第六章培優(yōu)點(diǎn)6新情境、新定義下的數(shù)列問(wèn)題數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)縱觀各地考題，總能在試卷的壓軸題位置發(fā)現(xiàn)新情境、新定義數(shù)列題的身影，它們對(duì)數(shù)列綜合問(wèn)題的考查常常以新定義和新構(gòu)造形式呈現(xiàn)，有時(shí)還伴隨著數(shù)列與其他知識(shí)的交匯.重點(diǎn)解讀

題型一√以等差、等比的概念定義新數(shù)列

(2)定義高階等差數(shù)列：對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列{an}，令bn＝an＋1－an，則數(shù)列{bn}稱為數(shù)列{an}的一階差數(shù)列，再令cn＝bn＋1－bn，則數(shù)列{cn}稱為數(shù)列{an}的二階差數(shù)列.已知數(shù)列{An}為2，5，11，21，36，…，且它的二階差數(shù)列是等差數(shù)列，則A8＝

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121該數(shù)列的一階差數(shù)列為3，6，10，15，…，則二階差數(shù)列為3，4，5，…，因?yàn)槎A差數(shù)列是等差數(shù)列，故二階差數(shù)列后面的項(xiàng)為6，7，8，…，所以一階差數(shù)列后面的項(xiàng)為21，28，36，…，從而原數(shù)列后面的項(xiàng)為57，85，121，…，故A8＝121.“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類(lèi)比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.思維升華

√√

例2給定數(shù)列{an}，若滿足a1＝a(a>0且a≠1)，且對(duì)于任意的m，t∈N*，都有am＋t＝am·at，則稱數(shù)列{an}為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝4n，證明：{an}為“指數(shù)型數(shù)列”；題型二因?yàn)閍1＝4，且對(duì)于任意的m，t∈N*，都有am·at＝4m·4t＝4m＋t＝am＋t，所以{an}為“指數(shù)型數(shù)列”.以函數(shù)定義新數(shù)列

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，本質(zhì)上數(shù)列是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的“離散型”函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題可以融入函數(shù)問(wèn)題之中，解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)可以結(jié)合函數(shù)知識(shí).思維升華

√√√

題型三以數(shù)列和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系定義新數(shù)列

(2)定義首項(xiàng)為2且公比大于1的等比數(shù)列為“G－數(shù)列”.證明：①對(duì)任意k≤5且k∈N*，存在“G－數(shù)列”{bn}，使得bk≤ak≤bk＋1成立；

②當(dāng)k≥6且k∈N*時(shí)，不存在“G－數(shù)列”{cn}，使得cm≤am≤cm＋1對(duì)任意正整數(shù)m≤k成立.

解決此類(lèi)創(chuàng)新概念問(wèn)題的關(guān)鍵：一是認(rèn)真審題，讀懂創(chuàng)新概念的含義；二是活用概念，即會(huì)利用創(chuàng)新概念，在相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上加以類(lèi)比、提升與拓展，轉(zhuǎn)化為熟悉的相關(guān)問(wèn)題；三是根據(jù)題意，并結(jié)合相關(guān)知識(shí)加以分析與求解，達(dá)到創(chuàng)新能力與轉(zhuǎn)化思維的統(tǒng)一，知識(shí)與能力的綜合，真正達(dá)到創(chuàng)新的目的.思維升華跟蹤訓(xùn)練3對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan對(duì)任意正整數(shù)n(n>k)恒成立，則稱數(shù)列{an}是“P(k)數(shù)列”.(1)證明：等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”；因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則an＝a1＋(n－1)d，當(dāng)n≥4時(shí)，an－i＋an＋i＝a1＋(n－i－1)d＋a1＋(n＋i－1)d＝2a1＋2(n－1)d＝2an，i＝1，2，3，所以an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an對(duì)任意正整數(shù)n(n>3)恒成立，因此等差數(shù)列{an}是“P(3)數(shù)列”.(2)若數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：{an}是等差數(shù)列.數(shù)列{an}既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n≥3時(shí)，an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＝4an，

①當(dāng)n≥4時(shí)，an－3＋an－2＋an－1＋an＋1＋an＋2＋an＋3＝6an. ②由①知，an－3＋an－2＝4an－1－(an＋an＋1)，

③an＋2＋an＋3＝4an＋1－(an－1＋an)，

④將③④代入②，得an－1＋an＋1＝2an，其中n≥4，所以a3，a4，a5，…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d'.在①中，取n＝4，則a2＋a3＋a5＋a6＝4a4，所以a2＝a3－d'，在①中，取n＝3，則a1＋a2＋a4＋a5＝4a3，所以a1＝a3－2d'，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.課時(shí)精練01單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12345678910題號(hào)1234567答案ADDBBDBC2題號(hào)

8答案

n＋1對(duì)一對(duì)答案12345678910

9.答案12345678910

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10.答案12345678910

10.答案12345678910由于數(shù)列{Sn}從任何一項(xiàng)求其后一項(xiàng)均有兩種不同的結(jié)果，所以這樣的數(shù)列{Sn}有無(wú)數(shù)多個(gè)，則對(duì)應(yīng)的數(shù)列{an}有無(wú)數(shù)多個(gè).則存在三個(gè)不同的數(shù)列{an}為“λ－3”數(shù)列，且an≥0，綜上可得0<λ<1.10.一、單項(xiàng)選擇題1.在一個(gè)數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an·an＋1·an＋2＝k(k為常數(shù))，那么這個(gè)數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個(gè)數(shù)列的公積.已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，公積為8，則a1＋a2＋a3＋…＋a12等于A.28 B.20 C.24

D.10√12345678910答案12345678910答案由題知an·an＋1·an＋2＝8，an＋1·an＋2·an＋3＝8，所以an＝an＋3，故數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列，又a1a2a3＝8，a1＝1，a2＝2，所以a3＝4，所以a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝28.12345678910答案

√12345678910答案

√12345678910答案12345678910答案

√12345678910答案12345678910

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12345678910答案√√12345678910

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√12345678910答案√12345678910

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12345678910答案n＋112345678910

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12345678910答案12345678910答案

12345678910答案12345678910答案

12345678910答案當(dāng)k＝1時(shí)，an＋1＝Sn＋1－Sn＝λan＋1，由n為任意正整數(shù)，且a1＝1，an＋1≠0，可得λ＝1.

12345678910答案12345678910答案

12345678910答案

(3)對(duì)于給定的λ，是否存在三個(gè)不同的數(shù)列{an}為“λ－3”數(shù)列，且an≥0？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.12345678910答案12345678910答案

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