南師大附中特長(zhǎng)生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在高中數(shù)學(xué)中，函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像是一條拋物線，當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口方向是（）。

A.向上

B.向下

C.平行于x軸

D.平行于y軸

2.函數(shù)f(x)=|x|在x=0處的導(dǎo)數(shù)是（）。

A.1

B.-1

C.0

D.不存在

3.在三角函數(shù)中，sin(30°)的值等于（）。

A.1/2

B.1/4

C.3/4

D.1

4.拋物線y=x^2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）。

A.(0,1/4)

B.(1/4,0)

C.(0,0)

D.(1,1)

5.在等差數(shù)列中，第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式是（）。

A.an=a1+(n-1)d

B.an=a1-(n-1)d

C.an=a1+nd

D.an=a1-nd

6.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離公式是（）。

A.√(x^2+y^2)

B.x+y

C.|x|+|y|

D.x^2+y^2

7.在圓的方程中，(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，表示圓心的坐標(biāo)是（）。

A.(a,b)

B.(-a,-b)

C.(0,0)

D.(r,r)

8.在指數(shù)函數(shù)中，f(x)=a^x(a>0,a≠1)，當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值（）。

A.增大

B.減小

C.不變

D.無(wú)法確定

9.在對(duì)數(shù)函數(shù)中，f(x)=log_a(x)(a>0,a≠1)，當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值（）。

A.增大

B.減小

C.不變

D.無(wú)法確定

10.在立體幾何中，長(zhǎng)方體的體積公式是（）。

A.V=lwh

B.V=2(lw+lh+wh)

C.V=√(l^2+w^2+h^2)

D.V=l^2wh

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）。

A.y=2x+1

B.y=x^2

C.y=1/x

D.y=e^x

2.在三角函數(shù)中，下列等式成立的有（）。

A.sin^2(θ)+cos^2(θ)=1

B.sin(θ+φ)=sin(θ)cos(φ)+cos(θ)sin(φ)

C.cos(θ+φ)=cos(θ)cos(φ)-sin(θ)sin(φ)

D.tan(θ)=sin(θ)/cos(θ)

3.在等比數(shù)列中，下列說(shuō)法正確的有（）。

A.等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為零

B.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)

C.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)(q≠1)

D.等比數(shù)列中，任意兩項(xiàng)的比相等

4.在圓錐中，下列說(shuō)法正確的有（）。

A.圓錐的側(cè)面積公式為S=πrl

B.圓錐的全面積公式為S=πr(r+l)

C.圓錐的體積公式為V=1/3πr^2h

D.圓錐的母線、底面半徑和高構(gòu)成一個(gè)直角三角形

5.在解析幾何中，下列說(shuō)法正確的有（）。

A.直線y=kx+b的斜率為k

B.兩條直線平行的條件是它們的斜率相等

C.圓x^2+y^2=r^2的圓心在原點(diǎn)

D.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域是{x|x≥1}。

2.若sinα=1/2，且α在第二象限，則cosα=-√3/2。

3.已知等差數(shù)列{an}中，a1=5，d=-2，則a5=1。

4.拋物線y^2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(2,0)。

5.若A(1,2)，B(3,0)，則向量AB的坐標(biāo)是(2,-2)，|AB|=2√2。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

3.在△ABC中，已知角A=60°，角B=45°，邊c=√2，求邊a和邊b的長(zhǎng)度。

4.求過(guò)點(diǎn)P(1,2)且與直線L:2x-y+1=0垂直的直線方程。

5.已知圓C的方程為x^2+y^2-4x+6y-3=0，求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案

1.A

2.C

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、多項(xiàng)選擇題答案

1.AD

2.ABCD

3.ABCD

4.ABCD

5.ACD

三、填空題答案

1.{x|x≥1}

2.-√3/2

3.1

4.(2,0)

5.(2,-2),2√2

四、計(jì)算題答案及過(guò)程

1.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=0，f(0)=2，f(2)=-2，f(3)=2。故最大值為2，最小值為-2。

2.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x+1+2)/(x+1)dx=∫(1+2/(x+1))dx=x+2ln|x+1|+C。

3.解：由正弦定理a/sinA=c/sinC，得a=(√2*sin60°)/sin45°=(√2*√3/2)/√2=√3。由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA，得√3^2=b^2+(√2)^2-2b*√2*cos60°，即3=b^2+2-√2b。解得b=1+√2或b=1-√2（舍去）。故a=√3，b=1+√2。

4.解：直線L的斜率為2，所求直線的斜率為-1/2。故所求直線方程為y-2=-1/2(x-1)，即x+2y-5=0。

5.解：圓方程配方得(x-2)^2+(y+3)^2=16。故圓心坐標(biāo)為(2,-3)，半徑為4。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容。具體知識(shí)點(diǎn)分類如下：

一、函數(shù)

1.函數(shù)的概念及其表示法

2.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性

3.函數(shù)的圖像及其變換

4.函數(shù)的極限和連續(xù)性

二、三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的定義及其圖像

2.三角函數(shù)的恒等變換

3.三角函數(shù)的解三角形應(yīng)用

三、數(shù)列

1.數(shù)列的概念及其分類

2.等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式

3.數(shù)列的遞推關(guān)系

四、解析幾何

1.直線方程及其位置關(guān)系

2.圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程及其性質(zhì)

3.點(diǎn)到直線、點(diǎn)到圓的距離公式

五、立體幾何

1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

2.空間幾何體的表面積和體積計(jì)算

3.空間向量及其應(yīng)用

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

1.考察函數(shù)的單調(diào)性，例如f(x)=x^2在x≥0時(shí)單調(diào)遞增。

2.考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。

3.考察特殊角的三角函數(shù)值，例如sin(30°)=1/2。

4.考察拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，例如y^2=2px的焦點(diǎn)為(p/2,0)。

5.考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，例如an=a1+(n-1)d。

6.考察兩點(diǎn)間的距離公式，例如點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離為√(x^2+y^2)。

7.考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，例如(x-a)^2+(y-b)^2=r^2表示圓心為(a,b)，半徑為r的圓。

8.考察指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，例如a^x在a>1時(shí)單調(diào)遞增。

9.考察對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，例如log_a(x)在a>1時(shí)單調(diào)遞增。

10.考察長(zhǎng)方體的體積公式，例如V=lwh。

二、多項(xiàng)選擇題

1.考察函數(shù)的單調(diào)性，例如y=2x+1和y=e^x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。

2.考察三角函數(shù)的恒等變換，例如sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。

3.考察等比數(shù)列的性質(zhì)，例如等比數(shù)列的任意一項(xiàng)都不為零，通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)，前n項(xiàng)和公式為Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)(q≠1)，任意兩項(xiàng)的比相等。

4.考察圓錐的表面積和體積計(jì)算，例如圓錐的側(cè)面積公式為S=πrl，全面積公式為S=πr(r+l)，體積公式為V=1/3πr^2h，母線、底面半徑和高構(gòu)成一個(gè)直角三角形。

5.考察直線和圓的性質(zhì)，例如直線y=kx+b的斜率為k，兩條直線平行的條件是它們的斜率相等，圓x^2+y^2=r^2的圓心在原點(diǎn)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

三、填空題

1.考察函數(shù)的定義域，例如f(x)=√(x-1)的定義域?yàn)閧x|x≥1}。

2.考察三角函數(shù)值，例如sinα=1/2，且α在第二象限，則cosα=-√3/2。

3.考察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，例如a1=5，d=-2，則a5=1。

4.考察拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，例如y^2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)。

5.考察向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)計(jì)算，例如向量AB的坐標(biāo)為(2,