球的切、接問(wèn)題球的切、接問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是通過(guò)對(duì)幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問(wèn)題，利用等體積法求內(nèi)切球半徑等，一般以客觀題的形式出現(xiàn).幾種常見(jiàn)的球的切、接模型1.正方體與球（1）內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R＝正方體棱長(zhǎng)a；（2）棱切球：棱切球直徑2R＝正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)2a；（3）外接球：外接球直徑2R＝正方體體對(duì)角線長(zhǎng)3a.2.長(zhǎng)方體的外接球外接球直徑2R＝體對(duì)角線長(zhǎng)a2＋b2＋c2（3.正棱錐與球（1）外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，R2＝（h－R）2＋r2（正棱錐外接球半徑為R，高為h）；（2）內(nèi)切球：V正棱錐＝13S表·r＝13S底·h（等體積法），r是內(nèi)切球半徑，h4.正四面體與球（1）外接球：如圖，設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為22a，顯然正四面體和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R＝22a·32＝64a，即正四面體外接球半徑為R（2）內(nèi)切球：設(shè)正四面體內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R，則Rr＝3，即r＝6125.直棱柱（圓柱）的外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上、下底面可以是任意三角形）.（1）確定球心O的位置，球心O在三棱柱上下底面外接圓圓心連線段O1O2的中點(diǎn)處；（2）求外接球半徑R，設(shè)三棱柱下底面外接圓半徑為r，三棱柱的高為h，由圖可知OO1⊥平面ABC.在Rt△AO1O中，OA＝R，AO1＝r，OO1＝?2，所以R＝r6.圓錐的外接球如圖1，設(shè)圓錐的高為h，底面圓半徑為r，球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來(lái)計(jì)算R.如圖2，當(dāng)PC＞CB時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖3，當(dāng)PC＜CB時(shí)，球心在圓錐外部.由圖2、圖3可知，OC＝h－R或R－h(huán)，故（h－R）2＋r2＝R2，所以R＝?2一、空間幾何體的外接球角度1定義法（1）（2022·新高考Ⅱ卷7題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為33和43，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（A）A.100π B.128πC.144π D.192π（2）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠B＝60°.將△ABC沿AC折起，折起后記點(diǎn)B為P，連接PD，得到三棱錐P-ACD如圖所示，當(dāng)三棱錐P-ACD的表面積最大時(shí)，三棱錐P-ACD的外接球體積為823π解析：（1）由題意，得正三棱臺(tái)上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4.設(shè)該棱臺(tái)上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，連接O1O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上.設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時(shí)，R2＝32＋OO12＝42＋（1－OO1）2，解得OO1＝4（舍去）；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時(shí)，R2＝42＋OO22＝32＋（1＋OO2）2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以該球的表面積為4π（2）由題意可得△ACD，△ACP均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，△PAD，△PCD為兩個(gè)全等的等腰三角形，則三棱錐P-ACD的表面積S＝2S△ACD＋2S△PCD＝2×12×2×2×32＋2×12×2×2×sin∠PCD＝23＋4sin∠PCD≤23＋4，當(dāng)且僅當(dāng)sin∠PCD＝1，即PC⊥CD時(shí)，三棱錐P-ACD的表面積取最大值，此時(shí)△PAD，△PCD為直角三角形，PD＝PC2＋CD2＝22.如圖，取PD的中點(diǎn)O，連接OA，OC，由直角三角形的性質(zhì)可得OA＝OC＝OD＝OP＝2，即三棱錐P-ACD的外接球的球心為O，半徑R＝2，故外接球的體積為V＝43規(guī)律方法到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)球心到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.角度2補(bǔ)形法（1）已知在三棱錐P-ABC中，AC＝2，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，則其外接球體積為（A）A.4π3 BC.32π3 D.4（2）已知三棱錐A-BCD，三組對(duì)棱兩兩相等，且AB＝CD＝1，AD＝BC＝3，若三棱錐A-BCD的外接球表面積為9π2，則AC＝5解析：（1）AB＝AC2＋BC2＝3，設(shè)PB＝h，則由PA＝2PB，可得3+?2＝2h，解得h＝1，可將三棱錐P-ABC還原成如圖所示的長(zhǎng)方體，則三棱錐P-ABC的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)外接球的半徑為R，則2R＝12＋（2）2＋12＝2，解析：（2）根據(jù)題意可將三棱錐A-BCD放置于長(zhǎng)方體中，如圖，∵三棱錐A-BCD的頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)中的四個(gè)，∴長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐A-BCD的外接球，∵AB＝CD＝1，AD＝BC＝3，且三組對(duì)棱兩兩相等，∴設(shè)AC＝BD＝x，得長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為12[12＋（3）2＋x2]＝12（4+x2），可得外接球的直徑2R＝12（4+x2），∴半徑R＝2（4+x2）4.∵三棱錐A-BCD的外接球表面積為9π規(guī)律方法1.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示.2.若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示.3.若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖3所示.角度3截面法（1）如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為（C）A.6π B.26πC.46π D.66π解析：（1）依題意，作球的軸截面如圖所示，其中，O是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，由題意可知43πR3＝36π，解得R＝3，由于圓柱的高為2，則OD＝1，DE＝3－1＝2，DC＝32－12＝22，母線EC＝22+8＝23，故圓錐的側(cè)面積S＝π·DC·EC＝π×22×2（2）（2025·南昌四校聯(lián)考）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，M，N分別為AD，BC的中點(diǎn)，該正方體的外接球?yàn)榍騉，則平面A1MN截球O得到的截面圓的面積為（D）A.6π5 BC.12π5 D解析：（2）如圖，連接B1N，由題意易知MN∥A1B1，MN＝A1B1，故四邊形A1B1NM為平行四邊形.連接B1C，BC1，交于點(diǎn)H，取B1C1的中點(diǎn)K，連接NK，則NK過(guò)點(diǎn)H，在Rt△B1KN中，B1K＝1，NK＝2，B1N＝5，易知點(diǎn)K到B1N的距離為255，又H為NK的中點(diǎn)，故點(diǎn)H到B1N的距離為55，因此球心O到平面A1MN的距離為55，由題易知球O的半徑R＝3，故平面A1MN截球O得到的截面圓的半徑r＝3－15＝705，故截面圓的面積S＝πr規(guī)律方法與球截面有關(guān)的解題策略（1）定球心：外接球的球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，實(shí)現(xiàn)空間問(wèn)題平面化的目的.二、空間幾何體的內(nèi)切球（1）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（B）A.49π36 BC.576π25 D解析：（1）旋轉(zhuǎn)體的軸截面如圖所示，其中O為內(nèi)切球的球心，過(guò)O作AB，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，則OE＝OF＝r（r為內(nèi)切球的半徑），故AO＝rsin∠BAC＝53r，CO＝rsin∠BCA＝54r，故5＝AO＋OC＝53r＋54r，故r＝127，故旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為4π×（2）（2024·海東模擬）在正四棱錐P-ABCD中，PA＝5，AB＝6，則該四棱錐內(nèi)切球的表面積是（C）A.4π7 BC.36π7 D解析：（2）過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABCD，則O為正方形ABCD的中心，連接OA，如圖，因?yàn)锳B＝6，所以O(shè)A＝32，所以O(shè)P＝PA2－OA2＝25－18＝7，則四棱錐P-ABCD的體積V＝13×62×7＝127，四棱錐P-ABCD的表面積S＝6×6＋12×6×25－9×4＝84.設(shè)四棱錐P-ABCD內(nèi)切球的半徑為r，內(nèi)切球的球心為O'，由V＝VO'-ABP＋VO'-BCP＋VO'-CDP＋VO'-ADP＋VO'-ABCD，可得V＝13Sr，即127＝13×84r，解得r＝規(guī)律方法1.內(nèi)切球球心到多面體各面的距離均相等.2.正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合.3.正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不重合.4.體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法.1.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積為4π3，那么這個(gè)正三棱柱的體積是（A.123 B.23C.63 D.483解析：C設(shè)球的半徑為R，由4π3R3＝4π3，得R＝1.因?yàn)榍蚺c正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，所以正三棱柱的高等于球的直徑2，正三棱柱的底面三角形的內(nèi)切圓的半徑等于球的半徑1.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長(zhǎng)為a，則a×sinπ3×13＝1，所以a＝23，所以這個(gè)正三棱柱的體積V＝34×（23）2×22.已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直徑為6，且AB⊥BC，BC＝2，則該棱柱的體積的最大值為（）A.8 B.12C.16 D.24解析：C設(shè)AB＝x，則AC＝4+x2.設(shè)球心為O，由題意知球心O在AC，A1C1中點(diǎn)連線的中點(diǎn)處，連接OC，設(shè)AC的中點(diǎn)為O1，則OO1＝9－4+x24＝32－x22，三棱柱的高為32－x2，則VABC-A1B1C1＝12·2·x·32－x2＝x323.半球內(nèi)放三個(gè)半徑為3的小球，三小球兩兩相切，并且與球面及半球底面的大圓面也相切，則該半球的半徑是（）A.1＋3 B.3＋5C.5＋7 D.3＋7解析：D三個(gè)小球的球心O1，O2，O3構(gòu)成邊長(zhǎng)為23的正三角形，則其外接圓半徑為2.設(shè)半球的球心為O，小球O1與半球底面切于點(diǎn)A.如圖，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，O1，A作半球的截面，則半圓O的半徑為OC，OC⊥OA，作O1B⊥OC于點(diǎn)B.則OA＝O1B＝2.設(shè)該半球的半徑是R，在Rt△OAO1中，由（R－3）2＝22＋（3）2可得R＝3＋7.4.（2025·惠州聯(lián)考）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟?，即截去四面體的四個(gè)頂點(diǎn)所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長(zhǎng)為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面得到所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為（）A.20π B.21πC.22π D.23π解析：C因?yàn)槔忾L(zhǎng)為a的正四面體的高為a2－（23×32a）2＝63a，所以截角四面體上下底面距離為63×6－63×2＝463，設(shè)其外接球的半徑為R，等邊三角形ABC的中心為O'，正六邊形EFHILK的中心為O″，易知外接球球心O在線段O'O″上，且O'O″⊥平面ABC，O'O″⊥平面EFHILK，則R2－O'C2＋R2－O″H25.〔多選〕將正三棱錐P-ABC置于水平反射鏡面上，得一“倒影三棱錐”P-ABC-Q，如圖.下列關(guān)于該“倒影三棱錐”的說(shuō)法中正確的有（）A.PQ⊥平面ABCB.若P，A，B，C在同一球面上，則Q也在該球面上C.若該“倒影三棱錐”存在外接球，則AB＝2PAD.若AB＝62PA，則PQ的中點(diǎn)必為“倒影三棱錐”解析：AD由“倒影三棱錐”的幾何特征可知PQ⊥平面ABC，故A正確；當(dāng)P，A，B，C在同一球面上時(shí)，若△ABC的外接圓不是球的大圓，則點(diǎn)Q不在該球面上，故B錯(cuò)誤；若該“倒影三棱錐”存在外接球，則三棱錐P-ABC的外接球的半徑與等邊三角形ABC外接圓的半徑相等，設(shè)其為R，則AB＝3R，PA＝2R，則AB＝62PA，故C錯(cuò)誤；由C的推導(dǎo)可知該“倒影三棱錐”外接球的球心為△ABC的中心，即PQ的中點(diǎn)，故D正確6.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨(dú)特的幾何體，圖1所示的禮品包裝盒就是其中之一.該禮品包裝盒可以看成是一個(gè)十面體，其中上、下底面為全等的正方形，所有的側(cè)面是全等的等腰三角形.將長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到如圖2所示的十面體ABCD-EFGH.已知AB＝AD＝2，AE＝7，則十面體ABCD-EFGH外接球的表面積是（11＋22）π.解析：由題中數(shù)據(jù)可知A1E2＝1＋（2－1）2＝4－22，則AA1＝7?(4－22）＝2＋1，因?yàn)槭骟wABCD-EFGH是由長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)45°得到，所以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球就是十面體ABCD-EFGH的外接球.設(shè)十面體ABCD-EFGH外接球的半徑為R，（2R）2＝22＋22＋（2＋1）2，則R2＝11+224，故十面體ABCD-EFGH外接球的表面積是4πR27.（2025·南通一模）棱長(zhǎng)為a的正四面體容器中能放進(jìn)10個(gè)半徑為1的小球，則a的最小值為