第1章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣1.3離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析1.4Z變換1.5拉氏變換、傅氏變換與Z變換1.6離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（ω域和Ζ域）1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列

離散時(shí)間信號(hào)只在離散時(shí)間上給出函數(shù)值，是時(shí)間上不連續(xù)的一個(gè)序列。它既可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)是一個(gè)整數(shù)值變量n的函數(shù)，表示為x(n)或{x(n)}。盡管獨(dú)立變量n不一定表示“時(shí)間”（例如，n可以表示溫度或距離），但x(n)一般被認(rèn)為是時(shí)間的函數(shù)。因?yàn)殡x散時(shí)間信號(hào)x(n)對(duì)于非整數(shù)值n是沒(méi)有定義的，所以一個(gè)實(shí)值離散時(shí)間信號(hào)——序列可以用圖形來(lái)描述，如圖1-1所示。橫軸雖為連續(xù)直線，但只在n為整數(shù)時(shí)才有意義?？v軸線段的長(zhǎng)短代表各序列值的大小。圖1-1離散時(shí)間信號(hào)x(n)的圖形表示

離散時(shí)間信號(hào)常?？梢詫?duì)模擬信號(hào)(如語(yǔ)音)進(jìn)行等間隔采樣而得到。例如，對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)，以每秒fs=1/T個(gè)采樣的速率采樣而產(chǎn)生采樣信號(hào)，它與xa(t)的關(guān)系如下：然而，并不是所有的離散時(shí)間信號(hào)都是這樣獲得的。一些信號(hào)可以認(rèn)為是自然產(chǎn)生的離散時(shí)間序列，如每日股票市場(chǎng)價(jià)格、人口統(tǒng)計(jì)數(shù)和倉(cāng)庫(kù)存量等。1.1.1序列的運(yùn)算

1．序列的移位如圖1-1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)為

當(dāng)m為正時(shí)，則x(n-m)是指序列x(n)逐項(xiàng)依次延時(shí)（右移）m位而給出的一個(gè)新序列;當(dāng)m為負(fù)時(shí)，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。圖1-2顯示了x(n)序列的延時(shí)序列w(n)=x(n-2),即m=2時(shí)的情況。圖1-2圖1-1序列x(n)的延時(shí)

2．序列的翻褶如果序列為x(n),則x(-n)是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸將序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如圖1-3(a)、(b)所示。圖1-3序列的翻褶(a)x(n)序列；(b)x(-n)序列3．序列的和兩序列的和是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成的一個(gè)新序列。和序列z(n)可表示為

4．序列的乘積兩序列相乘是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。乘積序列f(n)可表示為

5．序列的標(biāo)乘序列x(n)的標(biāo)乘是指x(n)的每個(gè)序列值乘以常數(shù)c。標(biāo)乘序列f(n)可表示為

6．累加

設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為它表示y(n)在某一個(gè)n0上的值y(n0)等于在這一個(gè)n0上的x(n0)值與n0以前所有n上的x(n)之和。7．差分運(yùn)算前向差分Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此得出▽x(n)=Δx(n-1)1.1.2幾種常用序列

1．單位脈沖序列δ(n)

這個(gè)序列只在n=0處有一個(gè)單位值1，其余點(diǎn)上皆為0，因此也稱為“單位采樣序列”。單位采樣序列如圖1-4所示。(1-1)圖1-4δ(n)序列

這是最常用、最重要的一種序列，它在離散時(shí)間系統(tǒng)中的作用，很類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)。但是，在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，δ(t)是t=0點(diǎn)脈寬趨于零，幅值趨于無(wú)限大，面積為1的信號(hào)，是極限概念的信號(hào)，并非任何現(xiàn)實(shí)的信號(hào)。而離散時(shí)間系統(tǒng)中的δ(n)，卻完全是一個(gè)現(xiàn)實(shí)的序列，它的脈沖幅度是1，是一個(gè)有限值。2．單位階躍序列u(n)

如圖1-5所示。它很類似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)。(1-2)圖1-5u(n)序列δ(n)和u(n)間的關(guān)系為這就是u(n)的后向差分。而令n-m=k，代入此式可得這里就用到了累加的概念。(1-3)(1-4)(1-5)3．矩形序列RN(n)(1-6)矩形序列RN(n)如圖1-6所示。圖1-6RN(n)序列RN(n)和δ(n)、u(n)的關(guān)系為:(1-7)(1-8)4．實(shí)指數(shù)序列式中，a為實(shí)數(shù)。當(dāng)|a|<1時(shí)，序列是收斂的;而當(dāng)|a|>1時(shí)，序列是發(fā)散的。a為負(fù)數(shù)時(shí)，序列是擺動(dòng)的，如圖1-7所示。(1-9)圖1-7指數(shù)序列(a)|a|<1;(b)|a|>1;(c)a=-|a|

5．正弦型序列

x(n)=Asin(nω0+φ) (1-10)式中:A為幅度;φ為起始相位;ω0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。

ω0=0.1π時(shí),x(n)序列如圖1-8所示，該序列值每20個(gè)重復(fù)一次循環(huán)。圖1-8正弦序列(ω0=0.1π)

6．復(fù)指數(shù)序列序列值為復(fù)數(shù)的序列稱為復(fù)指數(shù)序列。復(fù)指數(shù)序列的每個(gè)值具有實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。?fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列：(1-11a)或(1-11b)式中，ω0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。對(duì)第二種表示，序列的實(shí)部、虛部分別為如果用極坐標(biāo)表示，則因此有：1.1.3序列的周期性如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿足(1-12)則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N?，F(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。由于則若Nω0=2πk,當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則

這時(shí)的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2πk/ω0（N，k必須為整數(shù)）?？煞謳追N情況討論如下。（1）當(dāng)2π/ω0為正整數(shù)時(shí)，周期為2π/ω0，見(jiàn)圖1-8。（2）當(dāng)2π/ω0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則式中，k,N為互素的整數(shù)，則為最小正整數(shù)，序列的周期為N。

（3）當(dāng)2π/ω0是無(wú)理數(shù)時(shí)，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。這時(shí)，正弦序列不是周期性的。這和連續(xù)信號(hào)是不一樣的。同樣，指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。下面，我們來(lái)進(jìn)一步討論，如果一個(gè)正弦型序列是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)采樣而得到的，那么，采樣時(shí)間間隔T和連續(xù)正弦信號(hào)的周期之間應(yīng)該是什么關(guān)系才能使所得到的采樣序列仍然是周期序列呢？設(shè)連續(xù)正弦信號(hào)xa(t)為這一信號(hào)的頻率為f0，角頻率Ω0=2πf0，信號(hào)的周期為T0=1/f0=2π/Ω0。如果對(duì)連續(xù)周期信號(hào)xa(t)進(jìn)行采樣，其采樣時(shí)間間隔為T，采樣后信號(hào)以x(n)表示，則有如果令ω0為數(shù)字域頻率，滿足式中,fs是采樣頻率。可以看出，ω0是一個(gè)相對(duì)頻率，它是連續(xù)正弦信號(hào)的頻率f0對(duì)采樣頻率fs的相對(duì)頻率乘以2π，或說(shuō)是連續(xù)正弦信號(hào)的角頻率Ω0對(duì)采樣頻率fs的相對(duì)頻率。用ω0代替Ω0T，可得這就是我們上面討論的正弦型序列。

下面我們來(lái)看2π/ω0與T及T0的關(guān)系，從而討論上面所述正弦型序列的周期性的條件意味著什么？這表明，若要2π/ω0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號(hào)的周期T0應(yīng)為采樣時(shí)間間隔T的整數(shù)倍；若要2π/ω0為有理數(shù)，就表示T0與T是互為互素的整數(shù)，且有(1-13)式中，k和N皆為正整數(shù)，從而有即N個(gè)采樣間隔應(yīng)等于k個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)的周期。1.1.4用單位采樣序列來(lái)表示任意序列用單位采樣序列來(lái)表示任意序列對(duì)分析線性時(shí)不變系統(tǒng)（下面即將討論）是很有用的。設(shè){x(m)}是一個(gè)序列值的集合，其中的任意一個(gè)值x(n)可以表示成單位采樣序列的移位加權(quán)和，即(1-14)由于則因此，式（1-14）成立，這種表達(dá)式提供了一種信號(hào)分析工具。例如，圖1-9所示的序列用式（1-14）表示為圖1-9序列x(n)1.1.5序列的能量序列x(n)的能量E定義為序列各采樣樣本的平方和，即(1-15)1.2連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣

在某些合理?xiàng)l件限制下，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)能用其采樣序列來(lái)完全給予表示，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理往往是通過(guò)對(duì)其采樣得到的離散時(shí)間序列的處理來(lái)完成的。本節(jié)將詳細(xì)討論采樣過(guò)程，包括信號(hào)采樣后，信號(hào)的頻譜將發(fā)生怎樣的變換，信號(hào)內(nèi)容會(huì)不會(huì)丟失，以及由離散信號(hào)恢復(fù)成連續(xù)信號(hào)應(yīng)該具備哪些條件等。采樣的這些性質(zhì)對(duì)離散信號(hào)和系統(tǒng)的分析都是十分重要的。要了解這些性質(zhì)，讓我們首先從采樣過(guò)程的分析開(kāi)始。

采樣器可以看成是一個(gè)電子開(kāi)關(guān)，它的工作原理可由圖1-9（a）來(lái)說(shuō)明。設(shè)開(kāi)關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，將連續(xù)信號(hào)接通，實(shí)現(xiàn)一次采樣。如果開(kāi)關(guān)每次閉合的時(shí)間為τ秒，那么采樣器的輸出將是一串周期為T，寬度為τ的脈沖。而脈沖的幅度卻是重復(fù)著在這段τ時(shí)間內(nèi)信號(hào)的幅度。如果以xa(t)代表輸入的連續(xù)信號(hào)，如圖1-9（b）所示，以xp(t)表示采樣輸出信號(hào)，它的結(jié)構(gòu)如圖1-9（d）所示。顯然，這個(gè)過(guò)程可以把它看作是一個(gè)脈沖調(diào)幅過(guò)程。被調(diào)制的脈沖載波是一串周期為T、寬度為τ的矩形脈沖信號(hào)，如圖1-9（c）所示，并以p(t)表示，而調(diào)制信號(hào)就是輸入的連續(xù)信號(hào)。因而有

一般開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間都是很短的，而且τ越小，采樣輸出脈沖的幅度就越準(zhǔn)確地反映輸入信號(hào)在離散時(shí)間點(diǎn)上的瞬時(shí)值。當(dāng)τ<<T時(shí)，采樣脈沖就接近于δ函數(shù)性質(zhì)。圖1-10連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣過(guò)程1.2.1理想采樣理想采樣就是假設(shè)采樣開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間無(wú)限短，即τ→0的極限情況。此時(shí)，采樣脈沖序列p(t)變成沖激函數(shù)序列s(t)，如圖1-10(e)所示。這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在采樣瞬間，面積為1。采樣后，輸出理想采樣信號(hào)的面積（即積分幅度）則準(zhǔn)確地等于輸入信號(hào)xa(t)在采樣瞬間的幅度。理想采樣過(guò)程如圖1-10（f）所示。沖激函數(shù)序列s(t)為(1-16)以表示理想采樣的輸出，以后我們都以下標(biāo)a表示連續(xù)信號(hào)（或稱模擬信號(hào)），如xa(t)；而以它的頂部符號(hào)（∧）表示它的理想采樣，如。這樣我們就可將理想采樣表示為(1-17)把式（1-16）代入式（1-17），得由于δ(t-nT)只在t=nT時(shí)不為零，故(1-18)(1-19)1.2.2理想采樣信號(hào)的頻譜我們首先看看通過(guò)理想采樣后信號(hào)頻譜發(fā)生了什么變化。由于在連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中已學(xué)過(guò)，式（1-17）表示時(shí)域相乘，則頻域（傅里葉變換域）為卷積運(yùn)算。所以由式（1-17）可知，若各個(gè)信號(hào)的傅里葉變換分別表示為:(1-20)(1-21)(1-22)則應(yīng)滿足現(xiàn)在來(lái)求S(jΩ)=F［s(t)］。由于s(t)是以采樣頻率重復(fù)的沖激脈沖，因此是一個(gè)周期函數(shù)，可表示為傅里葉級(jí)數(shù)，即(1-23)此級(jí)數(shù)的基頻為采樣頻率，即:一般稱fs為頻率，單位為赫茲(Hz)，Ωs為角頻率，單位為弧度/秒;習(xí)慣上都統(tǒng)稱為“頻率”。它們的區(qū)別由符號(hào)f及Ω來(lái)識(shí)別。

根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)的知識(shí)，系數(shù)ak可以通過(guò)以下運(yùn)算求得以上結(jié)果的得出是考慮到在|t|≤T/2的積分區(qū)間內(nèi)，只有一個(gè)沖激脈沖δ(t)，其他沖激δ(t-nT)，n≠0都在積分區(qū)間之外，且利用了以下關(guān)系:因而(1-24)由此得出由于(1-25)所以(1-26)將式（1-26）代入式（1-23）可得根據(jù)沖激函數(shù)的性質(zhì)，可得(1-27)或者(1-28)

由此看出，一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣后，其頻譜將沿著頻率軸以采樣頻率Ωs=2π/T

為間隔而重復(fù)，這就是說(shuō)頻譜產(chǎn)生了周期性延拓，如圖1-10所示。也就是說(shuō)，理想采樣信號(hào)的頻譜，是Xa(jΩ)的周期延拓函數(shù)，其周期為Ωs，而頻譜的幅度則受1/T加權(quán)，由于T是常數(shù)，所以除了一個(gè)常數(shù)因子外，每一個(gè)延拓的譜分量都和原頻譜分量相同。因此只要各延拓分量與原頻譜分量不發(fā)生頻率混疊，則有可能恢復(fù)出原信號(hào)。也就是說(shuō)，如果xa(t)是限帶信號(hào)，其頻譜如圖1-10（a）所示，且最高頻譜分量Ωh不超過(guò)Ωs/2，即(1-29)那么原信號(hào)的頻譜和各次延拓分量的譜彼此不重疊，如圖1-10（c）所示。這時(shí)采用一個(gè)截止頻率為Ωs/2的理想低通濾波器，就可得到不失真的原信號(hào)頻譜。也就是說(shuō)，可以不失真地還原出原來(lái)的連續(xù)信號(hào)。圖1-11時(shí)域采樣后,頻譜的周期延拓

如果信號(hào)的最高頻譜Ωh超過(guò)Ωs/2，則各周期延拓分量產(chǎn)生頻譜的交疊，稱為混疊現(xiàn)象，如圖1-10（d）所示。由于Xa(jΩ)一般是復(fù)數(shù)，所以混疊也是復(fù)數(shù)相加。為了簡(jiǎn)明起見(jiàn)，在圖1-10中我們將Xa(jΩ)作為標(biāo)量來(lái)處理。我們將采樣頻率之半（Ωs/2）稱為折疊頻率，即它如同一面鏡子，當(dāng)信號(hào)頻譜超過(guò)它時(shí)，就會(huì)被折疊回來(lái)，造成頻譜的混疊。(1-30)

圖1-12說(shuō)明了在簡(jiǎn)單余弦信號(hào)情況下頻譜混疊的情況。在圖1-12（a）中，給出該余弦信號(hào)(1-31)的傅里葉變換Xa(jΩ)。(1-32)

圖（b）是在Ω0<Ωs/2時(shí)，的傅里葉變換。圖（c）是在Ω0>Ωs/2時(shí)，的傅里葉變換。（d）和（e）則分別對(duì)應(yīng)于Ω0<Ωs/2=π/T和Ω0>π/T時(shí)低通濾波器輸出的傅里葉變換，在沒(méi)有混疊時(shí)（(b)和(d)），恢復(fù)出的輸出ya(t)為在有混疊時(shí)，則是(1-33)這就是說(shuō)，作為采樣和恢復(fù)的結(jié)果，高頻信號(hào)cosΩ0t已經(jīng)被當(dāng)作和低頻信號(hào)cos(Ωs-Ω0)t是一樣的東西被冒名頂替了。這個(gè)討論就是奈奎斯特采樣定理的基礎(chǔ)。圖1-12一個(gè)余弦信號(hào)采樣中的混疊效果

由此得出結(jié)論：要想采樣后能夠不失真地還原出原信號(hào)，則采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)譜的最高頻率（Ωs>2Ωh），這就是奈奎斯特采樣定理。即

fs>2fh

頻率Ωh一般稱為奈奎斯特頻率，而頻率2Ωh稱為奈奎斯特率。采樣頻率必須大于奈奎斯特率。在實(shí)際工作中，為了避免頻譜混淆現(xiàn)象發(fā)生，采樣頻率總是選得比奈奎斯特頻率更大些，例如選到(3～4)Ωh。同時(shí)為了避免高于折疊頻率的雜散頻譜進(jìn)入采樣器造成頻譜混淆，一般在采樣器前加入一個(gè)保護(hù)性的前置低通濾波器，稱為防混疊濾波器，其截止頻率為Ωs/2，以便濾除掉高于Ωs/2的頻率分量。

同樣方法，可以證明（亦可代jΩ=s到式（1-27）），理想采樣后，使信號(hào)的拉普拉斯變換在S平面上沿虛軸周期延拓。也就是說(shuō),在S平面虛軸上是周期函數(shù)。即有(1-34)式中：即分別是的雙邊拉普拉斯變換。1.2.3采樣的恢復(fù)如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即模擬信號(hào)譜的最高頻率小于折疊頻率則采樣后不會(huì)產(chǎn)生頻譜混疊，由式1-27）知故將通過(guò)一個(gè)理想低通濾波器，這個(gè)理想低通濾波器應(yīng)該只讓基帶頻譜通過(guò)，因而其帶寬應(yīng)該等于折疊頻率，它的特性如圖1-13所示。圖1-13采樣的恢復(fù)采樣信號(hào)通過(guò)這個(gè)濾波器后，就可濾出原模擬信號(hào)的頻譜因此，在輸出端可以得到原模擬信號(hào)理想低通濾波器雖不可實(shí)現(xiàn)，但是在一定精度范圍內(nèi)，可用一個(gè)可實(shí)現(xiàn)的濾波器來(lái)逼近它。1.2.4由采樣信號(hào)序列重構(gòu)帶限信號(hào)理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為由與h(t)的卷積積分，即得理想低通濾波器的輸出為這里h(t-nT)稱為內(nèi)插函數(shù)：(1-35)

它的波形如圖1-13所示，其特點(diǎn)為：在采樣點(diǎn)nT上，函數(shù)值為1;其余采樣點(diǎn)上，函數(shù)值都為零。圖1-14內(nèi)插函數(shù)由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷積結(jié)果也可以表示為(1-36)式（1-36）稱為采樣內(nèi)插公式，即信號(hào)的采樣值xa(nT)經(jīng)此公式而得到連續(xù)信號(hào)xa(t)。也就是說(shuō)，xa(t)等于各xa(nT)乘上對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的總和。在每一采樣點(diǎn)上，只有該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)不為零，這使得各采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變，而采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則由加權(quán)內(nèi)插函數(shù)波形的延伸疊加而成，如圖1-14所示。這個(gè)公式說(shuō)明了，只要采樣頻率高于兩倍信號(hào)最高頻率，則整個(gè)連續(xù)信號(hào)就可以完全用它的采樣值來(lái)代表，而不會(huì)丟掉任何信息。這就是奈奎斯特采樣定理的意義。由上面討論可看出采樣內(nèi)插公式只限于使用到限帶（頻帶有限）信號(hào)上。圖1-15采樣內(nèi)插恢復(fù)1.2.5實(shí)際采樣實(shí)際情況中，采樣脈沖不是沖激函數(shù)，而是一定寬度的矩形周期脈沖p(t)（實(shí)際采樣過(guò)程見(jiàn)圖1-10（c）、（d）所示），這時(shí)奈奎斯特采樣定理是否仍然有效？我們就來(lái)分析它。由于p(t)是周期函數(shù)，故仍可展成傅里葉級(jí)數(shù)(1-37)同樣可求出p(t)的傅里葉級(jí)數(shù)(注意，p(t)的幅度為1)(1-38)(1-39)

由此看出，和理想采樣一樣，采樣數(shù)據(jù)信號(hào)的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，因此，如果滿足奈奎斯特采樣定理，則不會(huì)產(chǎn)生頻譜的混疊失真。和理想采樣不同點(diǎn)是，這里頻譜分量的幅度有變化，其包絡(luò)是隨頻率增加而逐漸下降的，如圖1-16所示。圖1-16實(shí)際采樣時(shí)，采樣信號(hào)頻譜包絡(luò)的變化由圖可知由于包絡(luò)的第一個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)在這要求所以1.3離散時(shí)間系統(tǒng)時(shí)域分析

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算。若以T［·］來(lái)表示這種運(yùn)算，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可由圖1-15來(lái)表示，即(1-40)離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性時(shí)不變系統(tǒng)”。圖1-17離散時(shí)間系統(tǒng)1.3.1線性系統(tǒng)滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，即若某一輸入是由N個(gè)信號(hào)的加權(quán)和組成，則輸出就是系統(tǒng)對(duì)這幾個(gè)信號(hào)中每一個(gè)的響應(yīng)的同樣加權(quán)和組成。如果系統(tǒng)在x１(n)和x2(n)單獨(dú)輸入時(shí)的輸出分別為y1(n)和y2(n)即:那么當(dāng)且僅當(dāng)式（1-41a）和式（1-41b）成立時(shí)，該系統(tǒng)是線性的（1-41a）和（1-41b）式中,a為任意常數(shù)。上述第一個(gè)性質(zhì)稱為可加性，第二個(gè)稱為齊次性或比例性。這兩個(gè)性質(zhì)合在一起就成為疊加原理，寫成（1-42）式(1-42)對(duì)任意常數(shù)a1和a2都成立。該式還可推廣到多個(gè)輸入的疊加，即（1-43）式中,yk(n)就是系統(tǒng)對(duì)輸入xk(n)的響應(yīng)。在證明一個(gè)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須證明此系統(tǒng)同時(shí)滿足可加性和比例性，而且信號(hào)以及任何比例常數(shù)都可以是復(fù)數(shù)。[例1-3]

判斷以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：

y(n)=2x(n)+3

很容易證明這個(gè)系統(tǒng)不是線性的，因?yàn)榇讼到y(tǒng)不滿足疊加原理。證很明顯，在一般情況下所以此系統(tǒng)不滿足疊加性，故不是線性系統(tǒng)。同樣可以證明，1.3.2時(shí)不變系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間（也即不隨序列的延遲）而變化，這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)（或稱移不變系統(tǒng)）。這個(gè)性質(zhì)可用以下關(guān)系表達(dá)：若輸入x(n)的輸出為y(n)，則將輸入序列移動(dòng)任意位后，其輸出序列除了跟著移位外，數(shù)值應(yīng)該保持不變，即若T［x(n)］=y(n)

則

T［x(n-m)］=y(n-m)

（m為任意整數(shù)）(1-41)滿足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱為時(shí)不變系統(tǒng)。[例1-4]

證明不是時(shí)不變系統(tǒng)。證由于二者不相等，故不是時(shí)不變系統(tǒng)。同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不變（LTI）離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。除非特殊說(shuō)明，本書都是研究LTI系統(tǒng)。1.3.3單位脈沖響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系

線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位脈沖響應(yīng)來(lái)表征。單位脈沖響應(yīng)是指輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出。一般用h(n)表示單位脈沖響應(yīng)，即h(n)=T［δ(n)］有了h(n)我們就可以得到此線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出。下面討論這個(gè)問(wèn)題：設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)。從式（1-14）已經(jīng)知道，任一序列x(n)可以寫成δ(n)的移位加權(quán)和，即則系統(tǒng)的輸出為由于系統(tǒng)是線性的，可利用疊加原理式（1-40），則又由于系統(tǒng)的時(shí)不變性，式（1-41）對(duì)移位的單位脈沖的響應(yīng)就是單位脈沖響應(yīng)的移位。因此（1-45）

如圖1-18所示。式(1-45)稱為序列x(n)與h(n)的離散卷積，為了同以后的圓周卷積相區(qū)別，離散卷積也稱為“線性卷積”或“直接卷積”或簡(jiǎn)稱“卷積”，并以“*”表示之。

圖1-18線性時(shí)不變系統(tǒng)由式（1-45）不難看出，卷積與兩序列的先后次序無(wú)關(guān)。

證令n-m=m′代入式（1－45），然后再將m′換成m，即得（1－46）因此y(n)=x(n)*h(n)=h(n)*x(n)卷積的運(yùn)算過(guò)程在圖形表示上可分為四步：翻褶、

移位、

相乘和相加，如圖1－19所示。圖1-19離散卷積

（1）翻褶：先在啞變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(m)以m=0的垂直軸為對(duì)稱軸翻褶成h(-m)。（2）移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，右移n位;當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，左移n位。（3）相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值相乘。（4）相加：把以上所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的乘積累加起來(lái)，即得y(n)值。依上法，取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部y(n)值。在MATLAB內(nèi)部提供了一個(gè)conv函數(shù)，用于計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的線性卷積。

C=conv(A,B)用于計(jì)算兩個(gè)有限長(zhǎng)序列向量A和B的卷積。如果向量A和B的長(zhǎng)度分別為N和M，則卷積結(jié)果序列向量C的長(zhǎng)度為N+M-1。圖1-19中兩個(gè)序列的卷積可直接調(diào)用conv函數(shù)求解，具體的卷積計(jì)算程序juanji.m如下： %juanji.m卷積的計(jì)算程序

xn=[1,1/2,1,3/2]; hn=[1,1,1]; yn=conv(xn,hn)運(yùn)行結(jié)果：yn=[1.00001.50002.50003.00002.50001.5000]， 卷積結(jié)果與用圖解方法得到的結(jié)果相同。1.3.4線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1．交換律由于卷積與兩卷積序列的次序無(wú)關(guān)，即卷積服從交換律，故這就是說(shuō)，如果把單位脈沖響應(yīng)h(n)改作為輸入，而把輸入x(n)改作為系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)，則輸出y(n)不變。(1-47)2．結(jié)合律可以證明卷積運(yùn)算服從結(jié)合律，即

這就是說(shuō)，兩個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)級(jí)聯(lián)后仍構(gòu)成一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為兩系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的卷積，且線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)與它們的級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)，如圖1-20所示。(1-48)圖1–20具有相同單位脈沖響應(yīng)的三個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)3．分配律卷積也服從加法分配律：(1-49)

也就是說(shuō)，兩個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的并聯(lián)等效系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)等于兩系統(tǒng)各自單位脈沖響應(yīng)之和,如圖1-21所示。以上三個(gè)性質(zhì)，交換律前面已經(jīng)證明了，另外兩個(gè)性質(zhì)由卷積的定義可以很容易加以證明。圖1-21線性時(shí)不變系統(tǒng)的并聯(lián)組合及其等效系統(tǒng)1.3.5因果系統(tǒng)所謂因果系統(tǒng)，就是系統(tǒng)此時(shí)的輸出y(n)只取決于此時(shí)，以及此時(shí)以前的輸入，即x(n),x(n-1),x(n-2),…。如果系統(tǒng)的輸出y(n)還取決于x(n+1),x(n+2),…，也即系統(tǒng)的輸出還取決于未來(lái)的輸入，這樣在時(shí)間上就違背了因果關(guān)系，因而是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)。根據(jù)上述定義，可以知道，y(n)=nx(n)的系統(tǒng)是一個(gè)因果系統(tǒng)，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

從式（1-46）卷積公式，我們可以看到線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是

h(n)=0n<0(1-50)

依照此定義，我們將n<0，x(n)=0的序列稱為因果序列，表示這個(gè)因果序列可以作為一個(gè)因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。

我們知道，許多重要的網(wǎng)絡(luò)，如頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是非因果的不可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)。但是數(shù)字信號(hào)處理往往是非實(shí)時(shí)的，即使是實(shí)時(shí)處理，也允許有很大延時(shí)。這是對(duì)于某一個(gè)輸出y(n)來(lái)說(shuō)，已有大量的“未來(lái)”輸入x(n+1),x(n+2),…，記錄在存儲(chǔ)器中可以被調(diào)用，因而可以很接近于實(shí)現(xiàn)這些非因果系統(tǒng)。也就是說(shuō)，可以用具有很大延時(shí)的因果系統(tǒng)去逼近非因果系統(tǒng)。這個(gè)概念在以后講有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)時(shí)要常用到，這也是數(shù)字系統(tǒng)優(yōu)于模擬系統(tǒng)的特點(diǎn)之一。因而數(shù)字系統(tǒng)可以比模擬系統(tǒng)更能獲得接近理想的特性。1.3.6穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO）的系統(tǒng)。如果對(duì)于輸入序列x(n)，存在一個(gè)不變的正有限值Bx，對(duì)于所有n值滿足|x(n)|≤Bx<∞（1-51）

則稱該輸入序列是有界的。穩(wěn)定性要求對(duì)于每個(gè)有界輸入存在一個(gè)不變的正有限值By，對(duì)于所有n值，輸出序列y(n)滿足

|y(n)|≤By<∞（1-52）

一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即(1-53)證充分條件：若如果輸入信號(hào)x(n)有界，即對(duì)于所有n皆有|x(n)|≤Bx，則即輸出信號(hào)y(n)有界，故原條件是充分條件。必要條件：利用反證法。已知系統(tǒng)穩(wěn)定，假設(shè)我們可以找到一個(gè)有界的輸入輸出y(n)在n=0這一點(diǎn)上的值為

也即y(0)是無(wú)界的，這不符合穩(wěn)定的條件，因而假設(shè)不成立。所以是穩(wěn)定的必要條件。要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個(gè)特別的有界輸入，如果此時(shí)能得到一個(gè)無(wú)界的輸出，那么就一定能判定一個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是要證明一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一個(gè)特定的輸入作用來(lái)證明，而要利用在所有有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來(lái)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

顯然，既滿足穩(wěn)定條件又滿足因果條件的系統(tǒng)，即穩(wěn)定的因果系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。這種線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)該既是因果的（單邊的）又是絕對(duì)可和的，即：這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的，又是穩(wěn)定工作的，因而這種系統(tǒng)正是一切數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)。1.3.7常系數(shù)線性差分方程連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性微分方程表示，而離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系除了用式(1-42)表示外，常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示，即(1-56)

所謂常系數(shù)是指決定系統(tǒng)特征的a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bM都是常數(shù)。若系數(shù)中含有n，則稱為“變系數(shù)”線性差分方程。差分方程的階數(shù)等于未知序列（指y(n)）變量序號(hào)的最高值與最低值之差。例如,式（1-52）即為N階差分方程。

所謂線性是指各y(n-k)以及各x(n-k)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng)（這和線性微分方程是一樣的）;否則就是非線性的。離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個(gè)主要的用途，一是從差分方程表達(dá)式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，二是便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。求解常系數(shù)差分方程可以用離散時(shí)域求解法，也可以用變換域求解法。

離散時(shí)域求解法有兩種：（1）迭代法，此法較簡(jiǎn)單，但是只能得到數(shù)值解，不易直接得到閉合形式（公式）解答。（2）卷積計(jì)算法，這用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。

變換域求解法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換法相類似，它采用Z變換方法來(lái)求解差分方程，這在實(shí)際使用上是簡(jiǎn)單而有效的。卷積方法，前面已經(jīng)討論過(guò)了，只要知道系統(tǒng)脈沖響應(yīng)就能得知任意輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。Z變換方法將在后面幾節(jié)中討論。這里僅簡(jiǎn)單討論離散時(shí)域的迭代解法。差分方程在給定的輸入和給定的初始條件下，可用遞推迭代的辦法求系統(tǒng)的響應(yīng)。如果輸入是δ(n)這一特定情況，輸出響應(yīng)就是單位脈沖響應(yīng)h(n)。例如，利用δ(n)只在n=0取值為1的特點(diǎn)，可用迭代法求出其單位脈沖響應(yīng)h(0),h(1),…,h(n)值，下面舉例說(shuō)明。[例1-5]常系數(shù)線性差分方程輸入為

x(n)=δ(n)初始條件為

y(n)=0n<0試給出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)并求其單位脈沖響應(yīng)。(1-56)

解系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如圖1-20所示。圖中代表加法器， 代表乘法器，z-1表示一階延遲。由于初始條件已給定了n=0以前的輸出，所以系統(tǒng)的輸出響應(yīng)只要從n=0開(kāi)始求起。又因?yàn)檩斎離(n)=δ(n)，所以系統(tǒng)的輸出y(n)即為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。先由初始條件及輸入求h(0)值：再由h(0)值及輸入推導(dǎo)h(1)，并依次推導(dǎo)得h(2),h(3),…。因而有：…故系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為即這樣的系統(tǒng)相當(dāng)于因果系統(tǒng)，而且系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)，初始條件不同，則可能得到非因果系統(tǒng)。利用同一例子，分析如下。圖1-22系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)[例1-6]若系統(tǒng)的差分方程與例1-5相同，且設(shè)x(n)=δ(n)，但初始條件假設(shè)為y(n)=0，n>0,可得n>0時(shí)h(n)=y(n)=0，將式（1-56）改寫為另一種遞推關(guān)系

y(n-1)=2［y(n)-x(n)］

或 y(n)=2［y(n+1)-x(n+1)］又利用已得出的結(jié)果h(n)=0(n>0),則有：…所以也可表示為這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，而且是非穩(wěn)定的。

例1-5中求解系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的程序example15.m如下：MATLAB程序如下：%example15.m:調(diào)用filter函數(shù)解差分方程y(n)=x(n)+0.5y(n-1)b=[1];a=[1,-0.5];x=[1,zeros(1,31)];%x(n)為單位脈沖序列,長(zhǎng)度為32y=filter(b,a,x);%計(jì)算出單位脈沖響應(yīng)h(n)n=0:31;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');執(zhí)行結(jié)果如下：圖1-23例1-5系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)1.4.1Z變換的定義及收斂域

1.Z變換的定義

一個(gè)離散序列x(n)的Z變換定義為1.4Z變換式中，z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱為Z平面。我們常用Z［x(n)］表示對(duì)序列x(n)進(jìn)行Z變換，也即(1-57)(1-58)這種變換也稱為雙邊Z變換，與此相應(yīng)的單邊Z變換的定義如下：這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)窮，因此對(duì)于因果序列，用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。單邊Z變換只有在少數(shù)幾種情況下與雙邊Z變換有所區(qū)別。比如，需要考慮序列的起始條件，其他特性則都和雙邊Z變換相同。本書中如不另外說(shuō)明，均用雙邊Ｚ變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。(1-59)

2.Z變換的收斂域顯然，只有當(dāng)式（1-54）的冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。對(duì)任意給定序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。按照級(jí)數(shù)理論，式（1-54）的級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是滿足絕對(duì)可和的條件，即要求(1-60)要滿足此不等式，|z|值必須在一定范圍之內(nèi)才行，這個(gè)范圍就是收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示，即Rx-<|z|<Rx+

收斂域是分別以Rx-和Rx+為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)狀域（圖1-21中的斜線部分）。Rx-和Rx+稱為收斂半徑。當(dāng)然Rx-可以小到零，Rx+可以大到無(wú)窮大。常用的Z變換是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示：1-24環(huán)形收斂域

分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒(méi)有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。

Z平面上收斂域的位置，或者說(shuō)Rx-及Rx+的大小和序列有著密切的關(guān)系，分別討論如下。（1）有限長(zhǎng)序列:序列x(n)只在有限區(qū)間n1≤n≤n2之內(nèi)才具有非零的有限值，在此區(qū)間外，序列值皆為零。也即其Z變換為

設(shè)x(n)為有界序列，由于X(z)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和，除0與∞兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)Z平面均收斂。如果n1<0，則收斂域不包括∞點(diǎn)；如果n2>0，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括∞點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：(1-61a)(1-61b)(1-61c)有時(shí)將開(kāi)域(0,∞)稱為“有限Z平面”。[例1-7]

x(n)=δ(n)，求此序列的Z變換及收斂域。

解這是n1=n2=0時(shí)有限長(zhǎng)序列的特例，由于

所以收斂域應(yīng)是整個(gè)z的閉平面(0≤|z|≤∞)，如圖1-25所示。圖1-25δ(n)的收斂域(全部Z平面)[例1-8]

求矩形序列x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。解這是一個(gè)有限項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)之和。因此

（2）右邊序列：右邊序列是指x(n)只在n≥n1時(shí)有值，在n<n1時(shí)x(n)=0。其Z變換為(1-62)此式右端第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列的Z變換，按上面討論可知,它的收斂域?yàn)橛邢轟平面；而第二項(xiàng)是z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，按照級(jí)數(shù)收斂的阿貝爾（N.Abel）定理可推知，存在一個(gè)收斂半徑Rx-，級(jí)數(shù)在以原點(diǎn)為中心，以Rx-為半徑的圓外任何點(diǎn)都絕對(duì)收斂。因此，綜合此二項(xiàng)，只有二項(xiàng)都收斂時(shí)級(jí)數(shù)才收斂。所以，如果Rx-是收斂域的最小半徑，則右邊序列Z變換的收斂域?yàn)镽x-<|z|<∞右邊序列及其收斂域如圖1-26所示。圖1-26右邊序列及其收斂域（n1<0，|z|=∞除外）

因果序列是最重要的一種右邊序列，即n1=0的右邊序列。也就是說(shuō)，在n≥0時(shí)x(n)有值，n<0時(shí)x(n)=0，其Z變換級(jí)數(shù)中無(wú)z的正冪項(xiàng)，因此級(jí)數(shù)收斂域可以包括|z|=∞。(1-63)Z變換收斂域包括|z|=∞是因果序列的特征。[例1-9]

x(n)=anu(n),求其Z變換及收斂域。解這是一個(gè)因果序列，其Z變換為|z|>|a|這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)的等比級(jí)數(shù)求和，只有在|az-1|<1即|z|>|a|處收斂如圖1-27所示。故得到以上閉合形式的表達(dá)式，由于 ，故在z=a處有一極點(diǎn)(用“×”表示)，在z=0處有一個(gè)零點(diǎn)(用“○”表示)，收斂域?yàn)闃O點(diǎn)所在圓|z|=|a|的外部。收斂域上函數(shù)必須是解析的，因此收斂域內(nèi)不允許有極點(diǎn)存在。所以，右邊序列的Z變換如果有N個(gè)有限極點(diǎn)｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收斂域一定在模值為最大的這一個(gè)極點(diǎn)所在圓以外，也即對(duì)于因果序列，∞處也不能有極點(diǎn)。圖1-27右邊序列收斂域

（3）左邊序列:左邊序列是指在n≤n2時(shí)x(n)有值，而在n>n2時(shí)x(n)=0，其Z變換為等式第二項(xiàng)是有限長(zhǎng)序列的Z變換，收斂域?yàn)橛邢轟平面；第一項(xiàng)是正冪級(jí)數(shù)，按阿貝爾定理，必存在收斂半徑Rx+，級(jí)數(shù)在以原點(diǎn)為中心，以Rx+為半徑的圓內(nèi)任何點(diǎn)都絕對(duì)收斂。如果Rx+為收斂域的最大半徑，則綜合以上兩項(xiàng)，左邊序列Z變換的收斂域?yàn)槿绻鹡2≤0，則式（1-61）右端不存在第二項(xiàng)，故收斂域應(yīng)包括z=0，即|z|<Rx+。

例1-10

x(n)=-anu(-n-1),求其Z變換及收斂域。解這是一個(gè)左邊序列。其Z變換為此等比級(jí)數(shù)在|a-1z|<1，即|z|<|a|處收斂。因此

序列Z變換的收斂域如圖1-28所示。函數(shù)在z=a處有一極點(diǎn)，整個(gè)收斂域在極點(diǎn)所在圓以內(nèi)的解析區(qū)域。圖1-28左邊序列收斂域

對(duì)于左邊序列，如果序列Z變換有N個(gè)有限極點(diǎn)｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收斂域一定在模值為最小的這一個(gè)極點(diǎn)所在圓以內(nèi)，這樣X(jué)(z)才能在整個(gè)圓內(nèi)解析，也即Rx+=min［|z1|,|z2|,…,|zN|］

由以上兩例可以看出，一個(gè)左邊序列與一個(gè)右邊序列的Ｚ變換表達(dá)式是完全一樣的。所以，只給出Z變換的閉合表達(dá)式是不夠的，是不能正確得到原序列的。必須同時(shí)給出收斂域，才能惟一地確定一個(gè)序列。這就說(shuō)明了研究收斂域的重要性。（4）雙邊序列：一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)右邊序列和一個(gè)左邊序列之和，即(1-65)

因而其收斂域應(yīng)該是右邊序列與左邊序列收斂域的重疊部分。等式右邊第一項(xiàng)為右邊序列，其收斂域?yàn)閨z|>Rx-;第二項(xiàng)為左邊序列，其收斂域?yàn)閨z|<Rx+。如果Rx-<Rx+，則存在公共收斂區(qū)域，X(z)有收斂域 Rx-<|z|<Rx+

這是一個(gè)環(huán)狀區(qū)域。如果Rx->Rx+，則無(wú)公共收斂區(qū)域，X(z)無(wú)收斂域，也即在Z平面的任何地方都沒(méi)有有界的Ｘ(z)值，因此就不存在Z變換的解析式，這種Ｚ變換就沒(méi)有什么意義。[例1-11]

x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求其Z變換及收斂域。解這是一個(gè)雙邊序列，其Z變換為設(shè)若|a|<1，則存在公共收斂域其序列及收斂域如圖1-29所示。若|a|≥1，則無(wú)公共收斂域，因此也就不存在Z變換的封閉函數(shù)，這種序列如圖1-30。序列兩端都發(fā)散，顯然這種序列是不現(xiàn)實(shí)的序列。圖1-29雙邊序列及收斂域表1-1幾種序列的Z變換圖1－30Z變換無(wú)收斂域的序列1.4.2Z反變換已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過(guò)來(lái)求序列的變換稱為Z反變換，表示為x(n)=Z-1［X(z)］Z反變換的一般公式為若(1-66)則(1-67)圖1-31圍線積分路徑證該積分路徑c在半徑為R的圓上，即

z=Rejθ

Rx-<R<Rx+

則(1-68)這個(gè)積分公式（1-65）也稱為柯西積分定律。因此或

直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的，實(shí)際上,求Z反變換時(shí)，往往可以不必直接計(jì)算圍線積分。一般求Z反變換的常用方法有三種：圍線積分法（留數(shù)法）、部分分式展開(kāi)法和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法。

1.圍線積分法（留數(shù)法）這是求Z反變換的一種有用的分析方法。根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在圍線c以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，而在c以外有M個(gè)極點(diǎn)zm（M、K為有限值），則有(1-69)或(1-70)Res［X(z)zn-1,zk］表示函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk上的留數(shù)。式(1-69)表示函數(shù)F(z)沿圍線c反時(shí)針?lè)较虻姆e分等于F(z)在圍線c內(nèi)部各極點(diǎn)的留數(shù)之和。式（1-70）說(shuō)明，函數(shù)F(z)沿圍線c順時(shí)針?lè)较虻姆e分等于F(z)在圍線c外部各極點(diǎn)的留數(shù)之和。由式（1-69）及式（1-70），可得(1-71)將式（1-66）及式（1-67）分別代入式（1-64），可得:(1-72a)(1-72b)

根據(jù)具體情況，既可以采用式（1-72a），也可以采用式（1-72b）。例如，如果當(dāng)n大于某一值時(shí)，函數(shù)X(z)zn-1在圍線的外部可能有多重極點(diǎn)，這時(shí)選c的外部極點(diǎn)計(jì)算留數(shù)就比較麻煩，而通常選c的內(nèi)部極點(diǎn)求留數(shù)則較簡(jiǎn)單。如果當(dāng)n小于某一值時(shí)，函數(shù)X(z)zn-1在圍線的內(nèi)部可能有多重極點(diǎn)，這時(shí)選用c外部的極點(diǎn)求留數(shù)就方便得多。

現(xiàn)在來(lái)討論如何求X(z)zn-1在任一極點(diǎn)zr處的留數(shù)。設(shè)zr是X(z)zn-1的單一（一階）極點(diǎn)，則有(1-73)如果zr是X(z)zn-1的多重極點(diǎn)，如l階極點(diǎn)，則有(1-74)[例1-12]

已知求Z反變換。解

圍線c以內(nèi)包含極點(diǎn)a，如圖1-32粗線所示。當(dāng)n<0時(shí)，在z=0處有一個(gè)-n階極點(diǎn)。因此圖1-32收斂域|z|>|a|式中，a是單階極點(diǎn)。應(yīng)用公式(1-73)，則在z=0處有一個(gè)-n階極點(diǎn)（n<0），應(yīng)用公式(1-71)，則因此即

這個(gè)指數(shù)因果序列是單階極點(diǎn)的反變換，這個(gè)反變換是很典型的，在以下的部分分式中還要用到這個(gè)結(jié)果。實(shí)際上，由于收斂域在函數(shù)極點(diǎn)以外，并且包括∞點(diǎn)，因此可以知道該序列一定是因果序列。用留數(shù)法計(jì)算的結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn)。所以，在具體應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，若能從收斂域判定序列是因果的，就可以不必考慮n<0時(shí)出現(xiàn)的極點(diǎn)了，因?yàn)樗鼈兊牧魯?shù)和一定總是零。在應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，收斂域是很重要的。同一個(gè)函數(shù)X(z)，若收斂域不同，則對(duì)應(yīng)的序列就完全不同。例如，仍然以上面的函數(shù)為例，改變其收斂域，可以看到結(jié)果完全不同。例1-13

已知求Z反變換。解

這時(shí)由于極點(diǎn)a處在圍線c以外（見(jiàn)圖1-33），所以當(dāng)n>0時(shí)圍線c內(nèi)無(wú)極點(diǎn)；而n<0時(shí)只在z=0處有一個(gè)-n階極點(diǎn)。因此即

上例中，在n<0時(shí)，也可用圍線外極點(diǎn)a的留數(shù)來(lái)求，見(jiàn)式（1-69b），則有即

從收斂域在函數(shù)極點(diǎn)所在圓以內(nèi)，就能判斷序列是左邊序列，計(jì)算出來(lái)結(jié)果也證實(shí)了這個(gè)結(jié)論。圖1-33收斂域|z|<|a|

2.部分分式展開(kāi)法在實(shí)際應(yīng)用中，一般X(z)是z的有理分式，可表示成X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)及Q(z)都是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且沒(méi)有公因式?？蓪(z)展開(kāi)成部分分式的形式，然后利用表1-1的基本Z變換對(duì)的公式求各簡(jiǎn)單分式的Z反變換（注意收斂域），再將各個(gè)反變換相加起來(lái)，就得到所求的x(n)。為了看出如何求得部分分式展開(kāi)，假設(shè)X(z)可以表示成z-1的多項(xiàng)式之比，即(1-75)為了得到X(z)的部分分式，將上式進(jìn)一步展開(kāi)成以下形式:式中，ck是X(z)的非零零點(diǎn)，dk是X(z)的非零極點(diǎn)。如果M<N，且所有極點(diǎn)都是一階的，則X(z)可展開(kāi)成（1-77）（1-76）式中，Ak是常數(shù)，k=1,2,…,N。

若X(z)的收斂域?yàn)閨z|>max［|dk|］，因此上式部分分式展開(kāi)式中每一項(xiàng)都是一個(gè)因果序列的z函數(shù)，可以直接利用例1-10的結(jié)果，得（1-78）式中，系數(shù)Ak可利用留數(shù)定理求得（1-79）

如果M≥N，且除一階極點(diǎn)外，在z=di處還有s階極點(diǎn)，則X(z)可展開(kāi)成（1-80）

式中，Bn可用長(zhǎng)除法求得。Ak可由式(1-76)求出。系數(shù)Cm由下式得到（1-81a）或（1-81b）

展開(kāi)式各項(xiàng)被確定后，再分別求右邊各項(xiàng)的Z反變換，則原序列就是各項(xiàng)的反變換序列之和。[例1-14]

設(shè)試?yán)貌糠址质椒ㄇ骦反變換。

解X(z)有兩個(gè)極點(diǎn)，d1=2和d2=0.5，收斂域?yàn)閨z|>2，則X(z)的零極點(diǎn)如圖1-34所示。由收斂域可知x(n)是一個(gè)右邊序列。因?yàn)闃O點(diǎn)全部是一階的，因此X(z)能表示為:

由用式（1-79）求得系數(shù)為:因此X(z)為根據(jù)表1-1可得或表示為圖1-34例1-14X(z)的零極點(diǎn)圖

例1-15

在這個(gè)例子中要考慮例1-12中給出的X(z)所對(duì)應(yīng)的全部可能序列。

解根據(jù)圖1-34的零極點(diǎn)圖和收斂域性質(zhì)，X(z)有三種不同的收斂域：（1）|z|>2,如例1-14,情況1已經(jīng)證明是一個(gè)右邊序列。

(2) ,情況2對(duì)應(yīng)于一個(gè)左邊序列。

(3) ,情況3則對(duì)應(yīng)于一個(gè)雙邊序列。

因?yàn)閄(z)的部分分式展開(kāi)僅決定于X(z)的代數(shù)式，所以對(duì)所有三種情況都是一樣的。針對(duì)X(z)的三種不同的收斂域，根據(jù)表1-1可得：情況1：情況2：情況3：3.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）因?yàn)閤(n)的Z變換定義為z-1的冪級(jí)數(shù)，即

所以只要在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。把X(z)展成冪級(jí)數(shù)的方法很多。例如，直接將X(z)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)形式；當(dāng)X(z)是log,sin,cos,sinh等函數(shù)時(shí)，可利用已知的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式將其展成冪級(jí)數(shù)形式；當(dāng)X(z)是一個(gè)有理分式，分子分母都是z的多項(xiàng)式時(shí)，可利用長(zhǎng)除法，即用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式得到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。例1-16

若X(z)為求Z反變換。

解直接將X(z)展開(kāi)成憑觀察，x(n)就是或者寫成[例1-17]

若X(z)為X(z)=lg(1+az-1)|z|>|a|求Z反變換。

解利用lg(1+x)，且|x|<1的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可得所以顯然[例1-18]

若X(z)為求Z反變換。

解X(z)在z=-a處有一極點(diǎn)，收斂域在極點(diǎn)所在圓以外，序列應(yīng)該是因果序列，X(z)應(yīng)展成z的降冪次級(jí)數(shù)，所以可按降冪順次長(zhǎng)除有所以則[例1-17]若X(z)為求Z反變換。

解

X(z)在z=a處有一極點(diǎn)，收斂域在極點(diǎn)所在圓以內(nèi)，序列應(yīng)該是左邊序列，X(z)應(yīng)展成z的升冪次級(jí)數(shù)，因此應(yīng)按升冪順次長(zhǎng)除有故則

從上面兩例可以看出，長(zhǎng)除法既可展成升冪級(jí)數(shù)也可展成降冪級(jí)數(shù)，這完全取決于收斂域。所以在進(jìn)行長(zhǎng)除以前，一定要先根據(jù)收斂域確定是左邊序列還是右邊序列，然后才能正確地決定是按升冪長(zhǎng)除，還是按降冪長(zhǎng)除。如果收斂域是|z|<Rx+，則x(n)必然是左邊序列，此時(shí)應(yīng)將X(z)展開(kāi)成z的正冪級(jí)數(shù)，為此，X(z)的分子分母應(yīng)按z的升冪（或z-1的降冪）排列。1.4.3Z變換的性質(zhì)1.線性Z變換是一種線性變換，它滿足疊加原理，即若有:Z［x(n)］=X(z)Rx-<|z|<Rx+

Z［y(n)］=Y(z)Ry-<|z|<Ry+

那么對(duì)于任意常數(shù)a、b，Z變換都能滿足以下等式：

Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)Ｒ-<|z|<R+(1-82)

通常兩序列和的Z變換的收斂域?yàn)閮蓚€(gè)相加序列的收斂域的公共區(qū)域：R-=max(Rx-,Ry-)R+=min(Rx+,Ry+)如果線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)互相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。[例1-20]

已知x(n)=anu(n)y(n)=anu(n-N)求x(n)-y(n)的Z變換。

解由表1-1可知又利用線性性質(zhì)，x(n)-y(n)的Z變換為這時(shí)由于極點(diǎn)z=a消去，因此收斂域不是|z|>|a|，而擴(kuò)展為|z|>0。實(shí)際上，由于x(n)是n≥0的有限長(zhǎng)序列，故收斂域是除了|z|=0外的全部Z平面。實(shí)際上，上一小節(jié)講Z反變換時(shí)，其中的部分分式分解法已經(jīng)使用了Z變換的線性疊加特性。2.序列的移位位移m可以為正（右移）也可以為負(fù)（左移）。(1-83)證3.乘以指數(shù)序列（Z域尺度變換）證(1-84)[例1-21]∞≥|z|>1∞≥|z|>|a|4.X(z)的微分證交換求和與求導(dǎo)的次序，則得所以(1-85)[例1-22]

利用X(z)的微分特性求下面序列的Z變換。x(n)=nanu(n)=n［anu(n)］=nx1(n)

解|z|>|a|利用微分特性有|z|>|a|5.復(fù)序列的共軛(1-86)式中，符號(hào)“*”表示取共軛復(fù)數(shù)。證6.翻褶序列(1-87)證而收斂域?yàn)楣士蓪懗?.初值定理對(duì)于因果序列x(n)，即x(n)=0,n<0,有證由于x(n)是因果序列，則有:(1-88)8.終值定理設(shè)x(n)為因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部極點(diǎn)，除有一個(gè)一階極點(diǎn)可以在z=1處外，其余都在單位圓內(nèi)，則(1-89)證利用序列的移位性質(zhì)可得再利用x(n)為因果序列可得

分析一下(z-1)X(z)的收斂域。由于X(z)在單位圓上只有在z=1處可能有一階極點(diǎn)，函數(shù)(z-1)X(z)將抵消掉這個(gè)z=1處的可能極點(diǎn)，因此(z-1)X(z)的收斂域?qū)▎挝粓A，即在1≤|z|≤∞上都收斂，所以可以取z→1的極限,

由于 是X(z)在z=1處的留數(shù)，因此終值定理也可用留數(shù)表示，即:(1-90)9.序列卷積（卷積定理）若則(1-91)

Y(z)的收斂域?yàn)閄(z)、H(z)收斂域的公共部分。若有極點(diǎn)被抵消，收斂域可擴(kuò)大。證max［Rx-,Rh-］<|z|<min［Rx+,Rh+］

在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，如果輸入為x(n)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則輸出y(n)是x(n)與h(n)的卷積;利用卷積定理，通過(guò)求出X(z)和H(z)，然后求出乘積X(z)H(z)的Z反變換，從而可得y(n)。這個(gè)定理得到廣泛應(yīng)用。[例1-23]

設(shè)x(n)=anu(n),

h(n)=bnu(n)-abn-1u(n-1)

求y(n)=x(n)*h(n)。解所以其Z反變換為

顯然，在z=a處，X(z)的極點(diǎn)被H(z)的零點(diǎn)所抵消，如果|b|<|a|，則Y(z)的收斂域比X(z)與H(z)收斂域的重疊部分要大，如圖1-35所示。圖1-35Y(z)的零極點(diǎn)及收斂域10.序列乘積（復(fù)卷積定理）若則(1-92)式中，c是啞變量V平面上X(v)與Y(z/v)的公共收斂域內(nèi)環(huán)繞原點(diǎn)的一條反時(shí)針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線，滿足:將兩個(gè)不等式相乘即得Z平面的收斂域?yàn)镽x-Ry-<|z|<Rx+Ry+

V平面收斂域?yàn)?1-93)(1-94)證

由推導(dǎo)過(guò)程看出X(v)的收斂域就是X(z)的收斂域，Y(z/v)的收斂域（z/v的區(qū)域）就是Y(z)的收斂域（z的區(qū)域），從而收斂域亦得到證明。不難證明，由于乘積x(n)y(n)的先后次序可以互調(diào)，故X,Y的位置可以互換，故下式同樣成立。Rx-Ry-<|z|<Rx+Ry+而此時(shí)圍線c所在收斂域?yàn)?1-95)

復(fù)卷積公式可用留數(shù)定理求解，但關(guān)鍵在于確定圍線所在的收斂域。(1-96)式中，｛dk｝為在圍線c內(nèi)的全部極點(diǎn)。若用v=ejθ,z=ejω代入式(1-89)，則可得

顯然，上式是X(ejω)與Y(ejω)的卷積，又稱為復(fù)卷積。[例1-24]

設(shè)應(yīng)用復(fù)卷積定理求兩序列的乘積即w(n)=x(n)y(n)。解利用復(fù)卷積公式（1-89）

根據(jù)式（1-91），圍線c所在的收斂域?yàn)閙ax［1/3,0］<|v|<min［∞,2|z|］或1/3<|v|<2|z|。

被積函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)，v=1/3，v=2z，如圖1-36所示。但只有極點(diǎn)v=1/3在圍線c內(nèi)，而極點(diǎn)v=2z在圍線c外，利用式（1-93）可得圖1-36例1-24被積函數(shù)的極點(diǎn)及積分圍線c由式(1-95)可得,W(z)的收斂域?yàn)閨