天津市育賢中學(xué)七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末試卷培優(yōu)測(cè)試卷一、解答題1.已知:AB
CD.點(diǎn)E在CD上,點(diǎn)F,H在AB上,點(diǎn)G在AB,CD之間,連接FG,EH,GE,∠GFB＝∠CEH.(1)如圖1,求證:GF
EH;(2)如圖2,若∠GEH＝α,FM平分∠AFG,EM平分∠GEC,試問(wèn)∠M與α之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系(用含α的式子表示∠M)?請(qǐng)寫出你的猜想,并加以證明.2.已知,AB∥CD,點(diǎn)E為射線FG上一點(diǎn).(1)如圖1,若∠EAF＝25°,∠EDG＝45°,則∠AED=.（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí),此時(shí)CD與AE交于點(diǎn)H,則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關(guān)系,請(qǐng)說(shuō)明你的結(jié)論;（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在FG延長(zhǎng)線上時(shí),DP平分∠EDC,∠AED＝32°,∠P＝30°,求∠EKD的度數(shù)．3.已知,如圖1,射線PE分別與直線AB,CD相交于E.F兩點(diǎn),∠PFD的平分線與直線AB相交于點(diǎn)M,射線PM交CD于點(diǎn)N,設(shè)∠PFM＝α°,∠EMF＝β°,且(40﹣2α)2＋|β﹣20|＝0(1)α＝,β＝;直線AB與CD的位置關(guān)系是;(2)如圖2,若點(diǎn)G、H分別在射線MA和線段MF上,且∠MGH＝∠PNF,試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)若將圖中的射線PM繞著端點(diǎn)P逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(如圖3),分別與AB.CD相交于點(diǎn)M1和點(diǎn)N1時(shí),作∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點(diǎn)Q,問(wèn)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中
的值是否改變?若不變,請(qǐng)求出其值;若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.4.如圖1,把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長(zhǎng)方形直尺DEFG的EF邊上.（1)根據(jù)圖1填空:∠1＝°,∠2＝°；(2)現(xiàn)把三角板繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°.①如圖2,當(dāng)n＝25°,且點(diǎn)C恰好落在DG邊上時(shí),求∠1、∠2的度數(shù);②當(dāng)0°＜n＜180°時(shí),是否會(huì)存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在,請(qǐng)直接寫出所有n的值和對(duì)應(yīng)的那兩條垂線；如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由．5.直線AB∥CD,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn),連接AP,CP.(1)如圖①,點(diǎn)P在直線AB,CD之間,當(dāng)∠BAP＝60°,∠DCP＝20°時(shí),求∠APC的度數(shù);（2）如圖②,點(diǎn)P在直線AB,CD之間,∠BAP與∠DCP的角平分線相交于K,寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;（3）如圖③,點(diǎn)P在直線CD下方,當(dāng)∠BAK＝
∠BAP,∠DCK＝
∠DCP時(shí),寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由．二、解答題6.如圖,以直角三角形
的直角頂點(diǎn)
為原點(diǎn),以
、
所在直線為
軸和
軸建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)
,
滿足
.(1)
點(diǎn)的坐標(biāo)為______;
點(diǎn)的坐標(biāo)為______.(2)如圖1,已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)
、
同時(shí)出發(fā),
點(diǎn)從
點(diǎn)出發(fā)沿
軸負(fù)方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng),
點(diǎn)從
點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿
軸正方向移動(dòng),點(diǎn)
到達(dá)
點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束.
的中點(diǎn)
的坐標(biāo)是
,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
.問(wèn):是否存在這樣的
,使
?若存在,請(qǐng)求出
的值:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）如圖2,過(guò)
作
,作
交
于點(diǎn)
,點(diǎn)
是線段
上一動(dòng)點(diǎn),連
交
于點(diǎn)
,當(dāng)點(diǎn)
在線段
上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,
的值是否會(huì)發(fā)生變化？若不變,請(qǐng)求出它的值：若變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.7．已知
,點(diǎn)
為平面內(nèi)一點(diǎn),
于
．(1)如圖1,點(diǎn)
在兩條平行線外,則
與
之間的數(shù)量關(guān)系為______;(2)點(diǎn)
在兩條平行線之間,過(guò)點(diǎn)
作
于點(diǎn)
.①如圖2,說(shuō)明
成立的理由;②如圖3,
平分
交
于點(diǎn)
平分
交
于點(diǎn)
.若
,求
的度數(shù).8．為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈．如圖1所示,燈
射線從
開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至
便立即回轉(zhuǎn),燈
射線從
開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至
便立即回轉(zhuǎn),兩燈不停交又照射巡視．若燈
轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度,燈
轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度．假定主道路是平行的,即
,且
．(1)填空:
_________;(2)若燈
射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒,燈
射線才開始轉(zhuǎn)動(dòng),在燈
射線到達(dá)
之前,
燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒,兩燈的光束互相平行?（3）如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng),在燈
射線到達(dá)
之前.若射出的光束交于點(diǎn)
,過(guò)
作
交
于點(diǎn)
,且
,則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)?zhí)骄?與
的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變,請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.9．如圖1,
,E是
、
之間的一點(diǎn)．(1)判定
,
與
之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)如圖2,若
、
的兩條平分線交于點(diǎn)F.直接寫出
與
之間的數(shù)量關(guān)系;（3）將圖2中的射線
沿
翻折交
于點(diǎn)G得圖3,若
的余角等于
的補(bǔ)角,求
的大小.10．已知兩條直線l1,l2,l1∥l2,點(diǎn)A,B在直線l1上,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,點(diǎn)C,D在直線l2上,且滿足
．(1)如圖①,求證:AD∥BC;(2)點(diǎn)M,N在線段CD上,點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊且滿足
,且AN平分∠CAD;（Ⅰ）如圖②,當(dāng)
時(shí),求∠DAM的度數(shù);（Ⅱ）如圖③,當(dāng)
時(shí),求∠ACD的度數(shù)．三、解答題11.在△ABC中,射線AG平分∠BAC交BC于點(diǎn)G,點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)G重合),過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E.(1)如圖1,點(diǎn)D在線段CG上運(yùn)動(dòng)時(shí),DF平分∠EDB①若∠BAC＝100°,∠C＝30°,則∠AFD＝;若∠B＝40°,則∠AFD＝;②試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2）點(diǎn)D在線段BG上運(yùn)動(dòng)時(shí),∠BDE的角平分線所在直線與射線AG交于點(diǎn)F試探究∠AFD與∠B之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由12．在△ABC中,∠BAC＝90°,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),將△ABD沿AD翻折后得到△AED,邊AE交BC于點(diǎn)F．(1)如圖①,當(dāng)AE⊥BC時(shí),寫出圖中所有與∠B相等的角:;所有與∠C相等的角:.(2)若∠C－∠B＝50°,∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù);②是否存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個(gè)角相等.若存在,并求x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.13.如圖,直線m與直線n互相垂直,垂足為O、A.B兩點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā),點(diǎn)A沿直線m向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B沿直線n向上運(yùn)動(dòng).(1)若∠BAO和∠ABO的平分線相交于點(diǎn)Q,在點(diǎn)A,B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠AQB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出其值,若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若AP是∠BAO的鄰補(bǔ)角的平分線,BP是∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線,AP、BP相交于點(diǎn)P,AQ的延長(zhǎng)線交PB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,在點(diǎn)A,B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠P和∠C的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出∠P和∠C的度數(shù)；若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由．14.如圖1,已知線段AB.CD相交于點(diǎn)O,連接AC.BD,我們把形如圖1的圖形稱之為"8字形".如圖2,∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點(diǎn)P,并且與CD.AB分別相交于M、N.試解答下列問(wèn)題:(1)仔細(xì)觀察,在圖2中有個(gè)以線段AC為邊的"8字形";(2)在圖2中,若∠B=96°,∠C=100°,求∠P的度數(shù);（3）在圖2中,若設(shè)∠C=α,∠B=β,∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB,試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（用α、β表示∠P）,并說(shuō)明理由;（4）如圖3,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為．15.已知
在
中,
,點(diǎn)
在
上,邊
在
上,在
中,
邊
在直線
上,
;(1)如圖1,求
的度數(shù);（2）如圖2,將
沿射線
的方向平移,當(dāng)點(diǎn)
在
上時(shí),求
度數(shù);（3）將
在直線
上平移,當(dāng)以
為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí),直接寫出
度數(shù)．【參考答案】一、解答題1.(1)見(jiàn)解析;(2),證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到,等量代換得出,即可根據(jù)"同位角相等,兩直線平行"得解;（2）過(guò)點(diǎn)作,過(guò)點(diǎn)作,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即可．【詳解析:(1)見(jiàn)解析;(2)
,證明見(jiàn)解析.【分析】(1)由平行線的性質(zhì)得到
,等量代換得出
,即可根據(jù)"同位角相等,兩直線平行"得解;（2）過(guò)點(diǎn)
作
,過(guò)點(diǎn)
作
,根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義求解即可．【詳解】(1)證明:
,，，，；(2)解:
,理由如下:如圖2,過(guò)點(diǎn)
作
,過(guò)點(diǎn)
作
,，，，，，同理,
,
平分
,
平分
,，，，由(1)知,
,，，，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì),熟記平行線的判定與性質(zhì)及作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.2．（1）70°；（2）,證明見(jiàn)解析；（3）122°【分析】(1)過(guò)作,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,,即可求得;(2)過(guò)過(guò)作,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到,,即;(3）設(shè),則,通過(guò)三角形內(nèi)角和得到,由角平分線解析：（1）70°；（2）
,證明見(jiàn)解析；（3）122°【分析】(1)過(guò)
作
,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到
,
,即可求得
;(2)過(guò)過(guò)
作
,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到
,
,即
;（3）設(shè)
,則
,通過(guò)三角形內(nèi)角和得到
,由角平分線定義及
得到
,求出
的值再通過(guò)三角形內(nèi)角和求
．【詳解】解:(1)過(guò)
作
,，，，，，故答案為:
;(2)
.理由如下:過(guò)
作
,，，，，，，；(3)
,設(shè)
,則
,，，又
,
,，
平分
,，，，即
,解得
,，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定,正確做出輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.3．（1）20,20,；（2）；（3）的值不變,【分析】(1)根據(jù),即可計(jì)算和的值,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證;（2)先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等量代換得出；(3)作的平分線交的延長(zhǎng)線于解析：（1）20,20,
；（2）
；（3）
的值不變,
【分析】(1)根據(jù)
,即可計(jì)算
和
的值,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證
;(2)先根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等證
,再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)和等量代換得出
;（3）作
的平分線交
的延長(zhǎng)線于
,先根據(jù)同位角相等證
,得
,設(shè)
,
,得出
,即可得
．【詳解】解:(1)
,，，，，，，；故答案為:20、20,
;(2)
;理由：由（1）得
,，，，，，，；(3)
的值不變,
;理由：如圖3中,作
的平分線交
的延長(zhǎng)線于
,，，，，，，，設(shè)
,
,則有：
,可得，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定與性質(zhì),熟練掌握內(nèi)錯(cuò)角相等證平行,平行線同旁內(nèi)角互補(bǔ)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.4．（1）120,90；（2）①∠1=120°-n°,∠2=90°+n°；②見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答;(2)①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE,再根據(jù)兩直線平行,同位角相解析：（1）120,90；（2）①∠1=120°-n°,∠2=90°+n°；②見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和平行線的性質(zhì)解答;(2)①根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠ABE,再根據(jù)兩直線平行,同位角相等可得∠1=∠ABE,根據(jù)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠BCG,然后根據(jù)周角等于360°計(jì)算即可得到∠2;②結(jié)合圖形,分AB、BC、AC三條邊與直尺垂直討論求解．【詳解】解:(1)∠1=180°-60°=120°,∠2=90°;故答案為:120,90;（2）①如圖2,∵∠ABC=60°,∴∠ABE=180°-60°-n°=120°-n°,∵DG∥EF,∴∠1=∠ABE=120°-n°,∠BCG=180°-∠CBF=180°-n°,∵∠ACB+∠BCG+∠2=360°,∴∠2=360°-∠ACB-∠BCG=360°-90°-(180°-n°)=90°+n°;②當(dāng)n=30°時(shí),∵∠ABC=60°,∴∠ABF=30°+60°=90°,AB⊥DG（EF）;當(dāng)n=90°時(shí),∠C=∠CBF=90°,∴BC⊥DG（EF）,AC⊥DE（GF）；當(dāng)n=120°時(shí),∴AB⊥DE（GF）.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線角的計(jì)算,垂線的定義,主要利用了平行線的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),讀懂題目信息并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵.5．（1）80°；（2）∠AKC＝∠APC,理由見(jiàn)解析；（3）∠AKC＝∠APC,理由見(jiàn)解析【分析】(1)先過(guò)P作PE∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE＝∠BAP,∠CPE＝∠DCP,再根據(jù)∠解析：（1）80°；（2）∠AKC＝
∠APC,理由見(jiàn)解析；（3）∠AKC＝
∠APC,理由見(jiàn)解析【分析】(1)先過(guò)P作PE∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE＝∠BAP,∠CPE＝∠DCP,再根據(jù)∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可;(2)過(guò)K作KE∥AB,根據(jù)KE∥AB∥CD,可得∠AKE＝∠BAK,∠CKE＝∠DCK,進(jìn)而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK,同理可得,∠APC＝∠BAP+∠DCP,再根據(jù)角平分線的定義,得出∠BAK+∠DCK＝
∠BAP+
∠DCP＝
(∠BAP+∠DCP)＝
∠APC,進(jìn)而得到∠AKC＝
∠APC;（3）過(guò)K作KE∥AB,根據(jù)KE∥AB∥CD,可得∠BAK＝∠AKE,∠DCK＝∠CKE,進(jìn)而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK,同理可得,∠APC＝∠BAP﹣∠DCP,再根據(jù)已知得出∠BAK﹣∠DCK＝
∠BAP﹣
∠DCP＝
∠APC,進(jìn)而得到∠BAK﹣∠DCK＝
∠APC．【詳解】(1)如圖1,過(guò)P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠APE＝∠BAP,∠CPE＝∠DCP,∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°;(2)∠AKC＝
∠APC.理由:如圖2,過(guò)K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠AKE＝∠BAK,∠CKE＝∠DCK,∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK,過(guò)P作PF∥AB,同理可得,∠APC＝∠BAP+∠DCP,∵∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K,∴∠BAK+∠DCK＝
∠BAP+
∠DCP＝
(∠BAP+∠DCP)＝
∠APC,∴∠AKC＝
∠APC;(3)∠AKC＝
∠APC理由:如圖3,過(guò)K作KE∥AB,∵AB∥CD,∴KE∥AB∥CD,∴∠BAK＝∠AKE,∠DCK＝∠CKE,∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK,過(guò)P作PF∥AB,同理可得,∠APC＝∠BAP﹣∠DCP,∵∠BAK＝
∠BAP,∠DCK＝
∠DCP,∴∠BAK﹣∠DCK＝
∠BAP﹣
∠DCP＝
(∠BAP﹣∠DCP)＝
∠APC,∴∠AKC＝
∠APC.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義,解題的關(guān)鍵是作出平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角相等計(jì)算.二、解答題6.(1),;(2)1;(3)不變,值為2【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性,求得a,b的值,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出答案;(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-解析：（1）
,
；（2）1；（3）不變,值為2【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的非負(fù)性,求得a,b的值,再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得出答案;(2)先得出CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-2t,再根據(jù)S△ODP=S△ODQ,列出關(guān)于t的方程,求得t的值即可;（3）過(guò)H點(diǎn)作AC的平行線,交x軸于P,先判定OG∥AC,再根據(jù)角的和差關(guān)系以及平行線的性質(zhì),得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,最后代入
進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解:(1)∵
+|b-2|=0,∴a-2b=0,b-2=0,解得a=4,b=2,∴A(0,4),C(2,0).（2）存在,理由：如圖1中,D（1,2）,由條件可知:P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)間為2秒,Q點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒,∴0＜t≤2時(shí),點(diǎn)Q在線段AO上,即CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=4-2t,∴S△DOP=
?OP?yD=
(2-t)×2=2-t,S△DOQ=
?OQ?xD=
×2t×1=t,∵S△ODP=S△ODQ,∴2-t=t,∴t=1.（3）結(jié)論：
的值不變,其值為2．理由如下：如圖2中,∵∠2+∠3=90°,又∵∠1=∠2,∠3=∠FCO,∴∠GOC+∠ACO=180°,∴OG∥AC,∴∠1=∠CAO,∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4,如圖,過(guò)H點(diǎn)作AC的平行線,交x軸于P,則∠4=∠PHC,PH∥OG,∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2,∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4,∴
=2.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形綜合題、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、平行線的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問(wèn)題.7.（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;(2)①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解;②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥解析:（1）∠A+∠C=90°；（2）①見(jiàn)解析；②105°【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;（2）①過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,根據(jù)角平分線的定義,得出∠ABF=∠GBF,再設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°,可得2α+β+3α+3α+β=180°,根據(jù)AB⊥BC,可得β+β+2α=90°,最后解方程組即可得到∠ABE=15°,進(jìn)而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【詳解】解:(1)如圖1,AM與BC的交點(diǎn)記作點(diǎn)O,∵AM∥CN,∴∠C=∠AOB,∵AB⊥BC,∴∠A+∠AOB=90°,∴∠A+∠C=90°;(2)①如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,∵BD⊥AM,∴DB⊥BG,∴∠DBG=90°,∴∠ABD+∠ABG=90°,∵AB⊥BC,∴∠CBG+∠ABG=90°,∴∠ABD=∠CBG,∵AM∥CN,BG∥DM,∴∠C=∠CBG,∠ABD=∠C;②如圖3,過(guò)點(diǎn)B作BG∥DM,∵BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,∴∠DBF=∠CBF,∠DBE=∠ABE,由(2)知∠ABD=∠CBG,∴∠ABF=∠GBF,設(shè)∠DBE=α,∠ABF=β,則∠ABE=α,∠ABD=2α=∠CBG,∠GBF=∠AFB=β,∠BFC=3∠DBE=3α,∴∠AFC=3α+β,∵∠AFC+∠NCF=180°,∠FCB+∠NCF=180°,∴∠FCB=∠AFC=3α+β,△BCF中,由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得:2α+β+3α+3α+β=180°,∵AB⊥BC,∴β+β+2α=90°,∴α=15°,∴∠ABE=15°,∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)的運(yùn)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角,運(yùn)用等角的余角(補(bǔ)角)相等進(jìn)行推導(dǎo).余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用,常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián).解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用.8．（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不變,∠BAC=2∠BCD【分析】(1)根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=3:2,即可得到∠BAN的度數(shù);(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,解析：（1）72°；（2）30秒或110秒；（3）不變,∠BAC=2∠BCD【分析】(1)根據(jù)∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=3:2,即可得到∠BAN的度數(shù);(2)設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,兩燈的光束互相平行,分兩種情況進(jìn)行討論:當(dāng)0＜t＜90時(shí),根據(jù)2t=1?(30+t),可得t=30;當(dāng)90＜t＜150時(shí),根據(jù)1?(30+t)+(2t-180)=180,可得t=110;（3）設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒,根據(jù)∠BAC=2t-108°,∠BCD=126°-∠BCA=t-54°,即可得出∠BAC：∠BCD=2：1,據(jù)此可得∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化．【詳解】解:(1)∵∠BAM+∠BAN=180°,∠BAM:∠BAN=3:2,∴∠BAN=180°×
=72°,故答案為:72;(2）設(shè)A燈轉(zhuǎn)動(dòng)t秒,兩燈的光束互相平行,①當(dāng)0＜t＜90時(shí),如圖1,∵PQ∥MN,∴∠PBD=∠BDA,∵AC∥BD,∴∠CAM=∠BDA,∴∠CAM=∠PBD∴2t=1?(30+t),解得t=30;②當(dāng)90＜t＜150時(shí),如圖2,∵PQ∥MN,∴∠PBD+∠BDA=180°,∵AC∥BD,∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1?(30+t)+(2t-180)=180,解得t=110,綜上所述,當(dāng)t=30秒或110秒時(shí),兩燈的光束互相平行;(3）∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化.理由：設(shè)燈A射線轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒,∵∠CAN=180°-2t,∴∠BAC=72°-(180°-2t)=2t-108°,又∵∠ABC=108°-t,∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t,而∠ACD=126°,∴∠BCD=126°-∠BCA=126°-(180°-t)=t-54°,∴∠BAC:∠BCD=2:1,即∠BAC=2∠BCD,∴∠BAC和∠BCD關(guān)系不會(huì)變化.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角的和差關(guān)系的運(yùn)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是運(yùn)用分類思想進(jìn)行求解,解題時(shí)注意:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).9．（1）,見(jiàn)解析；（2）；（3）60°【分析】(1)作EF//AB,如圖1,則EF//CD,利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE,∠2＝∠CDE,從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED;(2)如圖2,解析：（1）
,見(jiàn)解析；（2）
；（3）60°【分析】(1)作EF//AB,如圖1,則EF//CD,利用平行線的性質(zhì)得∠1＝∠BAE,∠2＝∠CDE,從而得到∠BAE＋∠CDE＝∠AED;(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得∠AFD＝∠BAF＋∠CDF,根據(jù)角平分線的定義得到∠BAF＝
∠BAE,∠CDF＝
∠CDE,則∠AFD＝
(∠BAE＋∠CDE),加上(1)的結(jié)論得到∠AFD＝
∠AED;（3）由（1）的結(jié)論得∠AGD＝∠BAF＋∠CDG,利用折疊性質(zhì)得∠CDG＝4∠CDF,再利用等量代換得到∠AGD＝2∠AED－
∠BAE,加上90°－∠AGD＝180°－2∠AED,從而可計(jì)算出∠BAE的度數(shù)．【詳解】解:(1)
理由如下:作
,如圖1,，．，，；(2)如圖2,由(1)的結(jié)論得
,
、
的兩條平分線交于點(diǎn)F,，，，，；(3)由(1)的結(jié)論得
,而射線
沿
翻折交
于點(diǎn)G,，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線性質(zhì):兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ);兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等.10.（1）證明見(jiàn)解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,再根據(jù)角的和差可得,然后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)(Ⅰ)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得,從而可得,再根據(jù)角的和差可得解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）（Ⅰ）
；（Ⅱ）
.【分析】(1)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得
,再根據(jù)角的和差可得
,然后根據(jù)平行線的判定即可得證;(2)(Ⅰ)先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得
,從而可得
,再根據(jù)角的和差可得
,然后根據(jù)
即可得;（Ⅱ）設(shè)
,從而可得
,先根據(jù)角平分線的定義可得
,再根據(jù)角的和差可得
,然后根據(jù)
建立方程可求出x的值,從而可得
的度數(shù),最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得．【詳解】(1)
,，又，，；(2)(Ⅰ)
,，，，由(1)已得:
,，；(Ⅱ)設(shè)
,則
,
平分
,，，，，由(1)已得:
,
,即
,解得，，又，．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、角的和差、角平分線的定義、一元一次方程的幾何應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn),熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.三、解答題11.(1)①115°;110°;②;理由見(jiàn)解析;(2);理由見(jiàn)解析【分析】(1)①若∠BAC=100°,∠C=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°,由平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°,由解析:（1）①115°；110°；②
；理由見(jiàn)解析；（2）
；理由見(jiàn)解析【分析】(1)①若∠BAC=100°,∠C=30°,由三角形內(nèi)角和定理求出∠B=50°,由平行線的性質(zhì)得出∠EDB=∠C=30°,由角平分線定義得出
,
,由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=100°,再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果;若∠B=40°,則∠BAC+∠C=180°-40°=140°,由角平分線定義得出
,
,由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)果;②由①得:∠EDB=∠C,
,
,由三角形的外角性質(zhì)得出∠DGF=∠B+∠BAG,再由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論;（2）由（1）得：∠EDB=∠C,
,
,由三角形的外角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】(1)①若∠BAC=100°,∠C=30°,則∠B=180°-100°-30°=50°,∵DE∥AC,∴∠EDB=∠C=30°,∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,∴
,
,∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°,∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°;若∠B=40°,則∠BAC+∠C=180°-40°=140°,∵AG平分∠BAC,DF平分∠EDB,∴
,
,∵∠DGF=∠B+∠BAG,∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=故答案為:115°;110°;②；理由如下:由①得:∠EDB=∠C,
,
,∵∠DGF=∠B+∠BAG,∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG=；(2)如圖2所示:
;理由如下:由(1)得:∠EDB=∠C,
,
,∵∠AHF=∠B+∠BDH,∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12.(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】(1)由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角;由等角代換即可得與∠C相等的角;(2)①由三角形內(nèi)角和定理可得,解析:(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF；(2)①20°；②30【分析】(1)由翻折的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得與∠B相等的角;由等角代換即可得與∠C相等的角;(2)①由三角形內(nèi)角和定理可得
,再由
根據(jù)角的和差計(jì)算即可得∠C的度數(shù),進(jìn)而得∠B的度數(shù).②根據(jù)翻折的性質(zhì)和三角形外角及三角形內(nèi)角和定理,用含x的代數(shù)式表示出∠FDE、∠DFE的度數(shù),分三種情況討論求出符合題意的x值即可．【詳解】(1)由翻折的性質(zhì)可得:∠E＝∠B,∵∠BAC＝90°,AE⊥BC,∴∠DFE＝90°,∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°,即:∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°,∴∠C＝∠FDE,∴AC∥DE,∴∠CAF＝∠E,∴∠CAF＝∠E＝∠B故與∠B相等的角有∠CAF和∠E;∵∠BAC＝90°,AE⊥BC,∴∠BAF＋∠CAF＝90°,∠CFA＝180°－(∠CAF＋∠C）＝90°∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°∴∠BAF＝∠C又AC∥DE,∴∠C＝∠CDE,∴故與∠C相等的角有∠CDE.∠BAF;(2）①∵
∴又∵，∴∠C＝70°,∠B＝20°;②∵∠BAD＝x°,∠B＝20°則,,由翻折可知:∵
,
,∴,,當(dāng)∠FDE＝∠DFE時(shí),
,解得:
;當(dāng)∠FDE＝∠E時(shí),
,解得:
(因?yàn)?＜x≤45,故舍去);當(dāng)∠DFE＝∠E時(shí),
,解得:
（因?yàn)?＜x≤45,故舍去）；綜上所述,存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個(gè)角相等．且
．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折、三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定及其性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、等角代換,解題的關(guān)鍵是熟知圖形翻折的性質(zhì)及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí).13．(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化,∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不變,∠P=45°,∠C=45°.【分析】第(1)題因垂直可求出∠ABO與∠BAO的和,由角平分線和角的和差可求出∠BA解析：(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化,∠AQB＝135°；(2)∠P和∠C的大小不變,∠P=45°,∠C=45°.【分析】第(1)題因垂直可求出∠ABO與∠BAO的和,由角平分線和角的和差可求出∠BAQ與∠ABQ的和,最后在△ABQ中,根據(jù)三角形的內(nèi)角各定理可求∠AQB的大小.第(2)題求∠P的大小,用鄰補(bǔ)角、角平分線、平角、直角和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)求解．【詳解】解:(1)∠AQB的大小不發(fā)生變化,如圖1所示,其原因如下:∵m⊥n,∴∠AOB＝90°,∵在△ABO中,∠AOB+∠ABO+∠BAO＝180°,∴∠ABO+∠BAO＝90°,又∵AQ、BQ分別是∠BAO和∠ABO的角平分線,∴∠BAQ＝
∠BAC,∠ABQ＝
∠ABO,∴∠BAQ+∠ABQ＝(∠ABO+∠BAO)＝又∵在△ABQ中,∠BAQ+∠ABQ+∠AQB＝180°,∴∠AQB＝180°﹣45°＝135°.(2)如圖2所示:①∠P的大小不發(fā)生變化,其原因如下:∵∠ABF+∠ABO＝180°,∠EAB+∠BAO＝180°∠BAQ+∠ABQ＝90°,∴∠ABF+∠EAB＝360°﹣90°＝270°,又∵AP、BP分別是∠BAE和∠ABP的角平分線,∴∠PAB＝
∠EAB,∠PBA＝
∠ABF,∴∠PAB+∠PBA＝
(∠EAB+∠ABF)＝
×270°＝135°,又∵在△PAB中,∠P+∠PAB+∠PBA＝180°,∴∠P＝180°﹣135°＝45°.②∠C的大小不變,其原因如下:∵∠AQB＝135°,∠AQB+∠BQC＝180°,∴∠BQC＝180°﹣135°,又∵∠FBO＝∠OBQ+∠QBA+∠ABP+∠PBF＝180°∠ABQ＝∠QBO＝
∠ABO,∠PBA＝∠PBF＝∠ABF,∴∠PBQ＝∠ABQ+∠PBA＝90°,又∵∠PBC＝∠PBQ+∠CBQ＝180°,∴∠QBC＝180°