第12周立體幾何與空間向量一、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知且，則（

）．A．4 B．6 C．8 D．102．如圖，在平行六面體中，為的交點(diǎn).若，則向量（

）A． B． C．D．3．已知向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．4．直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（

）A． B． C．2 D．10二、選擇題：本題共2小題，每小題6分，共12分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.5．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面B．C．是平面的一個(gè)法向量D．點(diǎn)到平面的距離為6．已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．棱的中點(diǎn)在平面內(nèi)D．四面體的體積為1三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分.7．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，平面，則點(diǎn)到平面的距離為.8．如圖，在六面體中，平面平面，四邊形與四邊形是兩個(gè)全等的矩形.，，平面.，，，則.該六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值為.四、解答題：本題共2小題,共28分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.9．（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，過(guò)棱的中點(diǎn)E作于點(diǎn)，連接．

(1)證明：；(2)若，求平面與平面所成角的正弦值．10．（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，，，側(cè)面是正方形，為的中點(diǎn)，二面角的大小是．(1)求證：平面平面；(2)線段上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為．若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案及解析1．C【解析】因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，又,所以，所以，解得，所以.故選C.2．C【解析】由圖知，，即.故選C.3．A【解析】，，因?yàn)?，所以，解?故選A.4．B【解析】由于，所以，所以，所以.故選B.5．ACD【解析】對(duì)于A，由于，分別是的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，，故，，故與不垂直，進(jìn)而可得與不垂直，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量，故C正確；對(duì)于D，，點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選ACD．6．BD【解析】如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，由空間向量共線的充要條件知若，則有，顯然上述方程無(wú)解，故A錯(cuò)誤；又，所以B正確；延長(zhǎng)交于H點(diǎn)，連接交于G點(diǎn)，由平行線分線段成比例可知G為靠近B點(diǎn)的線段的一個(gè)三等分點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，易知，則，令，即，則N到平面的距離為，而，所以，故D正確.故選BD.7．【解析】因?yàn)?，且為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為：.8．6【解析】因?yàn)槠矫?，且平面，則，且，即兩兩垂直，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則；要求六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值，只需考慮各體對(duì)角線的距離，則，所以該六面體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)間距離的最大值為.9．【解析】（1）∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴．∵，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴．又，平面，∴平面．平面，∴．又，,平面，∴平面，平面，∴．（2）如圖，因兩兩垂直，故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，．由（1）可知，可看成平面的一個(gè)法向量，可看成平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面與平面的所成角為，∴，∴，∴平面與平面所成角的正弦值為．10．【解析】（1）因是正方形，則,因,故.由,則.因,則平面，又平面,故平面平面.（2）如圖，取的中點(diǎn)，連接,易得,因，故即二面角的平面角，即，易得,取中點(diǎn)，連接,過(guò)點(diǎn)作,交于，因,故得正三角形，則,由（1）得平面平面，且平面平面，平面，故得平面.因此可分別以為軸的正方向建立