6.2.2線段的比較與運(yùn)算教學(xué)目標(biāo)課題6.1.2線段的比較與運(yùn)算授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.能用尺規(guī)作圖，會(huì)畫(huà)一條線段等于已知線段.2.會(huì)用度量法與疊合法來(lái)比較線段的長(zhǎng)短.理解兩條線段的長(zhǎng)短比較所隱含的意義，能從“量”與“形”上進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3.掌握線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間，線段最短.理解兩點(diǎn)間距離的意義，能度量和表達(dá)兩點(diǎn)間的距離.4.理解線段的和、差及線段中點(diǎn)的意義，了解三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)的意義.會(huì)畫(huà)兩條線段的和、差，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.教學(xué)重點(diǎn)1.線段長(zhǎng)短的比較.2.關(guān)于線段的基本事實(shí).3.線段的中點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)的表示方法及運(yùn)用.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課【問(wèn)題引入】觀察這三組圖形，你能比較出每組圖形中線段a和b的長(zhǎng)短嗎？三組圖形中，線段a和b的長(zhǎng)度均相等.很多時(shí)候，眼見(jiàn)未必為實(shí).準(zhǔn)確比較線段的長(zhǎng)短還需要更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?如何找到更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒?？這就是本節(jié)課要解決的問(wèn)題.【教學(xué)建議】這里可先讓學(xué)生通過(guò)直觀觀察說(shuō)出線段的長(zhǎng)短，再結(jié)合學(xué)生的回答引出本節(jié)課的內(nèi)容.設(shè)計(jì)意圖由幾何中線段視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)問(wèn)題作為引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決問(wèn)題的熱情.活動(dòng)二：實(shí)踐探究，獲取新知探究點(diǎn)1尺規(guī)作圖、線段長(zhǎng)短的比較Ⅰ.尺規(guī)作圖問(wèn)題1如圖，老師手里的紙上有一條線段，你能在你的本子上作出一條同樣長(zhǎng)短的線段嗎？可用刻度尺直接測(cè)量后畫(huà)出.問(wèn)題2除了常用的用刻度尺度量的方法，是否還有其他方法？可用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作圖.概念引入：在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.【教學(xué)建議】對(duì)于問(wèn)題2，這是學(xué)生首次接觸尺規(guī)作圖，學(xué)生能完成作圖即可，不要求說(shuō)出作法，教師也可以鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言表述作圖過(guò)程.注意提醒學(xué)生：尺規(guī)作圖一般要求作出圖形，說(shuō)明結(jié)果，并保留作圖痕跡.設(shè)計(jì)意圖尺規(guī)作圖的概念和“作一條線段等于已知線段”是為后面線段的運(yùn)算做鋪墊.

教學(xué)步驟師生活動(dòng)問(wèn)題3想一想，兩種方法中，刻度尺、直尺和圓規(guī)分別發(fā)揮了什么作用？刻度尺可以量出長(zhǎng)度和畫(huà)出相應(yīng)線段.直尺只能用來(lái)畫(huà)線，不能測(cè)量線段的長(zhǎng)度，圓規(guī)可測(cè)量線段的長(zhǎng)度.Ⅱ.線段的長(zhǎng)短比較如何進(jìn)行更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木€段長(zhǎng)短比較，我們可從身高比較中找一找方法.問(wèn)題1下面兩人要比較身高，類比上面尺規(guī)作圖中的方法，說(shuō)一說(shuō)你是如何比較的？可按直接測(cè)量的方法或腳底平齊再看兩人頭頂高度的方法進(jìn)行比較.問(wèn)題2（1）類似地，我們?nèi)绾伪容^兩條線段的長(zhǎng)短呢？①度量法：②疊合法：使用圓規(guī)按【教學(xué)建議】中的方法進(jìn)行“疊合”.注意事項(xiàng)：疊合線段時(shí)要注意兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)對(duì)齊（重合），另一個(gè)端點(diǎn)落在同一側(cè).（2）你認(rèn)為按照疊合法，兩條線段的長(zhǎng)短比較有哪些可能性？【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P166練習(xí)第1題.【教學(xué)建議】這里學(xué)生類比后會(huì)用到下面的方法：①用刻度尺分別測(cè)量出兩位同學(xué)的身高，將所得的數(shù)值進(jìn)行比較.②讓兩人并排站在同一塊平地上，腳底平齊，觀看兩人的頭頂，直接比出高矮.可通過(guò)這兩種方法的介紹，引出線段比較中的度量法和疊合法.另外教師可用兩根長(zhǎng)短不一的粉筆再舉下例子.【教學(xué)建議】在兩條線段長(zhǎng)短的比較中，度量法比較好理解.這個(gè)疊合法就是將其中一條線段“移”到另一條線段上，使其一端點(diǎn)與另一線段的一端點(diǎn)重合，然后觀察兩條線段另外兩個(gè)端點(diǎn)的位置作比較.教師注意向?qū)W生解釋，并提醒學(xué)生注意：這里雖然線段的位置改變了，但線段的長(zhǎng)短保持不變.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生從身高比較引出比較線段長(zhǎng)短的兩種方法：度量法和疊合法.并通過(guò)尺規(guī)作圖，讓學(xué)生進(jìn)一步理解線段比較的實(shí)質(zhì)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀.

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖探究點(diǎn)2關(guān)于線段的基本事實(shí)問(wèn)題1（教材P165探究）如圖，從A地到B地有四條道路，除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路？如果能，請(qǐng)你聯(lián)系以前所學(xué)的知識(shí)，在圖上畫(huà)出最短道路.從圖②可以看出線段AB最短.概念引入：①關(guān)于線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩點(diǎn)之間，線段最短.②距離的概念：連接兩點(diǎn)的線段的長(zhǎng)度，叫作這兩點(diǎn)間的距離.問(wèn)題2如上圖②中，線段AB的長(zhǎng)度就是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離.想一想，我們能說(shuō)A，B兩點(diǎn)間的距離是線段AB嗎？不能，兩點(diǎn)間的距離是一個(gè)具體的數(shù)量，而線段是圖形，因此不能把A，B兩點(diǎn)間的距離說(shuō)成線段AB.問(wèn)題3你能舉出線段的基本事實(shí)在生活中的一些應(yīng)用嗎？應(yīng)用舉例1河道改直問(wèn)題如圖，把原來(lái)彎曲的河道改直，A，B兩地間的河道長(zhǎng)度有什么變化？河道的長(zhǎng)度變短了.應(yīng)用舉例2九曲橋問(wèn)題如圖，公園里修建了曲折迂回的橋，這樣做對(duì)游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響？與修一座筆直的橋相比，這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程？說(shuō)出其中的道理.由于“兩點(diǎn)之間，線段最短”，這樣做增加了橋的長(zhǎng)度，一方面能容納更多的游人來(lái)觀光，另一方面也增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞湖面風(fēng)光.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】如圖，這是A，B兩地之間的公路，在公路工程改造計(jì)劃時(shí)，為使A，B兩地行程最短，應(yīng)如何設(shè)計(jì)道路？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出，并說(shuō)明理由.解：設(shè)計(jì)道路如圖中線段AB.理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.【教學(xué)建議】“兩點(diǎn)之間，線段最短”是學(xué)生容易接受的結(jié)論，對(duì)此基本事實(shí)是讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考得到的，這種經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)比較得到結(jié)論的方法是科學(xué)的方法，有廣泛的應(yīng)用價(jià)值.在此基礎(chǔ)上，可以讓學(xué)生舉出一些實(shí)際應(yīng)用以認(rèn)識(shí)此性質(zhì)的實(shí)際價(jià)值.通過(guò)設(shè)置的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、驗(yàn)證新知的過(guò)程，強(qiáng)化對(duì)線段基本事實(shí)的理解，并在探究中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流、口頭表達(dá)的能力.設(shè)計(jì)意圖探究點(diǎn)3線段的運(yùn)算Ⅰ.線段和、差的意義及作圖問(wèn)題1（1）如圖，線段AB和AC的大小關(guān)系是怎樣的？AB＜AC.（2）上圖中AB，BC，AC有怎樣的和、差關(guān)系？AC＝AB＋BC，AB＝AC－BC，BC＝AC－AB.由判斷線段的長(zhǎng)短引出線段的運(yùn)算，讓學(xué)生掌握線段和、差的作圖方法；將用圖形表示和、差與用符號(hào)表示和、差結(jié)合起來(lái).教學(xué)步驟師生活動(dòng)問(wèn)題2如圖，已知線段a和線段b，怎樣通過(guò)作圖得到a與b的和、a與b的差呢？例（教材P165例1）如圖，已知線段a，b，作一條線段，使它等于2a－b.解：如圖，在直線上作線段AB＝a，再在線段AB的延長(zhǎng)線上作線段BC＝a，則線段AC＝2a.在線段AC上作線段CD＝b，則線段AD＝2a－b.教師總結(jié)：作線段的和、差時(shí)，按“右加左減”的方法作圖.線段的倍數(shù)也可轉(zhuǎn)化為線段的和進(jìn)行作圖.Ⅱ.線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)及倍、分問(wèn)題1在一張透明的紙上畫(huà)一條線段，折疊紙片，使線段的端點(diǎn)重合.折痕與線段的交點(diǎn)是線段的什么位置？中點(diǎn)位置.問(wèn)題2如圖，已知線段a，求作線段AB＝2a.如圖，線段AB即為所求.知識(shí)引入：如問(wèn)題2圖，點(diǎn)M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM，點(diǎn)M叫作線段AB的中點(diǎn).教師總結(jié)：【教學(xué)建議】

教師引導(dǎo)學(xué)生思考并總結(jié)：幾何中線段的和、差與代數(shù)中數(shù)的和、差有聯(lián)系也有區(qū)別，在數(shù)量上是線段長(zhǎng)度的和、差，在圖形上作線段的和、差得到的圖形是一條線段.【教學(xué)建議】

對(duì)于線段的和、差、中點(diǎn)，應(yīng)以圖形認(rèn)識(shí)為主，讓學(xué)生看到相應(yīng)圖形的形成，培養(yǎng)識(shí)圖能力，進(jìn)一步可要求學(xué)生能在圖形和相應(yīng)數(shù)量關(guān)系之間建立起聯(lián)系，并與有關(guān)的符號(hào)表示聯(lián)系起來(lái)，如由點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，就有AB＝2AM＝2BM，AM＝BM＝eq\f(1,2)AB（反過(guò)來(lái)，如果點(diǎn)M在線段AB上，且有這樣的數(shù)量關(guān)系，那么點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)），這對(duì)于以后的學(xué)習(xí)（用符號(hào)表示推理）很有幫助.

教學(xué)步驟師生活動(dòng)問(wèn)題3那么什么叫做三等分點(diǎn)？四等分點(diǎn)呢？【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】教材P166練習(xí)第2，3題.【教學(xué)建議】

教師提醒學(xué)生注意：線段的中點(diǎn)只有一個(gè)，且一定在線段上，類似地，線段的三等分點(diǎn)有兩個(gè)，線段的四等分點(diǎn)有三個(gè)，且這些點(diǎn)都在線段上.活動(dòng)三：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)隨堂訓(xùn)練.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：1.什么是尺規(guī)作圖？如何用尺規(guī)作一條線段等于已知線段？2.比較線段的長(zhǎng)短有哪些方法？3.線段的基本事實(shí)是什么？4.什么是兩點(diǎn)間的距離？5.如何作線段的和，線段的差？6.什么是線段的中點(diǎn)、三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P167習(xí)題6.2第4，5題.2.《創(chuàng)優(yōu)作業(yè)》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練.板書(shū)設(shè)計(jì)教學(xué)反思本節(jié)課通過(guò)比較線段視覺(jué)錯(cuò)覺(jué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考嚴(yán)謹(jǐn)?shù)谋容^線段長(zhǎng)短的方法，從而引出課題，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；并通過(guò)動(dòng)手操作，親身體驗(yàn)用疊合法比較線段的長(zhǎng)短.教師要嘗試讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)，優(yōu)化課堂教學(xué)中的反饋與評(píng)價(jià).通過(guò)評(píng)價(jià)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，堅(jiān)定學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心.解題大招一線段的長(zhǎng)短比較實(shí)際做題時(shí)，線段的長(zhǎng)短比較主要是用疊合法，比較時(shí)關(guān)鍵要注意兩條線段的一個(gè)端點(diǎn)要重合.例1為了比較線段AB與CD的長(zhǎng)短，李明將點(diǎn)A與點(diǎn)C重合使兩條線段在一條直線上，結(jié)果點(diǎn)B在線段CD的延長(zhǎng)線上，則（B）A.AB<CDB.AB>CDC.AB＝CDD.以上都不對(duì)例2體育課上，劉偉在點(diǎn)O處進(jìn)行了四次鉛球試投，鉛球分別落在圖中的M，N，P，Q四個(gè)點(diǎn)處，則表示他最好成績(jī)的是（C）A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)PD.點(diǎn)Q解題大招二與線段有關(guān)的作圖（1）到兩點(diǎn)的距離之和最小就是求作連接兩點(diǎn)的線段.（2）線段和、差的作圖方法：例3如圖，要在鐵路l旁建一倉(cāng)庫(kù)P，使P到鐵路兩旁的A，B的距離之和最短，請(qǐng)?jiān)趌上標(biāo)出點(diǎn)P的位置，并說(shuō)明理由.解：如圖，點(diǎn)P為所求.理由：兩點(diǎn)之間，線段最短.例4已知線段a，b.求作：線段AC，使AC＝a－2b.解：如圖，線段AC即為所求.解題大招三與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算M為線段AB的中點(diǎn)表達(dá)方式：（1）點(diǎn)M在線段AB上，且AM＝BM；（2）AB＝2AM＝2BM；（3）AM＝BM＝Ａeq\f(1,2)AB1.直接計(jì)算例5如圖，AC＝8cm，CB＝6cm，O是線段AB的中點(diǎn)，求線段OC的長(zhǎng)度.思路分析解：因?yàn)锳B＝AC＋CB＝8＋6＝14（cm），O是線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)B＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×14＝7（cm），所以O(shè)C＝OB－CB＝7－6＝1（cm）.2.用方程思想解決線段中點(diǎn)計(jì)算問(wèn)題有關(guān)線段長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題，若直接求解無(wú)法計(jì)算，則可考慮借助未知數(shù)，特別是條件有連比的情況，通過(guò)相關(guān)線段之間的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建方程求解.例6如圖，B，C是線段AD上兩點(diǎn)，且AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，且EF＝24，求線段AB，BC，CD的長(zhǎng).分析：根據(jù)已知條件AB∶BC∶CD＝3∶2∶5，不妨設(shè)AB＝3x，BC＝2x，CD＝5x，然后運(yùn)用線段的和、差、倍、分，用含x的代數(shù)式表示EF的長(zhǎng)，從而得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各線