**一、教材分析**《余角和補(bǔ)角》是人教版七年級(jí)上冊(cè)第四章《幾何圖形初步》第三節(jié)的內(nèi)容，屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的基礎(chǔ)內(nèi)容。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了角的定義、角的度量、角的比較等知識(shí)后，對(duì)“角的數(shù)量關(guān)系”的進(jìn)一步探索，是后續(xù)學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和等內(nèi)容的重要鋪墊。教材編排遵循“直觀感知—抽象定義—探究性質(zhì)—應(yīng)用拓展”的邏輯主線：先通過(guò)具體操作（如三角板拼角）引出余角、補(bǔ)角的定義，再通過(guò)度量、推理探究其性質(zhì)（等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等），最后通過(guò)例題與練習(xí)鞏固應(yīng)用。這種設(shè)計(jì)符合學(xué)生從具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，強(qiáng)調(diào)知識(shí)的形成過(guò)程。**二、學(xué)情分析**認(rèn)知基礎(chǔ)：七年級(jí)學(xué)生已掌握角的基本概念（如頂點(diǎn)、邊、角度度量），能進(jìn)行簡(jiǎn)單的角的比較與計(jì)算，但對(duì)“角的數(shù)量關(guān)系”的抽象概括能力仍有待提高。思維特點(diǎn)：以直觀形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過(guò)渡，需要借助具體圖形、操作活動(dòng)幫助理解抽象概念。學(xué)習(xí)需求：學(xué)生對(duì)“生活中的數(shù)學(xué)”有較強(qiáng)興趣，希望通過(guò)動(dòng)手操作、合作探究獲取知識(shí)，而非被動(dòng)接受。**三、教學(xué)目標(biāo)**根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求，結(jié)合教材與學(xué)情，制定以下三維目標(biāo)：1.知識(shí)與技能（1）理解余角、補(bǔ)角的定義，能準(zhǔn)確識(shí)別互為余角、互為補(bǔ)角的角；（2）掌握余角、補(bǔ)角的性質(zhì)（等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等），并能運(yùn)用性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的角度計(jì)算問(wèn)題；（3）學(xué)會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表示余角、補(bǔ)角的關(guān)系（如∠α+∠β=90°?∠α與∠β互余）。2.過(guò)程與方法通過(guò)“操作探究—?dú)w納定義—驗(yàn)證性質(zhì)—應(yīng)用拓展”的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、抽象概括能力與邏輯推理能力；通過(guò)小組合作，提高合作交流與問(wèn)題解決能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀（1）通過(guò)生活中的實(shí)例（如時(shí)鐘、墻角、剪刀）引入，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；（2）在探究性質(zhì)的過(guò)程中，體會(huì)“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。**四、教學(xué)重難點(diǎn)**重點(diǎn)：余角、補(bǔ)角的定義及性質(zhì)；難點(diǎn)：余角、補(bǔ)角性質(zhì)的邏輯推理及符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用。**五、教學(xué)方法**采用“直觀教學(xué)法+探究式教學(xué)法+講練結(jié)合法”：直觀教學(xué)法：通過(guò)三角板拼角、量角器度量、幾何畫板動(dòng)態(tài)演示等操作，幫助學(xué)生直觀理解余角、補(bǔ)角的關(guān)系；探究式教學(xué)法：設(shè)置“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生自主探究，如“兩個(gè)角的和為90°時(shí)，它們有什么關(guān)系？”“等角的余角是否相等？”，讓學(xué)生通過(guò)觀察、猜想、驗(yàn)證得出結(jié)論；講練結(jié)合法：通過(guò)例題講解鞏固定義與性質(zhì)，通過(guò)分層練習(xí)提升應(yīng)用能力。**六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)**（一）情境導(dǎo)入：生活中的“角的和”（5分鐘）問(wèn)題1：觀察下列圖片，你能發(fā)現(xiàn)其中角的數(shù)量關(guān)系嗎？（PPT展示：①墻角的兩個(gè)直角邊形成的角；②剪刀張開時(shí)的兩個(gè)刀刃形成的角；③時(shí)鐘指向3點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針的夾角）學(xué)生活動(dòng)：觀察圖片，說(shuō)出角的度數(shù)（如墻角的兩個(gè)角和為90°，剪刀張開的兩個(gè)角和為180°，3點(diǎn)時(shí)時(shí)針與分針夾角為90°）。教師引導(dǎo)：這些角的和具有特殊值（90°或180°），今天我們就來(lái)研究這種特殊的角的關(guān)系——余角和補(bǔ)角。設(shè)計(jì)意圖：用生活中的熟悉場(chǎng)景引入，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。（二）新知探究1：余角、補(bǔ)角的定義（10分鐘）操作1：用一副三角板拼角（教師演示，學(xué)生跟隨操作）：用30°角與60°角拼在一起，得到一個(gè)直角（90°）；用45°角與45°角拼在一起，也得到一個(gè)直角（90°）。問(wèn)題2：這兩個(gè)角的和是多少？它們之間有什么關(guān)系？學(xué)生回答：和為90°，它們“合起來(lái)”是一個(gè)直角。教師總結(jié)：余角的定義：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），那么這兩個(gè)角互為余角（簡(jiǎn)稱“互余”）。符號(hào)表示：若∠α+∠β=90°，則∠α與∠β互余；反之，若∠α與∠β互余，則∠α+∠β=90°。強(qiáng)調(diào)“互為”：即∠α是∠β的余角，∠β也是∠α的余角，不能單獨(dú)說(shuō)“∠α是余角”。操作2：用三角板拼180°角（如90°角與90°角，60°角與120°角）。問(wèn)題3：類似地，若兩個(gè)角的和為180°（平角），它們之間有什么關(guān)系？學(xué)生類比回答：和為180°，互為補(bǔ)角。教師總結(jié)：補(bǔ)角的定義：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角（簡(jiǎn)稱“互補(bǔ)”）。符號(hào)表示：若∠α+∠β=180°，則∠α與∠β互補(bǔ)；反之亦然。即時(shí)練習(xí)（鞏固定義）：（1）∠A=30°，則∠A的余角是______，補(bǔ)角是______；（2）∠B的余角是50°，則∠B=______；（3）∠C與∠D互補(bǔ)，∠C=70°，則∠D=______。學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成，舉手回答，教師點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)操作活動(dòng)抽象出余角、補(bǔ)角的定義，讓學(xué)生經(jīng)歷“具體—抽象”的過(guò)程，加深對(duì)定義的理解；即時(shí)練習(xí)鞏固定義，突破“互為”的難點(diǎn)。（三）新知探究2：余角、補(bǔ)角的性質(zhì)（15分鐘）問(wèn)題串引導(dǎo)探究：?jiǎn)栴}1：若∠1與∠2互余，∠3與∠2互余，那么∠1與∠3有什么關(guān)系？（用三角板演示：∠2=30°，∠1=60°，∠3=60°）學(xué)生猜想：∠1=∠3。驗(yàn)證1：度量法——用量角器量出∠1、∠3的度數(shù)，比較大小；驗(yàn)證2：推理法——∵∠1與∠2互余，∴∠1+∠2=90°?∠1=90°-∠2；∵∠3與∠2互余，∴∠3+∠2=90°?∠3=90°-∠2；∴∠1=∠3。教師總結(jié)：余角的性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等。符號(hào)表示：若∠α+∠β=90°，∠α+∠γ=90°，則∠β=∠γ（同角的余角相等）；若∠α+∠β=90°，∠γ+∠δ=90°，且∠α=∠γ，則∠β=∠δ（等角的余角相等）。問(wèn)題2：類似地，補(bǔ)角有什么性質(zhì)？（學(xué)生類比余角的探究過(guò)程，自主探究）學(xué)生活動(dòng)：小組合作，用度量或推理的方法驗(yàn)證補(bǔ)角的性質(zhì)。教師總結(jié)：補(bǔ)角的性質(zhì)：同角（或等角）的補(bǔ)角相等。符號(hào)表示：若∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=180°，則∠β=∠γ（同角的補(bǔ)角相等）；若∠α+∠β=180°，∠γ+∠δ=180°，且∠α=∠γ，則∠β=∠δ（等角的補(bǔ)角相等）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“猜想—驗(yàn)證—總結(jié)”的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力；類比余角性質(zhì)探究補(bǔ)角性質(zhì)，滲透“類比”的數(shù)學(xué)思想。（四）例題講解：應(yīng)用定義與性質(zhì)（8分鐘）例1：求下列角的余角與補(bǔ)角：（1）∠α=40°；（2）∠β=65°；（3）∠γ=90°。解答：（1）余角=90°-40°=50°，補(bǔ)角=180°-40°=140°；（2）余角=25°，補(bǔ)角=115°；（3）余角=0°（無(wú)實(shí)際意義，強(qiáng)調(diào)余角的前提是兩個(gè)角都為銳角），補(bǔ)角=90°。例2：已知∠A與∠B互余，∠B與∠C互補(bǔ)，∠A=35°，求∠C的度數(shù)。解答：方法1（直接計(jì)算）：∵∠A與∠B互余，∠A=35°，∴∠B=90°-35°=55°；∵∠B與∠C互補(bǔ)，∴∠C=180°-55°=125°。方法2（利用性質(zhì)）：∵∠A+∠B=90°，∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠B=90°+(90°-∠B)=90°+∠A=90°+35°=125°。例3：一個(gè)角的補(bǔ)角比它的余角大多少度？（用方程解決）解答：設(shè)這個(gè)角為∠x，則它的補(bǔ)角為180°-∠x，余角為90°-∠x，補(bǔ)角-余角=(180°-∠x)-(90°-∠x)=90°。結(jié)論：任意角的補(bǔ)角比它的余角大90°（注意：這個(gè)角必須有余角，即∠x<90°）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)例題鞏固定義與性質(zhì)的應(yīng)用，例1強(qiáng)調(diào)余角、補(bǔ)角的計(jì)算；例2展示性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)靈活解題能力；例3用方程解決問(wèn)題，滲透方程思想。（五）鞏固練習(xí)：分層提升（10分鐘）基礎(chǔ)題（全體學(xué)生完成）：1.∠1=25°，則∠1的余角是______，補(bǔ)角是______；2.∠α的補(bǔ)角是120°，則∠α=______，∠α的余角是______；3.若∠A與∠B互余，∠A=∠B，則∠A=______。提高題（選做）：1.已知∠α與∠β互補(bǔ)，∠α比∠β大20°，求∠α、∠β的度數(shù)；（用方程解決）2.如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC平分∠AOD，∠COE=90°，求證：∠DOE與∠BOE互余。（用符號(hào)語(yǔ)言推理）學(xué)生活動(dòng)：獨(dú)立完成基礎(chǔ)題，小組合作完成提高題，教師巡視指導(dǎo)，最后點(diǎn)評(píng)。設(shè)計(jì)意圖：分層練習(xí)滿足不同學(xué)生的需求，基礎(chǔ)題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高題提升思維能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。（六）課堂小結(jié)：梳理知識(shí)（2分鐘）教師引導(dǎo)：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？請(qǐng)用自己的話總結(jié)。學(xué)生回答：余角：和為90°的兩個(gè)角互為余角；補(bǔ)角：和為180°的兩個(gè)角互為補(bǔ)角；性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的補(bǔ)角相等；應(yīng)用：求角的度數(shù)，用性質(zhì)證明角相等。教師補(bǔ)充：強(qiáng)調(diào)“互為”的含義，以及性質(zhì)的邏輯推理過(guò)程。（七）作業(yè)布置：分層落實(shí)（1分鐘）必做題：課本習(xí)題4.3第1、2、3題；選做題：探究“如果兩個(gè)角互為補(bǔ)角，那么它們的角平分線形成的角是多少度？”（畫圖并推理）。設(shè)計(jì)意圖：必做題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，選做題拓展思維，培養(yǎng)探究能力。**七、板書設(shè)計(jì)**余角和補(bǔ)角1.定義：互余：∠α+∠β=90°?∠α與∠β互余；互補(bǔ)：∠α+∠β=180°?∠α與∠β互補(bǔ)。2.性質(zhì)：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補(bǔ)角相等。3.例題：例1：求∠α=40°的余角與補(bǔ)角；例2：∠A=35°，∠A與∠B互余，∠B與∠C互補(bǔ)，求∠C。**八、教學(xué)反思**1.成功之處：情境導(dǎo)入貼近生活，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；操作探究過(guò)程讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)的形成過(guò)程，加深了對(duì)定義與性質(zhì)的理解；分層練習(xí)滿足了不同學(xué)生的需求，提高了課堂效率。2.改進(jìn)方向：部分學(xué)生對(duì)符號(hào)語(yǔ)言的應(yīng)用還不夠熟