)非局部性帶來的計算困難。通過對不同邊界條件和初始條件下分數(shù)階波動方程的數(shù)值模擬，深入分析了該方法的穩(wěn)定性和收斂性，為分數(shù)階波動方程的數(shù)值求解提供了新的有效途徑。國內(nèi)學者在分數(shù)階偏微分方程基于二階時間逼近格式的有限元方法研究方面也展現(xiàn)出強勁的研究實力，取得了一系列具有重要理論意義和實際應用價值的成果。王雅君在論文《分數(shù)階偏微分方程的基于二階時間逼近格式的有限元方法》中，利用兩類二階時間逼近格式結合有限元方法數(shù)值求解含有時間分數(shù)階導數(shù)的非線性Cable方程和含有時空分數(shù)階導數(shù)的一類非線性偏微分方程。對于非線性時間分數(shù)階Cable方程，在t^{k-\alpha/2}時間點處，用一個帶有參數(shù)\alpha的兩步格式來近似整數(shù)階時間導數(shù)，采用具有2階精度的加權離散格式來近似Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù)，并利用Galerkin有限元法進行空間方向離散，形成時間二階逼近的有限元數(shù)值方法。不僅給出了相關數(shù)值理論，證明了格式的穩(wěn)定性，還得到基于L^2模意義下的帶有O(\Deltat^2+（1+\Deltat^{-\alpha}）h^{m+1})精度的誤差估計結果，并通過算例給出數(shù)值驗證。針對含有時空分數(shù)階導數(shù)的一類偏微分方程，利用二階WSGD逼近結合有限元數(shù)值方法進行求解，給出了詳細的數(shù)值計算過程，并通過三類數(shù)值例子對格式進行有效驗證，數(shù)值結果顯示該數(shù)值格式具有二階近似精度。[學者姓名3]等在[具體文獻3]中針對分數(shù)階對流-擴散方程，提出了一種改進的二階時間逼近有限元方法。該方法在傳統(tǒng)有限元方法的基礎上，對時間離散格式進行了精心設計，通過引入新的時間插值函數(shù)和數(shù)值積分方法，進一步提高了時間方向上的逼近精度。通過大量數(shù)值實驗，對不同類型的分數(shù)階對流-擴散問題進行了模擬，與其他傳統(tǒng)方法進行對比，結果表明該改進方法在處理復雜對流-擴散現(xiàn)象時具有更高的精度和更好的穩(wěn)定性，能夠更準確地捕捉物理量的時空變化特性。盡管國內(nèi)外在該領域已取得顯著進展，但仍存在一些亟待解決的問題。例如，對于高維復雜幾何區(qū)域上的分數(shù)階偏微分方程，如何在保證二階時間精度的同時，高效地處理復雜邊界條件和實現(xiàn)快速計算，仍然是一個具有挑戰(zhàn)性的問題。此外，對于非線性分數(shù)階偏微分方程，現(xiàn)有的二階時間逼近有限元方法在處理強非線性項時，可能會出現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定性差和計算精度下降的問題，需要進一步研究新的數(shù)值算法和技巧來加以解決。在多物理場耦合的分數(shù)階偏微分方程問題中，如何有效地結合不同物理場的特性，開發(fā)高精度、高效率的二階時間逼近有限元方法，也是未來研究的重要方向之一。1.3研究內(nèi)容與方法本文聚焦于分數(shù)階偏微分方程，深入探究基于二階時間逼近格式的有限元方法，具體研究內(nèi)容如下：特定分數(shù)階偏微分方程的選取與分析：選定在科學與工程領域具有典型代表性的分數(shù)階偏微分方程，如時間分數(shù)階擴散方程、分數(shù)階波動方程以及時空分數(shù)階對流-擴散方程等。深入剖析這些方程的數(shù)學特性，包括方程中分數(shù)階導數(shù)的定義、性質(zhì)以及其對整個方程解的影響機制。明確方程所描述的物理現(xiàn)象本質(zhì)，例如時間分數(shù)階擴散方程中反常擴散現(xiàn)象與傳統(tǒng)擴散現(xiàn)象的區(qū)別，以及分數(shù)階波動方程中波動傳播特性與整數(shù)階波動方程的差異等，為后續(xù)數(shù)值方法的構建和分析奠定堅實基礎。二階時間逼近格式的構建與有限元離散：針對選定的分數(shù)階偏微分方程，精心構建具有二階精度的時間逼近格式?；诙A向后差分公式（BDF2）、L1-2格式或其他創(chuàng)新的二階時間離散方法，推導其在分數(shù)階偏微分方程中的應用形式，確保在時間方向上能夠提供高精度的逼近。結合有限元方法，對空間區(qū)域進行合理離散。根據(jù)求解區(qū)域的幾何形狀和邊界條件，選擇合適的有限元單元類型，如三角形單元、四邊形單元等，并確定相應的插值函數(shù)。詳細推導有限元離散化過程，將分數(shù)階偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，實現(xiàn)空間與時間的全面離散。數(shù)值方法的理論分析：對構建的基于二階時間逼近格式的有限元方法展開嚴謹?shù)睦碚摲治?。從穩(wěn)定性、收斂性和誤差估計等方面進行深入研究。運用能量估計法、離散Gronwall不等式等數(shù)學工具，證明該數(shù)值方法在一定條件下的穩(wěn)定性，確保數(shù)值解在計算過程中不會出現(xiàn)無界增長或劇烈波動等不穩(wěn)定現(xiàn)象。通過細致的數(shù)學推導，得出方法的收斂性結論，明確隨著網(wǎng)格尺寸和時間步長的減小，數(shù)值解能夠收斂到精確解的條件和速率。進一步進行誤差估計，給出數(shù)值解與精確解之間誤差的上界表達式，為評估數(shù)值方法的精度提供量化依據(jù)。數(shù)值實驗與實際應用案例分析：設計并開展豐富的數(shù)值實驗，以驗證所提出數(shù)值方法的有效性和優(yōu)越性。在實驗中，系統(tǒng)地改變網(wǎng)格尺寸、時間步長等參數(shù)，全面分析數(shù)值解的精度和計算效率變化情況。將數(shù)值解與已知的精確解或其他可靠的數(shù)值結果進行對比，直觀展示方法在不同條件下的準確性。針對實際工程或科學問題，選取具有代表性的應用案例，如多孔介質(zhì)中污染物的擴散模擬、地震波在非均勻介質(zhì)中的傳播模擬等。將基于二階時間逼近格式的有限元方法應用于這些實際案例中，通過數(shù)值模擬結果深入分析實際問題中的物理過程，為實際問題的解決提供有力的數(shù)值支持和理論參考。為實現(xiàn)上述研究內(nèi)容，本文將采用以下研究方法：數(shù)學推導與理論分析：基于分數(shù)階微積分理論、偏微分方程數(shù)值解法以及有限元方法的基本原理，通過嚴密的數(shù)學推導，構建二階時間逼近格式與有限元方法相結合的數(shù)值算法，并深入分析其穩(wěn)定性、收斂性和誤差估計等理論性質(zhì)。運用各種數(shù)學工具和不等式，如能量估計法中的能量范數(shù)定義和計算、離散Gronwall不等式的應用條件和推導過程等，對數(shù)值方法進行嚴格的理論論證，確保方法的可靠性和有效性。數(shù)值實驗與計算模擬：利用數(shù)值計算軟件，如MATLAB、COMSOL等，編寫實現(xiàn)基于二階時間逼近格式的有限元方法的計算程序。通過數(shù)值實驗，系統(tǒng)地研究不同參數(shù)對數(shù)值解的影響，全面評估方法的性能表現(xiàn)。在數(shù)值實驗中，詳細記錄和分析數(shù)值結果，包括數(shù)值解的精度、計算時間、內(nèi)存消耗等指標，通過繪制圖表、對比數(shù)據(jù)等方式直觀展示方法的優(yōu)勢和不足。對于實際應用案例，根據(jù)具體問題的物理背景和數(shù)學模型，建立準確的數(shù)值計算模型，進行詳細的計算模擬，為實際問題的分析和解決提供數(shù)據(jù)支持。對比分析與優(yōu)化改進：將本文提出的基于二階時間逼近格式的有限元方法與其他已有的分數(shù)階偏微分方程數(shù)值方法進行全面對比分析，從精度、效率、穩(wěn)定性等多個角度進行綜合評估。通過對比，明確本文方法的優(yōu)勢和不足之處，針對存在的問題提出針對性的優(yōu)化改進措施。借鑒其他相關領域的先進算法和技術，如自適應網(wǎng)格技術、并行計算技術等，對數(shù)值方法進行優(yōu)化，進一步提高其計算效率和精度，拓展方法的應用范圍。二、分數(shù)階偏微分方程與有限元方法基礎2.1分數(shù)階偏微分方程概述2.1.1定義與分類分數(shù)階偏微分方程是一類將傳統(tǒng)整數(shù)階偏微分方程中的導數(shù)拓展到分數(shù)階的方程，其嚴格定義基于分數(shù)階微積分理論。分數(shù)階微積分是對傳統(tǒng)整數(shù)階微積分的推廣，它允許導數(shù)和積分的階數(shù)為非整數(shù)。在分數(shù)階偏微分方程中，常見的分數(shù)階導數(shù)定義包括Riemann-Liouville導數(shù)、Caputo導數(shù)、Grünwald-Letnikov導數(shù)等，不同的定義在物理意義和數(shù)學性質(zhì)上存在一定差異。以Riemann-Liouville導數(shù)為例，對于函數(shù)u(x,t)，關于時間t的\alpha階Riemann-Liouville導數(shù)定義為：_{RL}D_{t}^{\alpha}u(x,t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\partial^{n}}{\partialt^{n}}\int_{0}^{t}\frac{u(x,\tau)}{(t-\tau)^{\alpha-n+1}}d\tau其中，\Gamma(\cdot)為Gamma函數(shù)，n-1\lt\alpha\leqn，n\inN。該定義體現(xiàn)了分數(shù)階導數(shù)的非局部性，即當前時刻的導數(shù)不僅依賴于當前時刻的函數(shù)值，還與過去所有時刻的函數(shù)值有關。Caputo導數(shù)的定義為：_{C}D_{t}^{\alpha}u(x,t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{0}^{t}\frac{u^{(n)}(x,\tau)}{(t-\tau)^{\alpha-n+1}}d\tau同樣n-1\lt\alpha\leqn，n\inN。Caputo導數(shù)與Riemann-Liouville導數(shù)的主要區(qū)別在于求導順序，Caputo導數(shù)先對函數(shù)進行整數(shù)階求導，再進行分數(shù)階積分，這使得Caputo導數(shù)在處理具有初始條件的問題時具有更好的物理意義，因為它更符合實際問題中對初始狀態(tài)的依賴特性。根據(jù)分數(shù)階導數(shù)出現(xiàn)的位置，分數(shù)階偏微分方程可分為時間分數(shù)階偏微分方程、空間分數(shù)階偏微分方程和時空分數(shù)階偏微分方程。時間分數(shù)階偏微分方程中，分數(shù)階導數(shù)僅出現(xiàn)在時間變量上，用于描述系統(tǒng)的記憶效應和長期行為。例如，時間分數(shù)階擴散方程：\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}=D\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}+f(x,t)其中，0\lt\alpha\lt1，D為擴散系數(shù)，f(x,t)為源項。與傳統(tǒng)的整數(shù)階擴散方程相比，時間分數(shù)階擴散方程能夠更準確地描述一些具有記憶特性的擴散過程，如在多孔介質(zhì)中流體的擴散，由于介質(zhì)的復雜結構，流體粒子的擴散行為受到過去歷史狀態(tài)的影響，時間分數(shù)階擴散方程可以通過分數(shù)階導數(shù)來捕捉這種記憶效應?？臻g分數(shù)階偏微分方程中，分數(shù)階導數(shù)僅出現(xiàn)在空間變量上，用于刻畫物理過程的非局部空間特性。以空間分數(shù)階波動方程為例：\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialt^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialx^{\alpha}}+g(x,t)其中，1\lt\alpha\lt2，c為波速，g(x,t)為外力項。該方程可以描述在具有非均勻介質(zhì)或復雜邊界條件下的波動傳播現(xiàn)象，由于空間分數(shù)階導數(shù)的存在，波的傳播不再局限于傳統(tǒng)的局部鄰域，而是具有一定的長程相關性，能夠反映出介質(zhì)中遠距離位置之間的相互作用。時空分數(shù)階偏微分方程則同時包含時間和空間方向的分數(shù)階導數(shù)，綜合考慮了系統(tǒng)的時間記憶性和空間非局部性，能夠描述更為復雜的物理現(xiàn)象。例如時空分數(shù)階對流-擴散方程：\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}+v\frac{\partial^{\beta}u(x,t)}{\partialx^{\beta}}=D\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}+h(x,t)其中，0\lt\alpha\leq1，1\lt\beta\leq2，v為對流速度，D為擴散系數(shù)，h(x,t)為源項。這種方程在描述具有復雜流動和擴散過程的物理問題時具有重要應用，如在大氣污染物擴散模型中，污染物的傳輸既受到大氣流動（對流）的影響，又存在擴散現(xiàn)象，同時大氣的復雜結構和動態(tài)變化使得污染物的擴散具有時間記憶性和空間非局部性，時空分數(shù)階對流-擴散方程能夠更全面地反映這些特性。2.1.2物理背景與應用領域分數(shù)階偏微分方程在眾多領域有著廣泛的應用，其根源在于能夠精確刻畫各種復雜的物理現(xiàn)象，這些現(xiàn)象往往具有非局部性和記憶特性，難以用傳統(tǒng)整數(shù)階偏微分方程描述。在物理學領域，分數(shù)階偏微分方程在熱傳導和波傳播等現(xiàn)象的研究中發(fā)揮著關鍵作用。傳統(tǒng)的整數(shù)階熱傳導方程基于傅里葉定律，假設熱流密度與溫度梯度成正比，僅考慮了當前時刻的局部信息。然而，在一些實際材料中，熱傳導過程存在記憶效應，例如具有復雜微觀結構的材料，熱量的傳播不僅取決于當前的溫度梯度，還與過去的溫度歷史有關。分數(shù)階熱傳導方程通過引入分數(shù)階導數(shù)，能夠有效地描述這種記憶特性，更準確地預測材料在不同熱邊界條件下的溫度分布和熱傳遞過程。在波傳播方面，分數(shù)階波動方程為研究復雜介質(zhì)中的波行為提供了有力工具。在傳統(tǒng)的整數(shù)階波動方程中，波的傳播特性主要由介質(zhì)的局部性質(zhì)決定，如波速、密度等。但在一些特殊介質(zhì)，如具有粘彈性或多孔結構的材料中，波的傳播會受到介質(zhì)內(nèi)部微觀結構和長程相互作用的影響，導致波的衰減、色散等現(xiàn)象與傳統(tǒng)理論預測存在差異。分數(shù)階波動方程能夠考慮這些非局部因素，通過分數(shù)階導數(shù)描述波在傳播過程中與介質(zhì)的復雜相互作用，從而更準確地解釋和預測波在這些復雜介質(zhì)中的傳播行為，對于地震波傳播、聲波在生物組織中的傳播等研究具有重要意義。在工程領域，分數(shù)階偏微分方程在信號處理、控制理論和材料科學等方面展現(xiàn)出獨特的優(yōu)勢。在信號處理中，許多實際信號具有長程相關性和非平穩(wěn)特性，傳統(tǒng)的信號處理方法基于局部分析和整數(shù)階模型，難以充分捕捉這些信號的特征。分數(shù)階微積分理論為信號處理提供了新的視角，分數(shù)階偏微分方程可以用于描述信號的時間演化和空間分布特性，通過分數(shù)階導數(shù)對信號中的非局部信息進行建模，實現(xiàn)對復雜信號的高效分析和處理，如在圖像去噪、特征提取和信號壓縮等方面取得了良好的效果。在控制理論中，分數(shù)階控制器相較于傳統(tǒng)整數(shù)階控制器具有更好的控制性能。傳統(tǒng)的PID控制器通過比例、積分和微分三個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)進行控制，其積分和微分環(huán)節(jié)為整數(shù)階。而分數(shù)階PID控制器引入了分數(shù)階積分和微分，能夠更靈活地調(diào)整控制器的參數(shù)，以適應具有不同動態(tài)特性和復雜干擾的控制系統(tǒng)。分數(shù)階控制器可以利用分數(shù)階導數(shù)的非局部性和記憶特性，對系統(tǒng)的歷史信息進行更全面的利用，從而實現(xiàn)更精確的控制，在工業(yè)過程控制、機器人控制和電力系統(tǒng)控制等領域得到了廣泛的研究和應用。在材料科學中，分數(shù)階偏微分方程可用于研究材料的力學性能和微觀結構之間的關系。材料的力學行為往往受到其內(nèi)部微觀結構的影響，如位錯、晶界和孔隙等，這些微觀結構導致材料的力學響應具有非局部性和記憶效應。分數(shù)階偏微分方程能夠考慮這些因素，通過建立分數(shù)階本構模型來描述材料在不同加載條件下的應力-應變關系，為材料的設計和性能優(yōu)化提供理論依據(jù)。在研究形狀記憶合金的相變過程時，分數(shù)階偏微分方程可以描述相變過程中的熱-力學耦合效應以及材料對歷史加載路徑的記憶特性，有助于深入理解形狀記憶合金的工作原理，開發(fā)具有更好性能的材料。在生物學領域，分數(shù)階偏微分方程為生物系統(tǒng)的建模提供了新的思路。生物系統(tǒng)具有高度的復雜性和非線性，許多生物過程表現(xiàn)出非局部性和記憶特性。以神經(jīng)傳導為例，神經(jīng)元之間的信號傳遞并非簡單的瞬間完成，而是存在著復雜的時間延遲和空間相互作用。傳統(tǒng)的神經(jīng)傳導模型基于整數(shù)階偏微分方程，難以準確描述神經(jīng)元對過去輸入信號的記憶效應以及信號在神經(jīng)纖維中傳播時的非局部特性。分數(shù)階偏微分方程可以通過分數(shù)階導數(shù)來考慮這些因素，建立更符合實際的神經(jīng)傳導模型，有助于深入研究神經(jīng)系統(tǒng)的信息處理機制，理解大腦的認知和學習過程。在生物種群動態(tài)研究中，分數(shù)階偏微分方程也具有重要應用。種群的增長和擴散受到多種因素的影響，如資源的分布、環(huán)境的變化以及種群個體之間的相互作用等，這些因素使得種群動態(tài)具有復雜的時空特性。分數(shù)階偏微分方程能夠描述種群在空間中的非均勻擴散以及對過去環(huán)境條件的記憶效應，通過建立分數(shù)階種群模型，可以更準確地預測種群的數(shù)量變化和分布格局，為生態(tài)保護和生物資源管理提供科學依據(jù)。2.2有限元方法基本原理2.2.1基本思想有限元方法的基本思想是將一個連續(xù)的求解區(qū)域離散化為有限個相互連接的小單元，這些單元通過節(jié)點相互關聯(lián)，形成一個離散的計算模型。在每個小單元內(nèi)，采用簡單的函數(shù)（通常是多項式函數(shù)）來近似表示待求解的未知函數(shù)。這些近似函數(shù)，也稱為形函數(shù)，在單元內(nèi)部具有簡單的數(shù)學形式，能夠方便地進行各種數(shù)學運算。通過這種離散化和近似處理，將原本在連續(xù)區(qū)域上求解的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為在有限個單元和節(jié)點上求解的代數(shù)方程組問題。這種轉(zhuǎn)化使得復雜的偏微分方程求解能夠通過計算機進行數(shù)值計算，大大提高了求解的可行性和效率。以二維平面問題為例，考慮一個求解區(qū)域為復雜形狀的薄板，假設需要求解薄板在受到外部載荷作用下的應力和應變分布。首先，將薄板劃分成大量的三角形或四邊形單元，這些單元緊密拼接，覆蓋整個薄板區(qū)域。在每個單元內(nèi)，假設位移函數(shù)為簡單的線性或二次多項式。對于三角形單元，通常采用線性位移函數(shù)，該函數(shù)在單元的三個節(jié)點上具有確定的值，通過節(jié)點位移來確定單元內(nèi)任意點的位移。通過這種方式，將整個薄板的連續(xù)位移場用各個單元內(nèi)的近似位移函數(shù)來表示。然后，根據(jù)力學原理，如虛功原理或最小勢能原理，建立每個單元的力學平衡方程，這些方程將單元節(jié)點的位移與作用在單元上的載荷聯(lián)系起來。將所有單元的方程組裝起來，形成整個薄板結構的總體平衡方程，這是一個以節(jié)點位移為未知量的大型代數(shù)方程組。最后，通過求解這個代數(shù)方程組，得到節(jié)點的位移值，進而根據(jù)幾何關系和本構關系計算出單元內(nèi)的應力和應變分布，從而得到整個薄板在載荷作用下的力學響應。這種從連續(xù)到離散、從偏微分方程到代數(shù)方程組的轉(zhuǎn)化過程，是有限元方法的核心。它將復雜的連續(xù)介質(zhì)問題分解為多個簡單的小單元問題，通過對小單元的精確分析和組合，實現(xiàn)對整體問題的有效求解。離散化后的模型能夠靈活地適應各種復雜的幾何形狀和邊界條件，因為可以根據(jù)求解區(qū)域的形狀和特點，靈活選擇單元的類型、大小和分布。近似函數(shù)的選擇雖然是一種簡化，但在合理的條件下能夠保證足夠的精度，通過增加單元數(shù)量和提高近似函數(shù)的階數(shù)，可以不斷提高計算結果的準確性，逼近真實解。2.2.2求解步驟區(qū)域離散：將求解區(qū)域\Omega劃分成有限個互不重疊的單元，這些單元的形狀和大小可以根據(jù)求解區(qū)域的幾何特征和計算精度要求進行靈活選擇。在二維問題中，常見的單元形狀有三角形單元和四邊形單元。三角形單元具有良好的適應性，能夠較好地擬合復雜的邊界形狀，尤其適用于邊界不規(guī)則的求解區(qū)域。它的節(jié)點數(shù)較少，計算相對簡單，但在同樣的計算精度要求下，可能需要更多的單元數(shù)量來達到與四邊形單元相同的精度。四邊形單元在處理規(guī)則區(qū)域時具有較高的計算效率，其單元內(nèi)的插值函數(shù)通常具有更好的光滑性，能夠在較少的單元數(shù)量下獲得較高的精度。在三維問題中，常用的單元有四面體單元、六面體單元等。四面體單元類似于二維的三角形單元，對復雜幾何形狀的適應性強，但計算精度相對較低；六面體單元則在處理規(guī)則三維結構時表現(xiàn)出優(yōu)勢，能夠提供較高的計算精度，但對復雜邊界的擬合能力相對較弱。單元之間通過節(jié)點相互連接，節(jié)點的分布和數(shù)量也會影響計算結果的精度和效率。在劃分網(wǎng)格時，需要綜合考慮求解區(qū)域的幾何形狀、邊界條件以及計算精度要求等因素，合理確定單元類型、大小和節(jié)點分布。對于幾何形狀復雜的區(qū)域，如具有彎曲邊界或內(nèi)部有孔洞的區(qū)域，需要在邊界附近和孔洞周圍加密網(wǎng)格，以更準確地描述幾何形狀和邊界條件對解的影響。對于物理量變化劇烈的區(qū)域，如應力集中區(qū)域或溫度梯度較大的區(qū)域，也需要加密網(wǎng)格，確保能夠捕捉到物理量的快速變化，提高計算精度?；瘮?shù)選?。涸诿總€單元內(nèi)，選取合適的基函數(shù)（也稱為形函數(shù)）來近似表示待求解的未知函數(shù)?；瘮?shù)是定義在單元上的一組函數(shù)，它們在單元內(nèi)具有特定的數(shù)學形式，并且滿足一定的連續(xù)性和插值條件?；瘮?shù)的作用是通過節(jié)點處的未知函數(shù)值來構造單元內(nèi)任意點的未知函數(shù)近似值。常見的基函數(shù)類型包括線性基函數(shù)、二次基函數(shù)等，它們的選擇取決于單元的類型和計算精度要求。對于線性三角形單元，通常采用線性基函數(shù)。假設三角形單元的三個節(jié)點分別為i、j、k，節(jié)點坐標分別為(x_i,y_i)、(x_j,y_j)、(x_k,y_k)，則單元內(nèi)任意一點(x,y)的未知函數(shù)u(x,y)可以近似表示為：u(x,y)=N_i(x,y)u_i+N_j(x,y)u_j+N_k(x,y)u_k其中，u_i、u_j、u_k分別是節(jié)點i、j、k處的未知函數(shù)值，N_i(x,y)、N_j(x,y)、N_k(x,y)是對應的線性基函數(shù)，它們是關于坐標(x,y)的線性函數(shù)，并且滿足N_i(x_i,y_i)=1，N_i(x_j,y_j)=0，N_i(x_k,y_k)=0；N_j(x_j,y_j)=1，N_j(x_i,y_i)=0，N_j(x_k,y_k)=0；N_k(x_k,y_k)=1，N_k(x_i,y_i)=0，N_k(x_j,y_j)=0。這種插值性質(zhì)使得基函數(shù)能夠準確地通過節(jié)點值來表示單元內(nèi)的函數(shù)分布。二次基函數(shù)則在需要更高精度的情況下使用，例如在處理一些物理量變化較為復雜的問題時。二次基函數(shù)通常是關于坐標的二次多項式，它能夠更好地擬合函數(shù)的曲線形狀，提供更精確的近似。但二次基函數(shù)的計算相對復雜，需要更多的計算資源，因此在實際應用中需要根據(jù)具體情況權衡選擇。方程離散：基于變分原理或加權余量法，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組。變分原理是有限元方法中常用的一種建立離散方程的方法，它基于物理系統(tǒng)的能量守恒或最小能量原理。以彈性力學問題為例，根據(jù)最小勢能原理，彈性體在平衡狀態(tài)下的總勢能取最小值。將求解區(qū)域離散化后，總勢能可以表示為各個單元勢能之和。通過對總勢能關于節(jié)點位移求變分，并令其等于零，得到一組關于節(jié)點位移的代數(shù)方程，這些方程就是離散化后的有限元方程。加權余量法也是一種常用的離散化方法。它的基本思想是將偏微分方程的解近似表示為基函數(shù)的線性組合，代入偏微分方程后會產(chǎn)生余量。通過選擇一組合適的權函數(shù)，對余量進行加權積分，并令加權積分等于零，從而得到離散化的代數(shù)方程組。不同的加權余量法對應不同的權函數(shù)選擇，常見的有配點法、子域法、最小二乘法和伽遼金法等。伽遼金法是加權余量法中應用最為廣泛的一種方法，它選擇基函數(shù)本身作為權函數(shù)，具有良好的數(shù)學性質(zhì)和計算穩(wěn)定性，在有限元分析中得到了廣泛的應用。求解線性方程組：經(jīng)過上述步驟得到的代數(shù)方程組通常是一個大型的線性方程組，其形式為KX=F，其中K是系統(tǒng)的剛度矩陣（在不同的物理問題中可能有不同的名稱，如傳導矩陣、系數(shù)矩陣等），它反映了系統(tǒng)的物理特性和單元之間的相互關系；X是節(jié)點未知量向量，如節(jié)點位移、節(jié)點溫度等；F是載荷向量（或源項向量），它包含了作用在系統(tǒng)上的外部載荷、邊界條件和源項等信息。求解這個線性方程組可以采用直接解法或迭代解法。直接解法是通過一系列的矩陣運算，直接求解方程組的精確解。常見的直接解法有高斯消去法、LU分解法等。高斯消去法是一種基本的直接解法，它通過逐次消元的方式將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，然后通過回代求解未知量。LU分解法則是將系數(shù)矩陣K分解為一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即K=LU，然后通過求解兩個三角方程組LY=F和UX=Y來得到未知量X。直接解法的優(yōu)點是計算精度高，能夠得到方程組的精確解，但對于大型稀疏矩陣，直接解法的計算量和存儲量較大，效率較低。迭代解法是通過迭代的方式逐步逼近方程組的解。常見的迭代解法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法、共軛梯度法等。雅可比迭代法是一種簡單的迭代方法，它將系數(shù)矩陣K分解為對角矩陣D、下三角矩陣L和上三角矩陣U之和，即K=D+L+U，然后通過迭代公式X^{(k+1)}=D^{-1}(F-(L+U)X^{(k)})來逐步更新未知量X的值，其中k表示迭代次數(shù)。高斯-賽德爾迭代法在雅可比迭代法的基礎上進行了改進，它在每次迭代中使用最新計算得到的未知量值來更新其他未知量，能夠加快迭代收斂速度。共軛梯度法是一種高效的迭代解法，它利用共軛方向的性質(zhì)，能夠在較少的迭代次數(shù)內(nèi)得到高精度的解，尤其適用于求解大型稀疏對稱正定矩陣的線性方程組。迭代解法的優(yōu)點是對內(nèi)存需求較小，計算效率較高，適用于求解大型稀疏矩陣的線性方程組，但需要注意迭代的收斂性問題，選擇合適的迭代方法和參數(shù)，以確保迭代過程能夠收斂到正確的解。2.2.3在偏微分方程求解中的優(yōu)勢處理復雜邊界和不規(guī)則區(qū)域的能力：有限元方法在處理復雜邊界和不規(guī)則區(qū)域時具有顯著優(yōu)勢。傳統(tǒng)的數(shù)值方法，如有限差分法，通常要求求解區(qū)域具有規(guī)則的幾何形狀，以便能夠方便地建立差分網(wǎng)格。對于具有復雜邊界形狀或不規(guī)則區(qū)域的問題，有限差分法往往需要進行復雜的坐標變換或采用非結構化網(wǎng)格，這會增加計算的難度和復雜性，并且在處理邊界條件時容易出現(xiàn)誤差。有限元方法則能夠輕松應對復雜邊界和不規(guī)則區(qū)域的問題。在區(qū)域離散化過程中，可以根據(jù)求解區(qū)域的實際形狀，靈活地選擇單元類型和劃分方式。對于邊界不規(guī)則的區(qū)域，可以使用三角形單元或四面體單元等適應性強的單元類型，這些單元能夠緊密貼合邊界形狀，準確地描述邊界條件對解的影響。在求解具有復雜內(nèi)部結構的問題時，如含有孔洞、裂縫或不同材料區(qū)域的問題，有限元方法可以通過合理地劃分單元，在不同區(qū)域采用不同類型和大小的單元，有效地處理這些復雜情況。這種靈活性使得有限元方法能夠應用于各種實際工程和科學問題，如復雜地形下的流體流動模擬、具有不規(guī)則幾何形狀的結構力學分析等。高精度求解：有限元方法能夠?qū)崿F(xiàn)高精度求解，這主要得益于其對求解區(qū)域的精細離散和靈活的基函數(shù)選擇。通過合理地劃分單元，增加單元數(shù)量，可以不斷提高計算精度。在相同的計算條件下，有限元方法往往能夠比其他數(shù)值方法獲得更精確的結果。這是因為有限元方法在每個單元內(nèi)采用了近似函數(shù)來逼近真實解，并且通過變分原理或加權余量法建立離散方程，使得離散方程能夠更好地反映原偏微分方程的物理特性。在處理一些物理量變化劇烈的問題時，如邊界層問題或應力集中問題，有限元方法可以通過在這些區(qū)域加密網(wǎng)格，提高局部的計算精度。通過在邊界層附近或應力集中區(qū)域使用更小尺寸的單元，并選擇合適的高階基函數(shù)，可以更準確地捕捉物理量的快速變化，從而得到更精確的數(shù)值解。與有限差分法相比，有限元方法在處理這些復雜物理現(xiàn)象時，由于其對求解區(qū)域的靈活離散和基函數(shù)的自適應選擇，能夠更好地滿足高精度計算的要求，為科學研究和工程設計提供更可靠的數(shù)值模擬結果。三、二階時間逼近格式3.1常見時間逼近格式介紹3.1.1一階時間逼近格式簡述在數(shù)值求解偏微分方程的過程中，時間逼近格式是實現(xiàn)離散化求解的關鍵環(huán)節(jié)之一。一階時間逼近格式作為基礎的時間離散方法，在早期的數(shù)值計算中得到了廣泛應用，其中向前歐拉格式和向后歐拉格式是最為典型的代表。向前歐拉格式是一種顯式的時間離散格式，其基本思想是基于向前差分來近似時間導數(shù)。對于一般的偏微分方程，假設未知函數(shù)為u(x,t)，在時間步長為\Deltat的情況下，向前歐拉格式將時間導數(shù)\frac{\partialu}{\partialt}在t^n時刻近似表示為\frac{u^{n+1}-u^n}{\Deltat}，其中u^n表示t^n時刻的函數(shù)值，u^{n+1}表示t^{n+1}=t^n+\Deltat時刻的函數(shù)值。以一維熱傳導方程\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partialx^2}為例，應用向前歐拉格式進行時間離散后，得到的離散方程為\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^n}{\Deltat}=\alpha\frac{u_{i+1}^n-2u_{i}^n+u_{i-1}^n}{\Deltax^2}，其中u_{i}^n表示在x=x_i位置和t=t^n時刻的函數(shù)值，\Deltax為空間步長。通過這個離散方程，可以根據(jù)n時刻的已知值u_{i}^n直接計算出n+1時刻的u_{i}^{n+1}，計算過程較為簡單直接。然而，向前歐拉格式的穩(wěn)定性條件較為苛刻，通常要求時間步長\Deltat滿足一定的限制條件，以確保數(shù)值解的穩(wěn)定性，這在一定程度上限制了其在實際應用中的效率。向后歐拉格式則是一種隱式的時間離散格式，它基于向后差分來近似時間導數(shù)。將時間導數(shù)\frac{\partialu}{\partialt}在t^{n+1}時刻近似表示為\frac{u^{n+1}-u^n}{\Deltat}，與向前歐拉格式不同的是，在構建離散方程時，方程中不僅包含n時刻的函數(shù)值，還包含n+1時刻的未知函數(shù)值。對于上述一維熱傳導方程，應用向后歐拉格式進行時間離散后，得到的離散方程為\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^n}{\Deltat}=\alpha\frac{u_{i+1}^{n+1}-2u_{i}^{n+1}+u_{i-1}^{n+1}}{\Deltax^2}。由于該格式是隱式的，在求解n+1時刻的u_{i}^{n+1}時，需要求解一個關于u_{i}^{n+1}的線性方程組，計算過程相對復雜。但向后歐拉格式具有無條件穩(wěn)定的特性，即無論時間步長\Deltat取何值，數(shù)值解都是穩(wěn)定的，這使得它在處理一些對穩(wěn)定性要求較高的問題時具有明顯優(yōu)勢。盡管一階時間逼近格式在數(shù)值計算中具有一定的應用價值，但它們的精度相對較低。以泰勒級數(shù)展開的角度來看，向前歐拉格式和向后歐拉格式在時間方向上的截斷誤差均為O(\Deltat)，這意味著隨著時間步長\Deltat的減小，數(shù)值解的誤差以一階的速度減小。在許多實際問題中，這種精度可能無法滿足對計算結果準確性的要求，尤其是當需要高精度地模擬物理過程的時間演化時，一階時間逼近格式的局限性就會凸顯出來。為了提高時間方向上的計算精度，滿足日益增長的科學計算需求，二階時間逼近格式應運而生。3.1.2二階時間逼近格式的發(fā)展與特點二階時間逼近格式的發(fā)展是為了克服一階時間逼近格式精度不足的問題，旨在提供更精確的數(shù)值解，更準確地模擬物理過程的時間演化。隨著科學技術的不斷進步，對數(shù)值計算精度的要求越來越高，尤其是在處理一些復雜的物理現(xiàn)象，如多物理場耦合、高精度的波動傳播模擬等問題時，一階時間逼近格式的局限性愈發(fā)明顯，這促使研究人員致力于開發(fā)更高精度的時間離散格式。二階時間逼近格式的核心特點在于其在時間方向上具有二階精度，這意味著其截斷誤差為O(\Deltat^2)。相較于一階時間逼近格式，二階時間逼近格式能夠更準確地逼近真實解，隨著時間步長\Deltat的減小，數(shù)值解的誤差以更快的速度減小，從而在相同的計算條件下可以獲得更精確的結果。以常見的二階向后差分公式（BDF2）為例，它基于對時間導數(shù)的二階向后差分近似，能夠更準確地捕捉函數(shù)在時間方向上的變化趨勢。對于函數(shù)u(t)，BDF2格式將\frac{\partialu}{\partialt}在t^{n+1}時刻近似表示為\frac{3u^{n+1}-4u^n+u^{n-1}}{2\Deltat}，通過這種更精確的近似，BDF2格式在時間離散化過程中能夠保留更多的信息，從而提高數(shù)值解的精度。除了高精度外，二階時間逼近格式在穩(wěn)定性方面也表現(xiàn)出色。許多二階時間逼近格式在保證高精度的同時，還具有良好的穩(wěn)定性特性，能夠在較大的時間步長范圍內(nèi)保持數(shù)值解的穩(wěn)定性。以Crank-Nicolson格式為例，它是一種常用于拋物型偏微分方程的二階時間逼近格式，通過對時間導數(shù)進行中心差分近似，結合隱式離散方法，使得該格式不僅具有二階精度，而且在一定條件下具有無條件穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性與精度的良好平衡，使得二階時間逼近格式在實際應用中具有很大的優(yōu)勢，能夠有效地處理各種復雜的物理問題，為科學研究和工程計算提供更可靠的數(shù)值模擬結果。在處理復雜的偏微分方程時，二階時間逼近格式的靈活性也得到了充分體現(xiàn)。它可以與不同的空間離散方法，如有限元方法、有限差分方法等相結合，形成高效的數(shù)值求解算法。在結合有限元方法求解分數(shù)階偏微分方程時，二階時間逼近格式能夠充分利用有限元方法對復雜幾何區(qū)域的適應性，同時在時間方向上提供高精度的逼近，實現(xiàn)對復雜問題的全面、精確求解。3.2基于二階時間逼近格式的原理與構造3.2.1數(shù)學原理二階時間逼近格式的構建基于一系列嚴謹?shù)臄?shù)學原理，其中泰勒展開在推導過程中起著關鍵作用。泰勒展開是一種將函數(shù)在某一點附近展開成無窮級數(shù)的方法，通過該方法可以用多項式來近似表示函數(shù)，從而實現(xiàn)對函數(shù)的逼近和分析。以函數(shù)u(t)在t_{n+1}時刻的泰勒展開為例，根據(jù)泰勒公式，有：u(t_{n+1})=u(t_n)+u'(t_n)\Deltat+\frac{u''(t_n)}{2!}\Deltat^2+\frac{u^{(3)}(\xi)}{3!}\Deltat^3其中，\xi介于t_n與t_{n+1}之間，\Deltat=t_{n+1}-t_n為時間步長。此展開式中，前三項構成了對u(t_{n+1})的二階逼近，剩余項\frac{u^{(3)}(\xi)}{3!}\Deltat^3則為泰勒展開的截斷誤差，它反映了用前三項逼近u(t_{n+1})時所產(chǎn)生的誤差大小，其階數(shù)為O(\Deltat^3)。在二階向后差分公式（BDF2）中，充分利用了泰勒展開的原理來實現(xiàn)對時間導數(shù)的高精度逼近。BDF2格式將時間導數(shù)\frac{\partialu}{\partialt}在t_{n+1}時刻近似表示為\frac{3u^{n+1}-4u^n+u^{n-1}}{2\Deltat}，這一近似表達式的推導基于對u(t)在t_{n+1}、t_n和t_{n-1}三個時刻的泰勒展開。對u(t_{n+1})進行泰勒展開：u(t_{n+1})=u(t_n)+u'(t_n)\Deltat+\frac{u''(t_n)}{2!}\Deltat^2+\frac{u^{(3)}(\xi_1)}{3!}\Deltat^3對u(t_{n-1})進行泰勒展開：u(t_{n-1})=u(t_n)-u'(t_n)\Deltat+\frac{u''(t_n)}{2!}\Deltat^2-\frac{u^{(3)}(\xi_2)}{3!}\Deltat^3將上述兩個展開式進行適當?shù)木€性組合，即3u(t_{n+1})-4u(t_n)+u(t_{n-1})：3u(t_{n+1})-4u(t_n)+u(t_{n-1})=3\left(u(t_n)+u'(t_n)\Deltat+\frac{u''(t_n)}{2!}\Deltat^2+\frac{u^{(3)}(\xi_1)}{3!}\Deltat^3\right)-4u(t_n)+\left(u(t_n)-u'(t_n)\Deltat+\frac{u''(t_n)}{2!}\Deltat^2-\frac{u^{(3)}(\xi_2)}{3!}\Deltat^3\right)經(jīng)過整理可得：3u(t_{n+1})-4u(t_n)+u(t_{n-1})=2u'(t_n)\Deltat+\frac{3u^{(3)}(\xi_1)}{3!}\Deltat^3-\frac{u^{(3)}(\xi_2)}{3!}\Deltat^3忽略高階項\frac{3u^{(3)}(\xi_1)}{3!}\Deltat^3-\frac{u^{(3)}(\xi_2)}{3!}\Deltat^3（其階數(shù)為O(\Deltat^3)），則有：u'(t_{n+1})\approx\frac{3u^{n+1}-4u^n+u^{n-1}}{2\Deltat}由此得到了BDF2格式對時間導數(shù)的近似表達式，該表達式在時間方向上具有二階精度，截斷誤差為O(\Deltat^2)。這是因為在推導過程中，通過巧妙的線性組合消去了泰勒展開式中的一階項，使得近似表達式主要由二階及以上階數(shù)的項決定，從而提高了對時間導數(shù)的逼近精度。3.2.2格式構造方法以時間分數(shù)階擴散方程\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}=D\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}+f(x,t)，0\lt\alpha\lt1為例，詳細說明二階時間逼近格式的構造過程。首先，對時間分數(shù)階導數(shù)\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}采用基于L1-2格式的近似方法。L1-2格式是一種在時間方向上具有二階精度的離散化方法，其基本思想是通過對不同時間點的函數(shù)值進行加權組合，來逼近分數(shù)階導數(shù)。將時間區(qū)間[0,T]進行離散化，記t_n=n\Deltat，n=0,1,\cdots,N，\Deltat=T/N為時間步長。對于時間分數(shù)階導數(shù)\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}在t_{n+1}時刻的近似，L1-2格式給出：_{RL}D_{t}^{\alpha}u(x,t_{n+1})\approx\frac{1}{\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}u(x,t_{n+1-k})其中，系數(shù)b_{k}^{(\alpha)}是與分數(shù)階數(shù)\alpha和時間步長\Deltat相關的權重系數(shù)，其具體表達式為：b_{k}^{(\alpha)}=\begin{cases}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left((k+1)^{1-\alpha}-2k^{1-\alpha}+(k-1)^{1-\alpha}\right),&k=1,\cdots,n\\\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left((n+2)^{1-\alpha}-(n+1)^{1-\alpha}\right),&k=0\\-\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left(1^{1-\alpha}\right),&k=n+1\end{cases}這種權重系數(shù)的選擇是基于對分數(shù)階導數(shù)的數(shù)學性質(zhì)和泰勒展開原理的深入研究，通過合理設計權重，使得該近似公式在時間方向上能夠達到二階精度。對于空間二階導數(shù)\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}，采用有限元方法進行離散。將空間區(qū)域\Omega進行網(wǎng)格劃分，得到有限個單元e_i，i=1,\cdots,M，在每個單元e_i上選擇合適的基函數(shù)\varphi_j(x)，j=1,\cdots,d（d為單元節(jié)點數(shù)）。利用伽遼金有限元法，將空間二階導數(shù)\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}在單元e_i上近似表示為：\int_{e_i}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx\approx\sum_{k=1}^z3jilz61osysU_{k}(t)\int_{e_i}\frac{\partial^{2}\varphi_k(x)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx其中，U_{k}(t)是節(jié)點k處的未知函數(shù)值。通過這種方式，將空間導數(shù)轉(zhuǎn)化為節(jié)點未知量的線性組合，實現(xiàn)了空間方向的離散化。將時間和空間的離散化結果代入原時間分數(shù)階擴散方程，得到離散化后的方程：\frac{1}{\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}u(x,t_{n+1-k})=D\sum_{i=1}^{M}\sum_{k=1}^z3jilz61osysU_{k}(t)\int_{e_i}\frac{\partial^{2}\varphi_k(x)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx+f(x,t_{n+1})進一步整理，將方程表示為關于節(jié)點未知量U_{k}(t_{n+1})的代數(shù)方程組形式：\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}U_{j}(t_{n+1-k})=\Deltat^{\alpha}D\sum_{i=1}^{M}\sum_{k=1}^z3jilz61osysU_{k}(t)\int_{e_i}\frac{\partial^{2}\varphi_k(x)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx+\Deltat^{\alpha}f(x,t_{n+1})通過求解該代數(shù)方程組，即可得到在離散時間點和空間節(jié)點上的數(shù)值解U_{j}(t_{n+1})，從而實現(xiàn)對時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值求解。在實際求解過程中，可根據(jù)具體問題的特點和要求，選擇合適的數(shù)值求解方法，如迭代法、直接法等，以高效準確地求解代數(shù)方程組。3.3二階時間逼近格式的優(yōu)勢分析與一階時間逼近格式相比，二階時間逼近格式在精度、穩(wěn)定性和收斂性等關鍵方面展現(xiàn)出顯著優(yōu)勢，這些優(yōu)勢使其在數(shù)值求解分數(shù)階偏微分方程中成為更優(yōu)選擇。在精度方面，二階時間逼近格式的突出特點是其在時間方向上具有二階精度，截斷誤差為O(\Deltat^2)。而一階時間逼近格式，如向前歐拉格式和向后歐拉格式，截斷誤差為O(\Deltat)。以時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值求解為例，在相同的時間步長\Deltat和空間步長\Deltax條件下，采用二階向后差分公式（BDF2）的有限元方法與采用向前歐拉格式的有限元方法進行對比。當時間步長逐漸減小，采用BDF2格式的數(shù)值解能夠更快地逼近精確解，其誤差隨著時間步長的減小以更快的速度下降。具體而言，假設精確解為u(x,t)，采用一階格式得到的數(shù)值解為u_1(x,t)，采用二階格式得到的數(shù)值解為u_2(x,t)，在時間步長為\Deltat時，一階格式的誤差e_1=\vertu(x,t)-u_1(x,t)\vert，二階格式的誤差e_2=\vertu(x,t)-u_2(x,t)\vert，隨著\Deltat的減小，e_1的減小速度為一階，而e_2的減小速度為二階，這意味著二階格式在相同的計算成本下能夠提供更精確的結果，更準確地捕捉物理過程的時間演化細節(jié)。穩(wěn)定性是數(shù)值方法的重要特性，二階時間逼近格式在穩(wěn)定性方面表現(xiàn)出色。許多二階時間逼近格式在保證高精度的同時，具有良好的穩(wěn)定性特性。以Crank-Nicolson格式為例，它是一種常用于拋物型偏微分方程的二階時間逼近格式，通過對時間導數(shù)進行中心差分近似，結合隱式離散方法，使得該格式在一定條件下具有無條件穩(wěn)定性。這意味著無論時間步長\Deltat取何值，數(shù)值解都能保持穩(wěn)定，不會出現(xiàn)無界增長或劇烈波動等不穩(wěn)定現(xiàn)象。相比之下，一階向前歐拉格式的穩(wěn)定性條件較為苛刻，通常要求時間步長\Deltat滿足一定的限制條件，如對于一維熱傳導方程\frac{\partialu}{\partialt}=\alpha\frac{\partial^2u}{\partialx^2}，采用向前歐拉格式離散時，為保證數(shù)值解的穩(wěn)定性，時間步長\Deltat需要滿足\Deltat\leq\frac{\Deltax^2}{2\alpha}，否則數(shù)值解會出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況。這種嚴格的穩(wěn)定性限制在實際應用中可能會導致計算效率低下，因為為了保證穩(wěn)定性，不得不采用較小的時間步長，從而增加計算量和計算時間。而二階時間逼近格式的良好穩(wěn)定性特性，使其能夠在更大的時間步長范圍內(nèi)保持數(shù)值解的穩(wěn)定，在處理一些對穩(wěn)定性要求較高的問題時具有明顯優(yōu)勢，能夠有效提高計算效率和可靠性。收斂性是衡量數(shù)值方法有效性的關鍵指標之一，二階時間逼近格式在收斂性方面也具有明顯優(yōu)勢。在求解分數(shù)階偏微分方程時，隨著網(wǎng)格尺寸和時間步長的減小，基于二階時間逼近格式的有限元方法能夠更快地收斂到精確解。通過理論分析和數(shù)值實驗可以證明，二階時間逼近格式的收斂速度更快，能夠在較少的計算步數(shù)內(nèi)達到所需的精度要求。以分數(shù)階波動方程的數(shù)值求解為例，采用基于L1-2格式的有限元方法與采用一階格式的有限元方法進行對比，在相同的初始條件和邊界條件下，隨著時間步長和空間步長的逐漸減小，基于L1-2格式的數(shù)值解能夠更快地收斂到精確解，其收斂速度比一階格式更快。這意味著在實際應用中，使用二階時間逼近格式可以在更短的時間內(nèi)獲得滿足精度要求的數(shù)值解，提高計算效率，為科學研究和工程應用提供更及時的數(shù)值模擬結果。四、基于二階時間逼近格式的有限元方法構建4.1時間離散化處理4.1.1二階時間離散格式的選擇與應用在眾多二階時間離散格式中，Crank-Nicolson格式以其獨特的優(yōu)勢在分數(shù)階偏微分方程的求解中得到廣泛應用。Crank-Nicolson格式是一種隱式的時間離散格式，它在時間方向上對導數(shù)的逼近具有二階精度，這使得它能夠更準確地捕捉分數(shù)階偏微分方程解的時間演化特性。以一維時間分數(shù)階擴散方程\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}=D\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}為例，詳細闡述Crank-Nicolson格式的應用過程。首先，將時間區(qū)間[0,T]進行離散化，記t_n=n\Deltat，n=0,1,\cdots,N，其中\(zhòng)Deltat=\frac{T}{N}為時間步長。對于時間分數(shù)階導數(shù)\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}，采用基于L1-2格式的近似方法，該格式在時間方向上具有二階精度。在Crank-Nicolson格式中，對時間導數(shù)的近似采用中心差分的思想。將\frac{\partial^{\alpha}u(x,t)}{\partialt^{\alpha}}在t_{n+\frac{1}{2}}時刻進行近似，即t_{n+\frac{1}{2}}=(n+\frac{1}{2})\Deltat?；贚1-2格式，\frac{\partial^{\alpha}u(x,t_{n+\frac{1}{2}})}{\partialt^{\alpha}}近似為：_{RL}D_{t}^{\alpha}u(x,t_{n+\frac{1}{2}})\approx\frac{1}{\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}\left(\frac{u(x,t_{n+1-k})+u(x,t_{n-k})}{2}\right)其中，系數(shù)b_{k}^{(\alpha)}是與分數(shù)階數(shù)\alpha和時間步長\Deltat相關的權重系數(shù)，其具體表達式為：b_{k}^{(\alpha)}=\begin{cases}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left((k+1)^{1-\alpha}-2k^{1-\alpha}+(k-1)^{1-\alpha}\right),&k=1,\cdots,n\\\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left((n+2)^{1-\alpha}-(n+1)^{1-\alpha}\right),&k=0\\-\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left(1^{1-\alpha}\right),&k=n+1\end{cases}對于空間二階導數(shù)\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}，采用有限元方法進行離散。將空間區(qū)域\Omega進行網(wǎng)格劃分，得到有限個單元e_i，i=1,\cdots,M，在每個單元e_i上選擇合適的基函數(shù)\varphi_j(x)，j=1,\cdots,d（d為單元節(jié)點數(shù)）。利用伽遼金有限元法，將空間二階導數(shù)\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}在單元e_i上近似表示為：\int_{e_i}\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx\approx\sum_{k=1}^z3jilz61osysU_{k}(t)\int_{e_i}\frac{\partial^{2}\varphi_k(x)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx其中，U_{k}(t)是節(jié)點k處的未知函數(shù)值。將時間和空間的離散化結果代入原時間分數(shù)階擴散方程，得到離散化后的方程：\frac{1}{\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}\left(\frac{u(x,t_{n+1-k})+u(x,t_{n-k})}{2}\right)=D\sum_{i=1}^{M}\sum_{k=1}^z3jilz61osysU_{k}(t)\int_{e_i}\frac{\partial^{2}\varphi_k(x)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx進一步整理，將方程表示為關于節(jié)點未知量U_{j}(t_{n+1})的代數(shù)方程組形式：\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}\left(\frac{U_{j}(t_{n+1-k})+U_{j}(t_{n-k})}{2}\right)=\Deltat^{\alpha}D\sum_{i=1}^{M}\sum_{k=1}^z3jilz61osysU_{k}(t)\int_{e_i}\frac{\partial^{2}\varphi_k(x)}{\partialx^{2}}\varphi_j(x)dx通過求解該代數(shù)方程組，即可得到在離散時間點和空間節(jié)點上的數(shù)值解U_{j}(t_{n+1})，從而實現(xiàn)對時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值求解。在實際求解過程中，可根據(jù)具體問題的特點和要求，選擇合適的數(shù)值求解方法，如迭代法、直接法等，以高效準確地求解代數(shù)方程組。4.1.2時間步長的確定與影響時間步長\Deltat在基于二階時間逼近格式的有限元方法中扮演著至關重要的角色，它對計算精度和效率有著顯著的影響。從理論分析的角度來看，二階時間逼近格式的截斷誤差為O(\Deltat^2)，這表明時間步長\Deltat越小，數(shù)值解在時間方向上的誤差就越小，計算精度也就越高。以時間分數(shù)階擴散方程的數(shù)值求解為例，當時間步長\Deltat逐漸減小時，基于Crank-Nicolson格式的有限元方法得到的數(shù)值解能夠更精確地逼近精確解。通過對不同時間步長下數(shù)值解與精確解的誤差進行計算和分析，可以清晰地觀察到誤差隨著時間步長的減小而迅速減小的趨勢。當\Deltat=0.1時，數(shù)值解在某些時間點的誤差可能相對較大；而當\Deltat減小到0.01時，誤差明顯減小，數(shù)值解與精確解的吻合度更高，能夠更準確地捕捉到擴散過程中物理量的變化。然而，時間步長的減小并非沒有代價，它會顯著增加計算量和計算時間。在實際計算中，隨著時間步長\Deltat的減小，需要計算的時間步數(shù)N=\frac{T}{\Deltat}會相應增加。這意味著在每個時間步都需要進行一系列的計算操作，如求解代數(shù)方程組、計算數(shù)值積分等，從而導致計算量呈線性增長。而且，由于時間步數(shù)的增加，計算機的內(nèi)存需求也會相應增大，因為需要存儲每個時間步的數(shù)值解和相關的中間計算結果。在求解大型分數(shù)階偏微分方程問題時，當時間步長取較小值時，計算時間可能會從幾分鐘延長到數(shù)小時甚至數(shù)天，這在實際應用中是難以接受的。因此，在確定時間步長時，需要在計算精度和計算效率之間進行權衡。為了確定合理的時間步長，通常采用先驗估計和后驗估計相結合的方法。先驗估計是基于理論分析和經(jīng)驗公式，預先對時間步長的取值范圍進行估計。對于一些常見的分數(shù)階偏微分方程和數(shù)值方法，已經(jīng)有相關的研究給出了時間步長與空間步長之間的關系，以及時間步長的上界估計。對于基于Crank-Nicolson格式的有限元方法求解時間分數(shù)階擴散方程，根據(jù)穩(wěn)定性分析和誤差估計的結果，可以得到時間步長\Deltat與空間步長\Deltax之間的關系為\Deltat=O(\Deltax^2)，這為時間步長的初步選擇提供了指導。后驗估計則是在計算過程中，通過比較不同時間步長下的計算結果，來評估時間步長對計算精度的影響，從而進一步調(diào)整時間步長?？梢圆捎镁W(wǎng)格加密技術，即先使用較大的時間步長進行初步計算，得到一個數(shù)值解；然后將時間步長減半，再次進行計算，得到另一個數(shù)值解。通過比較這兩個數(shù)值解之間的差異，可以判斷當前時間步長下的計算精度是否滿足要求。如果兩個數(shù)值解之間的差異較小，說明當前時間步長下的計算精度較高，可以適當增大時間步長以提高計算效率；反之，如果差異較大，則需要進一步減小時間步長，以提高計算精度。還可以利用誤差估計公式，根據(jù)已知的數(shù)值解和問題的相關參數(shù)，計算出當前時間步長下的誤差估計值，從而判斷時間步長是否合理。通過這種先驗估計和后驗估計相結合的方法，可以在保證計算精度的前提下，盡可能地提高計算效率，確定出最優(yōu)的時間步長。4.2空間離散化與有限元空間構建4.2.1有限元網(wǎng)格劃分策略有限元網(wǎng)格劃分是空間離散化的關鍵步驟，其策略的選擇直接影響到數(shù)值計算的精度和效率。在對求解區(qū)域進行網(wǎng)格劃分時，需要綜合考慮問題的特點和精度要求，以確定合適的單元類型和尺寸分布。對于形狀規(guī)則的求解區(qū)域，如矩形、圓形等，可以采用結構網(wǎng)格劃分方法，這種方法生成的網(wǎng)格具有規(guī)則的拓撲結構，節(jié)點分布均勻，便于計算和編程實現(xiàn)。在求解二維矩形區(qū)域上的分數(shù)階偏微分方程時，可以使用四邊形單元進行網(wǎng)格劃分，通過均勻地設置單元的邊長，能夠快速生成結構網(wǎng)格。結構網(wǎng)格在計算過程中，數(shù)值計算的規(guī)律性強，有利于提高計算效率。然而，對于復雜幾何形狀的求解區(qū)域，如具有不規(guī)則邊界、內(nèi)部包含孔洞或不同材料區(qū)域的情況，結構網(wǎng)格劃分往往難以準確地擬合邊界形狀，會導致較大的幾何近似誤差。此時，非結構網(wǎng)格劃分方法則更具優(yōu)勢。非結構網(wǎng)格可以根據(jù)求解區(qū)域的幾何特征，靈活地生成不同形狀和大小的單元，能夠精確地貼合復雜邊界，減少幾何近似誤差。在處理具有復雜邊界的區(qū)域時，可以使用三角形單元進行非結構網(wǎng)格劃分，通過在邊界附近加密網(wǎng)格，能夠更好地捕捉邊界處物理量的變化。除了考慮幾何形狀，問題的精度要求也是確定網(wǎng)格劃分策略的重要因素。在物理量變化劇烈的區(qū)域，如邊界層、應力集中區(qū)域等，為了準確捕捉物理量的快速變化，需要加密網(wǎng)格，使用更小尺寸的單元。在求解含有邊界層的分數(shù)階對流-擴散方程時，在邊界層附近，物理量的梯度較大，此時應加密網(wǎng)格，使單元尺寸逐漸減小，以提高局部的計算精度。通過在這些關鍵區(qū)域加密網(wǎng)格，可以確保數(shù)值解能夠準確地反映物理量的變化趨勢，避免因網(wǎng)格過粗而導致的數(shù)值擴散和誤差積累。而在物理量變化較為平緩的區(qū)域，可以適當增大單元尺寸，以減少計算量和內(nèi)存需求。在遠離邊界層的區(qū)域，物理量變化相對緩慢，使用較大尺寸的單元不會對計算精度產(chǎn)生明顯影響，同時能夠降低計算成本。通過合理地調(diào)整單元尺寸，在保證計算精度的前提下，優(yōu)化計算效率，實現(xiàn)對分數(shù)階偏微分方程的高效求解。4.2.2基函數(shù)的選取與性質(zhì)基函數(shù)的選取在有限元方法中起著至關重要的作用，它直接關系到有限元空間的構建以及數(shù)值解的精度和收斂性。在分數(shù)階偏微分方程的求解中，常用的基函數(shù)類型包括拉格朗日基函數(shù)和Hermite基函數(shù)，它們各自具有獨特的性質(zhì)和適用場景。拉格朗日基函數(shù)是一種廣泛應用的基函數(shù)類型，它具有良好的插值性質(zhì)。以三角形單元為例，線性拉格朗日基函數(shù)可以通過單元節(jié)點的函數(shù)值來準確地插值單元內(nèi)任意點的函數(shù)值。對于一個三角形單元，其三個節(jié)點分別為i、j、k，線性拉格朗日基函數(shù)N_i(x,y)、N_j(x,y)、N_k(x,y)滿足在節(jié)點i處N_i(x_i,y_i)=1，N_j(x_i,y_i)=0，N_k(x_i,y_i)=0；在節(jié)點j處N_i(x_j,y_j)=0，N_j(x_j,y_j)=1，N_k(x_j,y_j)=0；在節(jié)點k處N_i(x_k,y_k)=0，N_j(x_k,y_k)=0，N_k(x_k,y_k)=1。通過這些基函數(shù)，可以將單元內(nèi)的未知函數(shù)表示為節(jié)點函數(shù)值的線性組合，即u(x,y)=N_i(x,y)u_i+N_j(x,y)u_j+N_k(x,y)u_k，這種表示方式簡單直觀，便于計算和分析。拉格朗日基函數(shù)在單元邊界上具有連續(xù)性，這使得在單元拼接時，能夠保證有限元解在整個求解區(qū)域上的連續(xù)性，滿足偏微分方程的求解要求。拉格朗日基函數(shù)的計算相對簡單，在實際應用中易于實現(xiàn)，適用于大多數(shù)分數(shù)階偏微分方程的求解。Hermite基函數(shù)則在需要考慮函數(shù)導數(shù)連續(xù)性的問題中具有優(yōu)勢。與拉格朗日基函數(shù)不同，Hermite基函數(shù)不僅能夠保證函數(shù)值在節(jié)點處的連續(xù)性，還能夠保證函數(shù)導數(shù)在節(jié)點處的連續(xù)性。在求解涉及到應力、應變等物理量的分數(shù)階偏微分方程時，由于這些物理量與函數(shù)的導數(shù)密切相關，使用Hermite基函數(shù)可以更準確地描述物理過程。以三次Hermite基函數(shù)為例，它除了滿足在節(jié)點處函數(shù)值的插值條件外，還滿足在節(jié)點處一階導數(shù)的插值條件。對于一個單元，通過選擇合適的三次Hermite基函數(shù)，可以確保在節(jié)點處函數(shù)值和一階導數(shù)的連續(xù)性，從而更精確地逼近真實解。然而，Hermite基函數(shù)的構造相對復雜，計算量較大，在實際應用中需要根據(jù)問題的具體需求來選擇是否使用。無論是拉格朗日基函數(shù)還是Hermite基函數(shù)，它們都具有一定的逼近性質(zhì)。隨著基函數(shù)階數(shù)的提高，有限元解對真實解的逼近精度也會相應提高。高階拉格朗日基函數(shù)或Hermite基函數(shù)能夠更好地擬合函數(shù)的復雜變化，在相同的網(wǎng)格條件下，可以獲得更高精度的數(shù)值解。但高階基函數(shù)也會帶來計算量增加和數(shù)值穩(wěn)定性下降的問題，因此在實際應用中需要在精度和計算成本之間進行權衡。4.3離散方程的推導與求解4.3.1從原方程到離散方程的推導過程以二維時間分數(shù)階擴散方程\frac{\partial^{\alpha}u(x,y,t)}{\partialt^{\alpha}}=\nabla\cdot(D\nablau)+f(x,y,t)，0\lt\alpha\lt1為例，詳細闡述從原方程到離散方程的推導過程。該方程在物理學中常用于描述具有記憶效應的二維擴散現(xiàn)象，如在多孔介質(zhì)中二維平面上物質(zhì)的擴散過程，其中u(x,y,t)表示在位置(x,y)和時間t時擴散物質(zhì)的濃度，D為擴散系數(shù)，f(x,y,t)為源項，表示物質(zhì)的產(chǎn)生或消耗。在時間離散化方面，采用二階向后差分公式（BDF2）進行處理。將時間區(qū)間[0,T]進行離散，記t_n=n\Deltat，n=0,1,\cdots,N，\Deltat=\frac{T}{N}為時間步長。對于時間分數(shù)階導數(shù)\frac{\partial^{\alpha}u(x,y,t)}{\partialt^{\alpha}}在t_{n+1}時刻，根據(jù)BDF2格式的近似公式，有：_{RL}D_{t}^{\alpha}u(x,y,t_{n+1})\approx\frac{1}{\Deltat^{\alpha}}\sum_{k=0}^{n+1}b_{k}^{(\alpha)}u(x,y,t_{n+1-k})其中，系數(shù)b_{k}^{(\alpha)}是與分數(shù)階數(shù)\alpha和時間步長\Deltat相關的權重系數(shù)，其具體表達式為：b_{k}^{(\alpha)}=\begin{cases}\frac{1}{\Gamma(2-\alpha)}\left((k+1)^{1-\alpha}-2k^{1-\alpha}+(k-1)^{1-\alpha}\right),&k=1,\cdots,n\\\f