中學(xué)幾何動點問題專項訓(xùn)練引言在中學(xué)幾何中，動點問題是中考及各類競賽的核心壓軸題型之一。它以“點的運動”為背景，融合了幾何圖形的性質(zhì)、函數(shù)關(guān)系、最值分析等多方面知識，重點考查學(xué)生的動態(tài)思維能力（從變中找不變）、幾何建模能力（將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)模型）及邏輯推理能力（嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)結(jié)論）。動點問題的難點在于“動”——點的位置變化會導(dǎo)致圖形形狀、大小、位置的變化，但本質(zhì)是“動態(tài)中的不變量”（如定線段、定角度、定比例、定軌跡）。掌握這些不變量，是解決動點問題的關(guān)鍵。本文將從類型分類、模型構(gòu)建、解題策略三個維度展開，結(jié)合專項訓(xùn)練題，幫助學(xué)生系統(tǒng)突破動點問題。一、動點問題的核心類型及典型模型根據(jù)動點的數(shù)量、運動方式及考查目標(biāo)，動點問題可分為四大類：單動點軌跡問題、雙動點聯(lián)動問題、動點與函數(shù)結(jié)合問題、動點與最值問題。每類問題對應(yīng)不同的模型與解法，以下逐一說明。（一）單動點軌跡問題——定軌跡法核心特征：單個點在運動過程中，滿足某種固定的幾何條件（如到定點距離為定長、到定直線距離為定長、對定線段張角為定角），其軌跡為固定圖形（圓、直線、線段、圓弧等）。常用模型：定距軌跡：到定點距離為定長→圓（如圓的定義）；到定直線距離為定長→兩條平行線。定角軌跡：對定線段張角為定角→圓弧（如“定弦定角”模型，圓心在定線段的垂直平分線上，半徑由定角計算）。定比軌跡：到兩定點距離之比為定值→阿氏圓（特殊情況：比為1→線段的垂直平分線）。例1（定弦定角模型）：如圖，AB為定線段，長度為4，點P滿足∠APB=60°，求點P的軌跡。解析：根據(jù)圓的性質(zhì)，定弦所對的定角的點的軌跡是圓弧（不包括A、B兩點）。圓心O在AB的垂直平分線上，且∠AOB=2∠APB=120°（圓心角是圓周角的2倍）；半徑OA=OB=AB/sin60°=4/(√3/2)=8/√3=(8√3)/3；軌跡為劣弧AB（∠APB=60°為銳角，對應(yīng)劣?。瑑?yōu)弧AB對應(yīng)的角為120°，不符合條件。（二）雙動點聯(lián)動問題——變量關(guān)聯(lián)法核心特征：兩個或多個點同時運動，運動速度、方向存在固定關(guān)系（如比例關(guān)系、同步關(guān)系），需通過變量關(guān)聯(lián)（如用同一參數(shù)表示多個點的坐標(biāo)）分析軌跡或數(shù)量關(guān)系。常用方法：坐標(biāo)法：建立坐標(biāo)系，用同一參數(shù)（如時間t）表示各動點坐標(biāo)，進(jìn)而推導(dǎo)軌跡方程或數(shù)量關(guān)系；幾何關(guān)聯(lián)法：通過全等、相似、中位線等幾何定理，將雙動點的運動轉(zhuǎn)化為單一變量的變化（如中點聯(lián)動、比例聯(lián)動）。例2（中點聯(lián)動模型）：在正方形ABCD中，AB=2，點E從A出發(fā)沿AB向B運動（速度1），點F從B出發(fā)沿BC向C運動（速度1），同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t(t∈[0,2])，求線段EF的中點M的軌跡。解析：建立坐標(biāo)系：A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)。E點坐標(biāo)：(t,0)（沿AB運動，速度1，時間t）；F點坐標(biāo)：(2,t)（沿BC運動，速度1，時間t）；中點M坐標(biāo)：((t+2)/2,(0+t)/2)=(t/2+1,t/2)。消去參數(shù)t，得軌跡方程：y=x-1（x∈[1,2],y∈[0,1]），即線段（從(1,0)到(2,1)）。（三）動點與函數(shù)結(jié)合問題——坐標(biāo)轉(zhuǎn)化法核心特征：動點的運動導(dǎo)致某些幾何量（如長度、面積、角度）隨時間變化，需通過坐標(biāo)表示將幾何量轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系式（一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)等），進(jìn)而分析函數(shù)性質(zhì)（如定義域、值域、極值）。解題步驟：1.建立坐標(biāo)系，設(shè)動點坐標(biāo)（用參數(shù)t表示）；2.用坐標(biāo)表示目標(biāo)幾何量（如面積、距離）；3.化簡得函數(shù)關(guān)系式，分析其性質(zhì)（如最值、增減性）。例3（面積與二次函數(shù)模型）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，點P從C出發(fā)沿CA向A運動（速度1），點Q從B出發(fā)沿BC向C運動（速度1），同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t(t∈[0,3])，求△CPQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。解析：建立坐標(biāo)系：C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)。P點坐標(biāo)：(t,0)（沿CA運動，t∈[0,3]）；Q點坐標(biāo)：(0,4-t)（沿BC運動，t∈[0,3]，Q未到C）；面積S=(1/2)×CP×CQ=(1/2)×t×(4-t)=-(1/2)t2+2t。函數(shù)性質(zhì)：二次函數(shù)，開口向下，頂點在t=-b/(2a)=2；最大值S=-(1/2)×4+2×2=2（當(dāng)t=2時取得）。（四）動點與最值問題——幾何模型法核心特征：動點運動過程中，目標(biāo)量（如距離、面積、周長）隨位置變化而變化，需通過幾何模型（如將軍飲馬、胡不歸、阿氏圓、垂線段最短）求極值。常用模型：將軍飲馬：求PA+PB最小值（P在直線上）→作對稱點，轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短；胡不歸：求PA+k·PB最小值（0<k<1）→構(gòu)造角θ，使cosθ=k，轉(zhuǎn)化為PA+PQ（PQ=k·PB）；阿氏圓：求PA+k·PB最小值（k≠1）→利用阿氏圓的比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短；垂線段最短：求點到直線的距離最小值→垂線段長度。例4（胡不歸模型）：如圖，點A(0,2)，B(3,0)，點P在x軸上運動，求PA+(1/2)PB的最小值。解析：步驟1：模型轉(zhuǎn)化：(1/2)PB可表示為PB·cos60°（因為cos60°=1/2），故構(gòu)造∠PBQ=60°，過P作PQ⊥BQ于Q，則PQ=(1/2)PB；(2)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為PA+PQ的最小值（PQ=(1/2)PB）。步驟2：求最小值：根據(jù)兩點之間線段最短，當(dāng)A、P、Q三點共線且AQ⊥BQ時，PA+PQ最?。碅Q的長度）。步驟3：計算AQ長度：BQ的方程：∠OBQ=60°，B(3,0)，斜率為tan(180°-60°)=-√3，方程為y=-√3(x-3)；點A(0,2)到直線BQ的距離：\(d=\frac{|-√3×0+2-3√3|}{\sqrt{(√3)^2+1^2}}=\frac{|2-3√3|}{2}=\frac{3√3-2}{2}\)（3√3≈5.196>2，取絕對值后為正）。結(jié)論：PA+(1/2)PB的最小值為(3√3-2)/2。二、動點問題解題通用策略無論動點問題類型如何，均可遵循以下五步解題法：1.定范圍：確定動點的運動范圍（如線段、直線、圓），避免遺漏情況；2.設(shè)變量：用參數(shù)（如時間t、坐標(biāo)x）表示動點位置，統(tǒng)一變量；3.找關(guān)系：通過幾何定理（相似、全等、勾股定理）或坐標(biāo)法，建立目標(biāo)量與變量的關(guān)系式；4.析極值：若涉及最值，通過函數(shù)性質(zhì)（如二次函數(shù)頂點、導(dǎo)數(shù)）或幾何模型（如將軍飲馬）求極值；5.驗結(jié)果：驗證結(jié)果是否符合動點的運動范圍（如t的取值范圍），避免增根。三、專項訓(xùn)練題及解析（一）單動點軌跡問題（基礎(chǔ)）題目1：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點P在BC邊上運動，連接AP，作∠APQ=∠B，PQ交AC于Q，求點Q的軌跡。解析：相似分析：∠APQ=∠B=∠C，∠PAQ=∠CAP（公共角），故△APQ∽△ACP（AA相似）；比例關(guān)系：AQ/AP=AP/AC→AQ=AP2/AC=AP2/5；AP范圍：AP是A到BC的距離（最小值4）到AB（最大值5），故AQ=AP2/5∈[16/5,5]；軌跡：AC邊上從距離A點16/5（約3.2）到C點的線段。（二）雙動點聯(lián)動問題（中等）題目2：在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，點E從A出發(fā)沿AD向D運動（速度1），點F從C出發(fā)沿CB向B運動（速度1），同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t(t∈[0,3])，求四邊形AEFB的面積。解析：坐標(biāo)系：A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)；E(t,0)（沿AD運動，AD是y軸？不，AD是從A(0,0)到D(0,3)，故E(0,t)）；F(4,3-t)（沿CB運動，CB是從C(4,3)到B(4,0)，故F(4,3-t)）；四邊形AEFB是梯形，上底AE=t，下底BF=3-t，高AB=4；面積S=(1/2)×(AE+BF)×AB=(1/2)×(t+3-t)×4=6（定值）。結(jié)論：四邊形AEFB的面積始終為6，與t無關(guān)（動態(tài)中的不變量）。（三）動點與函數(shù)結(jié)合問題（較難）題目3：在半徑為2的圓O中，AB為直徑，點C在圓上運動（不與A、B重合），求△ABC的面積S與AC長度x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值。解析：AB=4（直徑），∠ACB=90°（直徑所對圓周角為直角）；BC=√(AB2-AC2)=√(16-x2)（x∈(0,4)）；面積S=(1/2)×AC×BC=(1/2)x√(16-x2)；求最大值：令f(x)=x√(16-x2)，則f(x)2=x2(16-x2)=-x?+16x2=-(x2-8)2+64，故f(x)最大值為8，S最大值為4（當(dāng)x2=8→x=2√2時取得）。（四）動點與最值問題（難題）題目4：在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，點P在BC邊上運動，求PA的最小值。解析：幾何分析：PA是點A到BC邊上的點P的距離，最小值為A到BC的垂線段長度（垂線段最短）；計算垂線段：作AD⊥BC于D，∠BAD=60°，AD=AB×cos60°=6×1/2=3；結(jié)論：PA的最小值為3（當(dāng)P=D時取得）。四、總結(jié)與提升建議（一）核心思想動點問題的本質(zhì)是“動態(tài)中的不變量”——通過分析運動過程中保持不變的幾何關(guān)系（如定軌跡、定比例、定角度），將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題解決。（二）提升建議1.熟練模型：牢記常見幾何模型（如定弦定角、將軍飲馬、胡不歸），快速識別問題類型；2.坐標(biāo)輔助：學(xué)會用坐標(biāo)法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用函數(shù)分析（如二次函數(shù)頂點、點到直線距離）；3.幾何直觀：多畫動態(tài)圖（如用幾何畫板模擬運動），培養(yǎng)對圖形變化的感知能力；4.分類討論：考慮動點在不同位置的情況（如線段端點、臨界點），避免遺漏；5.總結(jié)規(guī)律：