2021-2022學(xué)年湖南省長沙市雨花區(qū)南雅學(xué)校九年級(jí)第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．2021的倒數(shù)的相反數(shù)是（）A． B．﹣2021 C． D．20212．下列運(yùn)算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3 C．a(chǎn)5÷a2＝a3（a≠0） D．a(chǎn)（a+1）＝a2+13．下列各圖中，不是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．4．“校園足球”已成為南雅中學(xué)的一張靚麗名片，南雅中學(xué)女子足球隊(duì)獲得“2021年中國足球?qū)W校杯女子乙組U15亞軍”這一新聞獲得2400000的點(diǎn)擊率，2400000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，結(jié)果正確的是（）A．0.24×105 B．2.4×106 C．2.4×105 D．24×1045．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，下列事件中是不可能事件的是（）A．點(diǎn)數(shù)之和為12 B．點(diǎn)數(shù)之和小于3 C．點(diǎn)數(shù)之和大于4且小于8 D．點(diǎn)數(shù)之和為136．已知點(diǎn)P（2a﹣1，1﹣a）在第一象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．7．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，可列方程組為（）A． B． C． D．8．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．27° B．108° C．116° D．128°9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．6010．如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的長是（）A． B． C．1 D．2二、填空題（本題共6個(gè)小題，每題3分，共18分）11．分解因式：x2﹣2021x＝．12．正十二邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．13．已知扇形的圓心角為120°，弧長為2π，則它的半徑為．14．二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．15．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為．16．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0）．對(duì)于下列命題：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③4a+2b+c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（填序號(hào)）．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小8分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分）17．計(jì)算：．18．先化簡，再求值：，其中a＝2022．19．?dāng)?shù)學(xué)課堂上，H老師把一個(gè)布袋放在講臺(tái)上．袋中放有紅、黃、白種顏色的球各一個(gè)，它們除顏色外其它都一樣，小亮同學(xué)從布袋中摸出一球后放回去搖勻，再摸出一個(gè)球．請(qǐng)你利用列舉法（列表或畫樹狀圖）分析并求出小亮兩次都能摸到白球的概率是多少．20．初中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)，給學(xué)生帶來了方便，同時(shí)也帶來了一些負(fù)面影響．針對(duì)這種現(xiàn)象某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)調(diào)查了若干名家長對(duì)“初中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)”看法，統(tǒng)計(jì)整理并制作了如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）這次調(diào)查的家長總?cè)藬?shù)為人，表示“無所謂”的家長人數(shù)為人；（2）隨機(jī)抽查一個(gè)接受調(diào)查的家長，恰好抽到“很贊同”的家長的概率是；（3）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“不贊同”的扇形的圓心角度數(shù)．21．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△BOC≌△CEB．（1）求證：四邊形OBEC是矩形；（2）若∠DAC＝30°，AB＝4，求矩形OBEC的周長．22．隨著“雙減”政策在星城的落地，為進(jìn)一步規(guī)范各個(gè)學(xué)校的課后服務(wù)工作，長沙市教育局就《長沙市中小學(xué)課后服務(wù)工作實(shí)施辦法》進(jìn)行了更明確的要求，鼓勵(lì)教師參與志愿輔導(dǎo)．某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次．（1）如果第一批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長率相同，求這個(gè)增長率；（2）按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？23．如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．24．定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么我們把這稱為四點(diǎn)共圓．（1）下列幾何圖形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓的有．（填序號(hào)）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．（2）已知△ABC中，∠A＝40°，如圖1，平面上一點(diǎn)D，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，試求∠BDC的度數(shù)．（3）若△ABC的外接圓為⊙O，半徑為r，平面上有兩點(diǎn)E、F，分別與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓（E在AB的左側(cè)，F(xiàn)點(diǎn)在AC的右側(cè)），如圖2．①試判斷∠E+∠F﹣∠BAC的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明理由；②若BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，并且邊AB經(jīng)過圓心O，如圖3，試求五邊形AEBCF的最大面積（用含r的式子表示）．25．已知：拋物線與x軸相交于A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），⊙M經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．（1）求c的值；（2）求⊙M的半徑；（3）過C點(diǎn)作直線交x軸于D，當(dāng)直線CD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線CD是否與⊙M相切？如果相切，請(qǐng)證明之；如果相交，請(qǐng)求出直線CD與圓的另外一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）點(diǎn)E、F分別為⊙M與拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)O、C、E、F四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為以O(shè)C為邊的平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

參考答案一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．2021的倒數(shù)的相反數(shù)是（）A． B．﹣2021 C． D．2021【分析】直接利用倒數(shù)以及相反數(shù)的定義分析得出答案．解：2021的倒數(shù)為：，則的相反數(shù)是：﹣．故選：A．2．下列運(yùn)算正確的是（）A．（a2）3＝a5 B．3a2+a＝3a3 C．a(chǎn)5÷a2＝a3（a≠0） D．a(chǎn)（a+1）＝a2+1【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則，冪的乘方的性質(zhì)，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則，同底數(shù)冪的除法的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．解：A、（a2）3＝a6，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3a2+a，不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、a5÷a2＝a3（a≠0），正確；D、a（a+1）＝a2+a，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．3．下列各圖中，不是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念進(jìn)行判斷即可．解：A、是中心對(duì)稱圖形；B、不是中心對(duì)稱圖形；C、是中心對(duì)稱圖形；D、是中心對(duì)稱圖形．故選：B．4．“校園足球”已成為南雅中學(xué)的一張靚麗名片，南雅中學(xué)女子足球隊(duì)獲得“2021年中國足球?qū)W校杯女子乙組U15亞軍”這一新聞獲得2400000的點(diǎn)擊率，2400000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示，結(jié)果正確的是（）A．0.24×105 B．2.4×106 C．2.4×105 D．24×104【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正整數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．解：2400000＝2.4×106．故選：B．5．同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個(gè)面上分別刻有1到6的點(diǎn)數(shù)，下列事件中是不可能事件的是（）A．點(diǎn)數(shù)之和為12 B．點(diǎn)數(shù)之和小于3 C．點(diǎn)數(shù)之和大于4且小于8 D．點(diǎn)數(shù)之和為13【分析】找到一定不會(huì)發(fā)生的事件即可．解：A、6點(diǎn)+6點(diǎn)＝12點(diǎn)，為隨機(jī)事件，不符合題意；B、例如：1點(diǎn)+1點(diǎn)＝2點(diǎn)，為隨機(jī)事件，不符合題意；C、例如：1點(diǎn)+5點(diǎn)＝6點(diǎn)，為隨機(jī)事件，不符合題意；D、兩枚骰子點(diǎn)數(shù)最大之和為12點(diǎn)，不可能是13點(diǎn)，為不可能事件，符合題意．故選：D．6．已知點(diǎn)P（2a﹣1，1﹣a）在第一象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)點(diǎn)P在第一象限則橫縱坐標(biāo)都是正數(shù)即可得到關(guān)于a的不等式組求得a的范圍，然后可判斷．解：根據(jù)題意得：，解得：0.5＜a＜1．故選：C．7．《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書大約在一千五百年前，其中一道題，原文是：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”意思是：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行．問人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．解：依題意，得：．故選：B．8．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．27° B．108° C．116° D．128°【分析】直接由圓周角定理求解即可．解：∵∠A＝54°，∴∠BOC＝2∠A＝108°，故選：B．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE＝DC＝4，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．解：作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，∴△ABD的面積＝×AB×DE＝30，故選：B．10．如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A為⊙O上一點(diǎn)，OD⊥弦BC于D，如果∠BAC＝60°，那么OD的長是（）A． B． C．1 D．2【分析】由于∠BAC＝60°，根據(jù)圓周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理可知∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，利用特殊三角函數(shù)值易求OD．解：∵OD⊥弦BC，∴∠BDO＝90°，∵∠BOD＝∠BAC＝60°，∴OD＝OB＝1，故選：C．二、填空題（本題共6個(gè)小題，每題3分，共18分）11．分解因式：x2﹣2021x＝x（x﹣2021）．【分析】直接提取公因式x，即可分解因式．解：x2﹣2021x＝x（x﹣2021）．故答案為：x（x﹣2021）．12．正十二邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為150°．【分析】首先求得每個(gè)外角的度數(shù)，然后根據(jù)外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角即可求解．解：正十二邊形的每個(gè)外角的度數(shù)是：＝30°，則每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是：180°﹣30°＝150°．故答案為：150°．13．已知扇形的圓心角為120°，弧長為2π，則它的半徑為3．【分析】根據(jù)弧長公式代入求解即可．解：設(shè)扇形的半徑為R，根據(jù)題意得：l＝，∴R＝＝3．故答案為：3．14．二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）．【分析】把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，4）．故答案為：（﹣1，4）．15．如圖，四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，且AB＝10，CD＝12，則四邊形ABCD的周長為44．【分析】根據(jù)圓外切四邊形的對(duì)邊之和相等求出AD+BC，根據(jù)四邊形的周長公式計(jì)算即可．解：∵四邊形ABCD是⊙O的外切四邊形，∴AD+BC＝AB+CD＝22，∴四邊形ABCD的周長＝AD+BC+AB+CD＝44，故答案為：44．16．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0）．對(duì)于下列命題：①b﹣2a＝0；②abc＜0；③4a+2b+c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有③④（填序號(hào)）．【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)圖象開口方向可得a＞0，根據(jù)圖象與y軸交點(diǎn)可得c＜0，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸x＝﹣，結(jié)合圖象與x軸的交點(diǎn)可得對(duì)稱軸為直線x＝1，結(jié)合對(duì)稱軸公式可判斷出①的正誤；根據(jù)對(duì)稱軸公式結(jié)合a的取值可判定出b＜0，根據(jù)a、b、c的正負(fù)即可判斷出②的正誤；由圖象知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0可判斷③，再利用當(dāng)x＝4時(shí)，y＞0，則16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，得出8a+c＞0．解：根據(jù)圖象可得：a＞0，c＜0，對(duì)稱軸：x＝﹣＞0，①∵它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為（﹣1，0），（3，0），∴對(duì)稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，故①錯(cuò)誤；②∵a＞0，∴b＜0，∵c＜0，∴abc＞0，故②錯(cuò)誤；③由圖象知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＜0，故③正確；④根據(jù)圖示知，當(dāng)x＝4時(shí)，y＞0，∴16a+4b+c＞0，由①知，b＝﹣2a，∴8a+c＞0；故④正確；∴正確為③④兩個(gè)，故答案為：③④．三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小8分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分）17．計(jì)算：．【分析】首先零指數(shù)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，絕對(duì)值，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值即可．解：原式＝1+3+2﹣（﹣1）＝4+2﹣+1＝．18．先化簡，再求值：，其中a＝2022．【分析】化簡時(shí)，先將括號(hào)內(nèi)通分，再按照分式的除法法則進(jìn)行運(yùn)算，最后將a的值代入運(yùn)算即可．解：原式＝（）÷＝（）×＝＝﹣．當(dāng)a＝2022時(shí)，原式＝﹣＝﹣．19．?dāng)?shù)學(xué)課堂上，H老師把一個(gè)布袋放在講臺(tái)上．袋中放有紅、黃、白種顏色的球各一個(gè)，它們除顏色外其它都一樣，小亮同學(xué)從布袋中摸出一球后放回去搖勻，再摸出一個(gè)球．請(qǐng)你利用列舉法（列表或畫樹狀圖）分析并求出小亮兩次都能摸到白球的概率是多少．【分析】先畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如下：∴一共有9種等可能的結(jié)果，小亮兩次都能摸到白球的有1種情況，∴小亮兩次都能摸到白球的概率為．20．初中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)，給學(xué)生帶來了方便，同時(shí)也帶來了一些負(fù)面影響．針對(duì)這種現(xiàn)象某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)調(diào)查了若干名家長對(duì)“初中學(xué)生帶手機(jī)上學(xué)”看法，統(tǒng)計(jì)整理并制作了如下的統(tǒng)計(jì)圖：（1）這次調(diào)查的家長總?cè)藬?shù)為200人，表示“無所謂”的家長人數(shù)為40人；（2）隨機(jī)抽查一個(gè)接受調(diào)查的家長，恰好抽到“很贊同”的家長的概率是；（3）求扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“不贊同”的扇形的圓心角度數(shù)．【分析】（1）用“贊同”的家長數(shù)除以對(duì)應(yīng)的百分比就是調(diào)查的家長總?cè)藬?shù)，用調(diào)查的家長總?cè)藬?shù)乘“無所謂”的家長百分比就是“無所謂”的家長人數(shù)．（2）用總?cè)藬?shù)減去“贊同”“不贊同”“無所謂”的家長人數(shù)就是“很贊同”的家長人數(shù)，“很贊同”的家長人數(shù)除以總數(shù)就是概率．（3）“不贊同”的扇形的圓心角度數(shù)＝“不贊同”的扇形的百分比乘360°．解：（1）這次調(diào)查的家長總?cè)藬?shù)為：50÷25%＝200（人），表示“無所謂”的家長人數(shù)為：200×20%＝40（人）．故答案為：200，40；（2）“很贊同”的家長人數(shù)為：200﹣90﹣50﹣40＝20（人），抽到“很贊同”的家長的概率是20÷200＝．故答案為：；（3）“不贊同”的扇形的圓心角度數(shù)為：×360°＝162°．21．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，△BOC≌△CEB．（1）求證：四邊形OBEC是矩形；（2）若∠DAC＝30°，AB＝4，求矩形OBEC的周長．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OB＝EC，OC＝EB，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形OBEC是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，再根據(jù)矩形的判定得出即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD＝AB，AO＝OC，BO＝DO，解直角三角形求出DO和BO，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出BO＝DO＝2，CO＝AO＝2，再求出矩形OBEC的周長即可．【解答】（1）證明：∵△BOC≌△CEB，∴OB＝EC，OC＝EB，∴四邊形OBEC是平行四邊形，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴平行四邊形OBEC是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AO＝OC，BO＝DO，∵AB＝4，∴AD＝4，∵∠DAC＝30°，∠DOA＝90°，∴DO＝AD＝2，由勾股定理得：AO＝＝＝2，即BO＝DO＝2，CO＝AO＝2，∵四邊形OBEC是矩形，∴BE＝CO＝2，EC＝BO＝2，∴矩形OBEC的周長＝BE+EC+CO+BO＝2+2+2+2＝．22．隨著“雙減”政策在星城的落地，為進(jìn)一步規(guī)范各個(gè)學(xué)校的課后服務(wù)工作，長沙市教育局就《長沙市中小學(xué)課后服務(wù)工作實(shí)施辦法》進(jìn)行了更明確的要求，鼓勵(lì)教師參與志愿輔導(dǎo)．某區(qū)率先示范，推出名師公益大課堂，為學(xué)生提供線上線下免費(fèi)輔導(dǎo)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次．（1）如果第一批，第三批公益課受益學(xué)生人次的增長率相同，求這個(gè)增長率；（2）按照這個(gè)增長率，預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到多少萬人次？【分析】（1）設(shè)增長率為x，利用第三批公益課受益學(xué)生人次數(shù)＝第一批公益課受益學(xué)生人次數(shù)×（1+增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出這個(gè)增長率為10%；（2）利用預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生人次數(shù)＝第三批公益課受益學(xué)生人次數(shù)×（1+增長率），即可預(yù)計(jì)出第四批公益課受益學(xué)生人次數(shù)．解：（1）設(shè)增長率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.42，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意，舍去）．答：這個(gè)增長率為10%．（2）2.42×（1+10%）＝2.662（萬人次）．答：預(yù)計(jì)第四批公益課受益學(xué)生將達(dá)到2.662萬人次．23．如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【分析】（1）根據(jù)△ACD，△AOC為等腰三角形，∠ACD＝120°，利用三角形內(nèi)角和定理求∠OCD＝90°即可；（2）連接OC，求出∠D和∠COD，求出邊DC長，分別求出三角形OCD的面積和扇形COB的面積，即可求出答案．【解答】證明：（1）連接OC，∵CD＝AC，∴∠CAD＝∠D，又∵∠ACD＝120°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ACD）＝30°，∵OC＝OA，∴∠A＝∠1＝30°，∴∠COD＝60°，又∵∠D＝30°，∴∠OCD＝180°﹣∠COD﹣∠D＝90°，∴CD是⊙O的切線；（2）∵∠A＝30°，∴∠1＝2∠A＝60°∠1＝2∠A＝60°．∴，在Rt△OCD中，．∴．∴圖中陰影部分的面積為2﹣π．24．定義：如果同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，那么我們把這稱為四點(diǎn)共圓．（1）下列幾何圖形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓的有③④⑤．（填序號(hào)）①平行四邊形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤等腰梯形．（2）已知△ABC中，∠A＝40°，如圖1，平面上一點(diǎn)D，使得A、B、C、D四點(diǎn)共圓，試求∠BDC的度數(shù)．（3）若△ABC的外接圓為⊙O，半徑為r，平面上有兩點(diǎn)E、F，分別與△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓（E在AB的左側(cè)，F(xiàn)點(diǎn)在AC的右側(cè)），如圖2．①試判斷∠E+∠F﹣∠BAC的值是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明理由；②若BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，并且邊AB經(jīng)過圓心O，如圖3，試求五邊形AEBCF的最大面積（用含r的式子表示）．【分析】（1）由“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形”，即可得出答案；（2）分點(diǎn)D在上和點(diǎn)D在上兩種情況討論，即可求出∠BDC的度數(shù)；（3）①由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠E+∠AFB＝180°，由∠BAC＝∠BFC，可得∠E+∠AFC＝∠E+∠AFB+∠BFC＝∠E+∠AFB+∠BAC＝180°+∠BAC，進(jìn)而可得∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°；②由AB經(jīng)過圓心O，BC弦的長度與⊙O的半徑r之比為：1，可得△ABC為等腰直角三角形，S五邊形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，當(dāng)△ABE及△ACF面積最大時(shí)，五邊形AEBCF的最大面積，E為中點(diǎn)時(shí)，△ABE面積最大，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，△ACF面積最大，求出△ABE及△ACF面積最大值，最后把三個(gè)三角形的面積相加，即可求出五邊形AEBCF的最大面積．解：（1）∵矩形、正方形、等腰梯形的對(duì)角互補(bǔ)，∴矩形、正方形、等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四點(diǎn)共圓，故答案為：③④⑤；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，∵A、B、D、C四點(diǎn)共圓，∴∠A+∠D＝180°，∵∠BAC＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，如圖，當(dāng)點(diǎn)D在或上時(shí)，∵∠BAC＝40°，∴∠BDC＝∠BAC＝40°，綜上所述，∠BDC的度數(shù)為140°或40°；（3）①如圖，連接BF，∵四邊形AEBF是圓內(nèi)接四邊形，∴∠E+∠AFB＝180°，又∵∠BAC＝∠BFC，∴∠E+∠AFC＝∠E+∠AFB+∠BFC＝∠E+∠AFB+∠BAC＝180°+∠BAC，∴∠E+∠AFC﹣∠BAC＝180°，即∠E+∠F﹣∠BAC＝180°；②∵AB經(jīng)過圓心，∴AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC：OB＝：1，OB＝r，∴BC＝r，∵AB＝2r，∴AC＝＝r，∴BC＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵S五邊形AEBCF＝S△ABE+S△ABC+S△ACF，∴當(dāng)△ABE及△ACF面積最大時(shí)，五邊形AEBCF的最大面積，此時(shí)，E為中點(diǎn)時(shí)，△ABE面積最大，F(xiàn)為中點(diǎn)時(shí)，△ACF面積最大，如圖，連接OE，連接OF交AC于H，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∴AH＝CH，∴OH＝BC＝r，∴S△ABE的最大值為：?AB?OE＝×2r×r＝r2，S△ACF的最大值為：?AC?FH＝×r×（r﹣r）＝r2﹣×r2，∴S五邊形AEBCF的最大值為：r2+r2+r2﹣×r2＝．25．已知：拋物線與x軸相交于A、B（A點(diǎn)在B點(diǎn)的左邊），與y軸相交于點(diǎn)C，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），⊙M經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)．（1）求c的值；（2）求⊙M的半徑；（3）過C點(diǎn)作直線交x軸于D，當(dāng)直線CD與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)