七年級(jí)數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)及典型例題一、函數(shù)基礎(chǔ)概念回顧函數(shù)是七年級(jí)數(shù)學(xué)中變量關(guān)系的核心內(nèi)容，其本質(zhì)是兩個(gè)變量之間的確定性對(duì)應(yīng)關(guān)系。以下是關(guān)鍵概念的梳理：1.變量與常量變量：在某一變化過程中，數(shù)值發(fā)生變化的量（如時(shí)間、路程、溫度等）。常量：在某一變化過程中，數(shù)值保持不變的量（如速度、單價(jià)、圓周率π等）。例：若汽車以60km/h的速度行駛，路程\(s=60t\)中，\(s\)（路程）和\(t\)（時(shí)間）是變量，60（速度）是常量。2.函數(shù)的定義函數(shù)：對(duì)于兩個(gè)變量\(x\)（自變量）和\(y\)（因變量），當(dāng)\(x\)取每一個(gè)確定的值時(shí)，\(y\)都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱\(y\)是\(x\)的函數(shù)。關(guān)鍵點(diǎn)：自變量\(x\)的取值范圍稱為定義域（需滿足實(shí)際意義，如人數(shù)不能為負(fù)、時(shí)間不能為負(fù)）；因變量\(y\)的對(duì)應(yīng)值范圍稱為值域；“唯一確定”是函數(shù)的核心（一個(gè)\(x\)不能對(duì)應(yīng)多個(gè)\(y\)）。例：判斷下列關(guān)系是否為函數(shù)：（1）正方形的邊長\(a\)與面積\(S\)（是，\(S=a^2\)，一個(gè)\(a\)對(duì)應(yīng)唯一\(S\)）；（2）人的年齡\(t\)與身高\(yùn)(h\)（否，同一年齡可能有不同身高）；（3）圓的半徑\(r\)與周長\(C\)（是，\(C=2πr\)，一個(gè)\(r\)對(duì)應(yīng)唯一\(C\)）。3.函數(shù)的三種表示方法表示方法定義優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)**列表法**用表格記錄自變量與因變量的對(duì)應(yīng)值直觀、易查無法表示所有值（不全面）**解析式法**用數(shù)學(xué)式子表示變量間的關(guān)系（如\(y=kx+b\)）精確、便于計(jì)算抽象、需理解式子意義**圖像法**在平面直角坐標(biāo)系中，用點(diǎn)連成的線表示變量關(guān)系直觀、能體現(xiàn)變化趨勢(shì)存在誤差（需估計(jì)值）例：購買鉛筆，單價(jià)2元/支，總價(jià)\(y\)與數(shù)量\(x\)的關(guān)系：列表法：\(x=1\toy=2\)，\(x=2\toy=4\)，\(x=3\toy=6\)；解析式法：\(y=2x\)（\(x\)為非負(fù)整數(shù)）；圖像法：在坐標(biāo)系中描點(diǎn)\((1,2)\)、\((2,4)\)、\((3,6)\)，連成射線（起點(diǎn)為原點(diǎn)）。二、函數(shù)圖像的初步解讀圖像是函數(shù)的“視覺語言”，七年級(jí)重點(diǎn)考查從圖像中提取信息，需掌握以下技巧：1.明確橫縱坐標(biāo)的意義圖像的橫軸（\(x\)軸）和縱軸（\(y\)軸）分別代表不同的變量，需先標(biāo)注（如“時(shí)間\(t\)/分鐘”“路程\(s\)/米”）。2.分析圖像的趨勢(shì)上升趨勢(shì)：\(y\)隨\(x\)增大而增大（如勻速行駛時(shí)，路程隨時(shí)間增加而增加）；下降趨勢(shì)：\(y\)隨\(x\)增大而減?。ㄈ缋渌訜岷笞匀焕鋮s，溫度隨時(shí)間增加而降低）；水平趨勢(shì)：\(y\)不隨\(x\)變化（如停留時(shí)，路程不變）。3.識(shí)別特殊點(diǎn)的意義起點(diǎn)：變量的初始狀態(tài)（如\(t=0\)時(shí)，\(s=0\)表示從起點(diǎn)出發(fā)）；終點(diǎn)：變量的最終狀態(tài)（如到達(dá)學(xué)校時(shí)，\(s\)為家到學(xué)校的距離）；轉(zhuǎn)折點(diǎn)：變化趨勢(shì)改變的點(diǎn)（如從步行變?yōu)榕懿剑俣燃涌?，圖像斜率變大）。典型例題（圖像解讀）：如圖是小明上學(xué)路上的路程-時(shí)間（\(s-t\)）圖像，回答下列問題：（1）小明出發(fā)后多久到達(dá)學(xué)校？（2）小明在途中有沒有停留？若有，停留了多久？（3）小明上學(xué)的平均速度是多少？解析：（1）終點(diǎn)對(duì)應(yīng)\(s=1200\)米（家到學(xué)校的距離），此時(shí)\(t=15\)分鐘，故出發(fā)后15分鐘到達(dá)；（2）\(t=5\)到\(t=10\)分鐘時(shí)，\(s\)保持800米不變，說明停留了\(10-5=5\)分鐘；（3）總路程1200米，總時(shí)間15分鐘，平均速度\(=1200÷15=80\)米/分鐘。三、典型例題分類講解1.基礎(chǔ)題（概念理解）例1：下列關(guān)系式中，\(y\)是\(x\)的函數(shù)的是（）A.\(y=±\sqrt{x}\)（\(x≥0\)）B.\(y=x^2\)C.\(y^2=x\)（\(x≥0\)）D.\(y=\frac{1}{x}\)（\(x=0\)）答案：B解析：A中一個(gè)\(x\)對(duì)應(yīng)兩個(gè)\(y\)（如\(x=4\)，\(y=2\)或\(-2\)），不是函數(shù)；C同理，不是函數(shù)；D中\(zhòng)(x=0\)時(shí)無意義，定義域不成立；B中一個(gè)\(x\)對(duì)應(yīng)唯一\(y\)，是函數(shù)。2.提升題（表示方法轉(zhuǎn)換）例2：根據(jù)表格數(shù)據(jù)，寫出\(y\)與\(x\)的關(guān)系式，并求\(x=5\)時(shí)\(y\)的值。\(x\)1234…\(y\)3579…解析：觀察數(shù)據(jù)，\(x\)每增加1，\(y\)增加2，故為線性關(guān)系，設(shè)\(y=kx+b\)。代入\(x=1\)，\(y=3\)得：\(3=k+b\)；代入\(x=2\)，\(y=5\)得：\(5=2k+b\)；解得\(k=2\)，\(b=1\)，故關(guān)系式為\(y=2x+1\)。當(dāng)\(x=5\)時(shí)，\(y=2×5+1=11\)。3.拓展題（圖像應(yīng)用）例3：如圖是某物體溫度隨時(shí)間變化的\(T-t\)圖像（\(T\)表示溫度，\(t\)表示時(shí)間），回答下列問題：（1）物體初始溫度是多少？（2）溫度上升階段持續(xù)了多久？（3）溫度最高是多少？保持了多久？解析：（1）起點(diǎn)\(t=0\)時(shí)，\(T=20℃\)，故初始溫度20℃；（2）\(t=0\)到\(t=10\)分鐘，圖像上升（溫度升高），持續(xù)10分鐘；（3）\(t=10\)到\(t=20\)分鐘，\(T=80℃\)（水平段），故最高溫度80℃，保持了10分鐘。四、復(fù)習(xí)總結(jié)與技巧點(diǎn)撥1.函數(shù)的核心：“唯一確定”——判斷是否為函數(shù)時(shí)，只需看每個(gè)\(x\)是否對(duì)應(yīng)唯一\(y\)；2.表示方法的選擇：列表法適合小范圍數(shù)據(jù)，解析式法適合精確計(jì)算，圖像法