一、連續(xù)函數(shù)的概念二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)六、利用連續(xù)函數(shù)求極限第2.6節(jié)、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的改變量(增量)一、連續(xù)函數(shù)的概念定義1

設(shè)變量t從它的初值t1改變到終值t2,終值與初值之差:t2

t1,稱為變量t的改變量,記為:

t

=t2

t1.函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從x0改變到x0+

x時(shí),

x稱為自變量x的改變量(增量).

y=f(x0+

x)

f(x0)稱為函數(shù)y相應(yīng)于

x的改變量.定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).2.連續(xù)的定義證例1證明函數(shù)y=

sinx在任意給定點(diǎn)x

R處連續(xù).即函數(shù)y=

sinx在

x

R處連續(xù).對(duì)

x

R,有同理可證:

y=sin(x+x)

sinx于是函數(shù)y=

cosx在

x

R處連續(xù).例2證明函數(shù)y=ax在(

,+

)內(nèi)任意點(diǎn)處連續(xù).解

對(duì)

x

R,有

y=ax+

x

ax=a

x(a

x

1)因?yàn)?/p>

所以,函數(shù)y=ax在(

,+

)內(nèi)任意點(diǎn)處連續(xù).定義3設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù).證故f(x)在點(diǎn)x

=0處連續(xù).因例3證明函數(shù)在點(diǎn)x

=0處連續(xù).

=0=f(0),注1：

連續(xù)函數(shù),極限符號(hào)和函數(shù)符號(hào)可以交換.3.左、右連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)則稱f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù);則稱f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù);[即

f(x00)=f(x0)],[即f(x0+0)=f(x0)],定義4：此定理常用于判定分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性.定理1

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)

函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處即左連續(xù)又右連續(xù).即f(x00)=f(x0+0)=f(x0).例4當(dāng)a為何值時(shí),函數(shù)在x=0

處連續(xù).解

因?yàn)?/p>

f(0)

=a+0=a,

=1,=a,

a=1

.所以,當(dāng)

a=1時(shí),函數(shù)在x=0處連續(xù).不存在;二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)(1)f(x)在點(diǎn)x0處無(wú)定義;若f(x)在點(diǎn)x0處出現(xiàn)如下三種情況之一:則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)(或間斷).稱x0為函數(shù)f(x)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn).

f

(x0).間斷點(diǎn)的分類(lèi):第二類(lèi)間斷點(diǎn):第一類(lèi)間斷點(diǎn):f(x00)及f(x0+0)均存在,若

f(x00)=f(x0+0),稱x0為可去間斷點(diǎn).

若

f(x00)f(x0+0),稱x0為跳躍間斷點(diǎn).

f(x00)及f(x0+0)中至少一個(gè)不存在,若其中至少有一個(gè)為

,稱x0為無(wú)窮間斷點(diǎn).

若其中至少有一個(gè)振蕩,稱x0為振蕩間斷點(diǎn).

1如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的左右極限都存在,但不全等于f(x0),則稱x0為f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn);2如果f(x)在點(diǎn)x0處的左右極限至少一個(gè)不存在,則稱x0為f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn).例5判斷函數(shù)在點(diǎn)

x=1處的連續(xù)性.解因在點(diǎn)

x=1處沒(méi)有定義,所以函數(shù)在點(diǎn)

x=1不連續(xù).知

x=1為函數(shù)的第一類(lèi)間斷點(diǎn),且是可去間斷點(diǎn).由

解例6討論函數(shù)在點(diǎn)x

=0處的連續(xù)性.f(0)=0,=1,=1,因

f(00)f(0+0),1-1xyo所以x=0為函數(shù)f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn),且為跳躍間斷點(diǎn).

解例7考察函數(shù)在點(diǎn)x=0處的連續(xù)性.=+

,在點(diǎn)x=0處沒(méi)有定義,11=

,故x=0為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn),且是無(wú)窮間斷點(diǎn).所以函數(shù)在點(diǎn)x=0不連續(xù).

解故x=0為函數(shù)的第二類(lèi)間斷點(diǎn),且是振蕩間斷點(diǎn).在點(diǎn)x=0處沒(méi)有定義.例8討論函數(shù)在點(diǎn)x

=0處的連續(xù)性.(k0),(k,x0)例9討論正切函數(shù)

y=tanx

的間斷點(diǎn),并判斷其類(lèi)型.解

函數(shù)

y=tanx在點(diǎn)x=k

+(k

Z)處無(wú)定義,故

x

=k

+為tanx的間斷點(diǎn).因?yàn)?/p>

故點(diǎn)x

=k

+(k

Z)是y=tanx的第二類(lèi)間斷點(diǎn),且是無(wú)窮間斷點(diǎn)注:

函數(shù)的間斷點(diǎn)可能有無(wú)窮多個(gè).三、連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間定義5(1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f(x)為區(qū)間(a,b)上的連續(xù)函數(shù).(a,b)稱為f(x)的連續(xù)區(qū)間.結(jié)論1常量函數(shù),y=

sinx,y=cosx,y=ax為全體實(shí)數(shù)區(qū)間R上的連續(xù)函數(shù).(2)如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),并且在點(diǎn)x=a處右連續(xù),在點(diǎn)x=b處左連續(xù),則稱f(x)為閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).結(jié)論2多項(xiàng)式f(x)=a0xn+a1xn

1+

+an

1x+an為R上的連續(xù)函數(shù).結(jié)論3有理分式函數(shù)在定義域內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù).注

函數(shù)f(x)在點(diǎn)

x0連續(xù),表示以下三條同時(shí)滿足：1

f(x)在點(diǎn)

x0有定義；2存在；31、四則運(yùn)算的連續(xù)性例:函數(shù)

sinx,

cosx在(,+)內(nèi)連續(xù)四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理2如果函數(shù)f(x),g(x)

在點(diǎn)x0處連續(xù),則在點(diǎn)x0處也連續(xù).

tanx,cotx,secx,cscx在其定義域內(nèi)連續(xù).即：三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).

f(x)

g(x);

f(x)

g(x);g(x0)0定理3

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如即:反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).2、反函數(shù)的連續(xù)性

y=arcsinx在[1,1]上也是單調(diào)增加且連續(xù).同理y=arccosx在[1,1]上單調(diào)減少且連續(xù).y=arctanx,y=arccotx在(,+)內(nèi)單調(diào)且連續(xù).由指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a

1)在(

,+

)內(nèi)上單調(diào)且連續(xù),得對(duì)數(shù)函數(shù)

y=logax(a>0,a

1)在(0,+

)內(nèi)單調(diào)且連續(xù).3.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理3設(shè)函數(shù)u=

(x)在點(diǎn)x=x0處連續(xù),

(x0)=u0,而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=u0連續(xù),則復(fù)合函數(shù)y=f[

(x)]在點(diǎn)

x=x0處也連續(xù).定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.例10討論函數(shù)的間斷點(diǎn)類(lèi)型．解:

顯然

x=1為間斷點(diǎn),又由知x=0也為間斷點(diǎn)．在x=0處,因?yàn)?∞，所以

x=0為第二類(lèi)間斷點(diǎn),且是無(wú)窮間斷點(diǎn)．在x=1處,=0,所以x=1是第一類(lèi)間斷點(diǎn)中的跳躍間斷點(diǎn)．例如,五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定義5:設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義,如果有x0

I,使得對(duì)x

I

都有

f(x)

f(x0)

[f(x)

f(x0)]則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大(小)值.y=1+sinx在區(qū)間[0,2

]上,

y=sgnx在區(qū)間(

,+

)上,在(0,+

)上,

ymax=2,ymin=0,ymax=1,ymin=1,ymax=1,ymin=1,定理6(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.定理7(最大值和最小值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值.注1:若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;

即:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則必

x1,

x2

[a,b],使得對(duì)x

[a,b]有f(x)

f(x1),

f(x)

f(x2).注2:若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.mab幾何解釋:定理8(介值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),m和M分別為f(x)在[a,b]上的最小值與最大值,則對(duì)介于m與M之間的任意實(shí)數(shù)c,至少存在一點(diǎn)

(a,b),

使得

f(

)=c

.

推論:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值.例11設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),

,

>0,證明

[a,b],使得證

設(shè)f(x)在[a,b]上的最大值為M,最小值為m,則m

f(a)

M,m

f(b)

M,于是

m

f(a)

M,

m

f(b

)

M,得由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,至少存在一點(diǎn)

[a,b],使得定理9(零點(diǎn)定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),并且

f(a)f(b)<0,則至少存在一點(diǎn)

(a,b),使得f(

)=0.例12證明方程

x3

4x2+1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證

令f(x)=x3

4x2+1,則f(x)在[0,1]上連續(xù),又

f(0)=1>0,f(1)=

2<0,由零點(diǎn)定理,

(0,1),使得

f(

)=0,即

3

4

2+1=0.故方程

x3

4x2+1=0在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.例13設(shè)f(x)和g(x)在[a,b]上連續(xù),且f(a)<g(a),f(b)>g(b),

證明

[a