人教A版高二寒假作業(yè)4：數(shù)列【基礎(chǔ)鞏固】一、單選題1.(2024·重慶市市轄區(qū)·月考試卷)數(shù)列{an}滿足a1=2,aA.12 B.?1 C.2 D.2.(2024·廣東省·聯(lián)考題)已知等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若a7A.913 B.1213 C.753.(2024·浙江省·模擬題)如圖，戰(zhàn)國時(shí)期楚國標(biāo)準(zhǔn)度量衡器——木衡銅環(huán)權(quán)1954年出土于湖南長沙，“木衡”桿長27厘米，銅盤直徑4厘米.“環(huán)權(quán)”類似于砝碼，用于測量物體質(zhì)量.九枚“環(huán)權(quán)”重量最小的為1銖，最大的為半斤(我國古代1兩=24銖，1斤=16兩)，從小到大排列后前3項(xiàng)為等差數(shù)列，后7項(xiàng)為等比數(shù)列，公比為2.若銅盤一側(cè)某物體為2兩13銖，則另一側(cè)需要放置的“環(huán)權(quán)”枚數(shù)為(

)

A.2枚 B.3枚 C.4枚 D.5枚4.(2024·安徽省合肥市·模擬題)已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，{bn}滿足an2=bnA.10121013 B.10111012 C.20242025二、多選題5.已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，aA.d=?2 B.a10=4

C.S7=98 6.(2024·山東省濟(jì)南市·期末考試)若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=1，an=A.a7=13 B.a1+a3三、填空題7.(2024·甘肅省·月考試卷)寫出一個(gè)遞減數(shù)列{an}，且|an|≤18.(2024·北京市市轄區(qū)·期中考試)已知等比數(shù)列{an}滿足：an>0，a4+a6=5，a四、解答題9.(2024·江蘇省南京市·期末考試)已知等差數(shù)列an的公差d不為0，前n項(xiàng)和為Sn，a2是a1與(1)求an和S(2)若bn=an2Sn10.(2024·廣東省中山市·期末考試)對于數(shù)列{an}，規(guī)定數(shù)列{Δan}為數(shù)列(1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n3ⅰ.求An;ⅱ.記數(shù)列{3n+1}的前n項(xiàng)和為Tn，數(shù)列{n2}的前(2)北宋數(shù)學(xué)家沈括對于上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共有n層的堆積物(堆積方式如圖)，提出可以用公式S=n6[(2b+d)a+(b+2d)c]+n6(c?a)求出物體的總數(shù)，這就是所謂的“隙積術(shù)”【拓展提升】一、單選題1.(2024·天津市市轄區(qū)·期末考試)《九章算術(shù)》中的“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積是(

)A.6766升 B.176升 C.10933升 2.(2024·山東省濟(jì)寧市·模擬題)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2?x)+f(x)=4，正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a1012?a1013A.1012 B.2024 C.3036 D.4048二、多選題3.(2024·浙江省·模擬題)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，且a1<0，若aA.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列 B.a13是數(shù)列an中的最小項(xiàng)

C.S12和S13是{Sn4.(2023·重慶市市轄區(qū)·期中考試)已知f(x)=x3，數(shù)列an滿足a1=3，且對一切n∈NA.an是等比數(shù)列 B.log3an是等比數(shù)列

C.log3an三、填空題5.(2024·山東省·單元測試)唐僧師徒四人去西天取經(jīng)，他們遇廟燒香，遇塔掃塔，一日他們一行來到一座塔前，唐僧說好塔，便讓豬八戒前去數(shù)一下臺階總數(shù)，八戒應(yīng)聲而去，不一會就滿頭大汗跑回來：啟稟師傅，為徒?jīng)]用，沒有搞清臺階數(shù)，不過我正在數(shù)著，突然一位老者擋住了我的去路，他說：不用數(shù)了，我告訴你，此塔共九層，每一層向上臺階數(shù)逐漸減少，減少的數(shù)目相同，并且多于4，第四層到第六層臺階數(shù)共有54個(gè)，就這樣了，請回吧.聽罷，唐僧陰沉著臉，沙僧也不停的埋怨著，八戒倍感自責(zé)，轉(zhuǎn)身準(zhǔn)備再去數(shù)，這時(shí)孫悟空站了出來，大聲說“且慢，我算出來了”，請問：孫悟空算出該九層塔臺階總數(shù)為

．四、解答題6.(2024·江蘇省南京市·月考試卷)

對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足：an?k+an?k+1+…+an?1+an+1+…an+k?1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列{an【基礎(chǔ)鞏固】1.【答案】A

【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)已知的遞推關(guān)系式求得周期為3，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】

解：因?yàn)閍1=2，an+1=1?1an，

所以a2=1?1a1=12，a3=1?1a2=?1，a2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)轉(zhuǎn)化為項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．【解答】

解：在等差數(shù)列中，S13S9=13(3.【答案】B

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于較易題．

求出an=3?2n?3，3?n?9，由a1，a2，【解答】

解：記九枚“環(huán)權(quán)”重量從小到大構(gòu)成數(shù)列{an}，a1=1，a9=192，

由a3，a4，?，a9成等比數(shù)列，公比為2，

則a9=a3·26=192，

則a3=3，

所以an=3×2n?3,3?n?9，

則a5=12，a6=24，

由a1，a24.【答案】C

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的判定、求數(shù)列通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)相消法求和，是中檔題．

根據(jù)遞推關(guān)系式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得數(shù)列通項(xiàng)公式an=b【解答】

解：∵an>0，an2=bnbn+1，∴an=bnbn+1，

∵bn+1=an+an+12>0，∴bn>0，

又∵an+an+1=2bn+1，∴bnb5.【答案】AC

【解析】【分析】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．

先由題意可得a1【解答】

解：∵a2=18，a6=10，

∴a1+d=18a1+5d=10,

解得d=?2，a1=20，故A正確，

a10=a1+9d=20?18=2，故B錯(cuò)誤，

∴S7=7a1+7×626.【答案】AB

【解析】【分析】本題主要考查數(shù)列的新定義問題，屬于較難題．

根據(jù)斐波那契數(shù)列的定義求出前7項(xiàng)，從而可判定選項(xiàng)A和C，然后根據(jù)遞推關(guān)系求出an+2=Sn+1【解答】解：因?yàn)閍1=1，a2=1，an=an?1+an?2(n≥3,n∈N+)，

所以a3=a2+a1=2，a4=a3+a2=3，a5=a4+a3=5，7.【答案】1n(結(jié)論不唯一【解析】【分析】本題考查數(shù)列的單調(diào)性，寫出一例即可【解答】

解：滿足題意的數(shù)列不唯一，an=18.【答案】2；1【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是基礎(chǔ)題．

由a3a5=1，可得a4=1，再代入a4+a【解答】

解：由a3a5=1，可得a42=1，

又因?yàn)閍n>0，所以a4=1，

因?yàn)閍4+a6=5，即1+q2=5，解得q=2;

因?yàn)閍4=1，q=2，所以an=2n?4，

所以a1a9.【答案】解：(1)因?yàn)閍2是a1與a5的等比中項(xiàng)，所以a22=a1a5，

即(a1+d)2=a1(a1+4d)，整理得d2=2a1d，

因?yàn)閐不為0，所以d=2a1，

因?yàn)镾3=9，所以3a2=9，即a2=3，

所以a2=a【解析】本題主要考查等比中項(xiàng)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)位相減法求和，屬于基礎(chǔ)題．

(1)根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解首項(xiàng)與公差即可；

(2)利用錯(cuò)位相減法求和即可．10.【答案】解：(1)ⅰ.由題意，Δan=an+1?an=(n+1)3?n3，

所以，An=Δan+Δan?1+?+Δa1=(n+1)3?n3+n3?(n?1)3+?+23?13，

即An=(n+1)3?1．

ⅱ.由題意知，Δan=(n+1)3?n3=3n2+3n+1，

所i=1n△ai=i=1n(3i2)+i=1n(【解析】本題考查了數(shù)列的新定義、裂項(xiàng)相消法求和，等差數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于難題．

(1)根據(jù)一階差分?jǐn)?shù)列的定義，由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式表示出數(shù)列{△an}的通項(xiàng)，再用類似于裂項(xiàng)相消的方法求前n項(xiàng)和，由An的算式，找到與Tn，Pn的關(guān)系，解出λ的值【拓展提升】1.【答案】A

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題．

設(shè)此等差數(shù)列為{an}，利用方程思想求出a【解答】

解：根據(jù)題意得該竹子自上而下各節(jié)的容積形成等差數(shù)列{a設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d由題意可得a所以4a1所以a5即第5節(jié)竹子的容積為6766故選：A．2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查數(shù)列與函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

由題意知f(x)+f(2?x)=4，由等比數(shù)列性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算可求出f(lgak)+f(lg【解答】

解：正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a1012?a1013=100，

由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1·a2024=a2·a2023=...=a1012·a1013=100，

故lg(a1·a20243.【答案】AC

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．

由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a10+a15=a12+

a13，又已知

a10+a15=a12，所以

a13=0，即

a1+12d=0，得出

a1=?12d，代入

an與

Sn，對選項(xiàng)依次判斷即可．

【解答】

解：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a10+a15=a12+

a13，

又已知

a10+a15=a12，所以

a13=0，即

a1+12d=0，

所以

a1=?12d，而a1<0，可得d>0，所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故A正確;

由a1<0，d>0，所以最小項(xiàng)是首項(xiàng)

a1，故B錯(cuò)誤;

由數(shù)列{4.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的判定以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，是中檔題．

易得log3an+1【解答】

解：an+1=an3

∵a1=3，∴an>0，

∴l(xiāng)og3an+1=3log3an，

∵5.【答案】164

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和，屬于中檔題．

由題意，求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，進(jìn)而利用前n項(xiàng)和公式，求出結(jié)果即可．【解答】

設(shè)數(shù)列{an}為8項(xiàng)的等差數(shù)列，每層減少的階梯數(shù)為d，

由題意，a4+a5+a6=54=3a5，

所以a56.【答案】解：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則an=a1+(n?1)d，

則an?3+an?2+an?1+an+1+an+2+an+3，

=(an?3+an+3)+(an?2+an+2)+(an?1+an+1)，

=2an+2an+2