§1從平面向量到空間向量eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P15])空間向量小剛從學(xué)校大門口出發(fā)，向東行走100m，再向北行走600m，最后乘電梯上行20m到達(dá)住處．問(wèn)題1：位移是既有大小又有方向的量，可用向量表示．那么，小剛從學(xué)校大門口到住處的總位移所對(duì)應(yīng)的向量是三個(gè)位移所對(duì)應(yīng)的向量的合成嗎？提示：是．問(wèn)題2：?jiǎn)栴}1中的位移是不在同一個(gè)平面內(nèi)的位移，已不能用平面向量來(lái)刻畫，應(yīng)如何刻畫這種位移？提示：用空間向量．問(wèn)題3：若設(shè)大門口向東行走100m為a，再向北行走600m為b，最后乘電梯上行20m為c，則a，b，c夾角分別是多少？提示：eq\f(π,2).空間向量(1)空間向量及其模的表示方法：有向線段字母圖示表示a或模||||或|a|(2)向量的夾角：①定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)O作向量a，b的相等向量和，則∠AOB叫作向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．②范圍：[0，π]．③當(dāng)〈a，b〉＝eq\f(π,2)時(shí)，向量a與b垂直，記作a⊥b.④當(dāng)〈a，b〉＝0或π時(shí)，向量a與b平行，記作a∥b.(3)特殊向量：名稱定義及表示零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記為0單位向量模為1的向量叫單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，記為－a相等向量方向相同且模相等的向量稱相等向量，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量向量、直線、平面如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′.問(wèn)題1：在正方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，直線AB的方向向量有哪些？問(wèn)題2：在正方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，與平面ABCD垂直的向量有幾個(gè)？提示：8個(gè)．向量、直線、平面(1)方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量．與平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量．(2)法向量：如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有與直線l平行的非零向量都是平面α的法向量．1．空間向量是對(duì)平面向量的拓展和提高，平面向量研究的是向量在同一平面內(nèi)的平移，空間向量研究的是向量在空間的平移，空間的平移包含平面內(nèi)的平移．2．直線的方向向量與平面的法向量是不唯一的，直線的方向向量都平行于該直線，平面的法向量都垂直于該平面．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P16])空間向量及有關(guān)概念[例1]給出以下命題：①若a，b是空間向量，則|a|＝|b|是a＝b的必要不充分條件；②若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|；③兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p；⑥空間中任意兩個(gè)單位向量必相等．其中，正確的命題序號(hào)是________．[思路點(diǎn)撥]用空間向量的有關(guān)概念進(jìn)行判斷．[精解詳析]以上命題①②④⑤正確．兩向量若相等，必須方向相同且模相等．但相等的向量起點(diǎn)不一定相同，故③錯(cuò)；兩個(gè)單位向量雖模相等，但方向不一定相同，故⑥錯(cuò)．[答案]①②④⑤[一點(diǎn)通]與平面向量一樣，空間向量也有向量的模、向量的夾角、單位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念．兩個(gè)向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，與起點(diǎn)和終點(diǎn)位置無(wú)關(guān)．1．把空間所有單位向量歸結(jié)到一個(gè)共同的始點(diǎn)，那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是()A．一個(gè)圓 B．兩個(gè)孤立的點(diǎn)C．一個(gè)球面 D．以上均不正確解析：?jiǎn)挝幌蛄康哪?，把所有空間單位向量移到共同起點(diǎn)后，向量的終點(diǎn)到起點(diǎn)的距離均為1，構(gòu)成了一個(gè)球面．答案：C2．下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()①如果a，b是兩個(gè)單位向量，則|a|＝|b|；②兩個(gè)空間向量共線，則這兩個(gè)向量方向相同；③若a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，則a∥c；④空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：對(duì)于①：由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對(duì)于②：共線不一定同向，故②錯(cuò)；對(duì)于③：正確；對(duì)于④：正確，在空間任取一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)引兩個(gè)與已知非零向量相等的向量，而這兩個(gè)向量所在的直線相交于此點(diǎn)，兩條相交直線確定一個(gè)平面，所以兩個(gè)非零向量可以平移到同一平面內(nèi)．答案：C3．如圖所示的長(zhǎng)方體中，AD＝2，AA1＝1，AB＝3.(1)試寫出與相等的所有向量；(2)寫出向量的相反向量；(3)寫出與向量的模相等的向量；求空間向量的夾角[思路點(diǎn)撥]按空間向量夾角的定義求解，空間向量a，b夾角范圍是[0，π]．[精解詳析](1)∵正方體ABCD－A′B′C′D′，∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.(2)∵正方體ABCD－A′B′C′D′，∴AD∥BC.連接AC，則△ACD′為等邊三角形．[一點(diǎn)通]與求平面內(nèi)兩向量夾角類似，求空間兩向量夾角時(shí)，采取平移的方法，把空間兩向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)某兩條相交直線的角，進(jìn)而用解三角形的知識(shí)求解．必須注意兩向量夾角應(yīng)保證兩向量移至共同起點(diǎn)處，比如若〈，〉＝eq\f(π,4)，而〈，〉＝eq\f(3π,4).4．正四面體S－ABC中，E，F(xiàn)分別為SB，AB中點(diǎn)，則〈，〉＝________.解析：如圖所示，∵E，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴EF∥SA，而△SAC為正三角形，∴∠SAC＝eq\f(π,3)，∴〈，〉＝eq\f(2π,3).答案：eq\f(2π,3)5．在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝eq\r(3)，AA′＝1，AD＝eq\r(6)，求〈，〉．解：如圖，連接A′C′，BC′.∴∠BA′C′的大小就等于〈，〉．由長(zhǎng)方體的性質(zhì)和三角形勾股定理知，在△A′BC′中A′B＝eq\r(AA′2＋AB2)＝2，A′C′＝eq\r(AB2＋AD2)＝3，BC′＝eq\r(AD2＋AA′2)＝eq\r(7).∴cos∠BA′C′＝eq\f(A′C′2＋A′B2－BC′2,2·A′C′·A′B)＝eq\f(1,2).∴∠BA′C′＝eq\f(π,3).即〈，〉＝eq\f(π,3).直線的方向向量與平面的法向量[例3]如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)．(1)試以F為起點(diǎn)作直線DE的一個(gè)方向向量；(2)試以F為起點(diǎn)作平面PBC的一個(gè)法向量．[思路點(diǎn)撥](1)只要作出過(guò)F與DE平行的直線即可．(2)作出過(guò)F與平面PBC垂直的直線即可．[精解詳析](1)連接EF.∵E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴EF綊eq\f(1,2)BC.又BC綊AD，∴EF綊eq\f(1,2)AD.取AD的中點(diǎn)M，連接MF，則由EF綊DM知四邊形DEFM是平行四邊形，∴MF∥DE.∴就是直線DE的一個(gè)方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∵DE平面PCD，∴DE⊥BC.又PD＝CD，E為PC中點(diǎn)，∴DE⊥PC.從而DE⊥平面PBC.∴是平面PBC的一個(gè)法向量．由(1)可知＝，∴就是平面PBC的一個(gè)法向量．[一點(diǎn)通]直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們之間互相平行；平面的法向量也有無(wú)數(shù)個(gè)，它們之間也都互相平行且都垂直于平面．而過(guò)空間某點(diǎn)作直線的方向向量或平面的法向量時(shí)，可利用線面平行及線面垂直等相關(guān)知識(shí)，在該點(diǎn)處作出直線的平行線或平面的垂線即可．6．直線的方向向量是()A．唯一的 B．相等的C．平行的 D．相反的解析：與直線平行的任何非零向量都是直線的方向向量．答案：C7．下列說(shuō)法中不正確的是()A．平面α的一個(gè)法向量垂直于與平面α共面的所有向量B．一個(gè)平面的所有法向量互相平行C．如果兩個(gè)平面的法向量垂直，那么這兩個(gè)平面也垂直D．如果a，b與平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一個(gè)法向量解析：A，B，C正確，而D中，若a∥b，雖然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D8．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CC1中點(diǎn)．(1)試以E點(diǎn)為起點(diǎn)作直線AD1的方向向量；(2)試以B1點(diǎn)為起點(diǎn)作平面ABC1D1的法向量．解：(1)如圖所示，取BC中點(diǎn)F，連EF，BC1，則EF∥BC1.又AD1∥BC1.∴EF∥AD1，∴為直線AD1的方向向量．(2)連B1C，則B1C⊥BC1.又AB⊥面BCC1B1，∴AB⊥B1C.∴B1C⊥面ABC1D1.∴為平面ABC1D1的法向量．1．空間向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，它的起點(diǎn)可以是空間內(nèi)的任意一點(diǎn)，只要保證它的大小和方向不改變．它是可以自由平移的，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)．?dāng)?shù)量可以比較大小，但向量不可以比較大小，向量的模是個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大?。?．由向量相等的定義可以知道，對(duì)于一個(gè)向量，只要大小和方向分別相同，那它們就是相等向量，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等向量．3．平行向量的方向不一定相同，表示共線向量的有向線段也不一定在同一條直線上．eq\a\vs4\al([對(duì)應(yīng)課時(shí)跟蹤訓(xùn)練五])1．空間向量中，下列說(shuō)法正確的是()A．如果兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，那么這兩個(gè)向量相等B．如果兩個(gè)向量平行，那么這兩個(gè)向量的方向相同C．如果兩個(gè)向量平行，并且它們的模相等，那么這兩個(gè)向量相等D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量解析：只有兩個(gè)向量方向相同且長(zhǎng)度相等，才能為相等向量．故D正確．答案：D2．下列說(shuō)法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若a是b的相反向量，則|a|＝|b|C．如果兩個(gè)向量平行，則這兩向量相等D．在四邊形ABCD中，＝解析：模相等的兩向量，方向不一定相同或相反；相反向量模相等，方向相反；平行向量并不一定相等；若＝，則四邊形ABCD是平行四邊形．答案：B3．在四邊形ABCD中，若＝，且||＝||，則四邊形ABCD為()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定解析：若＝，則AB＝DC，且AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又||＝||，即AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形．答案：B4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是()解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故為平面ACC1A1的法向量．答案：A6．如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，BC，CC1的中點(diǎn)，則〈，〉＝________.解析：連接DB，BC1，DC1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，