18.2.3正方形第1課時(shí)正方形的性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)課題正方形的性質(zhì)授課人素養(yǎng)目標(biāo)1.理解正方形的概念，體會(huì)特殊平行四邊形之間的關(guān)系．2.通過(guò)觀察、比較、動(dòng)手操作探究正方形邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納探究能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力．3.利用正方形的性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算或證明，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.教學(xué)重點(diǎn)正方形性質(zhì)的理解及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的區(qū)別與聯(lián)系.教學(xué)活動(dòng)教學(xué)步驟師生活動(dòng)活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)意圖通過(guò)圖片展示，引導(dǎo)學(xué)生思考正方形的概念及性質(zhì).【情境導(dǎo)入】仔細(xì)觀察下列實(shí)際生活中的圖片，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這些都是正方形的形象．正方形是我們熟悉的圖形，你還能列舉出正方形在生活中應(yīng)用的其他例子嗎？結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，類(lèi)比菱形與矩形，正方形的概念是怎樣的呢？教師總結(jié)：正方形可以定義為有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形．下面我們一起來(lái)探討一下正方形的性質(zhì)吧！【教學(xué)建議】讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)及圖片思考正方形的概念，學(xué)生從矩形和菱形的角度回答正方形的概念也可以，正確即可.活動(dòng)二：動(dòng)手操作，探究新知設(shè)計(jì)意圖通過(guò)回憶體會(huì)正方形與平行四邊形、矩形、菱形的區(qū)別與聯(lián)系.探究點(diǎn)正方形的性質(zhì)1．邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)探究(1)我們回憶一下小學(xué)學(xué)過(guò)的正方形，它有什么性質(zhì)？答：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．(2)上面正方形的概念中提到有一組鄰邊相等的平行四邊形是什么圖形？答：菱形．(3)上面正方形的概念中提到有一個(gè)角是直角的平行四邊形是什么圖形？答：矩形．事實(shí)上，如果把矩形、菱形各添加一個(gè)條件，平行四邊形添加兩個(gè)條件均可得到正方形，可以用下面結(jié)構(gòu)圖直觀呈現(xiàn)這種關(guān)系：歸納總結(jié)：正方形既是矩形，又是菱形，它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì)．我們根據(jù)前邊的學(xué)習(xí)，除了邊和角，還可以研究一下正方形的對(duì)角線，那么它的對(duì)角線就是互相平分、相等且垂直．【教學(xué)建議】讓學(xué)生回憶并類(lèi)比平行四邊形、矩形、菱形的性質(zhì)來(lái)研究正方形的性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形入手，分別從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱(chēng)性等幾個(gè)方面進(jìn)行歸納總結(jié)．教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).正方形的對(duì)角線除了上述基本性質(zhì)外，還有無(wú)其他性質(zhì)呢？事實(shí)上，它可以將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．我們可以試著證明：(教材P58例5)求證：正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.求證：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO.∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.2.正方形的對(duì)稱(chēng)性我們?cè)傧胍幌耄赫叫问禽S對(duì)稱(chēng)圖形嗎？它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？答：如圖，取一張正方形紙片，將它沿過(guò)對(duì)邊中點(diǎn)的直線和對(duì)角線折疊，折疊后的兩部分均能重合.歸納總結(jié)：正方形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的對(duì)稱(chēng)軸有四條，分別是對(duì)邊中點(diǎn)的連線以及兩條對(duì)角線所在的直線.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1．正方形的一條邊長(zhǎng)是3，那么它的對(duì)角線長(zhǎng)是3eq\r(2)2.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在BD上，且BE＝CD，則∠BEC的度數(shù)為67.5°.3.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，AE＝BF，連接AF，DE.求證：△ADE≌△BAF.證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°.在△ADE和△BAF中，AD＝BA，∠DAE＝∠ABF，AE＝BF，∴△ADE≌△BAF(SAS).活動(dòng)三：綜合運(yùn)用，鞏固提升設(shè)計(jì)意圖強(qiáng)化學(xué)生對(duì)正方形性質(zhì)的掌握.例如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在CD的延長(zhǎng)線上，且BE＝DF.(1)求證：AE＝AF，AE⊥AF；(2)若BD與EF相交于點(diǎn)M，連接AM，試判斷AM與EF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.(1)證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABE＝∠BAD＝∠ADC＝∠ADF＝90°，AB＝AD.又BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF.∴∠DAF＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD，即∠EAF＝∠BAD＝90°，∴AE⊥AF.【教學(xué)建議】提醒學(xué)生：(1)與正方形性質(zhì)相關(guān)的證明題往往是利用正方形邊、角、對(duì)角線的性質(zhì)，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等的條件；(2)正方形兩條對(duì)角線將正方形分割為四個(gè)全等的等教學(xué)步驟師生活動(dòng)(2)解：AM＝eq\f(1,2)EF，AM⊥EF.理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EN∥CD，交BD于點(diǎn)N，∴∠MNE＝∠MDF，∠MEN＝∠MFD，∠NEB=∠C＝90°.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠NBE＝45°，∴∠BNE＝90°－∠NBE＝45°，∴∠NBE＝∠BNE，∴BE＝NE.又BE＝DF，∴NE＝DF，∴△MNE≌△MDF(ASA)，∴EM＝FM.∵AE＝AF，∠EAF＝90°，∴AM＝eq\f(1,2)EF，AM⊥EF.【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】1.如圖，AC是正方形ABCD的對(duì)角線，若以AD為邊向正方形內(nèi)部作等邊三角形ADE，邊DE交AC于點(diǎn)F，則∠EFC＝75°.2.如圖，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AC＝8，AE＝CF＝2，則四邊形BEDF的周長(zhǎng)是85.3.教材P59練習(xí)第2題．腰直角三角形，可得到45°角.活動(dòng)四：隨堂訓(xùn)練，課堂總結(jié)【隨堂訓(xùn)練】見(jiàn)《》“隨堂小練”冊(cè)子相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：正方形的概念是什么？正方形有哪些性質(zhì)？正方形與平行四邊形、矩形、菱形有怎樣的區(qū)別和聯(lián)系？【知識(shí)結(jié)構(gòu)】【作業(yè)布置】1.教材P61習(xí)題18.2第7，12，15，17題.2．《》主體本部分相應(yīng)課時(shí)訓(xùn)練．板書(shū)設(shè)計(jì)18.2.3正方形第1課時(shí)正方形的性質(zhì)一、正方形的概念二、正方形的性質(zhì)1.邊.2.角.3.對(duì)角線.4.對(duì)稱(chēng)性.教學(xué)反思正方形性質(zhì)的探究?jī)?nèi)容依舊集中在邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面，教學(xué)中注意引導(dǎo)學(xué)生思索平行四邊形、矩形、菱形和正方形的區(qū)別與聯(lián)系，使其形成完整的四邊形知識(shí)網(wǎng)絡(luò).的應(yīng)用，可以培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)從本節(jié)課的授課過(guò)程來(lái)看，靈活運(yùn)用了多種教學(xué)方法，既有與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，又有動(dòng)手操作，調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用.解題方法：如何區(qū)分平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)？①?gòu)倪叺慕嵌葋?lái)看：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有四條邊都相等的性質(zhì)．②從角的角度來(lái)看：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角相等且鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有四個(gè)角都是直角的性質(zhì)．③從對(duì)角線的角度來(lái)看：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形還具有對(duì)角線相等的性質(zhì)，菱形和正方形還具有對(duì)角線互相垂直的性質(zhì)．例1如圖為某城市部分街道示意圖，四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)G在對(duì)角線BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路線為B→A→G→E，小聰行走的路線為B→A→D→E→F.若小敏行走的路程為3100m，則小聰行走的路程為4600m.解析：如圖，連接GC.∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BCD＝90°，AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°.又GE⊥CD，∴△DEG是等腰直角三角形．∴DE＝GE.在△AGD和△CGD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,∠ADG＝∠CDG，,DG＝DG，))∴△AGD≌△CGD(SAS)，∴AG＝CG.∵GE⊥CD，GF⊥BC，∴∠GEC＝∠ECF＝∠GFC＝90°，∴四邊形GECF是矩形．∴EF＝CG，∴EF＝AG.∴BA＋AD＋DE＋EF－BA－AG－GE＝AD＝1500m.∵小敏共走了3100m，即BA＋AG＋GE＝3100m，∴小聰行走的路程為BA＋AD＋DE＋EF＝3100＋1500＝4600(m)．例2如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，連接AM并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)P.若PM＝PC，求AM的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，∴AD＝CD＝6，∠ADC＝90°，∠ADM＝∠CDM＝45°.在△ADM和△CDM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DM＝DM，,∠ADM＝∠CDM，,AD＝CD，))∴△ADM≌△CDM(SAS)，∴∠DAM＝∠DCM.∵PM＝PC，∴∠CMP＝∠DCM，∴∠APD＝∠CMP＋∠DCM＝2∠DCM＝2∠DAM.∵∠APD＋∠DAM＝180°－∠ADC＝90°，∴∠DAM＝30°.設(shè)PD＝x，則AP＝2PD＝2x，PM＝PC＝CD－PD＝6－x，∴AD＝eq\r(AP2－PD2)＝eq\r(3)x＝6，解得x＝2eq\r(3).∴PM＝6－x＝6－2eq\r(3)，AP＝2x＝4eq\r(3)，∴AM＝AP－PM＝4eq\r(3)－(6－2eq\r(3))＝6eq\r(3)－6.例1如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別是BC，CD上一動(dòng)點(diǎn)，且BE＝CF，連接AE，BF交于點(diǎn)P，連接CP，則CP的最小值是(A)A．2eq\r(5)－2B．3eq\r(2)－2C．2eq\r(2)D.eq\r(2)＋2解析：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.在△ABE和△BCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABE＝∠BCF，,BE＝CF，))∴△ABE≌△BCF(SAS)，∴∠BAE＝∠CBF.∵∠CBF＋∠ABF＝90°，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°.如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接GP，GC，則GP＝GB＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×4＝2.∵GP＋CP≤GC，∴當(dāng)點(diǎn)C，P，G在同一條直線上時(shí)，CP有最小值GC－GP.∵BC＝4，BG＝2，∴GC＝eq\r(BC2＋BG2)＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).∴CP的最小值是2eq\r(5)－2.故選A.例2如圖，正方形OABC的邊OA，OC在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(－4，4)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．連接BP，過(guò)點(diǎn)P作BP的垂線，與經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q且平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D.BD與y軸交于點(diǎn)E，連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.(1)∠PBD的度數(shù)為45°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t，t)(用含t的代數(shù)式表示)．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△PBE為等腰三角形？(3)探索△POE的周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，試求這個(gè)定值．解：(1)解析：由題意可得AP＝OQ＝1×t＝t，∴易得AO＝PQ.∵四邊形OABC是正方形，∴AO＝AB＝BC＝OC，∠BAO＝∠AOC＝∠OCB＝∠ABC＝90°.∵DQ∥OC，∴∠PQD＝∠AOC＝90°.∵DP⊥BP，∴∠BPD＝90°.∴∠BPA＝90°－∠DPQ＝∠PDQ.∵AO＝PQ，AO＝AB，∴AB＝QP.在△BAP和△PQD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠PQD，,∠BPA＝∠PDQ，,AB＝QP，))∴△BAP≌△PQD(AAS)．∴AP＝QD，BP＝PD.∵∠BPD＝90°，BP＝PD，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.∵AP＝t，∴QD＝t.∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t，t)．(2)①若PB＝PE，由△BAP≌△PQD得PB＝PD，顯然PB≠PE，∴這種情況不存在，應(yīng)舍去．②若EB＝EP，則∠BPE＝∠PBE＝45°.∴∠BEP＝90°.∴∠PEO＝90°－∠BEC＝∠EBC.在△POE和△ECB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠PEO＝∠EBC，,∠POE＝∠ECB，,EP＝BE，))∴△POE≌△ECB(AAS)．∴OE＝CB＝OC.∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合．∴AP＝AO＝t.∵B(－4，4)，∴AO＝CO＝4.此時(shí)t＝4.③若BP＝BE，在Rt△BAP和Rt△BCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BP＝BE，,BA＝BC，))∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL)．∴AP＝CE.∵AP＝t，∴CE＝t.∴PO＝EO＝4－t.∵∠POE＝90°，∴EP＝eq\r(PO2＋EO2)＝eq\r(2)(4－t)．如圖，延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F，使得AF＝CE，連接BF.在△FAB和△ECB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠BAF＝∠BCE＝90°，,AF＝CE，))∴△FAB≌△ECB(SAS)．∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC.∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°.∴∠FBP＝∠ABP＋∠FBA＝∠ABP＋∠EBC＝45°