2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版必修聽評課記錄：第二章2.5第1課時等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式一.基本信息

聽課日期為2024年10月15日，聽課時間為上午第二節(jié)課，授課教師為李明，學(xué)科/課程名稱為高中數(shù)學(xué)，班級/年級為高一（5）班，教學(xué)主題或章節(jié)為第二章“等差數(shù)列與等比數(shù)列”中的2.5“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”第1課時。

聽課人姓名為張華，聽課人職務(wù)為高中數(shù)學(xué)教研組長，聽課目的為教學(xué)研究，旨在探討等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的教學(xué)策略及學(xué)生理解情況，為后續(xù)教學(xué)提供參考。

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計(jì)劃清晰，圍繞等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用展開，分為概念引入、公式推導(dǎo)、例題講解和課堂練習(xí)四個環(huán)節(jié)。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材中相關(guān)章節(jié)內(nèi)容標(biāo)注明確，教具包括幾何畫板用于動態(tài)展示等比數(shù)列圖像，多媒體課件包含公式推導(dǎo)過程動畫和例題數(shù)據(jù)。

2.教學(xué)過程

開始階段：教師通過復(fù)習(xí)等比數(shù)列定義和通項(xiàng)公式，以“1+2+4+8+...”的例子提問“如何快速計(jì)算第n項(xiàng)”，引出前n項(xiàng)和的需求，導(dǎo)入自然且能激發(fā)學(xué)生思考。展開階段：采用“啟發(fā)式講授”方法，先引導(dǎo)學(xué)生嘗試用“錯位相減法”推導(dǎo)公式，教師適時補(bǔ)充等比數(shù)列性質(zhì)（如公比不為1時變形），通過動態(tài)演示等比數(shù)列項(xiàng)的累積效果強(qiáng)化直觀理解。例題講解時，選取一道增長率問題，逐步拆解為基本公式應(yīng)用，并強(qiáng)調(diào)“當(dāng)公比為1時”的特例討論。結(jié)束階段：用口訣“首項(xiàng)乘公比減末項(xiàng)乘公比除公比減1”總結(jié)公式記憶技巧，布置分層作業(yè)（基礎(chǔ)題、拓展題含參數(shù)討論），課堂在學(xué)生完成簡短互動問答中結(jié)束。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師通過“你同意這個步驟嗎”“為什么不能直接加”等提問維持參與，約60%學(xué)生能主動回答。討論環(huán)節(jié)中，對“為什么乘（q-1）”的質(zhì)疑，教師引導(dǎo)小組合作驗(yàn)證Sn-S1=S(n-1)的合理性，有3組提出不同推導(dǎo)路徑。反應(yīng)質(zhì)量方面，對公式變形應(yīng)用時，約30%學(xué)生需教師示范，個別對指數(shù)運(yùn)算模糊者得到個別輔導(dǎo)。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)習(xí)積極性整體較高，前20分鐘因公式推導(dǎo)投入度達(dá)85%，動態(tài)演示后注意力集中度維持在75%。合作學(xué)習(xí)表現(xiàn)明顯，小組討論時出現(xiàn)“公式變形小組”“符號易錯小組”分工協(xié)作，但部分學(xué)生因計(jì)算量較大出現(xiàn)小聲討論而非積極爭辯。專注度在例題講解后略有下降，與教師提問互動的學(xué)生多選擇基礎(chǔ)題，挑戰(zhàn)性題目僅2名學(xué)生嘗試。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，小組討論時教師用“安靜碼”手勢控制音量，時間分配為導(dǎo)入5分鐘、推導(dǎo)15分鐘、練習(xí)10分鐘、總結(jié)5分鐘，符合預(yù)設(shè)計(jì)劃。節(jié)奏控制得當(dāng)，公式推導(dǎo)時放慢語速并重復(fù)關(guān)鍵步驟，練習(xí)階段則加快進(jìn)程巡視，確保90%學(xué)生完成基礎(chǔ)題。

6.教學(xué)技術(shù)使用

多媒體技術(shù)有效支持教學(xué)：幾何畫板動態(tài)展示q≠1時的項(xiàng)累積效果直觀形象；課件中的公式推導(dǎo)動畫拆解了分母約分的難點(diǎn)；電子白板支持學(xué)生演算痕跡留存，便于對比不同推導(dǎo)路徑。但技術(shù)使用存在短板，參數(shù)討論環(huán)節(jié)因課件未預(yù)設(shè)動態(tài)調(diào)整，教師需手動切換數(shù)據(jù)，影響思維連貫性。技術(shù)對效果支持主要體現(xiàn)在概念理解和公式記憶上，約70%學(xué)生通過視覺化輔助掌握了“首項(xiàng)乘（公比減1）除（公比減1）”的變形規(guī)律。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達(dá)成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，聚焦于等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程理解、公式結(jié)構(gòu)記憶及應(yīng)用基礎(chǔ)。目標(biāo)設(shè)定符合高一學(xué)生認(rèn)知水平，特別是將抽象推導(dǎo)過程分解為“觀察-猜想-驗(yàn)證-應(yīng)用”的步驟，體現(xiàn)了層次性。從課堂反饋看，目標(biāo)達(dá)成度較高：約80%的學(xué)生能復(fù)述公式的推導(dǎo)邏輯，特別是“錯位相減法”的原理；90%以上學(xué)生能準(zhǔn)確寫出公式并識別首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比；課堂練習(xí)中，基礎(chǔ)題（如求Sn當(dāng)q=2）的正確率超95%，中檔題（含公比絕對值小于1的Sn計(jì)算）正確率達(dá)65%，顯示出目標(biāo)達(dá)成具有普遍性。存在個體差異，約15%學(xué)生在公比q為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時符號處理出錯，需后續(xù)強(qiáng)化。

2.知識掌握

知識點(diǎn)理解方面，教師通過類比等差數(shù)列求和方式，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，多數(shù)學(xué)生能聯(lián)系“等比數(shù)列相鄰兩項(xiàng)作差為公差”推導(dǎo)“作和需消去項(xiàng)”，對公式的結(jié)構(gòu)記憶較深刻。特別是動態(tài)演示環(huán)節(jié)，約70%學(xué)生能表述出“公比q≠1時，Sn-(qSn)形成首項(xiàng)為a1、末項(xiàng)為-a末項(xiàng)、公比為q的等比數(shù)列”的轉(zhuǎn)化思路。技能掌握上，公式變形應(yīng)用存在明顯分化：基礎(chǔ)變形（如Sn/a1）掌握較好，但在涉及參數(shù)討論（如“q=1時直接用na1”）時，約40%學(xué)生出現(xiàn)思維固化，依賴模板而非本質(zhì)理解。技能訓(xùn)練的梯度設(shè)計(jì)合理，例題從“求具體項(xiàng)數(shù)和”過渡到“抽象參數(shù)Sn”的設(shè)問，但拔高題（如證明Sn-Sn-1=aq^(n-1)）僅5名學(xué)生嘗試，提示分層設(shè)計(jì)需更細(xì)致。

3.情感態(tài)度價值觀

課堂促進(jìn)了學(xué)生多維度發(fā)展：數(shù)學(xué)探究興趣方面，教師創(chuàng)設(shè)“古代黃金分割與等比數(shù)列”的聯(lián)系話題，激發(fā)約60%學(xué)生課后查閱資料，體現(xiàn)學(xué)習(xí)遷移意識；合作意識通過小組討論深化，尤其是“符號易錯小組”的互查機(jī)制，培養(yǎng)互助精神，但部分學(xué)生仍偏好獨(dú)立演算。數(shù)學(xué)抽象能力上，動態(tài)公式的可視化呈現(xiàn)幫助學(xué)生突破符號認(rèn)知局限，有學(xué)生提出“能否用樹狀圖表示項(xiàng)的生成”，顯示思維向多模態(tài)發(fā)展。價值觀層面，通過增長率問題滲透數(shù)學(xué)建模思想，約35%學(xué)生能聯(lián)系現(xiàn)實(shí)案例（如復(fù)利計(jì)算），但教師未明確點(diǎn)出數(shù)學(xué)的社會價值，可增加“數(shù)學(xué)與科技發(fā)展”的延伸討論。課堂中體現(xiàn)的批判性思維僅出現(xiàn)在3次對公式適用范圍的質(zhì)疑中，教師均予肯定但未系統(tǒng)引導(dǎo)，未來可設(shè)計(jì)“正誤辨析”環(huán)節(jié)強(qiáng)化。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象優(yōu)秀，是一節(jié)體現(xiàn)新課程理念、教學(xué)設(shè)計(jì)嚴(yán)謹(jǐn)、學(xué)生主體性得到較好發(fā)揮的數(shù)學(xué)課。最突出的優(yōu)點(diǎn)在于教師對等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式這一重點(diǎn)內(nèi)容的突破方式頗具匠心。首先，導(dǎo)入環(huán)節(jié)通過生活化情境（快速計(jì)算序列和）自然引出學(xué)習(xí)需求，激發(fā)了學(xué)生的內(nèi)在動機(jī)。其次，公式推導(dǎo)過程的設(shè)計(jì)層次分明，教師沒有直接給出公式，而是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，特別是用幾何畫板動態(tài)展示等比數(shù)列部分和的變化趨勢，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為直觀的視覺體驗(yàn)，有效降低了認(rèn)知負(fù)荷，培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和歸納能力。再次，教學(xué)資源的整合恰當(dāng)，教材、多媒體課件與板書演算有機(jī)結(jié)合，如動態(tài)公式的動畫演示與關(guān)鍵步驟的板書推導(dǎo)相互補(bǔ)充，既保證了知識呈現(xiàn)的清晰度，又突出了數(shù)學(xué)思維的邏輯性。此外，課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)兼顧基礎(chǔ)與拓展，特別是對公比q=1這一特例的處理，既夯實(shí)了基礎(chǔ)，又體現(xiàn)了對知識體系的完整性考量。整體而言，本節(jié)課在知識傳授、能力培養(yǎng)和思維訓(xùn)練方面達(dá)到了較好的平衡，體現(xiàn)了教師扎實(shí)的教學(xué)功底和先進(jìn)的教學(xué)理念。

2.改進(jìn)建議

盡管本節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)異，但仍有提升空間，具體建議如下：

（1）深化公式變形的技能訓(xùn)練：當(dāng)前課堂對公式的直接應(yīng)用掌握較好，但對變形應(yīng)用（如結(jié)合等比中項(xiàng)、參數(shù)討論）的訓(xùn)練略顯不足。建議增加變式練習(xí)環(huán)節(jié)，例如設(shè)計(jì)“已知Sn求an”或“含Sn的方程解法”的專題突破，通過對比辨析（如Sn/a1與an的關(guān)系）強(qiáng)化理解?？梢搿耙活}多解”或“逆向思維”練習(xí)，如給出Sn=0，探討q的可能值，培養(yǎng)學(xué)生的靈活遷移能力。此外，對公比q為分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)時符號處理的易錯點(diǎn)，可增設(shè)“符號判斷”專項(xiàng)小練習(xí)，并歸納常見錯誤模式，提升技能的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

（2）優(yōu)化技術(shù)使用的深度與廣度：多媒體技術(shù)的應(yīng)用多停留在輔助理解和展示層面，對于促進(jìn)思維深度參與的技術(shù)融合有待加強(qiáng)。例如，在參數(shù)討論環(huán)節(jié)，若能使用交互式軟件動態(tài)調(diào)整q、n的值觀察Sn圖像變化，可能更有助于學(xué)生直觀把握公式的適用邊界和結(jié)構(gòu)特征。建議教師探索更多技術(shù)工具，如GeoGebra的編程功能演示公式的遞推關(guān)系，或利用在線平臺進(jìn)行錯題數(shù)據(jù)的實(shí)時統(tǒng)計(jì)與反饋，使技術(shù)成為思維可視化的載體而非簡單的演示道具。同時，需注意避免技術(shù)干擾，如課件切換時間、動畫播放節(jié)奏應(yīng)更精準(zhǔn)服務(wù)于教學(xué)節(jié)點(diǎn)，減少因技術(shù)操作引發(fā)的課堂節(jié)奏波動。

（3）加強(qiáng)個別化指導(dǎo)與差異化教學(xué)：課堂觀察顯示，學(xué)生在技能掌握和思維深度上存在明顯分化。建議在練習(xí)環(huán)節(jié)增加巡視密度，特別是對后排或反應(yīng)較慢的學(xué)生進(jìn)行針對性提問或指導(dǎo)。對于拔高題的呈現(xiàn)，可采取“設(shè)問式”推進(jìn)，如“如果公比q=1，Sn會怎樣？為什么？”，逐步引導(dǎo)學(xué)有余力的學(xué)生深入思考。課后作業(yè)的設(shè)計(jì)應(yīng)更強(qiáng)調(diào)分層，基礎(chǔ)題確保掌握，拓展題滿足挑戰(zhàn)需求，并鼓勵學(xué)生建立錯題本，進(jìn)行個性化反思。教師可利用課后時間對典型錯誤進(jìn)行面批，或建立線上答疑社群，延伸個性化支持。

（4）豐富數(shù)學(xué)文化滲透的途徑：雖然課堂提及了黃金分割與等比數(shù)列的聯(lián)系，但數(shù)學(xué)文化元素的融入較為零散。建議教師系統(tǒng)梳理等比數(shù)列在現(xiàn)實(shí)世界中的原型（如細(xì)胞分裂、幾何級數(shù)增長模型），結(jié)合歷史故事（如歐幾里得《幾何原本》中的比例理論）或跨學(xué)科案例（如音樂中的八度音程），在導(dǎo)入或拓展環(huán)節(jié)進(jìn)行滲透，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更具人文色彩和情境意義。這不僅有助于激發(fā)興趣，更能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的價值與魅力。

3.后續(xù)跟蹤

建議安排一次后續(xù)聽課，重點(diǎn)觀察教師針對上述建議的改進(jìn)落實(shí)情況，特別是公式變形技能訓(xùn)練的設(shè)計(jì)與實(shí)施效果、技術(shù)融合的深度變化以及差異化教學(xué)策略的實(shí)際應(yīng)用。跟蹤聽課可聚焦于“練習(xí)環(huán)節(jié)的動態(tài)調(diào)控”或“概念辨析的深化設(shè)計(jì)”等具體維度，通過課堂錄像分析、師生訪談等方式，評估改進(jìn)措施的有效性。

為支持教師持續(xù)成長，計(jì)劃采取以下措施：

（1）提供專業(yè)發(fā)展資源：推薦等比數(shù)列教學(xué)研究文獻(xiàn)、國內(nèi)外優(yōu)秀教學(xué)案例視頻，特別是關(guān)于“數(shù)學(xué)思維可視化”“差異化教學(xué)設(shè)計(jì)”的專題資料，幫助教師深化理論認(rèn)知。

（2）組織專題研討活動：圍繞“公式變形教學(xué)策略”“技術(shù)融合的創(chuàng)新應(yīng)用”等