代數(shù)分式難題專項(xiàng)訓(xùn)練試題集一、引言代數(shù)分式是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，也是高中函數(shù)、不等式等知識的基礎(chǔ)。其難點(diǎn)主要集中在條件化簡求值、增根與無解分析、不等式符號處理、恒成立條件推導(dǎo)及最值求解等方面。這些題型不僅考查對分式基本性質(zhì)的掌握，更強(qiáng)調(diào)邏輯推理與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。本試題集針對分式難點(diǎn)題型分類解析，旨在幫助學(xué)習(xí)者突破瓶頸，提升解題能力。二、專項(xiàng)訓(xùn)練題型及解析（一）分式化簡求值（含條件代入）核心考點(diǎn)：利用分式基本性質(zhì)化簡，結(jié)合條件（如倒數(shù)、比例、整體代入）轉(zhuǎn)化分子分母。1.典型例題已知\(x+\dfrac{1}{x}=3\)，求\(\dfrac{x^2}{x^4+x^2+1}\)的值。2.解題思路分子分母同除以\(x^2\)（\(x\neq0\)，否則\(x+\dfrac{1}{x}=3\)不成立），得：\[\dfrac{1}{x^2+1+\dfrac{1}{x^2}}\]利用完全平方公式轉(zhuǎn)化分母：\[x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=3^2-2=7\]代入得：\[\dfrac{1}{7+1}=\dfrac{1}{8}\]3.易錯(cuò)點(diǎn)提示避免直接求解\(x\)的值（會引入無理數(shù)，計(jì)算復(fù)雜）；注意條件\(x\neq0\)的隱含要求。4.訓(xùn)練題（1）已知\(\dfrac{a}=\dfrac{2}{3}\)，求\(\dfrac{a^2+ab}{b^2}\)的值；（2）若\(xy=x+y\neq0\)，求\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)的值；（3）已知\(a^2-3a+1=0\)，求\(\dfrac{a^4+1}{a^2}\)的值。（二）分式方程的增根與無解問題核心考點(diǎn)：區(qū)分“增根”（使分母為0的根，是整式方程的解但非原方程的解）與“無解”（整式方程無解或所有解均為增根）。1.典型例題解方程\(\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{m}{x-1}\)，若方程有增根，求\(m\)的值。2.解題思路去分母（兩邊乘\(x-1\)）得：\(x-(x-1)=m\)，化簡為\(1=m\)；增根是使分母為0的根，即\(x=1\)；將\(x=1\)代入整式方程，得\(m=1\)。結(jié)論：當(dāng)\(m=1\)時(shí)，方程有增根。3.易錯(cuò)點(diǎn)提示增根必須滿足“代入整式方程成立”且“使原分母為0”；不要混淆“增根”與“無解”（如方程\(\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}\)無解，但無增根）。4.訓(xùn)練題（1）解方程\(\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x(x-3)}\)，若有增根，求增根；（2）若方程\(\dfrac{ax+1}{x-1}=2\)無解，求\(a\)的值；（3）已知\(\dfrac{x+k}{x-1}=2\)的解為正數(shù)，求\(k\)的取值范圍。（三）分式不等式的解法核心考點(diǎn)：轉(zhuǎn)化為整式不等式，利用“數(shù)軸穿根法”分析符號（注意分母不為0）。1.典型例題解不等式\(\dfrac{x+1}{x-2}>0\)。2.解題思路步驟1：移項(xiàng)通分（確保右邊為0）：原式已滿足；步驟2：轉(zhuǎn)化為整式不等式（分母不為0，故等價(jià)于分子分母同號）：\[(x+1)(x-2)>0\]步驟3：數(shù)軸穿根法：根為\(x=-1\)（奇次）、\(x=2\)（奇次），從右上開始穿根，符號為“+、-、+”；結(jié)論：解集為\(x<-1\)或\(x>2\)。3.易錯(cuò)點(diǎn)提示不要直接乘分母（分母符號未知，會改變不等號方向）；解集必須排除使分母為0的點(diǎn)（如本題\(x\neq2\)）。4.訓(xùn)練題（1）解不等式\(\dfrac{3x-1}{x+2}\leq1\)；（2）解不等式\(\dfrac{x^2-1}{x-3}<0\)；（3）解不等式\(\dfrac{|x|-2}{x+1}>0\)。（四）分式恒成立問題核心考點(diǎn)：分式值為常數(shù)的條件（分子分母為同次多項(xiàng)式，且對應(yīng)系數(shù)成比例）。1.典型例題若分式\(\dfrac{ax+b}{cx+d}\)（\(c\neq0\)）的值為常數(shù)，對所有\(zhòng)(x\neq-\dfracz3jilz61osys{c}\)成立，求\(a,b,c,d\)的關(guān)系。2.解題思路設(shè)\(\dfrac{ax+b}{cx+d}=k\)（\(k\)為常數(shù)），則\(ax+b=kcx+kd\)；對所有\(zhòng)(x\)成立，故系數(shù)對應(yīng)相等：\[a=kc,\quadb=kd\]消去\(k\)得：\(ad=bc\)。結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)\(ad=bc\)時(shí)，分式值為常數(shù)。3.易錯(cuò)點(diǎn)提示若分子分母均為常數(shù)（如\(\dfrac{2}{3}\)），顯然滿足\(ad=bc\)；不要忽略“對所有\(zhòng)(x\neq-\dfracz3jilz61osys{c}\)成立”的條件（需系數(shù)全相等）。4.訓(xùn)練題（1）若\(\dfrac{mx+3}{2x-1}\)為常數(shù)，求\(m\)的值；（2）已知\(\dfrac{(a-1)x+2}{bx+3}=2\)對所有\(zhòng)(x\neq-\dfrac{3}\)成立，求\(a,b\)；（3）若\(\dfrac{x^2+ax+b}{x+1}\)為整式，求\(a,b\)的關(guān)系。（五）分式最值問題核心考點(diǎn)：通過轉(zhuǎn)化為二次方程（判別式法）、配方法或均值不等式求解最值（注意變量取值范圍）。1.典型例題求分式\(\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)的最大值與最小值。2.解題思路設(shè)\(y=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)，整理為二次方程：\[(y-1)x^2-(y+1)x+(y-1)=0\]方程有實(shí)數(shù)解的條件是判別式\(\Delta\geq0\)：\[[-(y+1)]^2-4(y-1)(y-1)\geq0\]展開化簡：\[(y^2+2y+1)-4(y^2-2y+1)\geq0\implies-3y^2+10y-3\geq0\implies3y^2-10y+3\leq0\]解二次不等式：\[\dfrac{1}{3}\leqy\leq3\]結(jié)論：最大值為3，最小值為\(\dfrac{1}{3}\)。3.易錯(cuò)點(diǎn)提示轉(zhuǎn)化為二次方程時(shí)，需檢查二次項(xiàng)系數(shù)是否為0（如\(y=1\)時(shí)，方程變?yōu)閈(-2x=0\)，有解\(x=0\)，故\(y=1\)有效）；變量\(x\)可取任意實(shí)數(shù)（分母\(x^2-x+1=(x-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{3}{4}>0\)恒成立）。4.訓(xùn)練題（1）求\(\dfrac{x+1}{x^2+1}\)的最大值；（2）求\(\dfrac{2x-1}{x+3}\)（\(x>-3\)）的最小值；（3）求\(\dfrac{x^2-2x+3}{x-1}\)（\(x>1\)）的最小值。（六）分式與絕對值、平方結(jié)合的綜合題核心考點(diǎn)：利用絕對值的非負(fù)性、平方的非負(fù)性分析分式的值（注意分母不為0）。1.典型例題已知分式\(\dfrac{|x-2|}{x^2-4x+4}\)，求：（1）分式值為1時(shí)的\(x\)；（2）分式值為0時(shí)的\(x\)；（3）分式無意義時(shí)的\(x\)。2.解題思路化簡分式：分母\(x^2-4x+4=(x-2)^2\)，故分式\(=\dfrac{|x-2|}{(x-2)^2}=\dfrac{1}{|x-2|}\)（\(x\neq2\)）。解答：（1）值為1時(shí)，\(\dfrac{1}{|x-2|}=1\implies|x-2|=1\impliesx=1\)或\(x=3\)；（2）值為0時(shí)，分子需為0且分母不為0，但\(|x-2|=0\impliesx=2\)，此時(shí)分母為0，故無解；（3）無意義時(shí)，分母為0\impliesx=2\)。3.易錯(cuò)點(diǎn)提示絕對值化簡時(shí)要注意符號（如\(|x-2|=\begin{cases}x-2,&x\geq2\\2-x,&x<2\end{cases}\)）；分式值為0的條件是“分子為0且分母不為0”，二者缺一不可。4.訓(xùn)練題（1）求\(\dfrac{|x|+1}{x^2+2x+1}\)的最小值；（2）若\(\dfrac{(x-1)^2}{|x|-2}=0\)，求\(x\)；（3）分式\(\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2-3x+2}\)無意義時(shí)，求\(x\)的值。三、綜合訓(xùn)練題1.已知\(\dfrac{a}=\dfrac{c}=\dfrac{c}z3jilz61osys=k\)，求\(\dfrac{a+b+c+d}{b+c+d}\)的值（用\(k\)表示）；2.解不等式\(\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-2x-3}\leq0\)；3.若方程\(\dfrac{2x+m}{x-1}=3\)的解為負(fù)數(shù)，求\(m\)的取值范圍；4.求分式\(\dfrac{2x^2+4x+5}{x^2+2x+2}\)的最值；5.已知\(\dfrac{|x|-1}{x^2-x}=0\)，求\(x\)的值。四、答案與解析（一）分式化簡求值訓(xùn)練題答案（1）\(\dfrac{10}{9}\)（提示：\(\dfrac{a}=\dfrac{2}{3}\impliesa=\dfrac{2}{3}b\)，代入化簡）；（2）1（提示：\(xy=x+y\implies\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1\)）；（3）7（提示：\(a^2+1=3a\implies\dfrac{a^4+1}{a^2}=a^2+\dfrac{1}{a^2}=(a+\dfrac{1}{a})^2-2=3^2-2=7\)）。（二）分式方程訓(xùn)練題答案（1）增根為\(x=0\)或\(x=3\)（提示：去分母得\(2x=x-3+6\impliesx=3\)，檢驗(yàn)\(x=3\)使分母為0，故增根為3；注意\(x=0\)也是分母為0的點(diǎn)，但代入整式方程不成立，故不是增根）；（2）\(a=2\)（提示：去分母得\(ax+1=2x-2\implies(a-2)x=-3\)，無解當(dāng)且僅當(dāng)\(a-2=0\impliesa=2\)）；（3）\(k>-2\)且\(k\neq-1\)（提示：解為\(x=k+2\)，正數(shù)解需\(k+2>0\impliesk>-2\)，且\(x\neq1\impliesk+2\neq1\impliesk\neq-1\)）。（三）分式恒成立訓(xùn)練題答案（1）\(m=-6\)（提示：\(ad=bc\impliesm\times(-1)=3\times2\impliesm=-6\)）；（2）\(a=5\),\(b=1\)（提示：展開得\((a-1)x+2=2bx+6\impliesa-1=2b\),\(2=6\)?不對，應(yīng)為\((a-1)x+2=2(bx+3)\implies(a-1)x+2=2bx+6\impliesa-1=2b\),\(2=6\)?哦，題目應(yīng)為\(\dfrac{(a-1)x+2}{bx+3}=2\implies(a-1)x+2=2bx+6\implies(a-1-2b)x+(2-6)=0\impliesa-1-2b=0\),\(-4=0\)?不對，可能題目有誤，應(yīng)為\(\dfrac{(a-1)x+6}{bx+3}=2\)，則\((a-1)x+6=2bx+6\impliesa-1=2b\),\(b\neq0\)，比如\(b=1\),\(a=3\)）；（3）\(b=a-1\)（提示：用多項(xiàng)式除法，\(x^2+ax+b=(x+1)(x+a-1)+(b-a+1)\)，余式為0\impliesb-a+1=0\impliesb=a-1\)）。（四）分式最值訓(xùn)練題答案（1）\(\dfrac{1}{2}\)（提示：設(shè)\(y=\dfrac{x+1}{x^2+1}\impliesyx^2-x+(y-1)=0\implies\Delta=1-4y(y-1)\geq0\implies4y^2-4y-1\leq0\impliesy\leq\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)？不對，原題是\(\dfrac{x+1}{x^2+1}\)，最大值應(yīng)為\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)？不，等一下，訓(xùn)練題（1）是\(\dfrac{|x|+1}{x^2+2x+1}\)，化簡為\(\dfrac{|x|+1}{(x+1)^2}\)，當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(=\dfrac{x+1}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{x+1}\geq\dfrac{1}{0+1}=1\)？不對，可能我之前寫錯(cuò)了，訓(xùn)練題（1）應(yīng)為\(\dfrac{x+1}{x^2+1}\)，最大值是\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)？不，正確的，比如\(x=1\)時(shí)，\(\dfrac{2}{2}=1\)，\(x=0\)時(shí)，\(\dfrac{1}{1}=1\)，\(x=2\)時(shí)，\(\dfrac{3}{5}=0.6\)，\(x=-1\)時(shí)，\(\dfrac{0}{2}=0\)，所以最大值是1？哦，我之前的判別式法算錯(cuò)了，\(y=\dfrac{x+1}{x^2+1}\impliesyx^2-x+(y-1)=0\implies\Delta=1-4y(y-1)=1-4y^2+4y=-4y^2+4y+1\geq0\implies4y^2-4y-1\leq0\impliesy=\dfrac{4\pm\sqrt{16+16}}{8}=\dfrac{4\pm\sqrt{32}}{8}=\dfrac{4\pm4\sqrt{2}}{8}=\dfrac{1\pm\sqrt{2}}{2}\)，所以最大值是\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\approx1.207\)，比如\(x=\sqrt{2}-1\)時(shí)，\(\dfrac{\sqrt{2}-1+1}{(\sqrt{2}-1)^2+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2-2\sqrt{2}+1+1}=\dfrac{\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}(4+2\sqrt{2})}{(4-2\sqrt{2})(4+2\sqrt{2})}=\dfrac{4\sqrt{2}+4}{16-8}=\dfrac{4(\sqrt{2}+1)}{8}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2}\)，對，所以最大值是\(\dfrac{1+\sqrt{2}}{2}\)，最小值是\(\dfrac{1-\sqrt{2}}{2}\)）。（五）綜合訓(xùn)練題答案1.\(k\)（提示：\(a=bk\),\(b=ck\),\(c=dk\impliesa=dk^3\),\(b=dk^2\),\(c=dk\)，代入得\(\dfrac{dk^3+dk^2+dk+d}{dk^2+dk+d}=\dfrac{d(k^3+k^2+k+1)}{d(k^2+k+1)}=\dfrac{(k+1)(k^2+1)}{k^2+k+1}\)？不對，等一下，\(\dfrac{a}=k\impliesa=bk\),\(\dfrac{c}=k\impliesb=ck\impliesa=ck^2\),\(\dfrac{c}z3jilz61osys=k\impliesc=dk\impliesa=dk^3\),\(b=dk^2\),\(c=dk\)，所以\(\dfrac{a+b+c+d}{b+c+d}=\dfrac{dk^3+dk^2+dk+d}{dk^2+dk+d}=\dfrac{d(k^3+k^2+k+1)}{d(k^2+k+1)}=\dfrac{(k+1)(k^2+1)}{k^2+k+1}\)？哦，可能我錯(cuò)了，比如\(k=1\)，則\(a=b=c=d\)，所以比值為\(\dfrac{4a}{3a}=\dfrac{4}{3}\)，而\(k=1\)時(shí)，\(\dfrac{(1+1)(1+1)}{1+1+1}=\dfrac{4}{3}\)，對，所以正確；2.\(-1<x\leq1\)