第七章隨機(jī)變量及其分布--復(fù)習(xí)與小結(jié)---B提高練一、選擇題12021·80%說如果明天下雨則后天下雨的概率是40%，如果甲乙說的都是對(duì)的，那么明天和后天都會(huì)下雨的概率是（）A．50%B．40%C．D．20%【答案】CABPA=80%，PB|A=40%，所以PAB=PB|A×PA=80%′40%=32%故選：C22021·江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校高二月考）設(shè)隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(2,9)，若Px<2m+=Px>m-，則實(shí)數(shù)m的值是（）A．23B．43C．53D．2【答案】B【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量x服從正態(tài)分布N(2,9)，Px<2m+=Px>m-，根據(jù)正態(tài)分布的特征，可得2m+1+m-1=224m=.故選：B．，解得332021·有重要的現(xiàn)實(shí)意義.為此，某校舉行了一場(chǎng)交通安全知識(shí)競(jìng)賽，一共有3道難度相當(dāng)?shù)谋卮痤}目，李明同學(xué)答對(duì)每道題目的概率都是0.6，則李明同學(xué)至少答對(duì)2道題的概率是（）A．0.36B．0.576C．0.648D．0.904【答案】C【詳解】解法一：3道題中至少答對(duì)2道題有答對(duì)2道和答對(duì)3題這兩種情況，則3道題中至少答對(duì)2道題的概率為P=C2′+3=+=.2330.60.430.60.4320.2160.648解法二：設(shè)3道題中至少答對(duì)2道題為事件A，則PA=1-PA=1-0.4-C′0.6′0.4=0.648.故選：C.32

3142021·浙江寧波市鎮(zhèn)海中學(xué)）某中學(xué)高一年級(jí)和高二年級(jí)進(jìn)行籃球比賽，賽制為3局2比賽沒有平局，且高二隊(duì)每局獲勝的概率都是p1<p<1è2?，記比賽的最終局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則（）A．P(X=2)=p2B．P(X==p-p)C．EX<D．()1()DX>524【答案】C【詳解】賽制為3局2勝制，比賽沒有平局，因此隨機(jī)變量X的可能值為2或3，P(X=2)=p+-p)=2p-2p+1，A錯(cuò)；222P(X==-p)p+p-p)p+p-p)+-p)p-p)=2p+2p，B錯(cuò)；222222125E(X)=2(2p-2p++2p+2p)=2p+2p+2=2(p-)+，22

1<<，所以()(2,5)p1EX?，C正確；因?yàn)?25記-2p2+2p+2=t，t?(2,)，2E(X2)=4′(2p2-2p++9′(2p2+2p)=-10p2+10p+4=t-6，222521D(X)=E(X)-E(X)=t-6-t=-t-)+，24t?，所以()1(2,)5DX<，D錯(cuò)．故選：C．因?yàn)?452021·江蘇南通市高二期末）22021·山東高三其他模擬）中華人民共和國(guó)第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2021年9國(guó)人民奉獻(xiàn)一場(chǎng)精彩圓滿的體育盛會(huì)，第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)．下列說法正確的有（）A．設(shè)事件A：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則PA=67B．設(shè)事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，則2PBA=17C．用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則EX=724D．用Y表示抽取的三人中男志愿者的人數(shù)，則DY=49【答案】ABDC3=種，其中既有男志愿者，也有女志愿者的情況有

【詳解】對(duì)A，所有可能的情況有7306CC+CC=種，故122130PA==，故A正確；4343357對(duì)B，PC43==，4PAC3537CC+CC+C122134343434==，C3537所以

PAB42PBA===，故B正確；PA3417對(duì)C，可得X的可能取值為0，1，2，3，C4CC18CC1231221則===，===，041PX=2==，PXPX3434C35C35C35333

777C13PX=3==，3C353

74181219

EX=0′+1′+2′+3′=，故C錯(cuò)誤.

353535357所以對(duì)D，可得Y的可能取值為0，1，2，3，C1CC12CC1832112則===，===，3==34=，PYPY1PY2034C35C35C35333

777C43PY=3==，4C353

721121842411218412則EY=′+′+′+′=，0149EY=0′+1′+2′+3′=，3535353573535353572DY=EY-EY==2241224則27è7?49，故D正確.故選：ABD.62020·海南高考真題）信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取n值為L(zhǎng),n，且P(Xi)pi,np1==>=L?=，定義X的信息熵iii1nH(X)pp=-?.i2ii1（）A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著1的增大而增大C．若1p=i=L,n)，則H(X)隨著n的增大而增大inD．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為L(zhǎng),m，且PY=j)=pj+2m-j(j=L,m)，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若n=1，則1HX=-′=，所以A選項(xiàng)正i=p=，所以11012確.對(duì)于B選項(xiàng)，若n=2，則i=1,2，2=1-1，所以H=-p×p+-p×-p，X11121121當(dāng)11133HX=×+×p=時(shí)，1224è4444?，p當(dāng)13HX=3×3+1×1=時(shí)，224è4444?，1兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，若p=i=L,n，則in?11?1HX=-?×÷′n=-=n222ènn?n，則HX隨著n的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，若n=2m，隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為L(zhǎng),m，且PY=j=p+p+-j2m1j2m2m1HXppp=-?×=?×（j=L,m）.i2ii2pi1i1i==1111=×+×+L+×+×.pppp12222m122m2pppp122m12m111HY=p+p×+p+p×++p+p×L12m222m12mm12

12m22m1mm1p+pp+pp+p1111=p×+p×++p×+p×L由于12222m122m2

12m22m122m112mp+pp+pp+pp+pp>0i=L,2m，所以i11>ppp+-+ii2m1i11>，所以22ppp+-+ii2m1i，11p×>p×所以22iipp+p+-ii2m1i，所以HX>HY，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC二、填空題7.偉大出自平凡，英雄來自人民．在疫情防控一線，北京某大學(xué)學(xué)生會(huì)自發(fā)從學(xué)生會(huì)6名男生和8名女生骨干成員中選出2A表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)性別相同”，B表示事件“抽到的2名隊(duì)長(zhǎng)都是男生”，則PBA=________15【答案】43C+CC2224315P()68P(AB)6==，==,【詳解】由題意得C91C9122

P(B)則15P(AB)9115===.43P()439182021·2021岡參觀游覽的游客絡(luò)繹不絕，現(xiàn)通過對(duì)參觀遺愛湖的游客問卷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每位游客選擇繼續(xù)游玩遺愛湖的概率都是132312分，記已調(diào)查過的所有游客累計(jì)得分恰為n分的概率為an，則4＝_______．【答案】【詳解】4表示累計(jì)得4分，包含以下三種情況：調(diào)查2人都繼續(xù)游玩遺愛湖，或者調(diào)查4人都不游玩遺愛湖，或者調(diào)查3人，其中1人繼續(xù)游玩遺愛湖，2人都不游玩遺愛湖.1221a=()+()+C′()′=．2412故43333392021·青銅峽市高級(jí)中學(xué)高二期末）隨機(jī)變量X的分布列如下：其中a，b，c成等差數(shù)列，若1EX=，則D(3X+的值是______()3【答案】5Qa，b，c成等差數(shù)列，\b=a+c,又a+b+c=1,且1E(X)=-a+c=,3聯(lián)立以上三式解得:111a=,b=,c=,632222DX?1?1?1?1?1?15\=?--÷′+?-÷′+?-÷′=101è3?6è3?3è3?29,25則D(3X+=3DX=9′=5,9102020·4112每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為x，則Px=0)=_______；Ex)=______．【答案】13；1【詳解】因?yàn)閤=0對(duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，1111Px==+′=，隨機(jī)變量x=2，(0)所以4433212111211

Px==′+′′+′′=，

434324323Px==--=，所以()0111211(2)1Ex=′+′+′=.111333333三、解答題112021·云南民族大學(xué)附屬中學(xué)高二月考）某學(xué)校高一年級(jí)進(jìn)行班級(jí)之間的中國(guó)歷史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲、乙兩位同學(xué)代表各自班級(jí)以搶答的形式展開，共五道題，搶到并回答正確者得一分，答錯(cuò).12每道題的概率分別為35，45，且兩人各道題是否回答正確均相互獨(dú)立.（1）比賽開始，求甲先得一分的概率；（2）求甲獲勝的概率；（3利還是更不利?請(qǐng)說明理由.1）252）99231253）對(duì)甲更有利，理由見解析.1）每道題的搶答中，記甲得一分為事件M.M發(fā)生有兩種可能：搶到題且答對(duì)，乙搶到題且答錯(cuò)，13112P(M)=′+′=，∴25255∴比賽開始，甲率先得一分的概率為25.（2）由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙得一分的概率分別為25，35，設(shè)兩人共搶答了X道題比賽結(jié)束，且甲獲勝.根據(jù)比賽規(guī)則，X的所有可能取值分別為3，4，5，3PX==2=8則(è5?125，3PX==32=72(4)C13è5?è5?625，23PX===(C3243224è5?è5?3125，992P=P(X=+P(X=4)+P(X==.則甲獲勝的概率3125（3）由（12）知改變規(guī)則后甲獲勝的概率22P=PX=+PX==2+32=44=1100(2)(C112è5?è5?è5?1253125，1100992>，而31253125即1>P此時(shí)甲獲勝的概率更大了，對(duì)甲更有利.12（2021·黑龍江高二）每年的3月12日是植樹節(jié)，某公司為了動(dòng)員職工積極參加植樹造林，在植樹節(jié)期間開展植樹有獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)有甲、乙兩個(gè)摸獎(jiǎng)箱，每箱內(nèi)各有8個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，甲箱內(nèi)有35個(gè)黃球，乙箱內(nèi)有341個(gè)黑球，摸獎(jiǎng)環(huán)節(jié)安排在植樹活動(dòng)結(jié)束后，每位植樹者植樹每滿25棵獲得一次甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，植樹每滿40棵獲得一次乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，摸獎(jiǎng)?wù)呙看蚊蓚€(gè)球后放回原箱，摸得兩個(gè)紅球獎(jiǎng)50元，兩球顏色不同獎(jiǎng)20元，摸得兩黃球80摸獎(jiǎng)；植樹總數(shù)不低于80棵的員工，可自由搭配甲、乙兩箱內(nèi)的摸獎(jiǎng)次數(shù)．（1200X近似服從正態(tài)分布N25,25，請(qǐng)估計(jì)植樹的棵數(shù)X在區(qū)間25（2YY的分布列；（3）某人植樹90棵，有三種摸獎(jiǎng)方法，方法一：甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)三次；方法二：乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)兩次；方法三：甲箱內(nèi)摸獎(jiǎng)兩次，乙箱內(nèi)摸獎(jiǎng)一次．請(qǐng)問：這位植樹者選哪種方法所得獎(jiǎng)金的期望值最大．附：若XNms2，則Pm-s<X￡m+s=0.6827，~,Pm-s<X￡m+s=0.9545．1）6823）選方法三所得獎(jiǎng)金的期望值最大．11

1）由題意知，P20<X￡25=25-5<X￡25+5=′0.6827=0.34135，

22所以200′0.34135?68，估計(jì)植樹的棵樹X在區(qū)間25內(nèi)的人數(shù)是