專題12.3離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征課標要求考情分析核心素養(yǎng)1.了解離散型隨機變量的概念；2.理解離散型隨機變量分布列及其數(shù)字特征(均值、方差).新高考近3年考題題號考點數(shù)據(jù)分析數(shù)學(xué)運算數(shù)學(xué)建模2024(Ⅰ)卷//2024(Ⅱ)卷/離散型隨機變量的分布列及期望2023(Ⅰ)卷//2023(Ⅱ)卷//2022(Ⅰ)卷//2022(Ⅱ)卷//1.隨機變量的有關(guān)概念(1)隨機變量：一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點ω都有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量．用大寫英文字母表示隨機變量，如X,Y,Z；用小寫英文字母表示隨機變量的取值，如x(2)離散型隨機變量：可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量.注：離散型隨機變量X的每一個可能取值為實數(shù),其實質(zhì)代表的是“事件”,即事件是用一個反映結(jié)果的實數(shù)表示的.2.離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,???,xn，我們稱X與函數(shù)的表示方法類似，離散型隨機變量的分布列也可以用表格表示：Xxx…x…xPpp…p…p3.離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)=1\*GB2⑴pi≥0,i=1,2,3,???,n；=2\*GB2⑵p1+p2注意：①列出隨機變量的所有可能取值；②求出隨機變量的每一個值發(fā)生的概率.4.離散型隨機變量的均值與方差=1\*GB2⑴離散型隨機變量的均值的概念一般地，若離散型隨機變量X的概率分布為：Xxx…x…xPpp…p…p則稱EX=x=2\*GB2⑵離散型隨機變量的方差的概念一般地，若離散型隨機變量X的概率分布列為：Xxx…x…xPpp…p…p則稱D為隨機變量X的方差，有時也記為Var(X).稱σX=D(X)【重要結(jié)論】1.隨機變量的線性關(guān)系

若X是隨機變量,Y=aX+b,a,b是常數(shù),則Y也是隨機變量.

2.分布列性質(zhì)的兩個作用

(1)利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值.

(2)隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的,利用這一點可以求相關(guān)事件的概率.

3.離散型隨機變量的均值與方差的常用性質(zhì)=1\*GB2⑴Ek=k,Dk=0,其中k=2\*GB2⑵EaX+b=aEX+b，DaX+b=a2DX，a,b為常數(shù)，X是隨機變量；

=3\*GB2⑶EX1+X2=EX1+E(X2)；

=4\*GB21.【人教A選擇性必修三P60練習(xí)T3】設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(ξ=0)等于(

)A.0 B.13 C.12 2.【人教A版選擇性必修三P71習(xí)題7.3T3】若X是離散型隨機變量，PX=x1=23,PX=x2A.79 B.1 C.2 D.考點考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)【典例精講】例1.(2024·廣東省廣州市期末)設(shè)隨機變量ξ的分布列如表，則P(2ξ?5ξ?4ξ1234P1a11A.512 B.12 C.712 例2.(2024·湖南省長沙市月考)設(shè)隨機變量ξ的分布列為Pξ=k5A.15a=1 B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2

C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2 D.p(ξ=1)=0.3【方法儲備】離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用：(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．【拓展提升】練11(2024·黑龍江省綏化市期末)(多選)設(shè)隨機變量X的分布列P(X=k)=m4k2?1A.235 B.325 C.2225練12(2024·山東省泰安市期末)一校園公用電話在某時刻恰有k(k∈N)個學(xué)生正在使用或等待使用該電話的概率為P(k)，根據(jù)統(tǒng)計得到Pk=ck+1k+2,0≤k<4A.12 B.58 C.34考點二離散型隨機變量的數(shù)字特征考點二離散型隨機變量的數(shù)字特征例3.(2024·江蘇省南通市月考)已知離散型隨機變量X的分布列服從兩點分布，滿足P(X=0)=29P(X=1)，且P(X=0)<P(X=1)，則E(X)=A.13 B.12 C.23例4.(2024·浙江省臺州市模擬)有一個盒子里有1個紅球，現(xiàn)將n(n∈N?)個黑球放入盒子后，再從盒子里隨機取一球，記取到的紅球個數(shù)為ξ個，則隨著n(n∈N?)A.Eξ減小，Dξ增加 B.Eξ增加，Dξ減小

C.Eξ增加，Dξ增加例5.(2023·湖北省黃石市月考)甲、乙兩人進行射擊比賽，一局比賽中，先射擊的一方最多可射擊3次，一旦未擊中目標即停止，然后換另一方射擊，一旦未擊中目標或兩方射擊總次數(shù)達5次均停止，本局比賽結(jié)束，各方擊中目標的次數(shù)即為其本局比賽得分.已知甲、乙每次射擊擊中目標的概率分別為23和12，兩人的各次射擊是否擊中目標相互獨立.一局比賽中，若甲先射擊．

(1)求甲、乙得分相同的概率;

(2)設(shè)乙的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．【方法儲備】1.離散型隨機變量的分布列的求解步驟：

第一步：確定X的所有可能取值xi（i=1,2,3,???）,并明確每個取值代表的意義；

第二步：求出相應(yīng)的概率PX=xi第三步：寫出分布列或列出分布列;

第四步；根據(jù)分布列的性質(zhì)對結(jié)果進行檢驗.注意：=1\*GB2⑴利用分布列中各事件概率之和為1可求參數(shù)的值及檢查分布列的正確性.=2\*GB2⑵隨機變量X所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率.

2.離散型隨機變量分布列的常見類型及解題策略：=1\*GB2⑴與排列組合有關(guān)的分布列的求法.可由排列組合、概率知識求出概率,再求出分布列.

=2\*GB2⑵與頻率分布直方圖有關(guān)的分布列的求法.可由頻率估計概率,再求出分布列.

=3\*GB2⑶與互斥事件有關(guān)的分布列的求法.弄清互斥事件的關(guān)系,利用概率公式求出概率,再列出分布列.

=4\*GB2⑷與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的分布列的求法:先弄清獨立事件的關(guān)系,求出各個概率,再列出分布列3.求離散型隨機變量的期望與方差：=1\*GB2⑴求解離散型隨機變量的分布列，利用離散型隨機變量的期望與方差的公式，進行計算；=2\*GB2⑵二項分布的期望、方差可直接利用公式EX=np,DX=np(1?p)求解，但要注意模型及公式的正確性【拓展提升】練21(2023·遼寧省沈陽市模擬)甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒有平局(必須分出勝負)，且每一局甲贏的概率都是p，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若0<p≤13，則E(X)的最大值是

；D(X)的最值范圍是

．練22(2024·江西省宜春市月考)為弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營造良好的文化氛圍，某高中校團委組織非畢業(yè)年級開展了“我們的元宵節(jié)”主題知識競答活動，該活動有個人賽和團體賽，每人只能參加其中的一項，根據(jù)各位學(xué)生答題情況，獲獎學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計如下：獎項組別個人賽團體賽獲獎一等獎二等獎三等獎高一20206050高二162910550(Ⅰ)從獲獎學(xué)生中隨機抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎，求抽到的學(xué)生來自高一的概率;(Ⅱ)從高一和高二獲獎?wù)咧懈麟S機抽取1人，以X表示這2人中團體賽獲獎的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)從獲獎學(xué)生中隨機抽取3人，設(shè)這3人中來自高一的人數(shù)為ξ，來自高二的人數(shù)為η，試判斷D(ξ)與D(η)的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)練23(2024·山東省濟南市月考)第31屆世界大學(xué)生夏季運動會將于今年在我國成都舉行．某體校田徑隊正在積極備戰(zhàn)，考核設(shè)有100米、400米和1500米三個項目，需要選手依次完成考核，成績合格后的積分分別記為p1，p2和p3(pi>0，i=1，2，3)，總成績?yōu)槔塾嫹e分和．考核規(guī)定：項目考核逐級進階，即選手只有在低一級里程項目考核合格后，才能進行下一級較高里程項目的考核，否則考核終止．對于100米和400米項目，每個項目選手必須考核2次，且全部達標才算合格；對于1500米項目，選手必須考核3次，但只要達標2次及以上就算合格．已知選手甲三個項目的達標率依次為45，34(1)用ξ表示選手甲考核積分的總成績，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)證明：無論p1，p2和考點三方案與決策問題考點三方案與決策問題【典例精講】例6.(2024·廣東省湛江市模擬)有甲、乙兩家公司都需要招聘求職者，這兩家公司的聘用信息如表所示．甲公司乙公司職位ABCD職位ABCD月薪/千元5678月薪/千元46810獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1獲得相應(yīng)職位概率0.40.30.20.1(1)若一人去應(yīng)聘甲公司的C職位,另一人去應(yīng)聘乙公司的C職位,記這兩人被錄用的人數(shù)和為η，求η的分布列.(2)若小方和小芳分別被甲、乙兩家公司錄用，求小方月薪高于小芳月薪的概率．(3)根據(jù)甲、乙兩家公司的聘用信息，如果你是求職者，你會選擇哪一家公司？說明理由．例7.(2024·河南省鄭州市模擬)從2021年起，全國高考數(shù)學(xué)加入了新題型多選題，每個小題給出的四個選擇中有多項是正確的，其中回答錯誤得0分，部分正確得2分，完全正確得5分，小明根據(jù)以前做過的多項選擇題統(tǒng)計得到，多選題有兩個選項的概率為p，有三個選項的概率為1?p(其中0<p<1)．(1)若p=12，小明對某個多項選擇題完全不會，決定隨機選擇一個選項，求小明得2(2)在某個多項選擇題中，小明發(fā)現(xiàn)選項A正確，選項B錯誤，下面小明有三種不同策略：Ⅰ:選擇A，再從剩下的C，D選項中隨機選擇一個，小明該題的得分為X;Ⅱ:選擇ACD，小明該題的得分為Y;Ⅲ:只選擇A，小明該題的得分為Z;在p變化時，根據(jù)該題得分的期望來幫助小明分析該選擇哪個策略．【方法儲備】隨機變量的均值和方差從整體和全局上刻畫了隨機變量，是生產(chǎn)實際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．=1\*GB2⑴當期望不同時，兩個隨機變量取值水平可見分歧,可對問題作出判斷.

=2\*GB2⑵若兩個隨機變量期望相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策.

=3\*GB2⑶實際應(yīng)用中是方差（期望）大了好還是小了好,要根據(jù)這組數(shù)據(jù)反應(yīng)的實際問題來判斷.【拓展提升】練31(2023·浙江省金華市期中)猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對每首歌名相互獨立，猜對兩首歌曲A?B歌名的概率分別為0.8，0.5，且猜對兩首歌曲A?B歌名分別可得獎金為a元，b元(b>a>0).規(guī)則規(guī)定：只有在猜對第一首歌名的情況下，才有資格猜第二首歌名．(1)若a=1000，b=2000，該嘉賓選擇先猜A，再猜B，求他得到獎金的分布列及均值；(2)從得到獎金的均值的角度，該嘉賓應(yīng)選擇怎樣的猜歌順序，才能得更多的獎金？練32(2024·浙江省溫州市期末)某景區(qū)有一個自愿消費的項目，在某特色景點入口處，工作人員會為每位游客拍一張與景點的合影，參觀后，在景點出口處會將剛拍下的照片打印出來，游客可自由選擇是否帶走照片.若帶走照片則需支付20元，沒有被帶走的照片會收集起來統(tǒng)一銷毀.該項目運營一段時間后，統(tǒng)計出平均只有三成的游客會選擇帶走照片.為改善運營狀況，該項目組就照片收費與游客消費意愿的關(guān)系做了市場調(diào)研，發(fā)現(xiàn)價格與消費意愿有較強的線性相關(guān)性.統(tǒng)計出在原有的基礎(chǔ)上，價格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的概率平均增加0.05.假設(shè)平均每天約有5000人參觀該特色景點，每張照片的綜合成本為5元，每個游客是否選擇帶走照片相互獨立．(1)若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多還是少?(2)要使每天的平均利潤達到最大值，應(yīng)如何定價?練33(2024·河北省石家莊市模擬)某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤，則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得m0<m≤100,m∈N分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得n0<n≤100,n∈N分，否則得0分．已知學(xué)生甲能正確回答A類問題的概率為p1，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為p2(1)若學(xué)生甲先回答A類問題，m=20，n=80，p1=0.8，p2=0.6，記(2)從下面的兩組條件中選擇一組作為已知條件．學(xué)生甲應(yīng)選擇先回答哪類問題，使得累計得分的數(shù)學(xué)期望最大？并證明你的結(jié)論．=1\*GB3①m=n，p1>p2；=2\*GB3②p1=p2，m>n考點四考點四離散型隨機變量概率與分布列的綜合應(yīng)用【典例精講】例7.(2023·浙江省杭州市模擬)現(xiàn)有兩個口袋，A口袋中有m個球，一部分是紅球，另一部分是白球，從中取出一個球恰好是白球的概率為23，B口袋中有6個球，4個紅球，2個白球．若將兩個口袋混合在一起，從中取出一個球，恰好是白球的概率為49(1)若甲從B口袋中每次有放回地取一個球，直到取到白球停止，則恰好第三次后停止的概率；(2)甲乙兩人進行游戲，由第三人從兩個口袋中各取一個球，若同色甲勝，否則乙勝，通過計算說明這個游戲?qū)扇耸欠窆剑?3)從B口袋中一次取3個球，取到一個白球得2分，取到一個紅球得1分，求得分的期望．例8.(2024·安徽省阜陽市模擬)在校運動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位：m):

甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25;

乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23;

丙：9.85，9.65，9.20，9.16．

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨立．

(1)估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率;

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計X的數(shù)學(xué)期望EX:

(3)在校運動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計值最大??(結(jié)論不要求證明)【方法儲備】離散型隨機變量概率與分布列的綜合應(yīng)用是?？碱}目，解題時對應(yīng)問題應(yīng)用知識點，注意此部分可能與其它模塊內(nèi)容的聯(lián)系.【拓展提升】練41(2023·山東省泰安市模擬)2022年11月，《2021年全國未成年人互聯(lián)網(wǎng)使用情況研究報告》發(fā)布.報告顯示，2021年我國未成年網(wǎng)民規(guī)模達1.91億，未成年人互聯(lián)網(wǎng)普及率達96.8%.互聯(lián)網(wǎng)已成為未成年人學(xué)習(xí)、娛樂、社交的重要工具.但與此同時，約兩成的未成年網(wǎng)民認為自己對互聯(lián)網(wǎng)存在不同程度的依賴.某中學(xué)為了解學(xué)生對互聯(lián)網(wǎng)的依賴情況，決定在高一年級采取如下“隨機回答問題”的方式進行問卷調(diào)查：一個袋子中裝有5個大小相同的小球，其中2個黑球，3個紅球.所有學(xué)生從袋子中有放回地隨機摸兩次，每次摸出一球.約定“若兩次摸到的球的顏色不同，則按方式?①回答問卷，否則按方式?②回答問卷”方式=1\*GB3①：若第一次摸到的是紅球，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”;方式=2\*GB3②：若你對互聯(lián)網(wǎng)有依賴，則在問卷中畫“√”，否則畫“×”.當所有學(xué)生完成問卷調(diào)查后，統(tǒng)計畫“√”，畫“×”的比例.用頻率估計概率，由所學(xué)概率知識即可求得高一年級學(xué)生對互聯(lián)網(wǎng)依賴情況的估計值．(依賴率=(1)若高一(五)班有50名學(xué)生，用X表示其中按方式?①回答問卷的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望;(2)若所有調(diào)查問卷中，畫“√”與畫“×”的比例為1:2，試估計該中學(xué)高一年級學(xué)生對互聯(lián)網(wǎng)的依賴率.(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)練42(2023·山西省朔州市模擬)一對夫妻計劃進行為期60天的自駕游．已知兩人均能駕駛車輛，且約定：=1\*GB3①在任意一天的旅途中，全天只由其中一人駕車，另一人休息；=2\*GB3②若前一天由丈夫駕車，則下一天繼續(xù)由丈夫駕車的概率為14，由妻子駕車的概率為34；=3\*GB3③妻子不能連續(xù)兩天駕車．已知第一天夫妻雙方駕車的概率均為12．(1)求在剛開始的三天中，妻子駕車天數(shù)的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)設(shè)在第n天時，由丈夫駕車的概率為pn，求數(shù)列{p1.(2024·浙江省臺州市模擬)某班有A，B兩個學(xué)習(xí)小組，其中A組有2位男生，1位女生，B組有2位男生，2位女生，為了促進小組之間的交流，需要從A，B兩組中隨機各選一位同學(xué)交換，則交換后A組中男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為

．2.(2024·湖北省襄陽市聯(lián)考)根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，某種植物感染病毒之后，其存活日數(shù)X(X為正整數(shù))滿足：對于任意的n∈N?，X=n+1的樣本在X>n的樣本里的數(shù)量占比與X=1的樣本在全體樣本中的數(shù)量占比相同，且均等于15，即P(X=n+1|X>n3.(2024·遼寧省丹東市模擬)中國象棋是中國棋文化，也是中華民族的文化瑰寶，它源遠流長，某地區(qū)舉行中國象棋比賽，先進行小組賽，每三人一組，采用單循環(huán)賽(任意兩人之間只賽一場)，每場比賽勝者積3分，負者積0分，平局各1分.根據(jù)積分排名晉級淘汰賽，若出現(xiàn)積分相同的情況，則再進行同分加賽，直到排出小組1，2，3名為止，已知甲、乙、丙三人分在同一個小組，根據(jù)以往比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙對局時，甲勝概率為25，平局概率為15；甲、丙對局時，甲勝概率為13，平局概率為13；乙、丙對局時，乙勝概率為12，平局概率為16，各場比賽相互獨立．

(1)甲乙丙單循環(huán)賽分出勝負的局數(shù)為X，求E(X)；

(2)甲乙丙單循環(huán)賽結(jié)束，乙丙同積4分，設(shè)加賽【答案解析】1.【人教A選擇性必修三P60練習(xí)T3】解：設(shè)P(ξ=1)=p，則P(ξ=0)=1?p．

依題意知，p=2(1?p)，解得p=23．故P(ξ=0)=1?p=13．【人教A版選擇性必修三P71習(xí)題7.3T3】解：因為P(X=x1)+P(X=x2)=23x1+13x2故選：B．例1.解：根據(jù)題意，2ξ?5ξ?4<1，解可得1<ξ<4，則P(2ξ?5ξ?4<1)=P(1<ξ<4)，

結(jié)合分布列：P(1<ξ<4)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=1?P(ξ=1)?P(ξ=4)=1?例2.解：由題意可得a+2a+3a+4a+5a=1，所以a=115，故15a=1，故A正確；

P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=0.6)=115×3=0.2，故B正確；練11.解：P(X=k)=m4k2∴m2×(1?13+1故選：A．練12.解：∵k=03p(k)+0=故選：B．例3.解：由題意，P(X=0)+P(X=1)=1，

又P(X=0)=29P(X=1)，所以P(X=1)+29P(X=1)=1，解得P(X=1)=13或23，

又P(X=0)<P(X=1)，故P(X=1)=2例4.解：由題意可得，取到紅球個數(shù)服從兩點分布B(1,p)，其中p=11+n，

則E(ξ)=p=11+n隨著n的增大，E(ξ)減小，D(ξ)=1n+1(1?1n+1)=n(n+1)2，

設(shè)f(x)=x(x+1)2，求導(dǎo)可得f'(x)=?x+1(x+1)例5.解：(1)甲、乙各得0分的概率P0=13×12=16；

甲、乙各得1分的概率P1=23×13×12×12=118；

甲、乙各得2分的概率P2=23×23×13×12×12=127；

故兩人得分相同的概率為P0+X01234P111371EX=練21.解：由已知條件可得，X的所有可能取值為2，3，

P(X=2)=p2+(1?p)2=2p2?2p+1，

P(X=3)=C21p(1?p)p+C21p(1?p)(1?p)=?2p2+2p，

故E(X)=2×(2p2?2p+1)+3×(2p?2p2)=?2p2+2p+2=?2(p?12)練22.解：(Ⅰ)記“任取1名學(xué)生，該生獲得一等獎”為事件A，記“任取1名學(xué)生，該生為高一學(xué)生”為事件B，則P(A)=36350，P(AB)=20350，

∴P(B|A)=P(AB)P(A)=2035036350=59；

(Ⅱ)由已知可得，X的可能取值為0X012P151∴E(X)=0×12+1×512+2×112=712;練23.解：(1)選手甲考核積分的總成績ξ的所有可能取值為0，p1，p1+p2，p1+p2+p3．ξ0pppp9774所以數(shù)學(xué)期期E(ξ)=0×925+p1×725+(p1+p2)×775+(p1+p2+p3)×415=1625pξ0pppp939527所以數(shù)學(xué)期望E(ξ1)=0×925+p1×39100+(p1+p例5.解：(1)η=0，1，2，

則p(η=0)=C200.82=0.64，p(η=1)=Cη012P0.640.320.04(2)小方月薪高于小芳月薪的概率：P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×(0.4+0.3)+0.1×(0.4+0.3)=0.49

(3)入職甲公司，月薪的期望為E(X)=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8=6，

方差D(X)=0.4×(5?6)2+0.3×(6?6)2+0.2×(7?6)2+0.1×(8?6)2=1，

入職乙公司，月薪的期望為E(Y)=0.4×4+0.3×6+0.2×8+0.1×10=6，

例6.解：(1)若答案是兩個選項，所有的可能有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，

則小明只選一個得2分的概率為：12×36=14；

答案是三個選項，所有的可能有：有ABC，ACD，ABD，BCD，共4種，

則小明只選一個得2分的概率為：12×34=38；

X

0

2

5

P

1

1?p

1得分的期望為E(X)=2(1?p)+5×12p=2+12p>2；

Y

0

5

P

p

1?p得分的期望為E(Y)=5(1?p)=5?5p；

選策略Ⅲ，得分為Z，則E(Z)=2，

當2+12p?(5?5p)=112p?3>0?1>p>611，此時E(X)>E(Y)，E(X)>E(Z)，故此時選擇策略I，

當0<p<611時，E(X)<E(Y)，E(Y)最大，此時選擇策略Ⅱ練31.解：(1)X的可能取值為0，1000，3000，

P(X=0)=1?0.8=0.2，P(X=1000)=0.8(1?0.5)=0.4，P(X=3000)=0.8×0.5=0.4，

所以分布列為X010003000P0.20.40.4∴E(X)=0×0.2+1000×0.4+3000×0.4=1600；

(2)設(shè)先猜A，再猜B得到獎金為X，先猜B，再猜A得到獎金為Y，

則X的可能取值為0，a，a+b，Y的可能取值為0，b，a+b，

P(X=0)=0.2，P(X=a)=0.8×0.5=0.4，P(X=a+b)=0.8×0.5=0.4，

P(Y=0)=0.5，P(Y=b)=0.5×0.2=0.1，P(Y=a+b)=0.8×0.5=0.4，

E(X)=0×0.2+0.4a+0.4(a+b)=0.8a+0.4b，

E(Y)=0×0.5+0.1b+0.4(a+b)=0.4a+0.5b，

E(X)?E(Y)=0.4a?0.1b，

當a=14b時，即E(X)?E(Y)=0，即E(X)=E(Y)，先猜A與先猜B一樣；

當a>14b時，即E(X)?E(Y)>0，即E(X)>E(Y)，應(yīng)先猜A；

當a<14練32.解：(1)當收費為20元時，照片被帶走的概率為0.3，不被帶走的概率為0.7.設(shè)每個游客的利潤為Y1元，則YY15?5P0.30.7E(Y1)=15×0.3?5×0.7=1(元)，故5000當收費為10元時，照片被帶走的概率為0.3+0.05×10=0.8，不被帶走的概率為0.2，設(shè)每個游客的利潤為Y2元，則YY5?5P0.80.2E(Y2)=5×0.8?5×0.2=3(元)，故5000個游客的平均利潤為5000×3=15000(該項目每天的平均利潤比調(diào)整前多10000元；(2)設(shè)降價x元，則0≤x<15，照片被帶走的概率為0.3+0.05x，不被帶走的概率為0.7?0.05x，設(shè)每個游客的利潤為Y元，則Y是隨機變量，其分布列為：Y15?x?5P0.3+0.05x0.7?0.05xE(Y)=(15?x)(0.3+0.05x)?5(0.7?0.05x)=0.05[69?(x?7)當x=7時，E(Y)有最大值3.45元，當定價為13元時，日平均利潤的最大值為5000×3.45=17250(元)．練33.解：(1)由題意得X的可能取值為0，20，100．

P(X=0)=0.2，P(X=20)=0.8×0.4=0.32，P(X=100)=0.8×0.6=0.48，

分布列如下表：X020100P0.20.320.48則X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．

(2)如果選擇條件=1\*GB3①．

若甲同學(xué)選擇先回答A類問題，得到對應(yīng)的分布列為X0m2mP1?ppE(X1)=mX0n2nP1?ppE(X2)=np2(1+p1).

E(X1)?E(X2)=mp1(1+X0mm+nP1?ppE(X3)=X0nm+nP1?ppE(X4)=p2(n+mp1例7.解：(1)設(shè)A口袋中有n個白球，則由題知nm=232+n設(shè)事件Bi表示從B口袋中第i(i=1,2,?)次取出的是紅球，則有P設(shè)事件C表示從B口袋中有放回的各取1球恰好第3次后停止，則PC(2)設(shè)事件D1表示從A口袋中取出一個球是紅球，PD2表示從B口袋中取出一個球是紅球，P事件E表示第三人從兩個口袋中各取一球是同色球，有P(E)=P(D所以游戲不公平．(3)設(shè)X表示從B口袋中一次取3個球的得分，則X的可取值為3，4，5，有PX=3=C43從而EX例8.解：(1)由題意得：設(shè)“甲在校運會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎”為事件A．

比賽成績達到9.50m以上獲優(yōu)秀獎，甲的比賽成績達到9.50以上的有：9.80，9.70.9.55，9.54四個，

所以，甲在校運會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為P(A)=0.4，

(2)

X所有可能取值為0，1，2，3．

甲在校運會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為P(A)=0.4．

乙在校運會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為事件B，則P(B)=0.5．

丙在校運會鉛球比賽中獲優(yōu)秀獎的概率為事件C，則P(C)=0.5．

P(X=0)=0.6×0.5×0.5=0.15，

P(X=1)=0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.4，

P(X=2)=0.4×0.5×0.5+0.4×0.5×0.5+0.6×0.5×0.5=0.35，

R(X=